20.5 等腰梯形的判定
●目标导航
学习目标： 1. 知识与技能
了解等腰梯形的判定方法. 2. 过程与方法
在探索等腰梯形的判定方法过程中，发展主动合作交流、主动探究的意识.
3. 体会动手的乐趣，与他人合作的快乐及对成功的感受，培养自信心，感受生活中处处有
数学.
重点难点：等腰梯形的判定方法及其应用. 中招考点：等腰梯形的判定方法.
易错点：对等腰梯形的判定方法认识不清. 学法指导：在本节的学习中，通常通过证明我们熟悉的平行四边形来判定等腰梯形. 同时辅助线的添加也是解决梯形问题的一个特点，理解和掌握梯形常用辅助线的做法是很必要的.
●名师引领
一、[回顾旧知]
等腰梯形的性质：
性质定理1：等腰梯形的同一底上的两个内角相等； 性质定理2：等腰梯形的两条对角线相等.
知道了等腰梯形的性质，那么你能利用性质来判定等腰梯形吗？ 二、[课前教学设计]
四个如图（1）所示中的梯形，它们符合什么条件时，可以经过旋转和翻折形成图（2）的梯形？
观察图（2）可知，相邻两梯形的腰与腰、腰与上底相互重合，由此可知，此梯形是上底与腰相等的等腰梯形. 再由等腰梯形的性质，有公共顶点的三个底角相等，每个角为120，则另一底角为60.因此，符合条件的梯形是：底角为60且上底与两腰相等的等腰梯形.
这一节我们学习等腰梯形的判定.
三、[主体知识归纳]
知识点1：判别1：两腰相等的梯形是等腰梯形
详解：此判别方法是用边的关系来判定是否为等腰梯形，也是用定义来判定，
首先应说
明四边形为梯形，再说明此梯形的两腰相等，则可判定此四边形为等腰梯形.
知识点2：判别2：同一底上两个角相等的梯形是等腰梯形
详解：如图所示，梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=∠C，那么就有AB=DC.理由如下：作DE∥AB，交BC于点E，则∠1=∠B（两直线平行，同位角相等）.因为∠B=∠C，所以∠1=∠C，所以DE=DC. 又因为AD∥BC，AB∥DE，所以四边形ABED是平行四边形，所以DE=AB（平行四边形的对边相等），所以AB=DC，即梯形ABCD是等腰梯形.
注意：相等的两个角必须是同底上的两个角.
知识点3：判别2：对角线相等的梯形是等腰梯形
详解：如图所示，梯形ABCD中，AC=BD,则AB=DC.理由如下：过点D作DE∥AC交BC的延长线于点E.因为AD∥CE,所以四边形ADEC是平行四边形，所以AC=DE.又因为AC=BD,所以BD=DE，所以∠DBC=∠E.因为∠E=∠ACB,所以∠DBC=∠ACB.又因为AC=BD,BC=BC,所以⊿ABC≌⊿DCB,所以∠ABC=∠DCB, 所以梯形ABCD是等腰梯形.
注意：判定的前提条件:四边形必须首先是梯形. 四、【梯度练习】
1、如图所示，四边形ABCD中AD∥BC，AD≠BC，M是AD的中点，MB=MC，说明四边形ABCD是等腰梯形.
2、如图所示，△ABC为等腰三角形，AB=AC，E、F是AB上的两点，分别过E、F两点作EG∥BC，FH∥BC交AC于G、H两点，则四边形EFHG是等腰梯形吗？为什么？
3、如图所示，已知等腰梯形ABCD中，AB∥DC, AC与BD交于点O，且OA=OB,
求证：梯形ABCD是等腰梯形.
梯度练习答案：
1、解：因为AD∥BC，AD≠BC，所以四边形ABCD是梯形. 因为MB=MC， 所以∠MBC=∠MCB. 因为AD∥BC，所以∠AMB=∠MBC, ∠DMCMCB. 所以∠AMB=∠C.又因为AM=MD，所以△AMB≌△DMC. 所以AB=DC，所以梯形ABCD是等腰梯形. 点拨：要说明四边形ABCD是等腰梯形，先说明四边形ABCD是梯形，再说明AB=DC.
2、解：因为EG∥BC，FH∥BC，所以EG∥FH. 又因为EF与GH相交于，所以它们不平行，所以四边形EFHG是梯形. 因为AB=AC，所以∠B=∠C. 因为FH∥BC，所以∠B=∠EFH，∠C=∠GHF. 所以∠EFH=∠GHF. 四边形EFHG是等腰梯形. 点拨：要说明四边形EFHG是等腰梯形，需先说明四边形EFHG是梯形，再说明∠EFH=∠GHF.
3、证明： 因为OA=OB,所以∠1=∠2.
因为AB∥CD，所以∠1=∠3，∠2=∠4，所以∠3=∠4，所以OD=OC, 所以OA+OC=OB+OD, 即AC=BD. 所以梯形ABCD是等腰梯形.
