2015年山东省高考数学试卷（理科）
一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）
2
1．（5分）（2015•山东）已知集合A={x |x ﹣4x +3＜0}，B={x |2＜x ＜4}，则A ∩B=（ ） A ．（1，3） B ．（1，4） C ．（2，3） D ．（2，4） 2．（5分）（2015•山东）若复数z 满足A ．1﹣i B ．1+i C ．﹣1﹣i
D ．﹣1+i
）的图象，只需将函数y=sin4x的图象
=i，其中i 为虚数单位，则z=（ ）
3．（5分）（2015•山东）要得到函数y=sin（4x ﹣（ ） A ．向左平移C ．向左平移
单位 B ．向右平移单位 D ．向右平移
单位 单位
4．（5分）（2015•山东）已知菱形ABCD 的边长为a ，∠ABC=60°，则A ．﹣a
2
=（ ）
B ．﹣a
2
C ．a D ．a
22
5．（5分）（2015•山东）不等式|x ﹣1|﹣|x ﹣5|＜2的解集是（ ） A ．（﹣∞，4） B ．（﹣∞，1） C ．（1，4） D ．（1，5）
6．（5分）（2015•山东）已知x ，y 满足约束条件，若z=ax+y 的最大值为4，则
a=（ ） A ．3 B ．2
C ．﹣2 D ．﹣3
，AD ∥BC ，BC=2AD=2AB=2，将
7．（5分）（2015•山东）在梯形ABCD 中，∠ABC=
梯形ABCD 绕AD 所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为（ ） A ．
B．
C．
D．2π
2
8．（5分）（2015•山东）已知某批零件的长度误差（单位：毫米）服从正态分布N （0，3），从中随机抽取一件，其长度误差落在区间（3，6）内的概率为（ ）
（附：若随机变量ξ服从正态分布N （μ，σ），则P （μ﹣σ＜ξ＜μ+σ）=68.26%，P （μ﹣2σ＜ξ＜μ+2σ）=95.44%）
A ．4.56% B ．13.59% C ．27.18% D ．31.74%
2
9．（5分）（2015•山东）一条光线从点（﹣2，﹣3）射出，经y 轴反射后与圆（x +3）+（y
2
﹣2）=1相切，则反射光线所在直线的斜率为（ ） A ．﹣或﹣
B ．﹣或﹣
C ．﹣或﹣
D ．﹣或﹣
2
10．（5分）（2015•山东）设函数f （x ）=的取值范围是（ ） A ．[，1] B ．[0，1]
C ．[，+∞）
，则满足f （f （a ））=2
f （a ）
的a
D ．[1，+∞）
二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分） 11．（5分）（2015•山东）观察下列各式： C C C C …
照此规律，当n ∈N 时， C
+C
+
C
+…+C
=．
]，tanx ≤m ”是真命题，则实数m 的最小值
*
=4； +C +C +C
=4； +C +C
=4； +C
=4；
3
2
1
12．（5分）（2015•山东）若“∀x ∈[0，
为 ． 13．（5分）（2015•山东）执行如图程序框图，输出的T 的值为
14．（5分）（2015•山东）已知函数f （x ）=a+b （a ＞0，a ≠1）的定义域和值域都是[﹣1，0]，则a +b=．
x
15．（5分）（2015•山东）平面直角坐标系xOy 中，双曲线C 1：
2
﹣=1（a ＞0，b ＞0）
的渐近线与抛物线C 2：x =2py（p ＞0）交于点O ，A ，B ，若△OAB 的垂心为C 2的焦点，则C 1的离心率为 ．
三、解答题
16．（12分）（2015•山东）设f （x ）=sinxcosx﹣cos （x +（Ⅰ）求f （x ）的单调区间；
（Ⅱ）在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若f （）=0，a=1，求△ABC 面积的最大值． 17．（12分）（2015•山东）如图，在三棱台DEF ﹣ABC 中，AB=2DE，G ，H 分别为AC ，BC 的中点．
（Ⅰ）求证：BD ∥平面FGH ；
（Ⅱ）若CF ⊥平面ABC ，AB ⊥BC ，CF=DE，∠BAC=45°，求平面FGH 与平面ACFD 所成的角（锐角）的大小．
2
）．
n
18．（12分）（2015•山东）设数列{a n }的前n 项和为S n ，已知2S n =3+3． （Ⅰ）求{a n }的通项公式；
（Ⅱ）若数列{b n }，满足a n b n =log3a n ，求{b n }的前n 项和T n ． 19．（12分）（2015•山东）若n 是一个三位正整数，且n 的个位数字大于十位数字，十位数字大于百位数字，则称n 为“三位递增数”（如137，359，567等）．在某次数学趣味活动中，每位参加者需从所有的“三位递增数”中随机抽取1个数，且只能抽取一次，得分规则如下：若抽取的“三位递增数”的三个数字之积不能被5整除，参加者得0分，若能被5整除，但不能被10整除，得﹣1分，若能被10整除，得1分． （Ⅰ）写出所有个位数字是5的“三位递增数”；
（Ⅱ）若甲参加活动，求甲得分X 的分布列和数学期望EX ． 20．（13分）（2015•山东）平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：
+
=1（a ＞b ＞0）的
离心率为
，左、右焦点分别是F 1，F 2，以F 1为圆心以3为半径的圆与以F 2为圆心以1
为半径的圆相交，且交点在椭圆C 上． （Ⅰ）求椭圆C 的方程；
（Ⅱ）设椭圆E ：+=1，P 为椭圆C 上任意一点，过点P 的直线y=kx+m 交椭圆E
于A ，B 两点，射线PO 交椭圆E 于点Q ． （i ）求|
|的值；
（ii ）求△ABQ 面积的最大值．
21．（14分）（2015•山东）设函数f （x ）=ln（x +1）+a （x ﹣x ），其中a ∈R ， （Ⅰ）讨论函数f （x ）极值点的个数，并说明理由； （Ⅱ）若∀x ＞0，f （x ）≥0成立，求a 的取值范围．
2
2015年山东省高考数学试卷（理科）
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）
2
1．（5分）（2015•山东）已知集合A={x |x ﹣4x +3＜0}，B={x |2＜x ＜4}，则A ∩B=（ ） A ．（1，3） B ．（1，4） C ．（2，3） D ．（2，4） 【分析】求出集合A ，然后求出两个集合的交集．
2
【解答】解：集合A={x |x ﹣4x +3＜0}={x |1＜x ＜3}，B={x |2＜x ＜4}， 则A ∩B={x |2＜x ＜3}=（2，3）． 故选：C ．
【点评】本题考查集合的交集的求法，考查计算能力．
2．（5分）（2015•山东）若复数z 满足
=i，其中i 为虚数单位，则z=（ ）
A ．1﹣i B ．1+i C ．﹣1﹣i D ．﹣1+i
【分析】直接利用复数的乘除运算法则化简求解即可． 【解答】解：
=i，则=i（1﹣i ）=1+i ，
可得z=1﹣i ． 故选：A ．
【点评】本题考查复数的基本运算，基本知识的考查．
3．（5分）（2015•山东）要得到函数y=sin（4x ﹣（ ） A ．向左平移C ．向左平移
单位 B ．向右平移单位 D ．向右平移
单位 单位
）的图象，只需将函数y=sin4x的图象
【分析】直接利用三角函数的平移原则推出结果即可． 【解答】解：因为函数y=sin（4x ﹣要得到函数y=sin（4x ﹣
）=sin[4（x ﹣
）]，
单位．
）的图象，只需将函数y=sin4x的图象向右平移
故选：B ．
【点评】本题考查三角函数的图象的平移，值域平移变换中x 的系数是易错点．
4．（5分）（2015•山东）已知菱形ABCD 的边长为a ，∠ABC=60°，则A ．﹣a
2
=（ ）
B ．﹣a
，
2
C ．a D ．a
，根据
=（
）•
=
代入可求
22
【分析】由已知可求
【解答】解：∵菱形ABCD 的边长为a ，∠ABC=60°， ∴则
=a，=（
2
=a×a ×cos60°=）•
=
， =
故选：D
【点评】本题主要考查了平面向量数量积的定义的简单运算，属于基础试题 5．（5分）（2015•山东）不等式|x ﹣1|﹣|x ﹣5|＜2的解集是（ ） A ．（﹣∞，4） B ．（﹣∞，1） C ．（1，4） D ．（1，5）
