债券免疫方法
利率风险表现在两个方面：价格风险和再投资风险。价格风险是由于市场利率上升引起债券价格下跌给债券投资者带来的资产损失；再投资风险是由于市场利率下降引起利息的再投资收入减少给债券投资者带来的收入损失。当市场利率上升时，债券投资者面临着资产损失和再投资收入增加；而当市场利率下降时，债券投资者面临着资产增加和再投资收入损失。因此，债券的价格风险和再投资风险有相互抵消的特性。正是基于这一抵消特性，产生了免疫的想法，并提出免疫策略（immunization strategy），用以规避利率变动给投资者带来的价格风险或再投资风险。
在诸多免疫策略中，被学术界重点关注和被投资界广泛应用的一类免疫策略是持续期配比策略（duration-matched strategy）。考虑一个每年付息一次的中长期附息债券，如果持有期小于一年，投资者面临的风险只有价格风险，没有再投资风险。随着持有期的增加，价格风险减少而再投资风险增加。如果持有到期，则投资者面临的风险只有再投资风险，没有价格风险。由于价格风险和再投资风险具有相互抵消的特性，于是存在一个适当的持有期，使得在该持有期下投资者的利率风险为零，我们将它称之为持续期（duration ）。因此，持续期配比策略就是持有期等于持续期的投资策略。
对于债券投资者而言，如果利率下降，从短期看，债券价格将上涨，债券的短期投资者将会从利率下降中获取资本利得，反之，则会受损失。但从长期投资看，情况会相反，因为债券到期时价格一定等于面值，但利率下降导致了债券利息的再投资收益率下降，因而债券投资者在长期内的全部收益下降。
利率变动，在长期与短期出现相反的结果，意味着它们之间存在一个“中期”。 从“中期”看，投资者的收益基本不受利率变动的影响，就相当于投资一个期限与这个“中期”相等的贴现债券，在持有的" 中期" 内，其投资收益不受利率变动的影响。如果投资者建立的债券组合的久期等于这个“中期”，则可实现投资收益不受利率变动影响的目标，这就是债券投资组合管理中所通常采用的久期免疫策略。
当利率发生变化时，投资者面临两种风险，一为利率风险，即债券的价格会因利率上涨而下跌；二为再投资风险，即利息收入再投资会随着利率的上升而增加。两种风险方向相反，对债券价值的影响有互相抵消的作用。
免疫策略的目的就是通过持有债券至一定期限，利用两种风险互相抵消的作用来锁定投资收益率。通常的免疫策略是将债券持有到久期长度的期限，当长、短期利率平行变化时，则不论利率如何变动，到期时投资组合的价值将与预期的资产价值相同，而期末的实现报酬率也会等于目标报酬率。
【案例1】某人3年后需要200万元资金，目前市场利率为8%。有三个方案解决这个问题。
方案1：如果有一个3年期债券，本金和利息再投资收益率都是8%，则现在投入200/1.083=158.77万元即可；
方案2：找到一个3年期的零息债券，其年收益率也为8%，则200万元的到期面额债券，现在的发行和购买价格都是200/1.083=158.77万元，购买即可；
方案3：方案1和2要么没有保证，要么不存在。目前只有收益率为8%，还有2年和5年到期的债券（面额都是100万元，票面利率分别为6%和8%，每年支付利息，到期还本），可以采取组合的方式。
怎么组合？
(一) 先计算2年期债券和5年期债券的久期
2年期债券的久期=
1066
1+8%⨯1+1+8%2
⨯2=0.[1**********]+0.9423897631×2=1.9424 96. 4334796. 43347
[6106+=96. 43347，此为两年期债券的现值和卖价] 1+8%1+8%2
2年期债券的修正久期=1.9424/（1+0.08）=1.7985
5年期债券的久期
8881088
23451+8%1+8%1+8%1+8%1+8%⨯1+⨯2+⨯3+⨯4+⨯5=4.3121 =[**************]
[8888108=100此为五年期债券的++++23451+8%1+8%1+8%1+8%1+8%现值和卖价]