五、【为你支招】
问题1：等腰梯形有等腰对等角和等角对等边的性质吗?
答：没有. 那性质只适用于等腰三角形,但是,等腰梯形同一边上的两个底角 相等,两条腰相等,只不过说法不同,其实意思一样的. 问题2：
如果已知道等腰梯形的两个底角相等，对角线相等，能证明它是等腰梯形吗?
答：不能. 因为对角线相等现在不做为判定的主要方法,而实际上是对的,我们现在要证明一个四边形是梯形,就要先证明一组对边平行,另一组不平行,而要证明等腰梯形,就要在已经证出梯形的基础上,再证出两底角相等或两腰相等
即 四边形---梯形---等腰梯形.
●师生互动 共解难题
一、【例题精讲】
【例1】如图所示，梯形ABCD中，AB∥CD，AD=BC，延长AB到E，使BE=DC，连AC、CE，AC与CE相等吗？为什么？
解：AC=CE.理由如下，因为DC∥AB，BE=DC，且E在AB的延长线上，即DC平行且等于BE，所以四边形EBDC是平行四边形.所以CE=BD.又因为AD=BC，所以梯形ABCD是等腰梯形，所以AC=BD，故AC=CE.
点拨：本题考查等腰梯形的性质、平行四边形的识别与性质.等腰梯形中两条对角线相等，因此解题思路较明显：连结BD证BD=CE，可证四边形EBDC是平行四边形.
【例2】：如图所示，梯形ABCD中，AD∥BC，AD＜BC，E、F分别为AD、BC的中点且EF⊥BC，试判断四边形ABCD是否为等腰梯形，若是，给出理由.
解：是.理由如下：过E作EM∥AB交BC于M，作EN∥CD交BC于N
ABME和四边形ENCD都为平行四边形.因为AE=BM，AB平行且等于EM，DE=CN，ENCD，又因为AE=DE，所以BM=CN.又因为BF=CF，所以FM=FN.因为EF⊥BC，所以EM=EN.所以∠1=
∠2.又因为AB∥EM，CD∥EN，所以∠1=∠B，∠2=∠C.所以∠B=∠C.又因为AD≠BC，AD∥BC，所以梯形ABCD是等腰梯形.
点拨：要判别四边形ABCD是等腰梯形，即要证∠B=∠C；可以先把它们平移到同一个三角形中，再利用等腰三角形的有关性质证明.
【例3】如图所示，△ABC中，AB=AC，BD、CE分别为∠ABC、∠ACB的平分线，求证：四边形EBCD为等腰梯形.
证明：因为AB=AC，所以∠ABC=∠ACB，所以∠1=∠2=
1
∠ABC. 2
BC=CB.所以△EBC≌△DCB (A.S.A.).所以BE=CD.所以AB-BE=AC-CD.所
1800-∠A
以∠ABC=∠AED=.所以，ED∥BC.又因为BE与CD交于点A，
2
即EB与CD不平行，所以四边形EBCD是梯形，又BE=CD，所以四边形EBCD是等腰梯形.
点拨：欲证四边形EBCD是等腰梯形，解题思路是证ED∥BC，BE=CD.由已知条件易证△BCD≌△CBE，得到EB=DC，从而AE=AD，再运用等腰三角形的性质可证ED∥BC.
●真题再现 赢在中考
1.（08年广州）如图7，在菱形ABCD中，∠DAB=60°，过点C作CE⊥AC且与AB的延长线交于点E，求证：四边形AECD是等腰梯形.
解
：
提
示
：
∠CAE=
1
∠DAB=3002
得
∠E=600=∠DAB，由DC//AE,AD不平行CE得证.
2.（08年深圳）如图，在梯形ABCD中，AB∥DC， DB平分∠ADC，过点A作AE∥BD，交CD的延长线于点E，且∠C＝2∠E．
（1）求证：梯形ABCD是等腰梯形．
（2）若∠BDC＝30°，AD＝5，求CD的长．
参考答案：
（1）证明：∵AE∥BD, ∴∠E＝∠BDC ∵DB平分∠ADC ∴∠ADC＝2∠BDC 又∵∠C＝2∠E ∴∠ADC＝∠BCD
∴梯形ABCD是等腰梯形．
（2）解：由第（1）问，得∠C＝2∠E＝2∠BDC＝60°，且BC＝AD＝5
∵ 在△BCD中，∠C＝60°, ∠BDC＝30° ∴ ∠DBC＝90°
∴ DC＝2BC＝10
●思路拓展
步骤1：迁移
1. 如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AC、BD相交于点O，有如下五个结论：
①△AOD∽△BOC； ②∠DAC=∠DCA； ③梯形ABCD是轴对称图形；④△AOB≌△AOD； ⑤AC=BD．
请把其中正确结论的序号填写在横线上 ．
答案：①③⑤
步骤2：延伸
2.如图，梯形ABCD中，AB∥CD，现在我们又添加一个条件，例如：“BC=AD”就可以判定梯形ABCD是等腰梯形．又如连接对角线AC、BD，我们添加条件“AC=BD”也可以判定梯形ABCD是等腰梯形．除了上述两例外，请你至少再设计两种添加一个条件使之成为等腰梯形的方案．
分析：梯形判定的方法一般从边、角、对角线三个方面进行判别，本题中已经使用了BC=AD和AC=BD，剩下的只能从角的方面去考虑，“同一底上的两个角”在本题中可以有不同的呈现形式.
