第２６卷第５期（２０１０）河西学院学报Ｖ０１．２６Ｎｏ．５（２０１０）
行最简形矩阵的实质及其唯一性的新证明
王兴泉
（兰州交通大学数理与软件工程学院，甘肃兰州７３００７０）
摘要：本文引入优先（或第一）极大无关组概念，指出了用初等行变换将矩阵化成行最简形
矩阵的实质，同时也证明了行最简形矩阵的唯一性．最后讨论了行最简形矩阵的应用．
关键词：矩阵；初等行变换；行最简形；唯一性；极大无关组；线性方程组
中图分类号：０１５１．２１文献标识码：Ａ文章编号：１６７２—０５２０（２０１０）０５－００３１一０４
矩阵是线性代数的重要研究对象，矩阵初等变换是线性代数中一种重要的计算工具．利用矩阵初等变换，可以求行列式的值，求矩阵的秩，求矩阵的逆，求向量组的秩与极大无关组，确定向量组向量间的线性关系，求解线性方程组，化二次型为标准型等．通常要将相关矩阵由初等变换化成行阶梯矩阵或行最简形矩阵．关于行阶梯矩阵及行最简形矩阵在教材［１］中有如下的叙述．
在矩阵中可画出一条阶梯线，线的下方全为０，每个台阶只有一行，台阶数即是非零行的行数，阶梯线的竖线（每段竖线的长度为一行）后面的第一个元素为非零元，也就是非零行的第一个非零元，则称该矩阵为行阶梯矩阵．若非零行的第一个非零元为都为１，且这些非零元所在的列的其他元素都为０，则称该矩阵为行最简形矩阵．
按此规定，对矩阵实施初等变换后，只要具备上述特点就称为行阶梯矩阵或行最简形矩阵．如果变换中既有行变换，又有列变换，其行最简形矩阵显然是不唯一的．但多数情况下我们对变换是有要求的，即只能用行变换将矩阵化成行最简形矩阵，这时行最简形矩阵就具有唯一性，教材［１］中没有明确指出是由初等行变换所得，同时对行最简形矩阵的唯一性只有一个猜想，而没有给出肯定的结论，更没有证明．其他教材也大体如此，这就给教学带来某些不便，笔者就遇到过学生询问行最简形矩阵唯一性的问题．
本文所述行最简形矩阵（简称行最简形）是指对矩阵实施初等行变换后所得．文［３］指出这个结论的证明并不是很容易，但文［４］已经给出了一种较简单的数学归纳法证明．本文又给出了一种新证法．
例如，求矩阵的逆的一般格式为：经过一系列的初等行变换把ｎ级矩阵Ａ与ｎ级单位矩阵Ｅ所组成１１Ｘ２ｎ矩阵（Ａ，Ｅ）中的Ａ化为单位矩阵，则Ａ可逆且把Ｅ化为Ａ的逆矩阵Ａ＿１（否则Ａ不可逆），即（Ａ，Ｅ）
唯一性是显而易见的．
再比如，求解线性方程组时，要用初等行变换将增广矩阵化成行最简形矩阵．（Ｅ，Ａ－１）．此时矩阵（Ｅ，Ａ．１）就是（Ａ，Ｅ）的行最简形矩阵，其
收稿日期：２００９—０３—１１
作者简介：王兴泉（１９６７一），男，甘肃永登人，兰州交通大学数理与软件工程学院讲师，研究方向：应用数学．・３ｌ・
王兴泉：行最简形矩阵的实质及其唯一性的新证明
％一恐一巧一心＝２
例求解非齐次线性方程组而＋恐一如＋甄＝４
缸ｌ一瓯＋‰一纰＝４
姒＋吒一％＋％＝９