【分析】运用零点分区间，求出零点为1，5，讨论①当x ＜1，②当1≤x ≤5，③当x ＞5，分别去掉绝对值，解不等式，最后求并集即可．
【解答】解：①当x ＜1，不等式即为﹣x +1+x ﹣5＜2，即﹣4＜2成立，故x ＜1； ②当1≤x ≤5，不等式即为x ﹣1+x ﹣5＜2，得x ＜4，故1≤x ＜4； ③当x ＞5，x ﹣1﹣x +5＜2，即4＜2不成立，故x ∈∅． 综上知解集为（﹣∞，4）． 故选A ．
【点评】本题考查绝对值不等式的解法，主要考查运用零点分区间的方法，考查运算能力，属于中档题．
6．（5分）（2015•山东）已知x ，y 满足约束条件，若z=ax+y 的最大值为4，则
a=（ ） A ．3 B ．2 C ．﹣2 D ．﹣3
【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，利用数形结合确定z 的最大值．
【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）． 则A （2，0），B （1，1），
若z=ax+y 过A 时取得最大值为4，则2a=4，解得a=2， 此时，目标函数为z=2x+y ， 即y=﹣2x +z ，
平移直线y=﹣2x +z ，当直线经过A （2，0）时，截距最大，此时z 最大为4，满足条件， 若z=ax+y 过B 时取得最大值为4，则a +1=4，解得a=3， 此时，目标函数为z=3x+y ， 即y=﹣3x +z ，
平移直线y=﹣3x +z ，当直线经过A （2，0）时，截距最大，此时z 最大为6，不满足条件， 故a=2， 故选：B
【点评】本题主要考查线性规划的应用，结合目标函数的几何意义，利用数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法，确定目标函数的斜率关系是解决本题的关键．
7．（5分）（2015•山东）在梯形ABCD 中，∠ABC=
，AD ∥BC ，BC=2AD=2AB=2，将
梯形ABCD 绕AD 所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为（ ） A ．
B．
C．
D．2π
【分析】画出几何体的直观图，利用已知条件，求解几何体的体积即可．
【解答】解：由题意可知几何体的直观图如图：旋转体是底面半径为1，高为2的圆柱，挖去一个相同底面高为1的倒圆锥， 几何体的体积为：故选：C ．
=
．
【点评】本题考查几何体的体积的求法，考查空间想象能力以及计算能力．画出几何体的直观图是解题的关键．
8．（5分）（2015•山东）已知某批零件的长度误差（单位：毫米）服从正态分布N （0，3），从中随机抽取一件，其长度误差落在区间（3，6）内的概率为（ ）
2
（附：若随机变量ξ服从正态分布N （μ，σ），则P （μ﹣σ＜ξ＜μ+σ）=68.26%，P （μ﹣2σ＜ξ＜μ+2σ）=95.44%）
A ．4.56% B ．13.59% C ．27.18% D ．31.74%
【分析】由题意P （﹣3＜ξ＜3）=68.26%，P （﹣6＜ξ＜6）=95.44%，可得P （3＜ξ＜6）=（95.44%﹣68.26%），即可得出结论．
2
【解答】解：由题意P （﹣3＜ξ＜3）=68.26%，P （﹣6＜ξ＜6）=95.44%， 所以P （3＜ξ＜6）=（95.44%﹣68.26%）=13.59%．
故选：B ．
【点评】本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，考查正态分布中两个量μ和σ的应用，考查曲线的对称性，属于基础题．
9．（5分）（2015•山东）一条光线从点（﹣2，﹣3）射出，经y 轴反射后与圆（x +3）+（y
2
﹣2）=1相切，则反射光线所在直线的斜率为（ ） A ．﹣或﹣
B ．﹣或﹣
C ．﹣或﹣
D ．﹣或﹣
2
【分析】点A （﹣2，﹣3）关于y 轴的对称点为A ′（2，﹣3），可设反射光线所在直线的方程为：y +3=k（x ﹣2），利用直线与圆相切的性质即可得出．
【解答】解：点A （﹣2，﹣3）关于y 轴的对称点为A ′（2，﹣3）， 故可设反射光线所在直线的方程为：y +3=k（x ﹣2），化为kx ﹣y ﹣2k ﹣3=0．
22
∵反射光线与圆（x +3）+（y ﹣2）=1相切， ∴圆心（﹣3，2）到直线的距离d=化为24k +50k +24=0， ∴k=
或﹣．
2
=1，
故选：D ． 【点评】本题考查了反射光线的性质、直线与圆相切的性质、点到直线的距离公式、点斜式、对称点，考查了计算能力，属于中档题．
10．（5分）（2015•山东）设函数f （x ）=的取值范围是（ ） A ．[，1] B ．[0，1]
C ．[，+∞）
t
，则满足f （f （a ））=2
f （a ）
的a
D ．[1，+∞）
【分析】令f （a ）=t，则f （t ）=2，讨论t ＜1，运用导数判断单调性，进而得到方程无解，讨论t ≥1时，以及a ＜1，a ≥1，由分段函数的解析式，解不等式即可得到所求范围． 【解答】解：令f （a ）=t，
则f （t ）=2，
t
当t ＜1时，3t ﹣1=2，
t t
由g （t ）=3t﹣1﹣2的导数为g ′（t ）=3﹣2ln2， 在t ＜1时，g ′（t ）＞0，g （t ）在（﹣∞，1）递增， 即有g （t ）＜g （1）=0，
t
则方程3t ﹣1=2无解；
t t
当t ≥1时，2=2成立，
由f （a ）≥1，即3a ﹣1≥1，解得a ≥，且a ＜1；
t
或a ≥1，2≥1解得a ≥0，即为a ≥1． 综上可得a 的范围是a ≥．
故选C ．
【点评】本题考查分段函数的运用，主要考查函数的单调性的运用，运用分类讨论的思想方法是解题的关键．
二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分） 11．（5分）（2015•山东）观察下列各式： C C C C …
照此规律，当n ∈N 时， C
+C
+
C
+…+C
= 4
n ﹣1
*
a
=4； +C +C +C
=4； +C +C
=4； +C
=4；
3
2
1
．
【分析】仔细观察已知条件，找出规律，即可得到结果． 【解答】解：因为C C C C
+C +C +C
=4； +C +C
=4； +C
=4；
3
2
1
=4；
…
照此规律，可以看出等式左侧最后一项，组合数的上标与等式右侧的幂指数相同， 可得：当n ∈N 时，C
n ﹣1*
+C +C +…+C =4
n ﹣1
；
故答案为：4．
【点评】本题考查归纳推理的应用，找出规律是解题的关键．
12．（5分）（2015•山东）若“∀x ∈[0，
]，tanx ≤m ”是真命题，则实数m 的最小值为 1 ．
【分析】求出正切函数的最大值，即可得到m 的范围． 【解答】解：“∀x ∈[0，
]，tanx ≤m ”是真命题，
可得tanx ≤1，所以，m ≥1， 实数m 的最小值为：1．
故答案为：1．
【点评】本题考查函数的最值的应用，命题的真假的应用，考查计算能力．
13．（5分）（2015•山东）执行如图程序框图，输出的T 的值为
．
【分析】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的n ，T 的值，当n=3时不满足条件n ＜3，退出循环，输出T 的值为
．
【解答】解：模拟执行程序框图，可得 n=1，T=1
满足条件n ＜3，T=1+满足条件n ＜3，T=1+
xdx ，n=2 xdx +
x dx=1+
2
=．
，n=3
不满足条件n ＜3，退出循环，输出T 的值为故答案为：
【点评】本题主要考查了循环结构的程序框图，考查了定积分的应用，属于基本知识的考查．
14．（5分）（2015•山东）已知函数f （x ）=a+b （a ＞0，a ≠1）的定义域和值域都是[﹣1，0]，则a +b=
．
x
x
【分析】对a 进行分类讨论，分别题意和指数函数的单调性列出方程组，解得答案． 【解答】解：当a ＞1时，函数f （x ）=a+b 在定义域上是增函数， 所以
，
解得b=﹣1，=0不符合题意舍去；
当0＜a ＜1时，函数f （x ）=a+b 在定义域上是减函数，
x
所以，
解得b=﹣2，a=， 综上a +b=故答案为：
，