解：答案不唯一.如①∠A=∠B;②∠C=∠D;
③∠B+∠D=180;④∠A+∠C=180.
点拨：本题考查判定梯形成为等腰梯形的条件. 步骤3：发散
3.如图，过等腰梯形一腰上任意n个点作两底的n条平行线，共得等腰梯形的个数为S.
（1）当n=5时，S= ；
（2）归纳并探索第n个图形中等腰梯形总数S= .
分析：看梯形的一腰，会发现腰上的点能连成几条线段，就有几个等腰梯形，如n=1时，总共有3个点能连3条线段，有3个梯形；n=3，共有5个点能连10条线段，就有10个等腰梯形.点的个数恰好是序号n加上原来的两个顶点共（n+2）个点，可以连条线段.
解：（1）21 （2）
(n+2)(n+1)
2
(n+2)(n+1)
2
点拨：（n+2）个点中，每个点可以与除本身外的（n+1）个点组成线段，共有(n+2)(n+1)条，其中每条都算了两次，所以除以
2.
●积累运用 学会创新
一、基础巩固
1.下列说法正确的是（ ）
A、两条对角线相等的梯形是等腰梯形 B、有两个角相等的梯形是等腰梯形 C、有两条边相等的梯形是等腰梯形
D、有一组对边平行而另一组对边相等的四边形是等腰梯形 2.有两个角相等的梯形是（ ）
A、等腰梯形 B、直角梯形 C、一般梯形
D、等腰梯形或直角梯形
3.在四边形ABCD中，∠A：∠B：∠C：∠D=2：1：1：2，则四边形ABCD的形状是（ ）
A、菱形 B、矩形
C、等腰梯形 D、平行四边形
4. 等腰梯形的两底之差为12，高为6，则这个等腰梯形的锐角的度数为（ ） A、30 B、45 C、60 D、75
5．在梯形ABCD中，AB∥CD，∠A=∠B,E是AB的中点，则线段EC与ED的数量关系是( ) A、EC=ED B、EC>ED C、EC
6. 的四边形是梯形， 或 的梯形是等腰梯形. 7. 等腰梯形的上底、下底和腰的长分别为4cm、10 cm、5 cm，则梯形的高 是 cm，对角线是 cm.
8.若等腰梯形的三边长分别为3、4、11，则这个等腰梯形的周长为（ ）
A、21 B、29
C、21或29 D、21或22或29 9. 如图所示，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，∠C=60，
AB=点P从点A沿AD边以1cm/s的速度向D运动 s后，四边形PBCD是等腰梯形.
10. 如图所示，已知AE=BE, DE=CE,求证四边形ABCD是等腰梯形.
11. 如图所示，已知在等腰梯形ABCD中，AD∥BC,∠A与∠C互补，求证四边形ABCD是等腰梯形.
12. 如图所示，已知在矩形ABCD中，对角线AC和BD相交于O,E,F分别是OA,OD的中点，求证四边形BEFC是等腰梯形.
二、能力提高
13. 如图所示，已知在梯形ABCD中，AB∥DC, ∠ABC=90，
AB=2DC, AC⊥BD于F,EF∥AB交AD于E，求证四边形ABFE是等腰梯形.
14.如图所示，已知M、E、F分别是⊿ABC的边BC、AC、AB的中点，AD⊥BC于D．求证：四边形DEFM是等腰梯形．
15. 已知：如图，在等腰△ABC中，AB=AC，BD⊥AC，CE⊥AB， 垂足分别为点D，E，连接DE．求证：四边形BCDE是等腰梯形．
三、思路拓展
16.如图甲，四边形ABCD是等腰梯形，AB∥DC．由4个这样的等腰梯形可以拼出图乙所示的平行四边形． （1） 求四边形ABCD四个内角的度数；
（2） 试探究四边形ABCD四条边之间存在的等量关系，并说明理由；
（3） 现有图甲中的等腰梯形若干个，利用它们你能拼出一个菱形吗？若能，请你画出大
致的示意图．
AB
图乙 图甲
参考答案： 一、基础巩固
1、A 点拨：B应说明是同一底上的两个角；C应说明是两腰相等；D另一组对边可能平行． 2、D 3、C 4、B
5、A 点拨：由条件易得⊿ABC≌⊿BCE，∴DE=CE．
6、只有一组对边平行且不相等 两条腰相等 两个底角相等． 7、4
点拨：利用勾股定理解题．
8、B 点拨：只有两底边是3和4，腰长是11时才能组成等腰梯形．
9、2 点拨：当四边形PBCD是等腰梯形时，∠PBC=∠C= 60.又∵AB⊥BC,∴∠PBC=90,∠APB=30.设运动t s后四边形PBCD是等腰梯形，在Rt⊿ABP中，AP=t cm，BP=2t cm.根
据勾股定理，得（2t）=t+（，解得t=2（s）.