一０
●＿■●＿－４３
—Ｏ●●‘解Ａ＝一Ｏ３
０＝Ｂ，ＯＯ
茗ｌ＝ｃ＋４
对应同解方程组为｛耋ｘｌ二－：ｘ３ｆ＝４３，令奶＝ｃ得方程组的通解：
Ｘ１菇２＝ｃ＋３石３＝Ｃ茹。＝一３ｃ＋４
ｃ＋３
＋
Ｃ４３０
—３或写成向量形式磁Ｘ３，其中ｃ为任意常数．Ｘ４一３
不难验证对于增广矩阵Ａ无论作何种初等行变换，其行最简形矩阵都是相同的，即用初等行变换将矩阵化成的行最简形矩阵是具有唯一性的．事实上，它与增广矩阵列向量组的优先极大无关组有关．
定义设有序向量组Ａ：ａ。，ａ２，…ａ。的秩是ｒ．从第一个向量开始，依次选取所得到的极大无关组ａ¨ａＬ，…，ａ；（其中１ｓｉ。＜ｉ：＜…＜ｉ，≤ｍ）称为该向量组的优先（或第一）极大无关组．
（注：本文所述优先极大无关组是相对于有序向量组而言的．为叙述方便，向量组中优先极大无关组的向量称为优先向量，其余向量称为非优先向量）．
由定义可知一个有序向量组的优先极大无关组是唯一的，且每个非优先向量都能由它前面的优先向量唯一线性表示．对于行最简形矩阵而言，从第一行开始每个非零行的第一个非零元素１所在的列就是其列向量组的优先极大无关组．
上例中，设矩阵Ａ＝（ａ。，ａ２，ａ，，ａ４，ａ５），Ｂ＝（ｂ。，ｂ：，ｂ３，ｂ。，ｂ，），则Ｂ是Ａ的行最简形矩阵．由于初等行变换不改变矩阵列向量组的线性关系，Ａ与Ｂ的列向量组线性关系相同．不难看出ｂｌ＝ｅｌ，ｂ２＝ｅ２，ｂ４＝ｅ３为Ｂ列向量组的优先极大无关组，且ｂ３＝一ｂｌ—ｂ２，ｂ５＝４ｂｌ＋３ｂ２—３ｂ４．与此相对应，ａ。，ａ２，ａ４为Ａ列向量组的优先极大无关组，且ａ３＝一ａ。一３ａ。，（系数就是Ｂ第３列的前两个元素，该列其余元素全为０）ａ，＝４ａ。＋３ａ２—３ａ４（系数就是Ｂ第５列的前３个元素，该列其余元素全为０）．
事实上，Ａ中上述关系并非取决于行最简形矩阵Ｂ，而完全取决于矩阵Ａ，是矩阵Ａ的列向组固有的，即使不写出行最简形矩阵Ｂ，这种关系依然存在：
先取ａ，线性无关，再加入ａ２线性无关，再加入ａ３线性相关（此时ａ３可由ａ，，ａ２唯一线性表示：ａ３＝一ａ。一ａ２）应去掉ａＬ３，再加入ａ４线性无关，得ａ。，ａ：，ａ４为Ａ的优先极大无关组（ａ４后边的向量ａ５能由ａｌ，ａ２，８４唯一线性表示：ａ５＝４ａＩ＋３ａ２－３ａ４）．
可见，只要利用初等行变换把五列向量组的优先极大无关组ａ。，ａ２，ａ。ｂ。＝ｅ。ｆ吕
０
・３２・
河西学院学报２０１０年第５期
一１
—１
ｂ２＝ｅ２＝，ｂ４＝ｅ３，也就把Ａ化成行最简形矩阵Ｂ，因为此时ｂ，＝一ｂ。一ｂ：＝０
０
４
３
ｂ５＝４ｂｌ＋３ｂ２—３ｂ４＝—３
０．反之也对．上述结果不难推广到一般情况．
定理设非零矩阵Ａ的秩是ｒ．利用初等行变换把矩阵Ａ化成行最简形矩阵的充要条件是把矩阵Ａ的列向量组的优先极大无关组依次化成单位列向量ｅ。，…ｏ，，且行最简形矩阵是唯一的．