【点评】本题考查指数函数的单调性的应用，以及分类讨论思想，属于中档题．
15．（5分）（2015•山东）平面直角坐标系xOy 中，双曲线C 1：
2
﹣=1（a ＞0，b ＞0）
的渐近线与抛物线C 2：x =2py（p ＞0）交于点O ，A ，B ，若△OAB 的垂心为C 2的焦点，则C 1的离心率为
．
【分析】求出A 的坐标，可得=
，利用△OAB 的垂心为C 2
的焦点，可得
×（﹣）=﹣1，由此可求C 1的离心率．
【解答】解：双曲线C 1：
2
﹣=1（a ＞0，b ＞0）的渐近线方程为y=±x ，
与抛物线C 2：x =2py联立，可得x=0或x=±
，
取A （，），设垂心H （0，），
则k AH
=
=，
∵△OAB 的垂心为C 2的焦点， ∴
2
2
×（﹣）=﹣1，
∴5a =4b，
222∴5a =4（c ﹣a ） ∴e==．
故答案为：．
【点评】本题考查双曲线的性质，考查学生的计算能力，确定A 的坐标是关键．
三、解答题
16．（12分）（2015•山东）设f （x ）=sinxcosx﹣cos （x +（Ⅰ）求f （x ）的单调区间；
（Ⅱ）在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若f （）=0，a=1，求△ABC 面积的最大值．
【分析】（Ⅰ）由三角函数恒等变换化简解析式可得f （x ）=sin2x﹣，由2k ≤2k
，k ∈Z 可解得f （x ）的单调递增区间，由2k
≤2x ≤2k
≤2x ，k ∈Z
2
）．
可解得单调递减区间．
（Ⅱ）由f （）=sinA﹣=0，可得sinA ，cosA ，由余弦定理可得：bc 时等号成立，从而可求bcsinA ≤
，从而得解．
，且当b=c
【解答】解：（Ⅰ）由题意可知，f （x ）=sin2x ﹣=sin2x ﹣=sin2x﹣ 由2k 由2k
≤2x ≤2k ≤2x ≤2k
，k ∈Z 可解得：k ，k ∈Z 可解得：k
，k
≤x ≤k ≤x ≤k
，k ∈Z ； ，k ∈Z ；
，
所以（f x ）的单调递增区间是[k k
]，（k ∈Z ）；
]，（k ∈Z ）；单调递减区间是：[k
（Ⅱ）由f （）=sinA﹣=0，可得sinA=， 由题意知A 为锐角，所以cosA=由余弦定理a =b+c ﹣2bccosA ，
22
可得：1+bc=b+c ≥2bc ，即bc 因此S=bcsinA ≤
，
2
2
2
，
，且当b=c时等号成立．
所以△ABC 面积的最大值为．
【点评】本题主要考查了正弦函数的图象和性质，余弦定理，基本不等式的应用，属于基本知识的考查． 17．（12分）（2015•山东）如图，在三棱台DEF ﹣ABC 中，AB=2DE，G ，H 分别为AC ，BC 的中点．
（Ⅰ）求证：BD ∥平面FGH ；
（Ⅱ）若CF ⊥平面ABC ，AB ⊥BC ，CF=DE，∠BAC=45°，求平面FGH 与平面ACFD 所成的角（锐角）的大小．
【分析】（Ⅰ）根据AB=2DE便可得到BC=2EF，从而可以得出四边形EFHB 为平行四边形，从而得到BE ∥HF ，便有BE ∥平面FGH ，再证明DE ∥平面FGH ，从而得到平面BDE ∥平面FGH ，从而BD ∥平面FGH ；
（Ⅱ）连接HE ，根据条件能够说明HC ，HG ，HE 三直线两两垂直，从而分别以这三直线为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系，然后求出一些点的坐标．连接BG ，可说明ACFD 的一条法向量，设平面FGH 的法向量为
，根据
为平面
即可求出法
向量，设平面FGH 与平面ACFD 所成的角为θ，根据cos θ=
平面FGH 与平面ACFD 所成的角的大小． 【解答】解：（Ⅰ）证明：根据已知条件，DF ∥AC ，EF ∥BC ，DE ∥AB ； △DEF ∽△ABC ，又AB=2DE， ∴BC=2EF=2BH，
∴四边形EFHB 为平行四边形；
∴BE ∥HF ，HF ⊂平面FGH ，BE ⊄平面FGH ； ∴BE ∥平面FGH ；
同样，因为GH 为△ABC 中位线，∴GH ∥AB ； 又DE ∥AB ； ∴DE ∥GH ；
∴DE ∥平面FGH ，DE ∩BE=E；
∴平面BDE ∥平面FGH ，BD ⊂平面BDE ； ∴BD ∥平面FGH ；
（Ⅱ）连接HE ，则HE ∥CF ； ∵CF ⊥平面ABC ；
∴HE ⊥平面ABC ，并且HG ⊥HC ；
即可求出
∴HC ，HG ，HE 三直线两两垂直，分别以这三直线为x ，y ，z 轴，建立如图所示空间直角坐标系，设HC=1，则：
H （0，0，0），G （0，1，0），F （1，0，1），B （﹣1，0，0）； 连接BG ，根据已知条件BA=BC，G 为AC 中点； ∴BG ⊥AC ；
又CF ⊥平面ABC ，BG ⊂平面ABC ； ∴BG ⊥CF ，AC ∩CF=C； ∴BG ⊥平面ACFD ； ∴向量
为平面ACFD 的法向量；
，则：
设平面FGH 的法向量为
，取z=1，则：；
设平面FGH 和平面ACFD 所成的锐二面角为θ，则：cos θ=|cos |=；
∴平面FGH 与平面ACFD 所成的角为60°．
【点评】考查棱台的定义，平行四边形的定义，线面平行的判定定理，面面平行的判定定理及其性质，线面垂直的性质及线面垂直的判定定理，以及建立空间直角坐标系，利用空间向量求二面角的方法，平面法向量的概念及求法，向量垂直的充要条件，向量夹角余弦的坐标公式，平面和平面所成角的定义．
18．（12分）（2015•山东）设数列{a n }的前n 项和为S n ，已知2S n =3+3． （Ⅰ）求{a n }的通项公式；
（Ⅱ）若数列{b n }，满足a n b n =log3a n ，求{b n }的前n 项和T n ．
n n ﹣1
【分析】（Ⅰ）利用2S n =3+3，可求得a 1=3；当n ＞1时，2S n ﹣1=3+3，两式相减2a n =2Sn
n ﹣1
﹣2S n ﹣1，可求得a n =3，从而可得{a n }的通项公式； （Ⅱ）依题意，a n b n =log3a n ，可得b 1=，当n ＞1时，b n =3
1﹣n
n
•log 33
n ﹣1
=（n ﹣1）×3
1﹣n
，
1﹣
于是可求得T 1=b1=；当n ＞1时，T n =b1+b 2+…+b n =+（1×3+2×3+…+（n ﹣1）×3
n
﹣1﹣2
），利用错位相减法可求得{b n }的前n 项和T n ．
n 1
【解答】解：（Ⅰ）因为2S n =3+3，所以2a 1=3+3=6，故a 1=3，
n ﹣1
当n ＞1时，2S n ﹣1=3+3，
n n ﹣1n ﹣1n ﹣1
此时，2a n =2Sn ﹣2S n ﹣1=3﹣3=2×3，即a n =3，
所以a n =
．
（Ⅱ）因为a n b n =log3a n ，所以b 1=， 当n ＞1时，b n =3所以T 1=b1=；
当n ＞1时，T n =b1+b 2+…+b n =+（1×3+2×3+…+（n ﹣1）×3所以3T n =1+（1×3+2×3+3×3+…+（n ﹣1）×3两式相减得：2T n =+（3+3+3+…+3×3
1﹣n
﹣1
﹣2
﹣1
﹣2
1﹣n
•log 33
n ﹣1
=（n ﹣1）×3
1﹣n
，
1﹣n
），
0﹣1﹣22﹣n
），
1﹣n
2﹣n
﹣（n ﹣1）×3）=+﹣（n ﹣1）
=﹣﹣
﹣
，
，经检验，n=1时也适合，
．
所以T n =
综上可得T n =
【点评】本题考查数列的求和，着重考查数列递推关系的应用，突出考查“错位相减法”求和，
考查分析、运算能力，属于中档题． 19．（12分）（2015•山东）若n 是一个三位正整数，且n 的个位数字大于十位数字，十位数字大于百位数字，则称n 为“三位递增数”（如137，359，567等）．在某次数学趣味活动中，每位参加者需从所有的“三位递增数”中随机抽取1个数，且只能抽取一次，得分规则如下：若抽取的“三位递增数”的三个数字之积不能被5整除，参加者得0分，若能被5整除，但不能被10整除，得﹣1分，若能被10整除，得1分． （Ⅰ）写出所有个位数字是5的“三位递增数”；
（Ⅱ）若甲参加活动，求甲得分X 的分布列和数学期望EX ． 【分析】（Ⅰ）根据“三位递增数”的定义，即可写出所有个位数字是5的“三位递增数”； （Ⅱ）随机变量X 的取值为：0，﹣1，1分别求出对应的概率，即可求出分布列和期望． 【解答】解：（Ⅰ）根据定义个位数字是5的“三位递增数”有：125，135，145，235，245，345；