10、证明：∵DE=CE, ∴∠EDC=∠ECD. 又∵AE=BE, ∴∠EAB=∠EBA.
∵∠EDC+∠ECD+∠E=180, ∠EAB+∠EBA+∠E=180, ∴∠EDC=∠EAB, ∴CD∥AB, ∵ AD,BC相交于点E，∴AD与BC不平行，∴四边形ABCD是梯形.
又∵AD=AE-DE=BE-CE=BC, ∴梯形ABCD是等腰梯形.
11、证明：∵AD∥BC， ∴∠A+∠B=180.又∵∠A+∠C=180，∴∠B=∠C，
∴梯形ABCD是等腰梯形.
222
11
OA, OF=OD, 在矩形ABCD22
1
中，AD∥BC，所以EF∥BC且EF≠BC，所以四边形BEFC是梯形.因为OA=OC=AC,
2
1
OD=OB=BD, 又因为AC=BD，所以OC=OB,OA=OD,OE=OF , 所以OE+OC=OF+OB,
2
12、证明：因为E,F分别是OA，OD的中点，所以EF∥AD，OE=即EC=FB, 所以四边形BEFC是等腰梯形. 二、能力提高
7、解：过C和B分别作CE⊥AD，BF⊥AD
∠BCD=120 ∴∠ECD=30
11
∴ED=CD=⨯5=2.5
22
∴四边形ABCD为等腰梯形 ∴AF=ED=2.5 EF=BC=2
∴AD=DE+EF+FA=2.5+2+2.5=7（米）
F E
D
B
8、解法1：如图1，过D点作DE∥AB交BC于E．
∵AD∥BC， ∴BE=AD=10，
AD
DE=AB=DC=18．
∵∠B=∠C=60，∴EC=DC=DE=18．∴BC=BE+EC=10+18=28． 图1
解法2：如图2，分别过A，D两点作AE⊥BC，DF⊥BC，垂足为E和F
∵AD∥BC，AB=CD，
∴∠B=∠C=60，EF=AD=10，∠BAE=∠CDF=30． E
D
∴Rt△ABE≌Rt△DCF，
1 AB=9，
图2 2
∴BC=BE+EF+FC=9+10+9=28．
解法3：如图3，分别延长BA，CD交于点E． E
∵AD∥BC，AB=CD，
∴BE=CF=
∴∠B=∠C=60，∠EAD=∠EDA=60，
AD
∴△EBC与△EAD均为等边三角形， ∴BC=BE=AB+AE=AB+AD=18+10=28．
图3
解法4：如图4，过C作CE∥BA交AD的延长线与点E．
∵AD∥BC，
∴四边形ABCE是平行四边形，∠C=∠CDE=60
A
∴AB=EC=DC=18，∴△DEC是等边三角形，DE=AB=18，∴BC=AD+DE=10+18=28．
图4 三、思路拓展
9、（1）如图，∠1=∠2=∠3，∠1+∠2+∠3=360，
所以3∠1=360，即∠1=120．
MF2
3
E
所以梯形的上底角均为120，下底角均为60．
（2）由于EF既是梯形的腰，又是梯形的上底可知，梯形的腰等于上底．
180 -120
=30 ， 连接MN，则∠FMN=∠FNM=
2
从而∠HMN=30，∠HNM=90． 所以NH=
1
MH． 2
因此梯形的上底等于下底的一半，且等于腰长． （3）能拼出菱形．如图
11、证明：在等腰
△=∠ACB．
CE⊥∠CDB=90．又BC=CB，
∴△BEC．
∴BE=CD．∴AE=AD．
∴∠AED=∠ADE．∴∠AED=∠ABC．∴ED∥BC． 又BE，CD不平行，∴四边形BCDE是梯形． ∴四边形BCDE是等腰梯形．（理由：同一底上的两底角相等的梯形是等腰梯形，或两腰相等的梯形是等腰梯形）
●教、学后记 一、教后记
（1）请记录下这节课你上得最精彩的地方（如课堂上出现的突发事件及处理方法）；
（2）请总结出这节课你认为有待改进的地方
二、学后记
（1）通过本节课学习，你都学到哪些知识？有哪些问题还存在认知困难？
（2）在本节课中你学到了解决数学问题的什么方法？
20.5 等腰梯形的判定
●目标导航
学习目标： 1. 知识与技能
了解等腰梯形的判定方法. 2. 过程与方法
在探索等腰梯形的判定方法过程中，发展主动合作交流、主动探究的意识.