（仁）设矩阵Ａ＝（ａｌ，ａｚ，…，ａ。），向量组ａ．Ｉ，ａ‘，…，ａ；。（其中１≤ｉｌ＜ｉ２＜…＜ｉ，≤
ｍ）是其优先极大无关组．
设由一系列初等行变换，把矩阵Ａ化成了Ｂ＝（ｂ。，ｂ：，…，ｂ。），而且把Ａ的优先极大无关组ａｉ．，ａｔ，…，ａ；．化成了ｂ；．＝ｅｌ，ｂ‘＝ｅ２，…，ｂ；，＝ｅ，．由于Ａ与Ｂ的列向量组线性关系相同，因此向量组ｂ¨ｂＬ，…，ｂ；是矩阵Ｂ列向量组的优先极大无关组．
若ａｉ。前面有非优先向量，则必为０向量，从而ｂ；．＝ｅ，前面有非优先向量也为０向量；若ａｉ．，ａ匕之间有非优先向量，则它（们）都能由前面的优先向量ａ¨…，ａｉ唯一线性表示：ａｊ＝ｋｌｊａ；。＋…＋ｋ。ｊａ；（８＝１，２，…，ｒ一１），从而ｂ；，ｂ；．之间有非优先向量，它（们）也都能由前面的优先向量唯一线性表示：ｂｊ＝ｋｌｊｂｉ。＋…＋ｋｏｊｂｉ．＝（ｋｌｊ，…，ｋ．ｊ，０，…，Ｏ）Ｔ，（８＝１，２，…，ｒ一１）；若ａｉｌ后面有非优先向量，则它（们）都能由整个优先极大无关组唯一线性表示：ａｓ＝ｋｕａ｛ｌ＋…＋ｋｄａｐ从而ｂ；，后面有非优先向量，它（们）都也能由整个优先极大无关组唯一线性表示：ａｓ＝ｋ，；ａ；．＋…＋ｋ６ｂ；．＝（ｋｌｊ＇…，ｋ巧，０，…，０）Ｔ．于是Ｂ＝（ｂ。，ｂ：，…，ｂ。）一定是行最简形矩阵，也是唯一的．
（ｊ）设经一系列初等行变换把矩阵Ａ＝（ａ。，ａ２，…，ａ。）变为行最简形矩阵Ｂ＝（ｂ。，ｂ：，…，ｂ。）．Ｂ中从第一行开始每个非零行的第一个非零元素１所在的列标依次是ｉ。，ｉ：，…，ｉ，，则向量组ｂ；．＝ｅ。，ｂ；，＝ｅ２，…，ｂ；＝ｅ，就是矩阵Ｂ列向量组的优先极大无关组．从而向量组ａ．Ｉ，ａｔ，…，ａ；．就是矩阵Ａ列向量组的优先极大无关组．可见，此时一定是把矩阵Ａ列向量组的优先极大无关组化成了单位列向量ｅ，，…，ｅ，．
由定理可知，用初等行变换把矩阵Ａ＝（ａ，，ａ２，…，ａ。）变为行最简形矩阵Ｂ＝（ｂ，，ｂ：，…，ｂ。）的过程，实质上就是找出矩阵Ａ列向量组的优先极大无关组，并把它们化成单位列向量ｅ。…，ｅ，的过程．同时也找到了矩阵Ａ的每个非优先向量由它前面的优先向量唯一线性表示的具体线性组合表达式．即Ｂ中从第一行开始每个非零行的第一个非零元素１所在的列标依次是ｉ，，ｉ：，…，ｉ，，则向量组ａ¨ａ¨…，ａ；．就是矩阵Ａ的列向量组的优先极大无关组．Ｂ中其余列为系数列，若ａｓ是ａ；，ａ匕（８＝１，２，…ｒ一１）之间的非优先向量，必有ｂｊ＝（ｋｌｊ’…，ｋ．ｊ，０，…，０）７，从而ａｓ＝ｋｕａｉ．＋…＋ｋａｉｒ；若ａｓ是ａｉ后面的非优先向量，则必有ｂｊ＝（ｋｌｊ，…，ｋｄ，０，…，０）１。，从而ａｉ＝ｋｌｊａｉ，＋…＋ｋ日ａｉ，．证明
由行最简形矩阵的唯一性，结合线性代数相关知识不难得出如下结论：
推论ｌ
证明两个行向量组等价的充要条件是它们的矩阵的行最简形矩阵中非零行部分相同．（仁）设两个行向量组的矩阵的行最简形矩阵中非零行部分相同，则两个行向量组都与行最简形矩阵中非零行部分的行向量组的等价，两个行向量组等价．