（Ⅱ）由题意知，全部“三位递增数”的个数为随机变量X 的取值为：0，﹣1，1，
当X=0时，可以选择除去5以外的剩下8个数字中选择3个进行组合，即
；
，
当X=﹣1时，首先选择5，由于不能被10整除，因此不能选择数字2，4，6，8，可以从1，3，7，9中选择两个数字和5进行组合，即
；
当X=1时，有两种组合方式，第一种方案：首先选5，然后从2，4，6，8中选择2个数字和5进行组合，即
；第二种方案：首先选5，然后从2，4，6，8中选择1个数字，再从
．
1，3，7，9中选择1个数字，最后把3个数字进行组合，即
则P （X=0）==，P （X=﹣1）=+1×
=
．
=，P （X=1）=
=，
EX=0×+（﹣1）×
【点评】本题主要考查离散型随机变量的分布列和期望的计算，求出对应的概率是解决本题的关键．
20．（13分）（2015•山东）平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：
+
=1（a ＞b ＞0）的
离心率为
，左、右焦点分别是F 1，F 2，以F 1为圆心以3为半径的圆与以F 2为圆心以1
为半径的圆相交，且交点在椭圆C 上． （Ⅰ）求椭圆C 的方程； （Ⅱ）设椭圆E ：
+
=1，P 为椭圆C 上任意一点，过点P 的直线y=kx+m 交椭圆E
于A ，B 两点，射线PO 交椭圆E 于点Q ． （i ）求|
|的值；
（ii ）求△ABQ 面积的最大值． 【分析】（Ⅰ）运用椭圆的离心率公式和a ，b ，c 的关系，计算即可得到b ，进而得到椭圆C 的方程；
（Ⅱ）求得椭圆E 的方程，（i ）设P （x 0，y 0），|E 的方程，化简整理，即可得到所求值；
（ii ）设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），将直线y=kx+m 代入椭圆E 的方程，运用韦达定理，三角形的面积公式，将直线y=kx+m 代入椭圆C 的方程，由判别式大于0，可得t 的范围，结合二次函数的最值，又△ABQ 的面积为3S ，即可得到所求的最大值． 【解答】解：（Ⅰ）由题意可知，PF 1+PF 2=2a=4，可得a=2， 又=
，a ﹣c =b，
+y =1；
2
2
2
2
|=λ，求得Q 的坐标，分别代入椭圆C ，
可得b=1，即有椭圆C 的方程为
（Ⅱ）由（Ⅰ）知椭圆E 的方程为（i ）设P （x 0，y 0），|
+=1，
|=λ，由题意可知，
Q （﹣λx 0，﹣λy 0），由于+y 0=1，
2
又
所以λ=2，即|
+|=2；
=1，即（
+y 0）=1，
2
（ii ）设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），将直线y=kx+m 代入椭圆E 的方程，可得
22222
（1+4k ）x +8kmx +4m ﹣16=0，由△＞0，可得m ＜4+16k ，① 则有x 1+x 2=﹣
，x 1x 2=
，所以|x 1﹣x 2|=
，
由直线y=kx+m 与y 轴交于（0，m ）， 则△AOB 的面积为S=|m |•|x 1﹣x 2|=|m |•
=2，设=t，则S=2
2
2
，
2
将直线y=kx+m 代入椭圆C 的方程，可得（1+4k ）x +8kmx +4m ﹣4=0，
22
由△≥0可得m ≤1+4k ，② 由①②可得0＜t ≤1，则S=2
2
2
在（0，1]递增，即有t=1取得最大值，
即有S ，即m =1+4k ，取得最大值2， 由（i ）知，△ABQ 的面积为3S ， 即△ABQ 面积的最大值为6．
【点评】本题考查椭圆的方程和性质，主要考查直线方程和椭圆方程联立，运用韦达定理，同时考查三角形的面积公式和二次函数的最值，属于中档题．
21．（14分）（2015•山东）设函数f （x ）=ln（x +1）+a （x ﹣x ），其中a ∈R ， （Ⅰ）讨论函数f （x ）极值点的个数，并说明理由； （Ⅱ）若∀x ＞0，f （x ）≥0成立，求a 的取值范围．
【分析】（I ）函数（f x ）=ln（x +1）+（a x ﹣x ），其中a ∈R ，x ∈（﹣1，+∞）．
2
2
=．令g （x ）=2ax+ax ﹣a +1．对a 与△分类讨论可得：（1）当a=0时，此
2
时f ′（x ）＞0，即可得出函数的单调性与极值的情况．
（2）当a ＞0时，△=a（9a ﹣8）．①当时，△≤0，②当a 时，△＞0，即可
得出函数的单调性与极值的情况．
（3）当a ＜0时，△＞0．即可得出函数的单调性与极值的情况． （II ）由（I ）可知：（1）当0≤a 断出．
（2）当＜a ≤1时，由g （0）≥0，可得x 2≤0，函数f （x ）在（0，+∞）上单调性，即可判断出．
（3）当1＜a 时，由g （0）＜0，可得x 2＞0，利用x ∈（0，x 2）时函数f （x ）单调性，即可判断出；
（4）当a ＜0时，设h （x ）=x﹣ln （x +1），x ∈（0，+∞），研究其单调性，即可判断出
2
【解答】解：（I ）函数f （x ）=ln（x +1）+a （x ﹣x ），其中a ∈R ，x ∈（﹣1，+∞）．
=
2
时，可得函数f （x ）在（0，+∞）上单调性，即可判
．
令g （x ）=2ax+ax ﹣a +1．
（1）当a=0时，g （x ）=1，此时f ′（x ）＞0，函数f （x ）在（﹣1，+∞）上单调递增，无极值点．
（2）当a ＞0时，△=a﹣8a （1﹣a ）=a（9a ﹣8）． ①当
时，△≤0，g （x ）≥0，f ′（x ）≥0，函数f （x ）在（﹣1，+∞）上单调递
2
增，无极值点． ②当a ∵x 1+x 2=∴
时，△＞0，设方程2ax +ax ﹣a +1=0的两个实数根分别为x 1，x 2，x 1＜x 2． ， ，
．
．
2
由g （﹣1）＞0，可得﹣1＜x 1
∴当x ∈（﹣1，x 1）时，g （x ）＞0，f ′（x ）＞0，函数f （x ）单调递增； 当x ∈（x 1，x 2）时，g （x ）＜0，f ′（x ）＜0，函数f （x ）单调递减； 当x ∈（x 2，+∞）时，g （x ）＞0，f ′（x ）＞0，函数f （x ）单调递增． 因此函数f （x ）有两个极值点．
（3）当a ＜0时，△＞0．由g （﹣1）=1＞0，可得x 1＜﹣1＜x 2．
∴当x ∈（﹣1，x 2）时，g （x ）＞0，f ′（x ）＞0，函数f （x ）单调递增； 当x ∈（x 2，+∞）时，g （x ）＜0，f ′（x ）＜0，函数f （x ）单调递减． 因此函数f （x ）有一个极值点．
综上所述：当a ＜0时，函数f （x ）有一个极值点； 当0≤a
时，函数f （x ）无极值点；
当a 时，函数f （x ）有两个极值点．
（II ）由（I ）可知： （1）当0≤a
时，函数f （x ）在（0，+∞）上单调递增．
∵f （0）=0，
∴x ∈（0，+∞）时，f （x ）＞0，符合题意．
（2）当＜a ≤1时，由g （0）≥0，可得x 2≤0，函数f （x ）在（0，+∞）上单调递增． 又f （0）=0，
∴x ∈（0，+∞）时，f （x ）＞0，符合题意． （3）当1＜a 时，由g （0）＜0，可得x 2＞0， ∴x ∈（0，x 2）时，函数f （x ）单调递减． 又f （0）=0，
∴x ∈（0，x 2）时，f （x ）＜0，不符合题意，舍去；
（4）当a ＜0时，设h （x ）=x﹣ln （x +1），x ∈（0，+∞），h ′（x ）=∴h （x ）在（0，+∞）上单调递增．
因此x ∈（0，+∞）时，h （x ）＞h （0）=0，即ln （x +1）＜x ，
22
可得：f （x ）＜x +a （x ﹣x ）=ax+（1﹣a ）x ， 当x ＞
2
＞0．
时，
ax +（1﹣a ）x ＜0，此时f （x ）＜0，不合题意，舍去． 综上所述，a 的取值范围为[0，1]．
【点评】本题考查了导数的运算法则、利用导数研究函数的单调性极值，考查了分析问题与解决问题的能力，考查了分类讨论思想方法、推理能力与计算能力，属于难题．
参与本试卷答题和审题的老师有：qiss ；吕静；双曲线；maths ；刘长柏；w3239003；翔宇老师；wkl197822；wfy814；沂蒙松（排名不分先后） 菁优网
2016年8月29日