3. 体会动手的乐趣，与他人合作的快乐及对成功的感受，培养自信心，感受生活中处处有
数学.
重点难点：等腰梯形的判定方法及其应用. 中招考点：等腰梯形的判定方法.
易错点：对等腰梯形的判定方法认识不清. 学法指导：在本节的学习中，通常通过证明我们熟悉的平行四边形来判定等腰梯形. 同时辅助线的添加也是解决梯形问题的一个特点，理解和掌握梯形常用辅助线的做法是很必要的.
●名师引领
一、[回顾旧知]
等腰梯形的性质：
性质定理1：等腰梯形的同一底上的两个内角相等； 性质定理2：等腰梯形的两条对角线相等.
知道了等腰梯形的性质，那么你能利用性质来判定等腰梯形吗？ 二、[课前教学设计]
四个如图（1）所示中的梯形，它们符合什么条件时，可以经过旋转和翻折形成图（2）的梯形？
观察图（2）可知，相邻两梯形的腰与腰、腰与上底相互重合，由此可知，此梯形是上底与腰相等的等腰梯形. 再由等腰梯形的性质，有公共顶点的三个底角相等，每个角为120，则另一底角为60.因此，符合条件的梯形是：底角为60且上底与两腰相等的等腰梯形.
这一节我们学习等腰梯形的判定.
三、[主体知识归纳]
知识点1：判别1：两腰相等的梯形是等腰梯形
详解：此判别方法是用边的关系来判定是否为等腰梯形，也是用定义来判定，
首先应说
明四边形为梯形，再说明此梯形的两腰相等，则可判定此四边形为等腰梯形.
知识点2：判别2：同一底上两个角相等的梯形是等腰梯形
详解：如图所示，梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=∠C，那么就有AB=DC.理由如下：作DE∥AB，交BC于点E，则∠1=∠B（两直线平行，同位角相等）.因为∠B=∠C，所以∠1=∠C，所以DE=DC. 又因为AD∥BC，AB∥DE，所以四边形ABED是平行四边形，所以DE=AB（平行四边形的对边相等），所以AB=DC，即梯形ABCD是等腰梯形.
注意：相等的两个角必须是同底上的两个角.
知识点3：判别2：对角线相等的梯形是等腰梯形
详解：如图所示，梯形ABCD中，AC=BD,则AB=DC.理由如下：过点D作DE∥AC交BC的延长线于点E.因为AD∥CE,所以四边形ADEC是平行四边形，所以AC=DE.又因为AC=BD,所以BD=DE，所以∠DBC=∠E.因为∠E=∠ACB,所以∠DBC=∠ACB.又因为AC=BD,BC=BC,所以⊿ABC≌⊿DCB,所以∠ABC=∠DCB, 所以梯形ABCD是等腰梯形.
注意：判定的前提条件:四边形必须首先是梯形. 四、【梯度练习】
1、如图所示，四边形ABCD中AD∥BC，AD≠BC，M是AD的中点，MB=MC，说明四边形ABCD是等腰梯形.
2、如图所示，△ABC为等腰三角形，AB=AC，E、F是AB上的两点，分别过E、F两点作EG∥BC，FH∥BC交AC于G、H两点，则四边形EFHG是等腰梯形吗？为什么？
3、如图所示，已知等腰梯形ABCD中，AB∥DC, AC与BD交于点O，且OA=OB,
求证：梯形ABCD是等腰梯形.
梯度练习答案：
1、解：因为AD∥BC，AD≠BC，所以四边形ABCD是梯形. 因为MB=MC， 所以∠MBC=∠MCB. 因为AD∥BC，所以∠AMB=∠MBC, ∠DMCMCB. 所以∠AMB=∠C.又因为AM=MD，所以△AMB≌△DMC. 所以AB=DC，所以梯形ABCD是等腰梯形. 点拨：要说明四边形ABCD是等腰梯形，先说明四边形ABCD是梯形，再说明AB=DC.
2、解：因为EG∥BC，FH∥BC，所以EG∥FH. 又因为EF与GH相交于，所以它们不平行，所以四边形EFHG是梯形. 因为AB=AC，所以∠B=∠C. 因为FH∥BC，所以∠B=∠EFH，∠C=∠GHF. 所以∠EFH=∠GHF. 四边形EFHG是等腰梯形. 点拨：要说明四边形EFHG是等腰梯形，需先说明四边形EFHG是梯形，再说明∠EFH=∠GHF.
3、证明： 因为OA=OB,所以∠1=∠2.
因为AB∥CD，所以∠1=∠3，∠2=∠4，所以∠3=∠4，所以OD=OC, 所以OA+OC=OB+OD, 即AC=BD. 所以梯形ABCD是等腰梯形.