（ｊ）设两个行向量组等价．
若个数相等，则它们的矩阵为同型矩阵且可经一系列初等行变换互化，因而两矩阵有相同的行最简形矩阵，行最简形矩阵中非零行部分相同．・３３・
王兴泉：行最简形矩阵的实质及其唯一性的新证明
若个数不等，则对个数较少的行向量组添加若干个零向量（对应的矩阵添加若干零行）使得两个行向量组个数相等（仍等价），行最简形矩阵中非零行部分相同．由于对矩阵添加若干零行不影响其行最简形矩阵中非零行部分，故个数不等时它们矩阵的行最简形中非零行部分也相同．
推论２两个线性方程组同解的充要条件是它们的增广矩阵的行最简形矩阵中非零行部分相同．参考文献：
［１］同济大学数学教研室编．线性代数．３版［Ｍ］．高等教育出版社．
［２］李光春．矩阵的规范行最简型矩阵及其应用［Ｊ］．工科数学，２０００，１６（４）１１１一１１４．
［３］曼瑜敏，杨忠鹏．矩降行标准形与同解线性方程组［Ｊ］．北华大学学报自然科学版，２００６，７（１）６—１０．［４］华玉爱．向量组等价性判定定理［Ｊ］．山东轻工业学院学报，１９９８，１２（２）８０—８２．
［５］同济大学应用数学系．线性代数．４版．附册——学习辅导与习题选解［Ｍ］．高等教育出版社，２００４．
ＴｈｅＥｓｓｅｎｃｅｏｆＲｏｗ——ｓｉｍｐｌｅｓｔＦｏｒｍａｎｄＡＮｅｗＰｒｏｏｆｏｆＩｔｓＵｎｉｑｕｅｎｅｓｓ
ＷａｎｇＸｉｎｇ——ｑｕａｎ
（ＳｃｈｏｏｌｏｆＭａｔｈｅｍａｔｉｃｓ，ＰｈｙｓｉｃｓａｎｄＳｏｆｔｗａｒｅＥｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ，
ＬａｎｚｈｏｕＪｉａｏｔｏｎｇＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｌａｎｚｈｏｕ７３００７０）
ｎｅｗＡｂｓｔｒａｃｔ：Ｉｎｔｈｉｓｐａｐｅｒ，ｔｈｅｅｓｓｅｎｃｅｏｆｒｏｗ—ｓｉｍｐｌｅｓｔｆｏｒｍｉｓｆｉｒｓｔｌｙｉｎｄｉｃａｔｅｄｂａｓｅｄｏｎａ
ｃｏｎｃｅｐｔｏｆｔｈｅｍａｘｉｍａｌｌｉｎｅａｒｌｙｉｎｄｅｐｅｎｄｅｎｔｖｅｃｔｏｒｇｒｏｕｐ，ｔｈｅｕｎｉｑｕｅｎｅｓｓｏｆｒＯＷ—ｓｉｍｐｌｅｓｔｆｏｒｍｉｓｔｈｅｎｐｒｏｖｅｄ，ａｎｄｉｔｓａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｓａｒｅｆｉｎａｌｌｙｄｉｓｃｕｓｓｅｄ．
Ｋｅｙｗｏｒｄｓ：Ｍａｔｒｉｘ；Ｅｌｅｍｅｎｔａｒｙｒｏｗｔｒａｎｓｆｏｒｍａｔｉｏｎ；Ｒｏｗ—ｓｉｍｐｌｅｓｔ
ｌｉｎｅａｒｌｙｆｏｒｍ；Ｕｎｉｑｕｅｎｅｓｓ；Ｍａｘｉｍａｌｉｎｄｅｐｅｎｄｅｎｔｖｅｃｔｏｒｇｒｏｕｐ；Ｓｙｓｔｅｍｓｏｆｌｉｎｅａｒｅｑｕａｔｉｏｎｓ
［责任编辑：张飞羽】
・３４・
