姓名：__________
大 连 理 工 大 学 学号：__________ 课 程 名 称： 线性代数 试卷： A 考试形式： 闭卷
院系：__________授课院（系）： 数学科学学院 考试日期： 2014年6月6日 试卷共 6 页 _____ 级_____ 班
装 得 分 一、（每小题3分，共30分）填空题 1. 设A 为三阶方阵，将A 的第1行与第2行对调得到B ，再将B 的第1行的k 倍加
⎡⎢
到第3行得到C ．若P 是满足PA =C 的唯一矩阵，则P =⎢
⎢⎢⎣2. 设A 为三阶方阵，A =3，则
⎤⎥⎥ ⎥⎥⎦
2A -1O
O A *
=
．
3. 设A =[α, γ1, γ2], B =[β, γ1, γ2]为三阶方阵，α, β, γ1, γ2都是三元列向量，A =2, B =1，
订 则A +B =
⎡k ⎢1
4. 设A =⎢
⎢1⎢⎣1
1k 1111k 1
1⎤1⎥
⎥，r (A ) =3，则k ＝ 1⎥⎥k ⎦
5. 设向量组a 1, a 2, a 3线性无关，则向量组a 1+m a 2, a 2+k a 3, a 1-2a 3也线性无关的条件是m 和
k 满足
222
线 6. 二次型f (x 1, x 2, x 3) =x 1+x 2+x 3+4x 1x 3的正惯性指数为，负惯性指数为．
7. 已知向量组a 1, a 2, a 3为向量空间V 的一个基，则从基a 1, a 2, a 3到基a 1+a 2, a 2+2a 3, a 1+3a 3
⎡
⎢
的过度矩阵为⎢
⎢⎢⎣⎤⎥⎥ ⎥⎥⎦
8. 设A 为6阶方阵，A =0，A ≠O ，则r (A ) =
*
⎛1-1⎫⎛31⎫ ⎪ ⎪ 9. 设A 为三阶方阵，A 的各行元素之和都为2，A 00=00，则A = ⎪ ⎪ 11⎪ 3-1⎪⎝⎭⎝⎭
10. 设A 为三阶方阵，A 2=3A , r (A ) =2，则A 的相似标准形为
得 分 二、（每小题2分，共10分）单项选择题
１. 设A 和B 都为n 阶方阵，E 为n 阶单位阵，则下列选项中正确的是（ ） （Ａ）(AB ) =A B （Ｂ）(A +E ) =A +2A +E
2
（Ｃ）若A =A ，则A =E 或A =O . （Ｄ）A +B =A +B
22222
２. 设A 和B 为同阶可逆阵，则下列选项中错误的是（ ）
（A ）(2A )
-1
=
1-1
A （B ）(AB ) *=B *A * 2
*
*
A O ⎡A ⎡⎤T **T
=⎢（C ）(A ) =(A ) （D ）⎢⎥
⎣O B ⎦⎣O O ⎤⎥ B *⎦
3. 设向量组a 1, a 2, , a r 能由向量组b 1, b 2, , b s 线性表示，则（ ）正确。
（Ａ）当r >s 时向量组a 1, a 2, , a r 线性相关 （Ｂ）当r >s 时向量组b 1, b 2, , b s 线性相关 （Ｃ）当r
⎡-1⎤
P -1AP =⎢1⎥，则P =（ ）
⎢⎥
1⎥⎢⎣⎦
（A ）(α1, α2, α3) （B ）(α3, α1, α2+α3) （C ）(α3, α1, α1+α2) （D ）(α3, α1-α2, α2-α1) 5. 设β1, β2是非齐次线性方程组Ax =b 的两个不同的解，α1, α2是齐次线性方程组Ax =0的基础
解系，k 1, k 2为任意常数，则Ax =b 的通解为（ ）
β1-β2β+β2
（B ）k 1α1+k 2(α1-α2) +1 22β-β2β+β2
（C ）k 1α1+k 2(β1+β2) +1 （D ）k 1α1+k 2(β1-β2) +1
22
（A ）k 1α1+k 2(α1+α2) +
⎡100⎤
-1⎢⎥ 得 分 三（10分）已知A =110,3B =E +2A B , 求B .
⎢⎥⎢⎣111⎥⎦
得 分 四、（8分）计算行列式
11111
33111
31
311
3113131113
得 分 五、（10分）设α1=[1,0,1, -1], α2=[1, -2,1,1], α3=[3, -2,3, -1], α4=[0,2, -1,1]，v =[k ,0,1, k ]，由α1, α2, α3, α4所生成的向量空间记为V .
（1）试问当k 取何值时，v ∈V ? （2）求V 的维数和它的一个基。
T
T
T T T
⎧x 1-x 2+2x 3-2x 4=-1⎪
得 分 六、（8分）求方程组⎨x 1+2x 2-x 3+x 4=5的通解。
⎪2x +x +x -x =4⎩1234
得 分 七、(12分) 设2, -1, -1为实对称阵A 的特征值，p 1=[-1, -1,1]为2对应的特征向量.
（1）求A . （2）当k 取何值时，A +k E 为正定阵？
3
T
得 分 八、（6分）设A 为三阶非零方阵，A =A ，证明：A 为正交阵。
得 分 九、（6分）设A 为三阶方阵，非零向量α1, α2, α3满足A α1=α2, A α2=α3, A α3=0 .
（1）证明：向量组α1, α2, α3线性无关. （2）证明：A +2E =8.