五、【为你支招】
问题1：等腰梯形有等腰对等角和等角对等边的性质吗?
答：没有. 那性质只适用于等腰三角形,但是,等腰梯形同一边上的两个底角 相等,两条腰相等,只不过说法不同,其实意思一样的. 问题2：
如果已知道等腰梯形的两个底角相等，对角线相等，能证明它是等腰梯形吗?
答：不能. 因为对角线相等现在不做为判定的主要方法,而实际上是对的,我们现在要证明一个四边形是梯形,就要先证明一组对边平行,另一组不平行,而要证明等腰梯形,就要在已经证出梯形的基础上,再证出两底角相等或两腰相等
即 四边形---梯形---等腰梯形.
●师生互动 共解难题
一、【例题精讲】
【例1】如图所示，梯形ABCD中，AB∥CD，AD=BC，延长AB到E，使BE=DC，连AC、CE，AC与CE相等吗？为什么？
解：AC=CE.理由如下，因为DC∥AB，BE=DC，且E在AB的延长线上，即DC平行且等于BE，所以四边形EBDC是平行四边形.所以CE=BD.又因为AD=BC，所以梯形ABCD是等腰梯形，所以AC=BD，故AC=CE.
点拨：本题考查等腰梯形的性质、平行四边形的识别与性质.等腰梯形中两条对角线相等，因此解题思路较明显：连结BD证BD=CE，可证四边形EBDC是平行四边形.
【例2】：如图所示，梯形ABCD中，AD∥BC，AD＜BC，E、F分别为AD、BC的中点且EF⊥BC，试判断四边形ABCD是否为等腰梯形，若是，给出理由.
解：是.理由如下：过E作EM∥AB交BC于M，作EN∥CD交BC于N
ABME和四边形ENCD都为平行四边形.因为AE=BM，AB平行且等于EM，DE=CN，ENCD，又因为AE=DE，所以BM=CN.又因为BF=CF，所以FM=FN.因为EF⊥BC，所以EM=EN.所以∠1=
∠2.又因为AB∥EM，CD∥EN，所以∠1=∠B，∠2=∠C.所以∠B=∠C.又因为AD≠BC，AD∥BC，所以梯形ABCD是等腰梯形.
点拨：要判别四边形ABCD是等腰梯形，即要证∠B=∠C；可以先把它们平移到同一个三角形中，再利用等腰三角形的有关性质证明.
【例3】如图所示，△ABC中，AB=AC，BD、CE分别为∠ABC、∠ACB的平分线，求证：四边形EBCD为等腰梯形.
证明：因为AB=AC，所以∠ABC=∠ACB，所以∠1=∠2=
1
∠ABC. 2
BC=CB.所以△EBC≌△DCB (A.S.A.).所以BE=CD.所以AB-BE=AC-CD.所
1800-∠A
以∠ABC=∠AED=.所以，ED∥BC.又因为BE与CD交于点A，
2
即EB与CD不平行，所以四边形EBCD是梯形，又BE=CD，所以四边形EBCD是等腰梯形.
点拨：欲证四边形EBCD是等腰梯形，解题思路是证ED∥BC，BE=CD.由已知条件易证△BCD≌△CBE，得到EB=DC，从而AE=AD，再运用等腰三角形的性质可证ED∥BC.
●真题再现 赢在中考
1.（08年广州）如图7，在菱形ABCD中，∠DAB=60°，过点C作CE⊥AC且与AB的延长线交于点E，求证：四边形AECD是等腰梯形.
解
：
提
示
：
∠CAE=
1
∠DAB=3002
得
∠E=600=∠DAB，由DC//AE,AD不平行CE得证.
2.（08年深圳）如图，在梯形ABCD中，AB∥DC， DB平分∠ADC，过点A作AE∥BD，交CD的延长线于点E，且∠C＝2∠E．
（1）求证：梯形ABCD是等腰梯形．
（2）若∠BDC＝30°，AD＝5，求CD的长．
参考答案：
（1）证明：∵AE∥BD, ∴∠E＝∠BDC ∵DB平分∠ADC ∴∠ADC＝2∠BDC 又∵∠C＝2∠E ∴∠ADC＝∠BCD
∴梯形ABCD是等腰梯形．
（2）解：由第（1）问，得∠C＝2∠E＝2∠BDC＝60°，且BC＝AD＝5
∵ 在△BCD中，∠C＝60°, ∠BDC＝30° ∴ ∠DBC＝90°
∴ DC＝2BC＝10
●思路拓展
步骤1：迁移
1. 如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AC、BD相交于点O，有如下五个结论：
①△AOD∽△BOC； ②∠DAC=∠DCA； ③梯形ABCD是轴对称图形；④△AOB≌△AOD； ⑤AC=BD．
请把其中正确结论的序号填写在横线上 ．
答案：①③⑤
步骤2：延伸
2.如图，梯形ABCD中，AB∥CD，现在我们又添加一个条件，例如：“BC=AD”就可以判定梯形ABCD是等腰梯形．又如连接对角线AC、BD，我们添加条件“AC=BD”也可以判定梯形ABCD是等腰梯形．除了上述两例外，请你至少再设计两种添加一个条件使之成为等腰梯形的方案．
分析：梯形判定的方法一般从边、角、对角线三个方面进行判别，本题中已经使用了BC=AD和AC=BD，剩下的只能从角的方面去考虑，“同一底上的两个角”在本题中可以有不同的呈现形式.
