数学练习（十一）
12．填在下面三个田字格内的数有相同的规律，根据此规律，请填出图4中的数字
.
15
320
37
556
59
7108
(3) 如图25-3在四边形ABCD 中，AB ＝AD ，
1
∠BAD, (1)中的结2
论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明. 22．（本小题满分5分）
∠B+∠ADC ＝180°，E 、F 分别是边BC 、CD 延长线上的点，且∠EAF=
图1 图2 图3 图4
8．水以恒速（即单位时间内注入水的体积相同）向一个容器注水，最后把容器注满，在注水过程中，水面
高度h 随时间t 的变化规律如图所示（图中OABC 为一折线) ，这个容器的形状是图中
已知： 如图， 在直角梯形A B C D 中，A D ∥B C ，B C ＝5，C D ＝6，∠D C B ＝60°，
∠ABC ＝90°．等边三角形MPN （N 为不动点）的边长为a ，边MN 和直角梯形ABCD 的底边BC 都在直线l 上，NC ＝8．将直角梯形ABCD 向左翻折180°，翻折一次得到图形①，翻折二次得到图形②，如此翻折下去．
（1） 求直角梯形ABCD 的面积；
（2） 将直角梯形ABCD 向左翻折二次，如果此时等边三角形的边长a ≥2，请直接写出这时两图形重
叠部分的面积是多少？
（3） 将直角梯形ABCD 向左翻折三次，如果第三次翻折得到的直角梯形与等边三角形重叠部分的面
积等于直角梯形ABCD 的面积，请直接写出这时等边三角形的边长a 至少应为多少？
B
A
. ．
20． 在2008年春运期间，我国南方出现大范围冰雪灾害，导致某地电路断电，该地供电局组织电工进行抢修。供电局距离抢修工地15千米，抢修车装载着所需材料先从供电局出发，15分钟后，电工乘吉普车从同一地点出发，结果他们同时到达抢修工地。已知吉普车速度是抢修车速度的1.5倍，求这两种车的速度. 21．（本小题满分5分）
P
l
M N
C
24．在矩形ABCD 中，点E 是AD 边上一点，连结BE ，且BE ＝2AE ， BD 是∠EBC 的平分线．点P 从点
E 出发沿射线ED 运动，过点P 作PQ ∥BD 交直线BE 于点Q ．
（1）当点P 在线段ED 上时（如图①）
，求证：BE =PD +
； k
将直线y =x +1向左平移2个单位后得到直线l ，若直线l 与反比例函数y =的图象的交点为（2，-m ）．
x
（1）求直线l 的解析式及直线l 与两坐标轴的交点； （2）求反比例函数的解析式．
A
25.(1)如图25-1，在四边形ABCD 中，AB ＝AD ，∠B ＝∠D ＝90°，E 、
1
F 分别是边BC 、CD 上的点，且∠EAF=∠BAD. 求证:EF＝BE ＋FD;
2B
F
C
E
（2）当点P 在线段ED 的延长线上时（如图②）
，请你猜想BE 、PD 三者之间的数量关
系（直接写出结果，不需说明理由）；
（3）当点P 运动到线段ED 的中点时（如图③），连结QC ，过点P 作PF ⊥QC ，垂足为F ，PF 交BD 于点G ．若BC ＝12，求线段PG 的长．
A B
图Q B
E
D
A
P
A
P D
(2) 如图25-2在四边形ABCD 中，AB ＝AD ， ∠B+∠D ＝180°，E 、F 分别是边BC 、CD 上的点，
1
且∠EAF=∠BAD, (1)中的结论是否仍然成立？
2
不用证明.
25．如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知点A （4，0），点B （0，3），点P 从点B 出发沿BA 方向向点A
又AE ＝AE ，∴△AEG ≌△AEF . ∴EG ＝EF ． ∵EG=BE+BG．∴EF= BE＋FD
匀速运动，速度为每秒1个单位长度，点Q 从点A 出发沿AO 方向向点O 匀速运动，速度为每秒2个单位长度，连结P Q ．若设运动的时间为t 秒
（0＜t ＜2）．
（1）求直线AB 的解析式；
（2）设△AQP 的面积为y ，求y 与t 之间的函数关系式； （3）是否存在某一时刻t ，使线段PQ 恰好把△AOB 的周长和面积
同时平分？若存在，请求出此时t 的值；若不存在，请说明理由；
（4）连结PO ，并把△PQO 沿QO 翻折，得到四边形PQP 'O ，那
么是否存在某一时刻t ，使四边形PQP 'O 为菱形？若存在，
请求出此时点Q 的坐标和菱形的边长；若不存在，请说明理由．
数学练习（十一）参考答案
12. 7 9 8.A
20. 解：设抢修车的速度为x 千米/时，则吉普车的速度为1.5x 千米/时.