2015年山东省高考数学试卷（理科）
一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）
2
1．（5分）（2015•山东）已知集合A={x |x ﹣4x +3＜0}，B={x |2＜x ＜4}，则A ∩B=（ ） A ．（1，3） B ．（1，4） C ．（2，3） D ．（2，4） 2．（5分）（2015•山东）若复数z 满足A ．1﹣i B ．1+i C ．﹣1﹣i
D ．﹣1+i
）的图象，只需将函数y=sin4x的图象
=i，其中i 为虚数单位，则z=（ ）
3．（5分）（2015•山东）要得到函数y=sin（4x ﹣（ ） A ．向左平移C ．向左平移
单位 B ．向右平移单位 D ．向右平移
单位 单位
4．（5分）（2015•山东）已知菱形ABCD 的边长为a ，∠ABC=60°，则A ．﹣a
2
=（ ）
B ．﹣a
2
C ．a D ．a
22
5．（5分）（2015•山东）不等式|x ﹣1|﹣|x ﹣5|＜2的解集是（ ） A ．（﹣∞，4） B ．（﹣∞，1） C ．（1，4） D ．（1，5）
6．（5分）（2015•山东）已知x ，y 满足约束条件，若z=ax+y 的最大值为4，则
a=（ ） A ．3 B ．2
C ．﹣2 D ．﹣3
，AD ∥BC ，BC=2AD=2AB=2，将
7．（5分）（2015•山东）在梯形ABCD 中，∠ABC=
梯形ABCD 绕AD 所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为（ ） A ．
B．
C．
D．2π
2
8．（5分）（2015•山东）已知某批零件的长度误差（单位：毫米）服从正态分布N （0，3），从中随机抽取一件，其长度误差落在区间（3，6）内的概率为（ ）
（附：若随机变量ξ服从正态分布N （μ，σ），则P （μ﹣σ＜ξ＜μ+σ）=68.26%，P （μ﹣2σ＜ξ＜μ+2σ）=95.44%）
A ．4.56% B ．13.59% C ．27.18% D ．31.74%
2
9．（5分）（2015•山东）一条光线从点（﹣2，﹣3）射出，经y 轴反射后与圆（x +3）+（y
2
﹣2）=1相切，则反射光线所在直线的斜率为（ ） A ．﹣或﹣
B ．﹣或﹣
C ．﹣或﹣
D ．﹣或﹣
2
10．（5分）（2015•山东）设函数f （x ）=的取值范围是（ ） A ．[，1] B ．[0，1]
C ．[，+∞）
，则满足f （f （a ））=2
f （a ）
的a
D ．[1，+∞）
二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分） 11．（5分）（2015•山东）观察下列各式： C C C C …
照此规律，当n ∈N 时， C
+C
+
C
+…+C
=．
]，tanx ≤m ”是真命题，则实数m 的最小值
*
=4； +C +C +C
=4； +C +C
=4； +C
=4；
3
2
1
12．（5分）（2015•山东）若“∀x ∈[0，
为 ． 13．（5分）（2015•山东）执行如图程序框图，输出的T 的值为
14．（5分）（2015•山东）已知函数f （x ）=a+b （a ＞0，a ≠1）的定义域和值域都是[﹣1，0]，则a +b=．
x
15．（5分）（2015•山东）平面直角坐标系xOy 中，双曲线C 1：
2
﹣=1（a ＞0，b ＞0）
的渐近线与抛物线C 2：x =2py（p ＞0）交于点O ，A ，B ，若△OAB 的垂心为C 2的焦点，则C 1的离心率为 ．
三、解答题
16．（12分）（2015•山东）设f （x ）=sinxcosx﹣cos （x +（Ⅰ）求f （x ）的单调区间；
（Ⅱ）在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若f （）=0，a=1，求△ABC 面积的最大值． 17．（12分）（2015•山东）如图，在三棱台DEF ﹣ABC 中，AB=2DE，G ，H 分别为AC ，BC 的中点．
（Ⅰ）求证：BD ∥平面FGH ；
（Ⅱ）若CF ⊥平面ABC ，AB ⊥BC ，CF=DE，∠BAC=45°，求平面FGH 与平面ACFD 所成的角（锐角）的大小．
2
）．
n
18．（12分）（2015•山东）设数列{a n }的前n 项和为S n ，已知2S n =3+3． （Ⅰ）求{a n }的通项公式；
（Ⅱ）若数列{b n }，满足a n b n =log3a n ，求{b n }的前n 项和T n ． 19．（12分）（2015•山东）若n 是一个三位正整数，且n 的个位数字大于十位数字，十位数字大于百位数字，则称n 为“三位递增数”（如137，359，567等）．在某次数学趣味活动中，每位参加者需从所有的“三位递增数”中随机抽取1个数，且只能抽取一次，得分规则如下：若抽取的“三位递增数”的三个数字之积不能被5整除，参加者得0分，若能被5整除，但不能被10整除，得﹣1分，若能被10整除，得1分． （Ⅰ）写出所有个位数字是5的“三位递增数”；
（Ⅱ）若甲参加活动，求甲得分X 的分布列和数学期望EX ． 20．（13分）（2015•山东）平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：
+
=1（a ＞b ＞0）的
离心率为
，左、右焦点分别是F 1，F 2，以F 1为圆心以3为半径的圆与以F 2为圆心以1
为半径的圆相交，且交点在椭圆C 上． （Ⅰ）求椭圆C 的方程；
（Ⅱ）设椭圆E ：+=1，P 为椭圆C 上任意一点，过点P 的直线y=kx+m 交椭圆E
于A ，B 两点，射线PO 交椭圆E 于点Q ． （i ）求|
|的值；
（ii ）求△ABQ 面积的最大值．
21．（14分）（2015•山东）设函数f （x ）=ln（x +1）+a （x ﹣x ），其中a ∈R ， （Ⅰ）讨论函数f （x ）极值点的个数，并说明理由； （Ⅱ）若∀x ＞0，f （x ）≥0成立，求a 的取值范围．
2
2015年山东省高考数学试卷（理科）
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）
2
1．（5分）（2015•山东）已知集合A={x |x ﹣4x +3＜0}，B={x |2＜x ＜4}，则A ∩B=（ ） A ．（1，3） B ．（1，4） C ．（2，3） D ．（2，4） 【分析】求出集合A ，然后求出两个集合的交集．
2
【解答】解：集合A={x |x ﹣4x +3＜0}={x |1＜x ＜3}，B={x |2＜x ＜4}， 则A ∩B={x |2＜x ＜3}=（2，3）． 故选：C ．
【点评】本题考查集合的交集的求法，考查计算能力．
2．（5分）（2015•山东）若复数z 满足
=i，其中i 为虚数单位，则z=（ ）
A ．1﹣i B ．1+i C ．﹣1﹣i D ．﹣1+i
【分析】直接利用复数的乘除运算法则化简求解即可． 【解答】解：
=i，则=i（1﹣i ）=1+i ，
可得z=1﹣i ． 故选：A ．
【点评】本题考查复数的基本运算，基本知识的考查．
3．（5分）（2015•山东）要得到函数y=sin（4x ﹣（ ） A ．向左平移C ．向左平移
单位 B ．向右平移单位 D ．向右平移
单位 单位
）的图象，只需将函数y=sin4x的图象
【分析】直接利用三角函数的平移原则推出结果即可． 【解答】解：因为函数y=sin（4x ﹣要得到函数y=sin（4x ﹣
）=sin[4（x ﹣
）]，
单位．
）的图象，只需将函数y=sin4x的图象向右平移
故选：B ．
【点评】本题考查三角函数的图象的平移，值域平移变换中x 的系数是易错点．
4．（5分）（2015•山东）已知菱形ABCD 的边长为a ，∠ABC=60°，则A ．﹣a
2
=（ ）
B ．﹣a
，
2
C ．a D ．a
，根据
=（
）•
=
代入可求
22
【分析】由已知可求
【解答】解：∵菱形ABCD 的边长为a ，∠ABC=60°， ∴则
=a，=（
2
=a×a ×cos60°=）•
=
， =
故选：D
【点评】本题主要考查了平面向量数量积的定义的简单运算，属于基础试题 5．（5分）（2015•山东）不等式|x ﹣1|﹣|x ﹣5|＜2的解集是（ ） A ．（﹣∞，4） B ．（﹣∞，1） C ．（1，4） D ．（1，5）