解：答案不唯一.如①∠A=∠B;②∠C=∠D;
③∠B+∠D=180;④∠A+∠C=180.
点拨：本题考查判定梯形成为等腰梯形的条件. 步骤3：发散
3.如图，过等腰梯形一腰上任意n个点作两底的n条平行线，共得等腰梯形的个数为S.
（1）当n=5时，S= ；
（2）归纳并探索第n个图形中等腰梯形总数S= .
分析：看梯形的一腰，会发现腰上的点能连成几条线段，就有几个等腰梯形，如n=1时，总共有3个点能连3条线段，有3个梯形；n=3，共有5个点能连10条线段，就有10个等腰梯形.点的个数恰好是序号n加上原来的两个顶点共（n+2）个点，可以连条线段.
解：（1）21 （2）
(n+2)(n+1)
2
(n+2)(n+1)
2
点拨：（n+2）个点中，每个点可以与除本身外的（n+1）个点组成线段，共有(n+2)(n+1)条，其中每条都算了两次，所以除以
2.
●积累运用 学会创新
一、基础巩固
1.下列说法正确的是（ ）
A、两条对角线相等的梯形是等腰梯形 B、有两个角相等的梯形是等腰梯形 C、有两条边相等的梯形是等腰梯形
D、有一组对边平行而另一组对边相等的四边形是等腰梯形 2.有两个角相等的梯形是（ ）
A、等腰梯形 B、直角梯形 C、一般梯形
D、等腰梯形或直角梯形
3.在四边形ABCD中，∠A：∠B：∠C：∠D=2：1：1：2，则四边形ABCD的形状是（ ）
A、菱形 B、矩形
C、等腰梯形 D、平行四边形
4. 等腰梯形的两底之差为12，高为6，则这个等腰梯形的锐角的度数为（ ） A、30 B、45 C、60 D、75
5．在梯形ABCD中，AB∥CD，∠A=∠B,E是AB的中点，则线段EC与ED的数量关系是( ) A、EC=ED B、EC>ED C、EC
6. 的四边形是梯形， 或 的梯形是等腰梯形. 7. 等腰梯形的上底、下底和腰的长分别为4cm、10 cm、5 cm，则梯形的高 是 cm，对角线是 cm.
8.若等腰梯形的三边长分别为3、4、11，则这个等腰梯形的周长为（ ）
A、21 B、29
C、21或29 D、21或22或29 9. 如图所示，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，∠C=60，
AB=点P从点A沿AD边以1cm/s的速度向D运动 s后，四边形PBCD是等腰梯形.
10. 如图所示，已知AE=BE, DE=CE,求证四边形ABCD是等腰梯形.
11. 如图所示，已知在等腰梯形ABCD中，AD∥BC,∠A与∠C互补，求证四边形ABCD是等腰梯形.
12. 如图所示，已知在矩形ABCD中，对角线AC和BD相交于O,E,F分别是OA,OD的中点，求证四边形BEFC是等腰梯形.
二、能力提高
13. 如图所示，已知在梯形ABCD中，AB∥DC, ∠ABC=90，
AB=2DC, AC⊥BD于F,EF∥AB交AD于E，求证四边形ABFE是等腰梯形.
14.如图所示，已知M、E、F分别是⊿ABC的边BC、AC、AB的中点，AD⊥BC于D．求证：四边形DEFM是等腰梯形．
15. 已知：如图，在等腰△ABC中，AB=AC，BD⊥AC，CE⊥AB， 垂足分别为点D，E，连接DE．求证：四边形BCDE是等腰梯形．
三、思路拓展
16.如图甲，四边形ABCD是等腰梯形，AB∥DC．由4个这样的等腰梯形可以拼出图乙所示的平行四边形． （1） 求四边形ABCD四个内角的度数；
（2） 试探究四边形ABCD四条边之间存在的等量关系，并说明理由；
（3） 现有图甲中的等腰梯形若干个，利用它们你能拼出一个菱形吗？若能，请你画出大
致的示意图．
AB
图乙 图甲
参考答案： 一、基础巩固
1、A 点拨：B应说明是同一底上的两个角；C应说明是两腰相等；D另一组对边可能平行． 2、D 3、C 4、B
5、A 点拨：由条件易得⊿ABC≌⊿BCE，∴DE=CE．
6、只有一组对边平行且不相等 两条腰相等 两个底角相等． 7、4
点拨：利用勾股定理解题．
8、B 点拨：只有两底边是3和4，腰长是11时才能组成等腰梯形．
9、2 点拨：当四边形PBCD是等腰梯形时，∠PBC=∠C= 60.又∵AB⊥BC,∴∠PBC=90,∠APB=30.设运动t s后四边形PBCD是等腰梯形，在Rt⊿ABP中，AP=t cm，BP=2t cm.根
据勾股定理，得（2t）=t+（，解得t=2（s）.