由题意得 15151x -1. 5x =
6 5
解得，x ＝20 经检验x ＝20是原方程的根，并且符合题意. 当x ＝20时，1.5x ＝30 答：抢修车的速度为20千米/时，吉普车的速度为30千米/时.
21. 解：（1）直线y =x +1向左平移2个单位后得到直线l 的解析式为：y=x+3
直线l 与y 轴的交点为：（0，3），与x 轴的交点为：（-3，0） （2）∵直线l 与反比例函数y =
k
x
的图象的交点为（2，-m ） ∴m=-5 ∴k=10 ∴反比例函数的解析式为：y =
10
x
22. （1）垂直（CD ⊥OM ） （2）CM=m ⋅tan 90 -α
2
； 0
25.
解：（1）证明：延长EB 到G ，使BG=DF，联结AG .
∵∠ABG ＝∠ABC=∠D ＝90°, AB＝AD ， ∴△ABG ≌△ADF .
∴AG ＝AF, ∠1＝∠2． --------------------1分
∴∠1+∠3＝∠2+∠3=∠EAF= 1
2
∠BAD ．
∴∠GAE=∠EAF ．
(2) (1)中的结论EF= BE＋FD 仍然成立.
（3）结论EF=BE＋FD 不成立，应当是EF=BE －FD ． 证明：在BE 上截取BG ，使BG=DF，连接AG ． ∵∠B+∠ADC ＝180°, ∠ADF+∠ADC ＝180°， ∴∠B ＝∠ADF ． ∵AB ＝AD ，
∴△ABG ≌△ADF .
∴∠BAG ＝∠DAF,AG ＝AF ． ∴∠BAG+∠EAD ＝∠DAF+∠EAD
=∠EAF = 1
2
∠BAD ．
∴∠GAE=∠EAF ． ∵AE ＝AE ，
∴△AEG ≌△AEF .
∴EG ＝EF ---------------------6分 ∵EG=BE－BG
∴EF=BE －FD ． ---------------------7分
22．（本小题满分5分）
A
l
M N C E
解：（1）如图，过点D 作DE ⊥BC 于点E ． ∠ABC =90°， ∴AB ∥DE ． 又 AD ∥BC ，
∴四边形ABED 是矩形． ∴AD =BE ．
在Rt △DEC 中，∠DCB =60°，
∴DE = DC•sin60°
……………………………………………1分 CE = DC·cos60°12
=3．
∴AD =BE =BC －CE =5－3=2．……………………………………………………2分
∴直角梯形ABCD 的面积
=12
(AD +BC ) ⋅DE =12
(2+5) ⋅……………3分
（2
………………………………………………4分
（3）等边三角形的边长a 至少为10． ………………………………………………5分
24．（1）证明：如图①，∵四边形ABCD 是矩形， A
∴∠A =∠ABC =∠C =90︒，AD ∥BC ．
∴∠EDB =∠DBC ． ∵BE ＝2AE ， ∴∠ABE =30︒． B ∴∠EBC =∠ABC -∠ABE =60︒． 图C ∵BD 是∠EBC 的平分线，
∴∠EBD =∠DBC =1∠EBC =∠EDB =30︒．
2
∴EB =ED ．
PQ ∥BD ，∴∠EQP =∠EBD ，∠EPQ =∠EDB ． ∴∠EPQ =∠EQP =30︒，∴EQ =EP ．
过点E 作EM ⊥QP 垂足为M ，∴PQ =2PM ．
PM =PE ⋅cos ∠EPM =PE ⋅cos30︒=
PE ．
∴PE =
． ···························································································· 1分 BE =DE =PD +PE ，
∴BE =PD PQ ．· ·················································································· 2分 （2）解：当点P 在线段ED
的延长线上时，猜想：BE -PD ．…………………4分 （3）解：连结PC 交BD 于点N （如图③）
点P 是线段ED 的中点，BE ＝DE ＝2AE ，BC ＝12， ∴EP =PD =4．
A
E DC =BC ⋅tan 30 =
∴PC
8，BD =
F
B
∴cos ∠DPC =
PD 1．∴∠DPC =60图PC = ．
2
PQ ∥BD ，
∴PQ =
1
BD = 2
∠QPC =180
-∠EPQ -∠DPC =90
，∠PND =∠PNG =90 ．
∴PN =
12
PD =
2，QC = ·
····················································· 5分 ∠PGN =90 -∠FPC ，∠PCF =90 -∠FPC ， ∴∠PGN =∠PCF ．
∠PNG =∠QPC =90 ，
∴△PNG ∽△QPC ．·
························································································· 6分 ∴
PG QC =PN ．
QP
∴PG =
······················································································· 7分 25．解：（1）设直线AB 的解析式为y =kx +b ，
⎧
∴⎧⎨4k +b =0,
⎪⎩b 解得
⎨k =-3=3.
