椭圆中常见的焦点三角形的性质及应用

定义：椭圆上任意一点与两焦点所构成的三角形称为焦点三角形。

x2y2

性质一：已知椭圆方程为221(ab0),两

ab

焦点分别为F1,F2,设焦点三角形PF1F2中

F1PF2,则SF1PF2b2tan

(2c)2F1F2

2

2



2

。

2

PF1PF22PF1PF2cos

2

(PF1PF2)2PF1PF2(1cos)

PF1PF2

(PF1PF2)24c2

2(1cos)

4a24c22b2



2(1cos)1cos

SF1PF2

1b2PF1PF2sinb2tan 21cos2

x2y2

1上的一点，F1、F2是其焦点，且F1PF260，求 例1：若P是椭圆

10064

△F1PF2的面积

x2y2

1的左、右焦点分别是F1、F2，点P在椭圆上. 若P、F1、F2是一个练习1：已知椭圆

169

直角三角形的三个顶点，则点P到x轴的距离为（ ）

A.

999997 B. C. D. 或 54477

x2y2

1的焦点为F1、F2，点P为其上的动点，当F1PF2为钝角时，点P横坐练习2：椭圆94

标的取值范围是 。

x2y21

1上的点，F1、F2分别是椭圆的左、，练习3：已知P是椭圆右焦点，259122

则△F1PF2的面积为（ ）

A. 3 B. 2 C.

1

D.

3

x2y2

性质二：已知椭圆方程为221(ab0),左右两焦点分别为F1,F2,设焦点三角形

ab

PF1F2，若F1PF2最大，则点P为椭圆短轴的端点

证明：设P(xo,yo),由焦半径公式可知：PF1aexo，PF1aexo 在F1PF2中，cos

PF1PF1F1F2

2PF1PF2

222



(PF1PF2)22PF1PF24c2

2PF1PF2

2b24a24c24b2

1 11=2

22

2PF1PF22(aexo)(aexo)aexo

2

ax0a xoa2

x2y2

性质三：已知椭圆方程为221(ab0),两焦点分别为F1,F2,设焦点三角形

ab

PF1F2中F1PF2,则cos12e2.

证明：设PF1r1,PF2r2,则在F1PF2中，由余弦定理得：

r12r22F1F2(r1r2)22r1r24c22a22c2

cos1

2r1r22r1r22r1r2

2a22c22a22c2

1112e2. 命题得证。 2

rr2a2(12)2

2

x2y2

练习：已知椭圆221(ab0)的两焦点分别为F1,F2,若椭圆上存在一点P,使得

ab

2

F1PF21200,求椭圆的离心率e的取值范围。

x2y2

性质四：已知椭圆方程为221(ab0),两焦点分别为F1,F2,设焦点三角形

ab

PF1F2，PF1F2,PF2F1,则椭圆的离心率e

PF1F2,PF2F1,

2

sin()

。

sinsin

由正弦定理得：

F1F2

sin(180)



o



PF2sin



PF1sin

由等比定理得：

F1F2sin()

PF1PF2sinsin

而

F1F2sin()



PF1PF2csin()2c2a，∴e。 

asinsinsin()sinsinsinsin

练习：已知椭圆的焦点是F1(－1，0)、F2(1，0)，P为椭圆上一点，且｜F1F2｜是｜PF1｜和｜

PF2｜的等差中项．

(1) 求椭圆的方程；(2)若点P在第三象限，且∠PF1F2＝120°，求tanF1PF2．

y2x2

1上一点P与椭圆两个焦点F1、F2的连线互相垂直，1. 椭圆则△F1PF2的面积为（ ） 4924

A. 20 B. 22 C. 28 D. 24

x2

y21的左右焦点为F1、F2，2. 椭圆 P是椭圆上一点，当△F1PF2的面积为1时，PF1PF24

的值为（ ）

A. 0 B. 1 C. 3 D. 6

x2

y21的左右焦点为F1、F2，3. 椭圆 P是椭圆上一点，当△F1PF2的面积最大时，PF1PF24

的值为（ ）

A. 0 B. 2 C. 4 D. 2

x22

4．已知椭圆2y1（a＞1）的两个焦点为F1、F2，P为椭圆上一点，且F1PF260，

a

则|PF1||PF2|的值为（ ） A．1

B．

1

3

C．

4 3

D．

2 3

5. 已知椭圆的中心在原点，对称轴为坐标轴，F1、F2为焦点，点P在椭圆上，直线PF1与PF2倾斜角的差为90，△F1PF2的面积是20，离心率为

，求椭圆的标准方程. 3

3

6．已知椭圆的中心在原点，F1、F2为左右焦点，P为椭圆上一点，的面积是3，准线方程为x

1

△F1PF2 ，21243

，求椭圆的标准方程 3

x2y2

7：F1,F2是椭圆C:1的焦点,在C上满足PF1PF2的点P的个数为？----

84x2y21＝1的两个焦点，P为椭圆上的一点.已知P、F1、F2是一个直角三角8：设F1、F2为椭圆94

形的三个顶点，且|PF1|＞|PF2|,求

|PF1|

的值. |PF2|

x2y2

1的焦点为F1、F2，点P为其上的动点，当F1PF2为钝角时，点P横坐标的取9：椭圆94

值范围是 。

x2y2

1的焦点为F1、F2，点P为其上的动点，当F1PF2为锐角时，点P横坐标的10：椭圆94

取值范围是 。

4

定义：椭圆上任意一点与两焦点所构成的三角形称为焦点三角形。

x2y2

性质一：已知椭圆方程为221(ab0),两

ab

焦点分别为F1,F2,设焦点三角形PF1F2中

F1PF2,则SF1PF2b2tan

(2c)2F1F2

2

2



2

。

2

PF1PF22PF1PF2cos

2

(PF1PF2)2PF1PF2(1cos)