10、证明：∵DE=CE, ∴∠EDC=∠ECD. 又∵AE=BE, ∴∠EAB=∠EBA.
∵∠EDC+∠ECD+∠E=180, ∠EAB+∠EBA+∠E=180, ∴∠EDC=∠EAB, ∴CD∥AB, ∵ AD,BC相交于点E，∴AD与BC不平行，∴四边形ABCD是梯形.
又∵AD=AE-DE=BE-CE=BC, ∴梯形ABCD是等腰梯形.
11、证明：∵AD∥BC， ∴∠A+∠B=180.又∵∠A+∠C=180，∴∠B=∠C，
∴梯形ABCD是等腰梯形.
222
11
OA, OF=OD, 在矩形ABCD22
1
中，AD∥BC，所以EF∥BC且EF≠BC，所以四边形BEFC是梯形.因为OA=OC=AC,
2
1
OD=OB=BD, 又因为AC=BD，所以OC=OB,OA=OD,OE=OF , 所以OE+OC=OF+OB,
2
12、证明：因为E,F分别是OA，OD的中点，所以EF∥AD，OE=即EC=FB, 所以四边形BEFC是等腰梯形. 二、能力提高
7、解：过C和B分别作CE⊥AD，BF⊥AD
∠BCD=120 ∴∠ECD=30
11
∴ED=CD=⨯5=2.5
22
∴四边形ABCD为等腰梯形 ∴AF=ED=2.5 EF=BC=2
∴AD=DE+EF+FA=2.5+2+2.5=7（米）
F E
D
B
8、解法1：如图1，过D点作DE∥AB交BC于E．
∵AD∥BC， ∴BE=AD=10，
AD
DE=AB=DC=18．
∵∠B=∠C=60，∴EC=DC=DE=18．∴BC=BE+EC=10+18=28． 图1
解法2：如图2，分别过A，D两点作AE⊥BC，DF⊥BC，垂足为E和F
∵AD∥BC，AB=CD，
∴∠B=∠C=60，EF=AD=10，∠BAE=∠CDF=30． E
D
∴Rt△ABE≌Rt△DCF，
1 AB=9，
图2 2
∴BC=BE+EF+FC=9+10+9=28．
解法3：如图3，分别延长BA，CD交于点E． E
∵AD∥BC，AB=CD，
∴BE=CF=
∴∠B=∠C=60，∠EAD=∠EDA=60，
AD
∴△EBC与△EAD均为等边三角形， ∴BC=BE=AB+AE=AB+AD=18+10=28．
图3
解法4：如图4，过C作CE∥BA交AD的延长线与点E．
∵AD∥BC，
∴四边形ABCE是平行四边形，∠C=∠CDE=60
A
∴AB=EC=DC=18，∴△DEC是等边三角形，DE=AB=18，∴BC=AD+DE=10+18=28．
图4 三、思路拓展
9、（1）如图，∠1=∠2=∠3，∠1+∠2+∠3=360，
所以3∠1=360，即∠1=120．
MF2
3
E
所以梯形的上底角均为120，下底角均为60．
（2）由于EF既是梯形的腰，又是梯形的上底可知，梯形的腰等于上底．
180 -120
=30 ， 连接MN，则∠FMN=∠FNM=
2
从而∠HMN=30，∠HNM=90． 所以NH=
1
MH． 2
因此梯形的上底等于下底的一半，且等于腰长． （3）能拼出菱形．如图
11、证明：在等腰
△=∠ACB．
CE⊥∠CDB=90．又BC=CB，
∴△BEC．
∴BE=CD．∴AE=AD．
∴∠AED=∠ADE．∴∠AED=∠ABC．∴ED∥BC． 又BE，CD不平行，∴四边形BCDE是梯形． ∴四边形BCDE是等腰梯形．（理由：同一底上的两底角相等的梯形是等腰梯形，或两腰相等的梯形是等腰梯形）
●教、学后记 一、教后记
（1）请记录下这节课你上得最精彩的地方（如课堂上出现的突发事件及处理方法）；
（2）请总结出这节课你认为有待改进的地方
二、学后记
（1）通过本节课学习，你都学到哪些知识？有哪些问题还存在认知困难？
（2）在本节课中你学到了解决数学问题的什么方法？