5年期债券的修正久期=4.3121/（1+0.08）=3.9927
（二）再计算投资于2年期和5年期债券的权重，分别为w 1和w 2，解下面的方程组即可
1.9424w 1+4.3121w2=3
w 1+ w2=1
得w 1=55.37%,w2=44.63%
若用修正久期得出
w 1=0.4524 w 2=0.5476
(三) 最后将现在准备的158.77万元，分别按照该比例投资即可。2年期的债券投资87.910949万元，5年期的债券投资70.859051万元。即买面额为100万元的2年期债券87.910949/96.43347=0.9116227903张，买面额为100万元的5年期债券
70.859051/100=0.70859张
若用修正久期得出的比例
买2年期债券158.77*0.4524=71.8275，即71.8275/96.43347=0.7448399399张面额100万债券
买5年期债券158.77*0.5476=86.9426，即86.9426/100=0.869246张面额为100万元的债券
这样，今后无论市场利率从现在的8%升降，都会因为债券价格和再投资收益率的相反变动而抵消，不影响3年后200万本利和目标的实现。
假设市场利率1年后升到9%和下跌到7%，我们看看投资3年后的本利和是多少？ 先看升到9%的情况
（1）1年后升到9%时，投资两年期债券3年的本利和
两年期债券第2年得利息6万元*0.7448399399=4.469039639万元
第2年的本利和=74.48399399+4.469039639=78.95303363万元
到第三年底，第1年的利息再投资2年和第2年的本利和再投资1年的本利和
4.469039639*1.092+78.95303363*1.09=91.36847265万元
（2）1年后升到9%时，投资五年期债券3年的本利和
五年期债券，前3年每年利息为8万元*0.869246=6.953968万元
前两年利息再投资的本利和加上第三年的利息6.953968*(1.092+1.09+1)=22.7958025万元
第三年底该五年期债券的卖价6.953968*（1/1.09+1/1.092）
+86.9246/1.092=85.39549964万元
到第三年底投资该五年期债券的所获收入
108.1913021万元
（3）投资这两种证券到第三年底获得
91.36847265万元+108.1913021万元=199.5597748，接近200万元（因为小数点省略的原因）
再看下跌到7%的情况（略）
【案例2】假定一家养老基金出售一种新的保险单，这种保单承诺在今后的15年内基金将每年支付100美元给投保人。折现率为10%。
第一步：计算负债的持续期。表1给出了整个计算过程和结果。
由表1入760.61美元进行投资，以保证未来的每一时点投资的资产价值至少与负债的价值相当。
第二步：投资资产的选择。因为负债的折现率用的是10%，这意味着保险单对投保人的收益率为10%。所以，所构造的投资组合每年至少有10%的收益。假定基金选择了两种金融工具：30年期的长期国债，年利率为12%，按面值出售；6个月期的短期国债，收益率为年利率8%。用第一步的方法分别计算出它们的持续期为8.080和0.481。
第三步：确定两种债券的投资比例和投资额。为此，先求两债券的投资比例。这只需解下列方程组：
其中，
：表示30年和6个月债券的持续期； ：表示负债的持续期； ：表示30年和6个月债券的投资份额。
这里要解的是方程组：
解得：
。因此，养老基金应当将其出售保险单所得收入的68.79%投资于30年期的长期国债，其余的投资于6个月的短期国债。即应投资与长期国债的是523.23美元，其余的237.38美元用于购买短期国债。
最后，我们来考察这种方法的效果。假定收益曲线向上平移了10个基本点。此时，负债的折现率变成10.1%,长期国债的收益率变为12.1%,短期国债的收益率变为8.1%。比较变化前后价值的变化列表如下(表2) ：
dP /P =-D *dy +C (dy ) 22