【分析】运用零点分区间，求出零点为1，5，讨论①当x ＜1，②当1≤x ≤5，③当x ＞5，分别去掉绝对值，解不等式，最后求并集即可．
【解答】解：①当x ＜1，不等式即为﹣x +1+x ﹣5＜2，即﹣4＜2成立，故x ＜1； ②当1≤x ≤5，不等式即为x ﹣1+x ﹣5＜2，得x ＜4，故1≤x ＜4； ③当x ＞5，x ﹣1﹣x +5＜2，即4＜2不成立，故x ∈∅． 综上知解集为（﹣∞，4）． 故选A ．
【点评】本题考查绝对值不等式的解法，主要考查运用零点分区间的方法，考查运算能力，属于中档题．
6．（5分）（2015•山东）已知x ，y 满足约束条件，若z=ax+y 的最大值为4，则
a=（ ） A ．3 B ．2 C ．﹣2 D ．﹣3
【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，利用数形结合确定z 的最大值．
【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）． 则A （2，0），B （1，1），
若z=ax+y 过A 时取得最大值为4，则2a=4，解得a=2， 此时，目标函数为z=2x+y ， 即y=﹣2x +z ，
平移直线y=﹣2x +z ，当直线经过A （2，0）时，截距最大，此时z 最大为4，满足条件， 若z=ax+y 过B 时取得最大值为4，则a +1=4，解得a=3， 此时，目标函数为z=3x+y ， 即y=﹣3x +z ，
平移直线y=﹣3x +z ，当直线经过A （2，0）时，截距最大，此时z 最大为6，不满足条件， 故a=2， 故选：B
【点评】本题主要考查线性规划的应用，结合目标函数的几何意义，利用数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法，确定目标函数的斜率关系是解决本题的关键．
7．（5分）（2015•山东）在梯形ABCD 中，∠ABC=
，AD ∥BC ，BC=2AD=2AB=2，将
梯形ABCD 绕AD 所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为（ ） A ．
B．
C．
D．2π
【分析】画出几何体的直观图，利用已知条件，求解几何体的体积即可．
【解答】解：由题意可知几何体的直观图如图：旋转体是底面半径为1，高为2的圆柱，挖去一个相同底面高为1的倒圆锥， 几何体的体积为：故选：C ．
=
．
【点评】本题考查几何体的体积的求法，考查空间想象能力以及计算能力．画出几何体的直观图是解题的关键．
8．（5分）（2015•山东）已知某批零件的长度误差（单位：毫米）服从正态分布N （0，3），从中随机抽取一件，其长度误差落在区间（3，6）内的概率为（ ）
2
（附：若随机变量ξ服从正态分布N （μ，σ），则P （μ﹣σ＜ξ＜μ+σ）=68.26%，P （μ﹣2σ＜ξ＜μ+2σ）=95.44%）
A ．4.56% B ．13.59% C ．27.18% D ．31.74%
【分析】由题意P （﹣3＜ξ＜3）=68.26%，P （﹣6＜ξ＜6）=95.44%，可得P （3＜ξ＜6）=（95.44%﹣68.26%），即可得出结论．
2
【解答】解：由题意P （﹣3＜ξ＜3）=68.26%，P （﹣6＜ξ＜6）=95.44%， 所以P （3＜ξ＜6）=（95.44%﹣68.26%）=13.59%．
故选：B ．
【点评】本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，考查正态分布中两个量μ和σ的应用，考查曲线的对称性，属于基础题．
9．（5分）（2015•山东）一条光线从点（﹣2，﹣3）射出，经y 轴反射后与圆（x +3）+（y
2
﹣2）=1相切，则反射光线所在直线的斜率为（ ） A ．﹣或﹣
B ．﹣或﹣
C ．﹣或﹣
D ．﹣或﹣
2
【分析】点A （﹣2，﹣3）关于y 轴的对称点为A ′（2，﹣3），可设反射光线所在直线的方程为：y +3=k（x ﹣2），利用直线与圆相切的性质即可得出．
【解答】解：点A （﹣2，﹣3）关于y 轴的对称点为A ′（2，﹣3）， 故可设反射光线所在直线的方程为：y +3=k（x ﹣2），化为kx ﹣y ﹣2k ﹣3=0．
22
∵反射光线与圆（x +3）+（y ﹣2）=1相切， ∴圆心（﹣3，2）到直线的距离d=化为24k +50k +24=0， ∴k=
或﹣．
2
=1，
故选：D ． 【点评】本题考查了反射光线的性质、直线与圆相切的性质、点到直线的距离公式、点斜式、对称点，考查了计算能力，属于中档题．
10．（5分）（2015•山东）设函数f （x ）=的取值范围是（ ） A ．[，1] B ．[0，1]
C ．[，+∞）
t
，则满足f （f （a ））=2
f （a ）
的a
D ．[1，+∞）
【分析】令f （a ）=t，则f （t ）=2，讨论t ＜1，运用导数判断单调性，进而得到方程无解，讨论t ≥1时，以及a ＜1，a ≥1，由分段函数的解析式，解不等式即可得到所求范围． 【解答】解：令f （a ）=t，
则f （t ）=2，
t
当t ＜1时，3t ﹣1=2，
t t
由g （t ）=3t﹣1﹣2的导数为g ′（t ）=3﹣2ln2， 在t ＜1时，g ′（t ）＞0，g （t ）在（﹣∞，1）递增， 即有g （t ）＜g （1）=0，
t
则方程3t ﹣1=2无解；
t t
当t ≥1时，2=2成立，
由f （a ）≥1，即3a ﹣1≥1，解得a ≥，且a ＜1；
t
或a ≥1，2≥1解得a ≥0，即为a ≥1． 综上可得a 的范围是a ≥．
故选C ．
【点评】本题考查分段函数的运用，主要考查函数的单调性的运用，运用分类讨论的思想方法是解题的关键．
二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分） 11．（5分）（2015•山东）观察下列各式： C C C C …
照此规律，当n ∈N 时， C
+C
+
C
+…+C
= 4
n ﹣1
*
a
=4； +C +C +C
=4； +C +C
=4； +C
=4；
3
2
1
．
【分析】仔细观察已知条件，找出规律，即可得到结果． 【解答】解：因为C C C C
+C +C +C
=4； +C +C
=4； +C
=4；
3
2
1
=4；
…
照此规律，可以看出等式左侧最后一项，组合数的上标与等式右侧的幂指数相同， 可得：当n ∈N 时，C
n ﹣1*
+C +C +…+C =4
n ﹣1
；
故答案为：4．
【点评】本题考查归纳推理的应用，找出规律是解题的关键．
12．（5分）（2015•山东）若“∀x ∈[0，
]，tanx ≤m ”是真命题，则实数m 的最小值为 1 ．
【分析】求出正切函数的最大值，即可得到m 的范围． 【解答】解：“∀x ∈[0，
]，tanx ≤m ”是真命题，
可得tanx ≤1，所以，m ≥1， 实数m 的最小值为：1．
故答案为：1．
【点评】本题考查函数的最值的应用，命题的真假的应用，考查计算能力．
13．（5分）（2015•山东）执行如图程序框图，输出的T 的值为
．
【分析】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的n ，T 的值，当n=3时不满足条件n ＜3，退出循环，输出T 的值为
．
【解答】解：模拟执行程序框图，可得 n=1，T=1
满足条件n ＜3，T=1+满足条件n ＜3，T=1+
xdx ，n=2 xdx +
x dx=1+
2
=．
，n=3
不满足条件n ＜3，退出循环，输出T 的值为故答案为：
【点评】本题主要考查了循环结构的程序框图，考查了定积分的应用，属于基本知识的考查．
14．（5分）（2015•山东）已知函数f （x ）=a+b （a ＞0，a ≠1）的定义域和值域都是[﹣1，0]，则a +b=
．
x
x
【分析】对a 进行分类讨论，分别题意和指数函数的单调性列出方程组，解得答案． 【解答】解：当a ＞1时，函数f （x ）=a+b 在定义域上是增函数， 所以
，
解得b=﹣1，=0不符合题意舍去；
当0＜a ＜1时，函数f （x ）=a+b 在定义域上是减函数，
x
所以，
解得b=﹣2，a=， 综上a +b=故答案为：
，