第２６卷第５期（２０１０）河西学院学报Ｖ０１．２６Ｎｏ．５（２０１０）
行最简形矩阵的实质及其唯一性的新证明
王兴泉
（兰州交通大学数理与软件工程学院，甘肃兰州７３００７０）
摘要：本文引入优先（或第一）极大无关组概念，指出了用初等行变换将矩阵化成行最简形
矩阵的实质，同时也证明了行最简形矩阵的唯一性．最后讨论了行最简形矩阵的应用．
关键词：矩阵；初等行变换；行最简形；唯一性；极大无关组；线性方程组
中图分类号：０１５１．２１文献标识码：Ａ文章编号：１６７２—０５２０（２０１０）０５－００３１一０４
矩阵是线性代数的重要研究对象，矩阵初等变换是线性代数中一种重要的计算工具．利用矩阵初等变换，可以求行列式的值，求矩阵的秩，求矩阵的逆，求向量组的秩与极大无关组，确定向量组向量间的线性关系，求解线性方程组，化二次型为标准型等．通常要将相关矩阵由初等变换化成行阶梯矩阵或行最简形矩阵．关于行阶梯矩阵及行最简形矩阵在教材［１］中有如下的叙述．
在矩阵中可画出一条阶梯线，线的下方全为０，每个台阶只有一行，台阶数即是非零行的行数，阶梯线的竖线（每段竖线的长度为一行）后面的第一个元素为非零元，也就是非零行的第一个非零元，则称该矩阵为行阶梯矩阵．若非零行的第一个非零元为都为１，且这些非零元所在的列的其他元素都为０，则称该矩阵为行最简形矩阵．
按此规定，对矩阵实施初等变换后，只要具备上述特点就称为行阶梯矩阵或行最简形矩阵．如果变换中既有行变换，又有列变换，其行最简形矩阵显然是不唯一的．但多数情况下我们对变换是有要求的，即只能用行变换将矩阵化成行最简形矩阵，这时行最简形矩阵就具有唯一性，教材［１］中没有明确指出是由初等行变换所得，同时对行最简形矩阵的唯一性只有一个猜想，而没有给出肯定的结论，更没有证明．其他教材也大体如此，这就给教学带来某些不便，笔者就遇到过学生询问行最简形矩阵唯一性的问题．
本文所述行最简形矩阵（简称行最简形）是指对矩阵实施初等行变换后所得．文［３］指出这个结论的证明并不是很容易，但文［４］已经给出了一种较简单的数学归纳法证明．本文又给出了一种新证法．
例如，求矩阵的逆的一般格式为：经过一系列的初等行变换把ｎ级矩阵Ａ与ｎ级单位矩阵Ｅ所组成１１Ｘ２ｎ矩阵（Ａ，Ｅ）中的Ａ化为单位矩阵，则Ａ可逆且把Ｅ化为Ａ的逆矩阵Ａ＿１（否则Ａ不可逆），即（Ａ，Ｅ）
唯一性是显而易见的．
再比如，求解线性方程组时，要用初等行变换将增广矩阵化成行最简形矩阵．（Ｅ，Ａ－１）．此时矩阵（Ｅ，Ａ．１）就是（Ａ，Ｅ）的行最简形矩阵，其
收稿日期：２００９—０３—１１
作者简介：王兴泉（１９６７一），男，甘肃永登人，兰州交通大学数理与软件工程学院讲师，研究方向：应用数学．・３ｌ・
王兴泉：行最简形矩阵的实质及其唯一性的新证明
％一恐一巧一心＝２
例求解非齐次线性方程组而＋恐一如＋甄＝４
缸ｌ一瓯＋‰一纰＝４
姒＋吒一％＋％＝９