PF1PF2

(PF1PF2)24c2

2(1cos)

4a24c22b2



2(1cos)1cos

SF1PF2

1b2PF1PF2sinb2tan 21cos2

x2y2

1上的一点，F1、F2是其焦点，且F1PF260，求 例1：若P是椭圆

10064

△F1PF2的面积

x2y2

1的左、右焦点分别是F1、F2，点P在椭圆上. 若P、F1、F2是一个练习1：已知椭圆

169

直角三角形的三个顶点，则点P到x轴的距离为（ ）

A.

999997 B. C. D. 或 54477

x2y2

1的焦点为F1、F2，点P为其上的动点，当F1PF2为钝角时，点P横坐练习2：椭圆94

标的取值范围是 。

x2y21

1上的点，F1、F2分别是椭圆的左、，练习3：已知P是椭圆右焦点，259122

则△F1PF2的面积为（ ）

A. 3 B. 2 C.

1

D.

3

x2y2

性质二：已知椭圆方程为221(ab0),左右两焦点分别为F1,F2,设焦点三角形

ab

PF1F2，若F1PF2最大，则点P为椭圆短轴的端点

证明：设P(xo,yo),由焦半径公式可知：PF1aexo，PF1aexo 在F1PF2中，cos

PF1PF1F1F2

2PF1PF2

222



(PF1PF2)22PF1PF24c2

2PF1PF2

2b24a24c24b2

1 11=2

22

2PF1PF22(aexo)(aexo)aexo

2

ax0a xoa2

x2y2

性质三：已知椭圆方程为221(ab0),两焦点分别为F1,F2,设焦点三角形

ab

PF1F2中F1PF2,则cos12e2.

证明：设PF1r1,PF2r2,则在F1PF2中，由余弦定理得：

r12r22F1F2(r1r2)22r1r24c22a22c2

cos1

2r1r22r1r22r1r2

2a22c22a22c2

1112e2. 命题得证。 2

rr2a2(12)2

2

x2y2

练习：已知椭圆221(ab0)的两焦点分别为F1,F2,若椭圆上存在一点P,使得

ab

2

F1PF21200,求椭圆的离心率e的取值范围。

x2y2

性质四：已知椭圆方程为221(ab0),两焦点分别为F1,F2,设焦点三角形

ab

PF1F2，PF1F2,PF2F1,则椭圆的离心率e

PF1F2,PF2F1,

2

sin()

。

sinsin

由正弦定理得：

F1F2

sin(180)



o



PF2sin



PF1sin

由等比定理得：

F1F2sin()

PF1PF2sinsin

而

F1F2sin()



PF1PF2csin()2c2a，∴e。 

asinsinsin()sinsinsinsin

练习：已知椭圆的焦点是F1(－1，0)、F2(1，0)，P为椭圆上一点，且｜F1F2｜是｜PF1｜和｜

PF2｜的等差中项．

(1) 求椭圆的方程；(2)若点P在第三象限，且∠PF1F2＝120°，求tanF1PF2．

y2x2

1上一点P与椭圆两个焦点F1、F2的连线互相垂直，1. 椭圆则△F1PF2的面积为（ ） 4924

A. 20 B. 22 C. 28 D. 24

x2

y21的左右焦点为F1、F2，2. 椭圆 P是椭圆上一点，当△F1PF2的面积为1时，PF1PF24

的值为（ ）

A. 0 B. 1 C. 3 D. 6

x2

y21的左右焦点为F1、F2，3. 椭圆 P是椭圆上一点，当△F1PF2的面积最大时，PF1PF24

的值为（ ）

A. 0 B. 2 C. 4 D. 2

x22

4．已知椭圆2y1（a＞1）的两个焦点为F1、F2，P为椭圆上一点，且F1PF260，

a

则|PF1||PF2|的值为（ ） A．1

B．

1

3

C．

4 3

D．

2 3

5. 已知椭圆的中心在原点，对称轴为坐标轴，F1、F2为焦点，点P在椭圆上，直线PF1与PF2倾斜角的差为90，△F1PF2的面积是20，离心率为

，求椭圆的标准方程. 3

3

6．已知椭圆的中心在原点，F1、F2为左右焦点，P为椭圆上一点，的面积是3，准线方程为x

1

△F1PF2 ，21243

，求椭圆的标准方程 3

x2y2

7：F1,F2是椭圆C:1的焦点,在C上满足PF1PF2的点P的个数为？----

84x2y21＝1的两个焦点，P为椭圆上的一点.已知P、F1、F2是一个直角三角8：设F1、F2为椭圆94

形的三个顶点，且|PF1|＞|PF2|,求

|PF1|

的值. |PF2|

x2y2

1的焦点为F1、F2，点P为其上的动点，当F1PF2为钝角时，点P横坐标的取9：椭圆94

值范围是 。

x2y2

1的焦点为F1、F2，点P为其上的动点，当F1PF2为锐角时，点P横坐标的10：椭圆94

取值范围是 。

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