债券免疫方法
利率风险表现在两个方面：价格风险和再投资风险。价格风险是由于市场利率上升引起债券价格下跌给债券投资者带来的资产损失；再投资风险是由于市场利率下降引起利息的再投资收入减少给债券投资者带来的收入损失。当市场利率上升时，债券投资者面临着资产损失和再投资收入增加；而当市场利率下降时，债券投资者面临着资产增加和再投资收入损失。因此，债券的价格风险和再投资风险有相互抵消的特性。正是基于这一抵消特性，产生了免疫的想法，并提出免疫策略（immunization strategy），用以规避利率变动给投资者带来的价格风险或再投资风险。
在诸多免疫策略中，被学术界重点关注和被投资界广泛应用的一类免疫策略是持续期配比策略（duration-matched strategy）。考虑一个每年付息一次的中长期附息债券，如果持有期小于一年，投资者面临的风险只有价格风险，没有再投资风险。随着持有期的增加，价格风险减少而再投资风险增加。如果持有到期，则投资者面临的风险只有再投资风险，没有价格风险。由于价格风险和再投资风险具有相互抵消的特性，于是存在一个适当的持有期，使得在该持有期下投资者的利率风险为零，我们将它称之为持续期（duration ）。因此，持续期配比策略就是持有期等于持续期的投资策略。
对于债券投资者而言，如果利率下降，从短期看，债券价格将上涨，债券的短期投资者将会从利率下降中获取资本利得，反之，则会受损失。但从长期投资看，情况会相反，因为债券到期时价格一定等于面值，但利率下降导致了债券利息的再投资收益率下降，因而债券投资者在长期内的全部收益下降。
利率变动，在长期与短期出现相反的结果，意味着它们之间存在一个“中期”。 从“中期”看，投资者的收益基本不受利率变动的影响，就相当于投资一个期限与这个“中期”相等的贴现债券，在持有的" 中期" 内，其投资收益不受利率变动的影响。如果投资者建立的债券组合的久期等于这个“中期”，则可实现投资收益不受利率变动影响的目标，这就是债券投资组合管理中所通常采用的久期免疫策略。
当利率发生变化时，投资者面临两种风险，一为利率风险，即债券的价格会因利率上涨而下跌；二为再投资风险，即利息收入再投资会随着利率的上升而增加。两种风险方向相反，对债券价值的影响有互相抵消的作用。
免疫策略的目的就是通过持有债券至一定期限，利用两种风险互相抵消的作用来锁定投资收益率。通常的免疫策略是将债券持有到久期长度的期限，当长、短期利率平行变化时，则不论利率如何变动，到期时投资组合的价值将与预期的资产价值相同，而期末的实现报酬率也会等于目标报酬率。
【案例1】某人3年后需要200万元资金，目前市场利率为8%。有三个方案解决这个问题。
方案1：如果有一个3年期债券，本金和利息再投资收益率都是8%，则现在投入200/1.083=158.77万元即可；
方案2：找到一个3年期的零息债券，其年收益率也为8%，则200万元的到期面额债券，现在的发行和购买价格都是200/1.083=158.77万元，购买即可；
方案3：方案1和2要么没有保证，要么不存在。目前只有收益率为8%，还有2年和5年到期的债券（面额都是100万元，票面利率分别为6%和8%，每年支付利息，到期还本），可以采取组合的方式。
怎么组合？
(一) 先计算2年期债券和5年期债券的久期
2年期债券的久期=
1066
1+8%⨯1+1+8%2
⨯2=0.[1**********]+0.9423897631×2=1.9424 96. 4334796. 43347
[6106+=96. 43347，此为两年期债券的现值和卖价] 1+8%1+8%2
2年期债券的修正久期=1.9424/（1+0.08）=1.7985
5年期债券的久期
8881088
23451+8%1+8%1+8%1+8%1+8%⨯1+⨯2+⨯3+⨯4+⨯5=4.3121 =[**************]
[8888108=100此为五年期债券的++++23451+8%1+8%1+8%1+8%1+8%现值和卖价]