【点评】本题考查指数函数的单调性的应用，以及分类讨论思想，属于中档题．
15．（5分）（2015•山东）平面直角坐标系xOy 中，双曲线C 1：
2
﹣=1（a ＞0，b ＞0）
的渐近线与抛物线C 2：x =2py（p ＞0）交于点O ，A ，B ，若△OAB 的垂心为C 2的焦点，则C 1的离心率为
．
【分析】求出A 的坐标，可得=
，利用△OAB 的垂心为C 2
的焦点，可得
×（﹣）=﹣1，由此可求C 1的离心率．
【解答】解：双曲线C 1：
2
﹣=1（a ＞0，b ＞0）的渐近线方程为y=±x ，
与抛物线C 2：x =2py联立，可得x=0或x=±
，
取A （，），设垂心H （0，），
则k AH
=
=，
∵△OAB 的垂心为C 2的焦点， ∴
2
2
×（﹣）=﹣1，
∴5a =4b，
222∴5a =4（c ﹣a ） ∴e==．
故答案为：．
【点评】本题考查双曲线的性质，考查学生的计算能力，确定A 的坐标是关键．
三、解答题
16．（12分）（2015•山东）设f （x ）=sinxcosx﹣cos （x +（Ⅰ）求f （x ）的单调区间；
（Ⅱ）在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若f （）=0，a=1，求△ABC 面积的最大值．
【分析】（Ⅰ）由三角函数恒等变换化简解析式可得f （x ）=sin2x﹣，由2k ≤2k
，k ∈Z 可解得f （x ）的单调递增区间，由2k
≤2x ≤2k
≤2x ，k ∈Z
2
）．
可解得单调递减区间．
（Ⅱ）由f （）=sinA﹣=0，可得sinA ，cosA ，由余弦定理可得：bc 时等号成立，从而可求bcsinA ≤
，从而得解．
，且当b=c
【解答】解：（Ⅰ）由题意可知，f （x ）=sin2x ﹣=sin2x ﹣=sin2x﹣ 由2k 由2k
≤2x ≤2k ≤2x ≤2k
，k ∈Z 可解得：k ，k ∈Z 可解得：k
，k
≤x ≤k ≤x ≤k
，k ∈Z ； ，k ∈Z ；
，
所以（f x ）的单调递增区间是[k k
]，（k ∈Z ）；
]，（k ∈Z ）；单调递减区间是：[k
（Ⅱ）由f （）=sinA﹣=0，可得sinA=， 由题意知A 为锐角，所以cosA=由余弦定理a =b+c ﹣2bccosA ，
22
可得：1+bc=b+c ≥2bc ，即bc 因此S=bcsinA ≤
，
2
2
2
，
，且当b=c时等号成立．
所以△ABC 面积的最大值为．
【点评】本题主要考查了正弦函数的图象和性质，余弦定理，基本不等式的应用，属于基本知识的考查． 17．（12分）（2015•山东）如图，在三棱台DEF ﹣ABC 中，AB=2DE，G ，H 分别为AC ，BC 的中点．
（Ⅰ）求证：BD ∥平面FGH ；
（Ⅱ）若CF ⊥平面ABC ，AB ⊥BC ，CF=DE，∠BAC=45°，求平面FGH 与平面ACFD 所成的角（锐角）的大小．
【分析】（Ⅰ）根据AB=2DE便可得到BC=2EF，从而可以得出四边形EFHB 为平行四边形，从而得到BE ∥HF ，便有BE ∥平面FGH ，再证明DE ∥平面FGH ，从而得到平面BDE ∥平面FGH ，从而BD ∥平面FGH ；
（Ⅱ）连接HE ，根据条件能够说明HC ，HG ，HE 三直线两两垂直，从而分别以这三直线为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系，然后求出一些点的坐标．连接BG ，可说明ACFD 的一条法向量，设平面FGH 的法向量为
，根据
为平面
即可求出法
向量，设平面FGH 与平面ACFD 所成的角为θ，根据cos θ=
平面FGH 与平面ACFD 所成的角的大小． 【解答】解：（Ⅰ）证明：根据已知条件，DF ∥AC ，EF ∥BC ，DE ∥AB ； △DEF ∽△ABC ，又AB=2DE， ∴BC=2EF=2BH，
∴四边形EFHB 为平行四边形；
∴BE ∥HF ，HF ⊂平面FGH ，BE ⊄平面FGH ； ∴BE ∥平面FGH ；
同样，因为GH 为△ABC 中位线，∴GH ∥AB ； 又DE ∥AB ； ∴DE ∥GH ；
∴DE ∥平面FGH ，DE ∩BE=E；
∴平面BDE ∥平面FGH ，BD ⊂平面BDE ； ∴BD ∥平面FGH ；
（Ⅱ）连接HE ，则HE ∥CF ； ∵CF ⊥平面ABC ；
∴HE ⊥平面ABC ，并且HG ⊥HC ；
即可求出
∴HC ，HG ，HE 三直线两两垂直，分别以这三直线为x ，y ，z 轴，建立如图所示空间直角坐标系，设HC=1，则：
H （0，0，0），G （0，1，0），F （1，0，1），B （﹣1，0，0）； 连接BG ，根据已知条件BA=BC，G 为AC 中点； ∴BG ⊥AC ；
又CF ⊥平面ABC ，BG ⊂平面ABC ； ∴BG ⊥CF ，AC ∩CF=C； ∴BG ⊥平面ACFD ； ∴向量
为平面ACFD 的法向量；
，则：
设平面FGH 的法向量为
，取z=1，则：；
设平面FGH 和平面ACFD 所成的锐二面角为θ，则：cos θ=|cos |=；
∴平面FGH 与平面ACFD 所成的角为60°．
【点评】考查棱台的定义，平行四边形的定义，线面平行的判定定理，面面平行的判定定理及其性质，线面垂直的性质及线面垂直的判定定理，以及建立空间直角坐标系，利用空间向量求二面角的方法，平面法向量的概念及求法，向量垂直的充要条件，向量夹角余弦的坐标公式，平面和平面所成角的定义．
18．（12分）（2015•山东）设数列{a n }的前n 项和为S n ，已知2S n =3+3． （Ⅰ）求{a n }的通项公式；
（Ⅱ）若数列{b n }，满足a n b n =log3a n ，求{b n }的前n 项和T n ．
n n ﹣1
【分析】（Ⅰ）利用2S n =3+3，可求得a 1=3；当n ＞1时，2S n ﹣1=3+3，两式相减2a n =2Sn
n ﹣1
﹣2S n ﹣1，可求得a n =3，从而可得{a n }的通项公式； （Ⅱ）依题意，a n b n =log3a n ，可得b 1=，当n ＞1时，b n =3
1﹣n
n
•log 33
n ﹣1
=（n ﹣1）×3
1﹣n
，
1﹣
于是可求得T 1=b1=；当n ＞1时，T n =b1+b 2+…+b n =+（1×3+2×3+…+（n ﹣1）×3
n
﹣1﹣2
），利用错位相减法可求得{b n }的前n 项和T n ．
n 1
【解答】解：（Ⅰ）因为2S n =3+3，所以2a 1=3+3=6，故a 1=3，
n ﹣1
当n ＞1时，2S n ﹣1=3+3，
n n ﹣1n ﹣1n ﹣1
此时，2a n =2Sn ﹣2S n ﹣1=3﹣3=2×3，即a n =3，
所以a n =
．
（Ⅱ）因为a n b n =log3a n ，所以b 1=， 当n ＞1时，b n =3所以T 1=b1=；
当n ＞1时，T n =b1+b 2+…+b n =+（1×3+2×3+…+（n ﹣1）×3所以3T n =1+（1×3+2×3+3×3+…+（n ﹣1）×3两式相减得：2T n =+（3+3+3+…+3×3
1﹣n
﹣1
﹣2
﹣1
﹣2
1﹣n
•log 33
n ﹣1
=（n ﹣1）×3
1﹣n
，
1﹣n
），
0﹣1﹣22﹣n
），
1﹣n
2﹣n
﹣（n ﹣1）×3）=+﹣（n ﹣1）
=﹣﹣
﹣
，
，经检验，n=1时也适合，
．
所以T n =
综上可得T n =
【点评】本题考查数列的求和，着重考查数列递推关系的应用，突出考查“错位相减法”求和，
考查分析、运算能力，属于中档题． 19．（12分）（2015•山东）若n 是一个三位正整数，且n 的个位数字大于十位数字，十位数字大于百位数字，则称n 为“三位递增数”（如137，359，567等）．在某次数学趣味活动中，每位参加者需从所有的“三位递增数”中随机抽取1个数，且只能抽取一次，得分规则如下：若抽取的“三位递增数”的三个数字之积不能被5整除，参加者得0分，若能被5整除，但不能被10整除，得﹣1分，若能被10整除，得1分． （Ⅰ）写出所有个位数字是5的“三位递增数”；
（Ⅱ）若甲参加活动，求甲得分X 的分布列和数学期望EX ． 【分析】（Ⅰ）根据“三位递增数”的定义，即可写出所有个位数字是5的“三位递增数”； （Ⅱ）随机变量X 的取值为：0，﹣1，1分别求出对应的概率，即可求出分布列和期望． 【解答】解：（Ⅰ）根据定义个位数字是5的“三位递增数”有：125，135，145，235，245，345；