一０
●＿■●＿－４３
—Ｏ●●‘解Ａ＝一Ｏ３
０＝Ｂ，ＯＯ
茗ｌ＝ｃ＋４
对应同解方程组为｛耋ｘｌ二－：ｘ３ｆ＝４３，令奶＝ｃ得方程组的通解：
Ｘ１菇２＝ｃ＋３石３＝Ｃ茹。＝一３ｃ＋４
ｃ＋３
＋
Ｃ４３０
—３或写成向量形式磁Ｘ３，其中ｃ为任意常数．Ｘ４一３
不难验证对于增广矩阵Ａ无论作何种初等行变换，其行最简形矩阵都是相同的，即用初等行变换将矩阵化成的行最简形矩阵是具有唯一性的．事实上，它与增广矩阵列向量组的优先极大无关组有关．
定义设有序向量组Ａ：ａ。，ａ２，…ａ。的秩是ｒ．从第一个向量开始，依次选取所得到的极大无关组ａ¨ａＬ，…，ａ；（其中１ｓｉ。＜ｉ：＜…＜ｉ，≤ｍ）称为该向量组的优先（或第一）极大无关组．
（注：本文所述优先极大无关组是相对于有序向量组而言的．为叙述方便，向量组中优先极大无关组的向量称为优先向量，其余向量称为非优先向量）．
由定义可知一个有序向量组的优先极大无关组是唯一的，且每个非优先向量都能由它前面的优先向量唯一线性表示．对于行最简形矩阵而言，从第一行开始每个非零行的第一个非零元素１所在的列就是其列向量组的优先极大无关组．
上例中，设矩阵Ａ＝（ａ。，ａ２，ａ，，ａ４，ａ５），Ｂ＝（ｂ。，ｂ：，ｂ３，ｂ。，ｂ，），则Ｂ是Ａ的行最简形矩阵．由于初等行变换不改变矩阵列向量组的线性关系，Ａ与Ｂ的列向量组线性关系相同．不难看出ｂｌ＝ｅｌ，ｂ２＝ｅ２，ｂ４＝ｅ３为Ｂ列向量组的优先极大无关组，且ｂ３＝一ｂｌ—ｂ２，ｂ５＝４ｂｌ＋３ｂ２—３ｂ４．与此相对应，ａ。，ａ２，ａ４为Ａ列向量组的优先极大无关组，且ａ３＝一ａ。一３ａ。，（系数就是Ｂ第３列的前两个元素，该列其余元素全为０）ａ，＝４ａ。＋３ａ２—３ａ４（系数就是Ｂ第５列的前３个元素，该列其余元素全为０）．
事实上，Ａ中上述关系并非取决于行最简形矩阵Ｂ，而完全取决于矩阵Ａ，是矩阵Ａ的列向组固有的，即使不写出行最简形矩阵Ｂ，这种关系依然存在：
先取ａ，线性无关，再加入ａ２线性无关，再加入ａ３线性相关（此时ａ３可由ａ，，ａ２唯一线性表示：ａ３＝一ａ。一ａ２）应去掉ａＬ３，再加入ａ４线性无关，得ａ。，ａ：，ａ４为Ａ的优先极大无关组（ａ４后边的向量ａ５能由ａｌ，ａ２，８４唯一线性表示：ａ５＝４ａＩ＋３ａ２－３ａ４）．
可见，只要利用初等行变换把五列向量组的优先极大无关组ａ。，ａ２，ａ。ｂ。＝ｅ。ｆ吕
０
・３２・
河西学院学报２０１０年第５期
一１
—１
ｂ２＝ｅ２＝，ｂ４＝ｅ３，也就把Ａ化成行最简形矩阵Ｂ，因为此时ｂ，＝一ｂ。一ｂ：＝０
０
４
３
ｂ５＝４ｂｌ＋３ｂ２—３ｂ４＝—３
０．反之也对．上述结果不难推广到一般情况．
定理设非零矩阵Ａ的秩是ｒ．利用初等行变换把矩阵Ａ化成行最简形矩阵的充要条件是把矩阵Ａ的列向量组的优先极大无关组依次化成单位列向量ｅ。，…ｏ，，且行最简形矩阵是唯一的．