⎪4,
⎩b =3.
∴直线AB 的解析式是y =-3x +3． ······························································ 1分
4（2）在Rt △AOB
中，AB ==5，
依题意，得BP = t ，AP = 5－t ，AQ = 2t ， 过点P 作PM ⊥AO 于M ． ∵△APM ∽△ABO ， ∴PM =AP ．
BO
AB
∴PM 3
=5-t ．
5
∴PM =3-3t ．………………………2分
5
∴y =1⨯AQ ⨯PM =1⨯2t ⨯(3-3t ) =-3t 2+3t 2
2
5
5
（3）不存在某一时刻t ，使线段PQ 恰好把△AOB 的周长和面积同时平分．
若PQ 把△AOB 周长平分，则AP+AQ=BP+BO+OQ． ∴(5-t ) +2t =t +3+(4-2t ) ．
解得t =1． ······································································································· 4分
若PQ 把△AOB 面积平分，则S 1
∆APQ =2
S ∆AOB ． ∴－35
t 2＋3t =3．
∵ t =1代入上面方程不成立，
∴不存在某一时刻t ，使线段PQ 把△AOB 的周长和面积同时平分． ·········· 5分
（4）存在某一时刻t ，使四边形PQP 'O 为菱形．过点P 作 PN ⊥BO 于N ，若四边形PQP ′ O 是菱
形，则有
PQ ＝PO ．∵PM ⊥AO
于
M ，∴QM=OM．∵PN ⊥BO
于
N ，可得
444t PN t 10
=．△PBN ∽△ABO ．∴PN =PB ． ∴∴PN =．∴QM =OM =4t ．∴t +t +2t =4．∴t =．
554559AO AB 5
∴当t =
10
时，四边形PQP ′ O 是菱形． ····················································6分 9
9
9
∴OQ =4－2t =16．∴点Q 的坐标是（16，0）． ·········································· 7分 ∵PM =3-t =
3
5
7
，OM =4t =8， 359
在Rt △PMO
中，PO = ∴菱形PQP ′O 的边长为
． ···································································· 8分 9
数学练习（十一）
12．填在下面三个田字格内的数有相同的规律，根据此规律，请填出图4中的数字
.
15
320
37
556
59
7108
(3) 如图25-3在四边形ABCD 中，AB ＝AD ，
1
∠BAD, (1)中的结2
论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明. 22．（本小题满分5分）
∠B+∠ADC ＝180°，E 、F 分别是边BC 、CD 延长线上的点，且∠EAF=
图1 图2 图3 图4
8．水以恒速（即单位时间内注入水的体积相同）向一个容器注水，最后把容器注满，在注水过程中，水面
高度h 随时间t 的变化规律如图所示（图中OABC 为一折线) ，这个容器的形状是图中
已知： 如图， 在直角梯形A B C D 中，A D ∥B C ，B C ＝5，C D ＝6，∠D C B ＝60°，
∠ABC ＝90°．等边三角形MPN （N 为不动点）的边长为a ，边MN 和直角梯形ABCD 的底边BC 都在直线l 上，NC ＝8．将直角梯形ABCD 向左翻折180°，翻折一次得到图形①，翻折二次得到图形②，如此翻折下去．
（1） 求直角梯形ABCD 的面积；
（2） 将直角梯形ABCD 向左翻折二次，如果此时等边三角形的边长a ≥2，请直接写出这时两图形重
叠部分的面积是多少？
（3） 将直角梯形ABCD 向左翻折三次，如果第三次翻折得到的直角梯形与等边三角形重叠部分的面
积等于直角梯形ABCD 的面积，请直接写出这时等边三角形的边长a 至少应为多少？
B
A
. ．
20． 在2008年春运期间，我国南方出现大范围冰雪灾害，导致某地电路断电，该地供电局组织电工进行抢修。供电局距离抢修工地15千米，抢修车装载着所需材料先从供电局出发，15分钟后，电工乘吉普车从同一地点出发，结果他们同时到达抢修工地。已知吉普车速度是抢修车速度的1.5倍，求这两种车的速度. 21．（本小题满分5分）