（Ⅱ）由题意知，全部“三位递增数”的个数为随机变量X 的取值为：0，﹣1，1，
当X=0时，可以选择除去5以外的剩下8个数字中选择3个进行组合，即
；
，
当X=﹣1时，首先选择5，由于不能被10整除，因此不能选择数字2，4，6，8，可以从1，3，7，9中选择两个数字和5进行组合，即
；
当X=1时，有两种组合方式，第一种方案：首先选5，然后从2，4，6，8中选择2个数字和5进行组合，即
；第二种方案：首先选5，然后从2，4，6，8中选择1个数字，再从
．
1，3，7，9中选择1个数字，最后把3个数字进行组合，即
则P （X=0）==，P （X=﹣1）=+1×
=
．
=，P （X=1）=
=，
EX=0×+（﹣1）×
【点评】本题主要考查离散型随机变量的分布列和期望的计算，求出对应的概率是解决本题的关键．
20．（13分）（2015•山东）平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：
+
=1（a ＞b ＞0）的
离心率为
，左、右焦点分别是F 1，F 2，以F 1为圆心以3为半径的圆与以F 2为圆心以1
为半径的圆相交，且交点在椭圆C 上． （Ⅰ）求椭圆C 的方程； （Ⅱ）设椭圆E ：
+
=1，P 为椭圆C 上任意一点，过点P 的直线y=kx+m 交椭圆E
于A ，B 两点，射线PO 交椭圆E 于点Q ． （i ）求|
|的值；
（ii ）求△ABQ 面积的最大值． 【分析】（Ⅰ）运用椭圆的离心率公式和a ，b ，c 的关系，计算即可得到b ，进而得到椭圆C 的方程；
（Ⅱ）求得椭圆E 的方程，（i ）设P （x 0，y 0），|E 的方程，化简整理，即可得到所求值；
（ii ）设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），将直线y=kx+m 代入椭圆E 的方程，运用韦达定理，三角形的面积公式，将直线y=kx+m 代入椭圆C 的方程，由判别式大于0，可得t 的范围，结合二次函数的最值，又△ABQ 的面积为3S ，即可得到所求的最大值． 【解答】解：（Ⅰ）由题意可知，PF 1+PF 2=2a=4，可得a=2， 又=
，a ﹣c =b，
+y =1；
2
2
2
2
|=λ，求得Q 的坐标，分别代入椭圆C ，
可得b=1，即有椭圆C 的方程为
（Ⅱ）由（Ⅰ）知椭圆E 的方程为（i ）设P （x 0，y 0），|
+=1，
|=λ，由题意可知，
Q （﹣λx 0，﹣λy 0），由于+y 0=1，
2
又
所以λ=2，即|
+|=2；
=1，即（
+y 0）=1，
2
（ii ）设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），将直线y=kx+m 代入椭圆E 的方程，可得
22222
（1+4k ）x +8kmx +4m ﹣16=0，由△＞0，可得m ＜4+16k ，① 则有x 1+x 2=﹣
，x 1x 2=
，所以|x 1﹣x 2|=
，
由直线y=kx+m 与y 轴交于（0，m ）， 则△AOB 的面积为S=|m |•|x 1﹣x 2|=|m |•
=2，设=t，则S=2
2
2
，
2
将直线y=kx+m 代入椭圆C 的方程，可得（1+4k ）x +8kmx +4m ﹣4=0，
22
由△≥0可得m ≤1+4k ，② 由①②可得0＜t ≤1，则S=2
2
2
在（0，1]递增，即有t=1取得最大值，
即有S ，即m =1+4k ，取得最大值2， 由（i ）知，△ABQ 的面积为3S ， 即△ABQ 面积的最大值为6．
【点评】本题考查椭圆的方程和性质，主要考查直线方程和椭圆方程联立，运用韦达定理，同时考查三角形的面积公式和二次函数的最值，属于中档题．
21．（14分）（2015•山东）设函数f （x ）=ln（x +1）+a （x ﹣x ），其中a ∈R ， （Ⅰ）讨论函数f （x ）极值点的个数，并说明理由； （Ⅱ）若∀x ＞0，f （x ）≥0成立，求a 的取值范围．
【分析】（I ）函数（f x ）=ln（x +1）+（a x ﹣x ），其中a ∈R ，x ∈（﹣1，+∞）．
2
2
=．令g （x ）=2ax+ax ﹣a +1．对a 与△分类讨论可得：（1）当a=0时，此
2
时f ′（x ）＞0，即可得出函数的单调性与极值的情况．
（2）当a ＞0时，△=a（9a ﹣8）．①当时，△≤0，②当a 时，△＞0，即可
得出函数的单调性与极值的情况．
（3）当a ＜0时，△＞0．即可得出函数的单调性与极值的情况． （II ）由（I ）可知：（1）当0≤a 断出．
（2）当＜a ≤1时，由g （0）≥0，可得x 2≤0，函数f （x ）在（0，+∞）上单调性，即可判断出．
（3）当1＜a 时，由g （0）＜0，可得x 2＞0，利用x ∈（0，x 2）时函数f （x ）单调性，即可判断出；
（4）当a ＜0时，设h （x ）=x﹣ln （x +1），x ∈（0，+∞），研究其单调性，即可判断出
2
【解答】解：（I ）函数f （x ）=ln（x +1）+a （x ﹣x ），其中a ∈R ，x ∈（﹣1，+∞）．
=
2
时，可得函数f （x ）在（0，+∞）上单调性，即可判
．
令g （x ）=2ax+ax ﹣a +1．
（1）当a=0时，g （x ）=1，此时f ′（x ）＞0，函数f （x ）在（﹣1，+∞）上单调递增，无极值点．
（2）当a ＞0时，△=a﹣8a （1﹣a ）=a（9a ﹣8）． ①当
时，△≤0，g （x ）≥0，f ′（x ）≥0，函数f （x ）在（﹣1，+∞）上单调递
2
增，无极值点． ②当a ∵x 1+x 2=∴
时，△＞0，设方程2ax +ax ﹣a +1=0的两个实数根分别为x 1，x 2，x 1＜x 2． ， ，
．
．
2
由g （﹣1）＞0，可得﹣1＜x 1
∴当x ∈（﹣1，x 1）时，g （x ）＞0，f ′（x ）＞0，函数f （x ）单调递增； 当x ∈（x 1，x 2）时，g （x ）＜0，f ′（x ）＜0，函数f （x ）单调递减； 当x ∈（x 2，+∞）时，g （x ）＞0，f ′（x ）＞0，函数f （x ）单调递增． 因此函数f （x ）有两个极值点．
（3）当a ＜0时，△＞0．由g （﹣1）=1＞0，可得x 1＜﹣1＜x 2．
∴当x ∈（﹣1，x 2）时，g （x ）＞0，f ′（x ）＞0，函数f （x ）单调递增； 当x ∈（x 2，+∞）时，g （x ）＜0，f ′（x ）＜0，函数f （x ）单调递减． 因此函数f （x ）有一个极值点．
综上所述：当a ＜0时，函数f （x ）有一个极值点； 当0≤a
时，函数f （x ）无极值点；
当a 时，函数f （x ）有两个极值点．
（II ）由（I ）可知： （1）当0≤a
时，函数f （x ）在（0，+∞）上单调递增．
∵f （0）=0，
∴x ∈（0，+∞）时，f （x ）＞0，符合题意．
（2）当＜a ≤1时，由g （0）≥0，可得x 2≤0，函数f （x ）在（0，+∞）上单调递增． 又f （0）=0，
∴x ∈（0，+∞）时，f （x ）＞0，符合题意． （3）当1＜a 时，由g （0）＜0，可得x 2＞0， ∴x ∈（0，x 2）时，函数f （x ）单调递减． 又f （0）=0，
∴x ∈（0，x 2）时，f （x ）＜0，不符合题意，舍去；
（4）当a ＜0时，设h （x ）=x﹣ln （x +1），x ∈（0，+∞），h ′（x ）=∴h （x ）在（0，+∞）上单调递增．
因此x ∈（0，+∞）时，h （x ）＞h （0）=0，即ln （x +1）＜x ，
22
可得：f （x ）＜x +a （x ﹣x ）=ax+（1﹣a ）x ， 当x ＞
2
＞0．
时，
ax +（1﹣a ）x ＜0，此时f （x ）＜0，不合题意，舍去． 综上所述，a 的取值范围为[0，1]．
【点评】本题考查了导数的运算法则、利用导数研究函数的单调性极值，考查了分析问题与解决问题的能力，考查了分类讨论思想方法、推理能力与计算能力，属于难题．
参与本试卷答题和审题的老师有：qiss ；吕静；双曲线；maths ；刘长柏；w3239003；翔宇老师；wkl197822；wfy814；沂蒙松（排名不分先后） 菁优网
2016年8月29日