（仁）设矩阵Ａ＝（ａｌ，ａｚ，…，ａ。），向量组ａ．Ｉ，ａ‘，…，ａ；。（其中１≤ｉｌ＜ｉ２＜…＜ｉ，≤
ｍ）是其优先极大无关组．
设由一系列初等行变换，把矩阵Ａ化成了Ｂ＝（ｂ。，ｂ：，…，ｂ。），而且把Ａ的优先极大无关组ａｉ．，ａｔ，…，ａ；．化成了ｂ；．＝ｅｌ，ｂ‘＝ｅ２，…，ｂ；，＝ｅ，．由于Ａ与Ｂ的列向量组线性关系相同，因此向量组ｂ¨ｂＬ，…，ｂ；是矩阵Ｂ列向量组的优先极大无关组．
若ａｉ。前面有非优先向量，则必为０向量，从而ｂ；．＝ｅ，前面有非优先向量也为０向量；若ａｉ．，ａ匕之间有非优先向量，则它（们）都能由前面的优先向量ａ¨…，ａｉ唯一线性表示：ａｊ＝ｋｌｊａ；。＋…＋ｋ。ｊａ；（８＝１，２，…，ｒ一１），从而ｂ；，ｂ；．之间有非优先向量，它（们）也都能由前面的优先向量唯一线性表示：ｂｊ＝ｋｌｊｂｉ。＋…＋ｋｏｊｂｉ．＝（ｋｌｊ，…，ｋ．ｊ，０，…，Ｏ）Ｔ，（８＝１，２，…，ｒ一１）；若ａｉｌ后面有非优先向量，则它（们）都能由整个优先极大无关组唯一线性表示：ａｓ＝ｋｕａ｛ｌ＋…＋ｋｄａｐ从而ｂ；，后面有非优先向量，它（们）都也能由整个优先极大无关组唯一线性表示：ａｓ＝ｋ，；ａ；．＋…＋ｋ６ｂ；．＝（ｋｌｊ＇…，ｋ巧，０，…，０）Ｔ．于是Ｂ＝（ｂ。，ｂ：，…，ｂ。）一定是行最简形矩阵，也是唯一的．
（ｊ）设经一系列初等行变换把矩阵Ａ＝（ａ。，ａ２，…，ａ。）变为行最简形矩阵Ｂ＝（ｂ。，ｂ：，…，ｂ。）．Ｂ中从第一行开始每个非零行的第一个非零元素１所在的列标依次是ｉ。，ｉ：，…，ｉ，，则向量组ｂ；．＝ｅ。，ｂ；，＝ｅ２，…，ｂ；＝ｅ，就是矩阵Ｂ列向量组的优先极大无关组．从而向量组ａ．Ｉ，ａｔ，…，ａ；．就是矩阵Ａ列向量组的优先极大无关组．可见，此时一定是把矩阵Ａ列向量组的优先极大无关组化成了单位列向量ｅ，，…，ｅ，．
由定理可知，用初等行变换把矩阵Ａ＝（ａ，，ａ２，…，ａ。）变为行最简形矩阵Ｂ＝（ｂ，，ｂ：，…，ｂ。）的过程，实质上就是找出矩阵Ａ列向量组的优先极大无关组，并把它们化成单位列向量ｅ。…，ｅ，的过程．同时也找到了矩阵Ａ的每个非优先向量由它前面的优先向量唯一线性表示的具体线性组合表达式．即Ｂ中从第一行开始每个非零行的第一个非零元素１所在的列标依次是ｉ，，ｉ：，…，ｉ，，则向量组ａ¨ａ¨…，ａ；．就是矩阵Ａ的列向量组的优先极大无关组．Ｂ中其余列为系数列，若ａｓ是ａ；，ａ匕（８＝１，２，…ｒ一１）之间的非优先向量，必有ｂｊ＝（ｋｌｊ’…，ｋ．ｊ，０，…，０）７，从而ａｓ＝ｋｕａｉ．＋…＋ｋａｉｒ；若ａｓ是ａｉ后面的非优先向量，则必有ｂｊ＝（ｋｌｊ，…，ｋｄ，０，…，０）１。，从而ａｉ＝ｋｌｊａｉ，＋…＋ｋ日ａｉ，．证明
由行最简形矩阵的唯一性，结合线性代数相关知识不难得出如下结论：
推论ｌ
证明两个行向量组等价的充要条件是它们的矩阵的行最简形矩阵中非零行部分相同．（仁）设两个行向量组的矩阵的行最简形矩阵中非零行部分相同，则两个行向量组都与行最简形矩阵中非零行部分的行向量组的等价，两个行向量组等价．