*T
姓名：__________
大 连 理 工 大 学 学号：__________ 课 程 名 称： 线性代数 试卷： A 考试形式： 闭卷
院系：__________授课院（系）： 数学科学学院 考试日期： 2014年6月6日 试卷共 6 页 _____ 级_____ 班
装 得 分 一、（每小题3分，共30分）填空题 1. 设A 为三阶方阵，将A 的第1行与第2行对调得到B ，再将B 的第1行的k 倍加
⎡⎢
到第3行得到C ．若P 是满足PA =C 的唯一矩阵，则P =⎢
⎢⎢⎣2. 设A 为三阶方阵，A =3，则
⎤⎥⎥ ⎥⎥⎦
2A -1O
O A *
=
．
3. 设A =[α, γ1, γ2], B =[β, γ1, γ2]为三阶方阵，α, β, γ1, γ2都是三元列向量，A =2, B =1，
订 则A +B =
⎡k ⎢1
4. 设A =⎢
⎢1⎢⎣1
1k 1111k 1
1⎤1⎥
⎥，r (A ) =3，则k ＝ 1⎥⎥k ⎦
5. 设向量组a 1, a 2, a 3线性无关，则向量组a 1+m a 2, a 2+k a 3, a 1-2a 3也线性无关的条件是m 和
k 满足
222
线 6. 二次型f (x 1, x 2, x 3) =x 1+x 2+x 3+4x 1x 3的正惯性指数为，负惯性指数为．
7. 已知向量组a 1, a 2, a 3为向量空间V 的一个基，则从基a 1, a 2, a 3到基a 1+a 2, a 2+2a 3, a 1+3a 3
⎡
⎢
的过度矩阵为⎢
⎢⎢⎣⎤⎥⎥ ⎥⎥⎦
8. 设A 为6阶方阵，A =0，A ≠O ，则r (A ) =
*
⎛1-1⎫⎛31⎫ ⎪ ⎪ 9. 设A 为三阶方阵，A 的各行元素之和都为2，A 00=00，则A = ⎪ ⎪ 11⎪ 3-1⎪⎝⎭⎝⎭
10. 设A 为三阶方阵，A 2=3A , r (A ) =2，则A 的相似标准形为
得 分 二、（每小题2分，共10分）单项选择题
１. 设A 和B 都为n 阶方阵，E 为n 阶单位阵，则下列选项中正确的是（ ） （Ａ）(AB ) =A B （Ｂ）(A +E ) =A +2A +E
2
（Ｃ）若A =A ，则A =E 或A =O . （Ｄ）A +B =A +B
22222
２. 设A 和B 为同阶可逆阵，则下列选项中错误的是（ ）
（A ）(2A )
-1
=
1-1
A （B ）(AB ) *=B *A * 2
*
*
A O ⎡A ⎡⎤T **T
=⎢（C ）(A ) =(A ) （D ）⎢⎥
⎣O B ⎦⎣O O ⎤⎥ B *⎦
3. 设向量组a 1, a 2, , a r 能由向量组b 1, b 2, , b s 线性表示，则（ ）正确。
（Ａ）当r >s 时向量组a 1, a 2, , a r 线性相关 （Ｂ）当r >s 时向量组b 1, b 2, , b s 线性相关 （Ｃ）当r
⎡-1⎤
P -1AP =⎢1⎥，则P =（ ）
⎢⎥
1⎥⎢⎣⎦
（A ）(α1, α2, α3) （B ）(α3, α1, α2+α3) （C ）(α3, α1, α1+α2) （D ）(α3, α1-α2, α2-α1) 5. 设β1, β2是非齐次线性方程组Ax =b 的两个不同的解，α1, α2是齐次线性方程组Ax =0的基础
解系，k 1, k 2为任意常数，则Ax =b 的通解为（ ）
β1-β2β+β2
（B ）k 1α1+k 2(α1-α2) +1 22β-β2β+β2
（C ）k 1α1+k 2(β1+β2) +1 （D ）k 1α1+k 2(β1-β2) +1
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（A ）k 1α1+k 2(α1+α2) +
⎡100⎤
-1⎢⎥ 得 分 三（10分）已知A =110,3B =E +2A B , 求B .
⎢⎥⎢⎣111⎥⎦
得 分 四、（8分）计算行列式
11111
33111
31
311
3113131113
得 分 五、（10分）设α1=[1,0,1, -1], α2=[1, -2,1,1], α3=[3, -2,3, -1], α4=[0,2, -1,1]，v =[k ,0,1, k ]，由α1, α2, α3, α4所生成的向量空间记为V .
（1）试问当k 取何值时，v ∈V ? （2）求V 的维数和它的一个基。
T
T
T T T
⎧x 1-x 2+2x 3-2x 4=-1⎪
得 分 六、（8分）求方程组⎨x 1+2x 2-x 3+x 4=5的通解。
⎪2x +x +x -x =4⎩1234
得 分 七、(12分) 设2, -1, -1为实对称阵A 的特征值，p 1=[-1, -1,1]为2对应的特征向量.
（1）求A . （2）当k 取何值时，A +k E 为正定阵？
3
T
得 分 八、（6分）设A 为三阶非零方阵，A =A ，证明：A 为正交阵。
得 分 九、（6分）设A 为三阶方阵，非零向量α1, α2, α3满足A α1=α2, A α2=α3, A α3=0 .
（1）证明：向量组α1, α2, α3线性无关. （2）证明：A +2E =8.
*T