5年期债券的修正久期=4.3121/（1+0.08）=3.9927
（二）再计算投资于2年期和5年期债券的权重，分别为w 1和w 2，解下面的方程组即可
1.9424w 1+4.3121w2=3
w 1+ w2=1
得w 1=55.37%,w2=44.63%
若用修正久期得出
w 1=0.4524 w 2=0.5476
(三) 最后将现在准备的158.77万元，分别按照该比例投资即可。2年期的债券投资87.910949万元，5年期的债券投资70.859051万元。即买面额为100万元的2年期债券87.910949/96.43347=0.9116227903张，买面额为100万元的5年期债券
70.859051/100=0.70859张
若用修正久期得出的比例
买2年期债券158.77*0.4524=71.8275，即71.8275/96.43347=0.7448399399张面额100万债券
买5年期债券158.77*0.5476=86.9426，即86.9426/100=0.869246张面额为100万元的债券
这样，今后无论市场利率从现在的8%升降，都会因为债券价格和再投资收益率的相反变动而抵消，不影响3年后200万本利和目标的实现。
假设市场利率1年后升到9%和下跌到7%，我们看看投资3年后的本利和是多少？ 先看升到9%的情况
（1）1年后升到9%时，投资两年期债券3年的本利和
两年期债券第2年得利息6万元*0.7448399399=4.469039639万元
第2年的本利和=74.48399399+4.469039639=78.95303363万元
到第三年底，第1年的利息再投资2年和第2年的本利和再投资1年的本利和
4.469039639*1.092+78.95303363*1.09=91.36847265万元
（2）1年后升到9%时，投资五年期债券3年的本利和
五年期债券，前3年每年利息为8万元*0.869246=6.953968万元
前两年利息再投资的本利和加上第三年的利息6.953968*(1.092+1.09+1)=22.7958025万元
第三年底该五年期债券的卖价6.953968*（1/1.09+1/1.092）
+86.9246/1.092=85.39549964万元
到第三年底投资该五年期债券的所获收入
108.1913021万元
（3）投资这两种证券到第三年底获得
91.36847265万元+108.1913021万元=199.5597748，接近200万元（因为小数点省略的原因）
再看下跌到7%的情况（略）
【案例2】假定一家养老基金出售一种新的保险单，这种保单承诺在今后的15年内基金将每年支付100美元给投保人。折现率为10%。
第一步：计算负债的持续期。表1给出了整个计算过程和结果。
由表1入760.61美元进行投资，以保证未来的每一时点投资的资产价值至少与负债的价值相当。
第二步：投资资产的选择。因为负债的折现率用的是10%，这意味着保险单对投保人的收益率为10%。所以，所构造的投资组合每年至少有10%的收益。假定基金选择了两种金融工具：30年期的长期国债，年利率为12%，按面值出售；6个月期的短期国债，收益率为年利率8%。用第一步的方法分别计算出它们的持续期为8.080和0.481。
第三步：确定两种债券的投资比例和投资额。为此，先求两债券的投资比例。这只需解下列方程组：
其中，
：表示30年和6个月债券的持续期； ：表示负债的持续期； ：表示30年和6个月债券的投资份额。
这里要解的是方程组：
解得：
。因此，养老基金应当将其出售保险单所得收入的68.79%投资于30年期的长期国债，其余的投资于6个月的短期国债。即应投资与长期国债的是523.23美元，其余的237.38美元用于购买短期国债。
最后，我们来考察这种方法的效果。假定收益曲线向上平移了10个基本点。此时，负债的折现率变成10.1%,长期国债的收益率变为12.1%,短期国债的收益率变为8.1%。比较变化前后价值的变化列表如下(表2) ：
dP /P =-D *dy +C (dy ) 22