（ｊ）设两个行向量组等价．
若个数相等，则它们的矩阵为同型矩阵且可经一系列初等行变换互化，因而两矩阵有相同的行最简形矩阵，行最简形矩阵中非零行部分相同．・３３・
王兴泉：行最简形矩阵的实质及其唯一性的新证明
若个数不等，则对个数较少的行向量组添加若干个零向量（对应的矩阵添加若干零行）使得两个行向量组个数相等（仍等价），行最简形矩阵中非零行部分相同．由于对矩阵添加若干零行不影响其行最简形矩阵中非零行部分，故个数不等时它们矩阵的行最简形中非零行部分也相同．
推论２两个线性方程组同解的充要条件是它们的增广矩阵的行最简形矩阵中非零行部分相同．参考文献：
［１］同济大学数学教研室编．线性代数．３版［Ｍ］．高等教育出版社．
［２］李光春．矩阵的规范行最简型矩阵及其应用［Ｊ］．工科数学，２０００，１６（４）１１１一１１４．
［３］曼瑜敏，杨忠鹏．矩降行标准形与同解线性方程组［Ｊ］．北华大学学报自然科学版，２００６，７（１）６—１０．［４］华玉爱．向量组等价性判定定理［Ｊ］．山东轻工业学院学报，１９９８，１２（２）８０—８２．
［５］同济大学应用数学系．线性代数．４版．附册——学习辅导与习题选解［Ｍ］．高等教育出版社，２００４．
ＴｈｅＥｓｓｅｎｃｅｏｆＲｏｗ——ｓｉｍｐｌｅｓｔＦｏｒｍａｎｄＡＮｅｗＰｒｏｏｆｏｆＩｔｓＵｎｉｑｕｅｎｅｓｓ
ＷａｎｇＸｉｎｇ——ｑｕａｎ
（ＳｃｈｏｏｌｏｆＭａｔｈｅｍａｔｉｃｓ，ＰｈｙｓｉｃｓａｎｄＳｏｆｔｗａｒｅＥｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ，
ＬａｎｚｈｏｕＪｉａｏｔｏｎｇＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｌａｎｚｈｏｕ７３００７０）
ｎｅｗＡｂｓｔｒａｃｔ：Ｉｎｔｈｉｓｐａｐｅｒ，ｔｈｅｅｓｓｅｎｃｅｏｆｒｏｗ—ｓｉｍｐｌｅｓｔｆｏｒｍｉｓｆｉｒｓｔｌｙｉｎｄｉｃａｔｅｄｂａｓｅｄｏｎａ
ｃｏｎｃｅｐｔｏｆｔｈｅｍａｘｉｍａｌｌｉｎｅａｒｌｙｉｎｄｅｐｅｎｄｅｎｔｖｅｃｔｏｒｇｒｏｕｐ，ｔｈｅｕｎｉｑｕｅｎｅｓｓｏｆｒＯＷ—ｓｉｍｐｌｅｓｔｆｏｒｍｉｓｔｈｅｎｐｒｏｖｅｄ，ａｎｄｉｔｓａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｓａｒｅｆｉｎａｌｌｙｄｉｓｃｕｓｓｅｄ．
Ｋｅｙｗｏｒｄｓ：Ｍａｔｒｉｘ；Ｅｌｅｍｅｎｔａｒｙｒｏｗｔｒａｎｓｆｏｒｍａｔｉｏｎ；Ｒｏｗ—ｓｉｍｐｌｅｓｔ
ｌｉｎｅａｒｌｙｆｏｒｍ；Ｕｎｉｑｕｅｎｅｓｓ；Ｍａｘｉｍａｌｉｎｄｅｐｅｎｄｅｎｔｖｅｃｔｏｒｇｒｏｕｐ；Ｓｙｓｔｅｍｓｏｆｌｉｎｅａｒｅｑｕａｔｉｏｎｓ
［责任编辑：张飞羽】
・３４・