P
l
M N
C
24．在矩形ABCD 中，点E 是AD 边上一点，连结BE ，且BE ＝2AE ， BD 是∠EBC 的平分线．点P 从点
E 出发沿射线ED 运动，过点P 作PQ ∥BD 交直线BE 于点Q ．
（1）当点P 在线段ED 上时（如图①）
，求证：BE =PD +
； k
将直线y =x +1向左平移2个单位后得到直线l ，若直线l 与反比例函数y =的图象的交点为（2，-m ）．
x
（1）求直线l 的解析式及直线l 与两坐标轴的交点； （2）求反比例函数的解析式．
A
25.(1)如图25-1，在四边形ABCD 中，AB ＝AD ，∠B ＝∠D ＝90°，E 、
1
F 分别是边BC 、CD 上的点，且∠EAF=∠BAD. 求证:EF＝BE ＋FD;
2B
F
C
E
（2）当点P 在线段ED 的延长线上时（如图②）
，请你猜想BE 、PD 三者之间的数量关
系（直接写出结果，不需说明理由）；
（3）当点P 运动到线段ED 的中点时（如图③），连结QC ，过点P 作PF ⊥QC ，垂足为F ，PF 交BD 于点G ．若BC ＝12，求线段PG 的长．
A B
图Q B
E
D
A
P
A
P D
(2) 如图25-2在四边形ABCD 中，AB ＝AD ， ∠B+∠D ＝180°，E 、F 分别是边BC 、CD 上的点，
1
且∠EAF=∠BAD, (1)中的结论是否仍然成立？
2
不用证明.
25．如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知点A （4，0），点B （0，3），点P 从点B 出发沿BA 方向向点A
又AE ＝AE ，∴△AEG ≌△AEF . ∴EG ＝EF ． ∵EG=BE+BG．∴EF= BE＋FD
匀速运动，速度为每秒1个单位长度，点Q 从点A 出发沿AO 方向向点O 匀速运动，速度为每秒2个单位长度，连结P Q ．若设运动的时间为t 秒
（0＜t ＜2）．
（1）求直线AB 的解析式；
（2）设△AQP 的面积为y ，求y 与t 之间的函数关系式； （3）是否存在某一时刻t ，使线段PQ 恰好把△AOB 的周长和面积
同时平分？若存在，请求出此时t 的值；若不存在，请说明理由；
（4）连结PO ，并把△PQO 沿QO 翻折，得到四边形PQP 'O ，那
么是否存在某一时刻t ，使四边形PQP 'O 为菱形？若存在，
请求出此时点Q 的坐标和菱形的边长；若不存在，请说明理由．
数学练习（十一）参考答案
12. 7 9 8.A
20. 解：设抢修车的速度为x 千米/时，则吉普车的速度为1.5x 千米/时.
由题意得 15151x -1. 5x =
6 5
解得，x ＝20 经检验x ＝20是原方程的根，并且符合题意. 当x ＝20时，1.5x ＝30 答：抢修车的速度为20千米/时，吉普车的速度为30千米/时.
21. 解：（1）直线y =x +1向左平移2个单位后得到直线l 的解析式为：y=x+3
直线l 与y 轴的交点为：（0，3），与x 轴的交点为：（-3，0） （2）∵直线l 与反比例函数y =
k
x
的图象的交点为（2，-m ） ∴m=-5 ∴k=10 ∴反比例函数的解析式为：y =
10
x
22. （1）垂直（CD ⊥OM ） （2）CM=m ⋅tan 90 -α
2
； 0
25.
解：（1）证明：延长EB 到G ，使BG=DF，联结AG .
∵∠ABG ＝∠ABC=∠D ＝90°, AB＝AD ， ∴△ABG ≌△ADF .
∴AG ＝AF, ∠1＝∠2． --------------------1分
∴∠1+∠3＝∠2+∠3=∠EAF= 1
2
∠BAD ．
∴∠GAE=∠EAF ．
(2) (1)中的结论EF= BE＋FD 仍然成立.
（3）结论EF=BE＋FD 不成立，应当是EF=BE －FD ． 证明：在BE 上截取BG ，使BG=DF，连接AG ． ∵∠B+∠ADC ＝180°, ∠ADF+∠ADC ＝180°， ∴∠B ＝∠ADF ． ∵AB ＝AD ，
∴△ABG ≌△ADF .
∴∠BAG ＝∠DAF,AG ＝AF ． ∴∠BAG+∠EAD ＝∠DAF+∠EAD
=∠EAF = 1
2
∠BAD ．
∴∠GAE=∠EAF ． ∵AE ＝AE ，
∴△AEG ≌△AEF .
∴EG ＝EF ---------------------6分 ∵EG=BE－BG
∴EF=BE －FD ． ---------------------7分
22．（本小题满分5分）
A
l
M N C E
解：（1）如图，过点D 作DE ⊥BC 于点E ． ∠ABC =90°， ∴AB ∥DE ． 又 AD ∥BC ，
∴四边形ABED 是矩形． ∴AD =BE ．
在Rt △DEC 中，∠DCB =60°，
∴DE = DC•sin60°
……………………………………………1分 CE = DC·cos60°12
=3．
∴AD =BE =BC －CE =5－3=2．……………………………………………………2分
∴直角梯形ABCD 的面积
=12
(AD +BC ) ⋅DE =12
(2+5) ⋅……………3分
（2
………………………………………………4分
（3）等边三角形的边长a 至少为10． ………………………………………………5分
24．（1）证明：如图①，∵四边形ABCD 是矩形， A
∴∠A =∠ABC =∠C =90︒，AD ∥BC ．
∴∠EDB =∠DBC ． ∵BE ＝2AE ， ∴∠ABE =30︒． B ∴∠EBC =∠ABC -∠ABE =60︒． 图C ∵BD 是∠EBC 的平分线，
∴∠EBD =∠DBC =1∠EBC =∠EDB =30︒．
2
∴EB =ED ．
PQ ∥BD ，∴∠EQP =∠EBD ，∠EPQ =∠EDB ． ∴∠EPQ =∠EQP =30︒，∴EQ =EP ．
过点E 作EM ⊥QP 垂足为M ，∴PQ =2PM ．
PM =PE ⋅cos ∠EPM =PE ⋅cos30︒=
PE ．
∴PE =
． ···························································································· 1分 BE =DE =PD +PE ，
∴BE =PD PQ ．· ·················································································· 2分 （2）解：当点P 在线段ED
的延长线上时，猜想：BE -PD ．…………………4分 （3）解：连结PC 交BD 于点N （如图③）
点P 是线段ED 的中点，BE ＝DE ＝2AE ，BC ＝12， ∴EP =PD =4．
A
E DC =BC ⋅tan 30 =
∴PC
8，BD =
F
B
∴cos ∠DPC =
PD 1．∴∠DPC =60图PC = ．
2
PQ ∥BD ，
∴PQ =
1
BD = 2
∠QPC =180
-∠EPQ -∠DPC =90
，∠PND =∠PNG =90 ．
∴PN =
12
PD =
2，QC = ·
····················································· 5分 ∠PGN =90 -∠FPC ，∠PCF =90 -∠FPC ， ∴∠PGN =∠PCF ．
∠PNG =∠QPC =90 ，
∴△PNG ∽△QPC ．·
························································································· 6分 ∴
PG QC =PN ．
QP
∴PG =
······················································································· 7分 25．解：（1）设直线AB 的解析式为y =kx +b ，
⎧
∴⎧⎨4k +b =0,
⎪⎩b 解得
⎨k =-3=3.
⎪4,
⎩b =3.
∴直线AB 的解析式是y =-3x +3． ······························································ 1分
4（2）在Rt △AOB
中，AB ==5，
依题意，得BP = t ，AP = 5－t ，AQ = 2t ， 过点P 作PM ⊥AO 于M ． ∵△APM ∽△ABO ， ∴PM =AP ．
BO
AB
∴PM 3
=5-t ．
5
∴PM =3-3t ．………………………2分
5
∴y =1⨯AQ ⨯PM =1⨯2t ⨯(3-3t ) =-3t 2+3t 2
2
5
5
（3）不存在某一时刻t ，使线段PQ 恰好把△AOB 的周长和面积同时平分．
若PQ 把△AOB 周长平分，则AP+AQ=BP+BO+OQ． ∴(5-t ) +2t =t +3+(4-2t ) ．
解得t =1． ······································································································· 4分
若PQ 把△AOB 面积平分，则S 1
∆APQ =2
S ∆AOB ． ∴－35
t 2＋3t =3．
∵ t =1代入上面方程不成立，
∴不存在某一时刻t ，使线段PQ 把△AOB 的周长和面积同时平分． ·········· 5分
（4）存在某一时刻t ，使四边形PQP 'O 为菱形．过点P 作 PN ⊥BO 于N ，若四边形PQP ′ O 是菱
形，则有
PQ ＝PO ．∵PM ⊥AO
于
M ，∴QM=OM．∵PN ⊥BO
于
N ，可得
444t PN t 10
=．△PBN ∽△ABO ．∴PN =PB ． ∴∴PN =．∴QM =OM =4t ．∴t +t +2t =4．∴t =．
554559AO AB 5
∴当t =
10
时，四边形PQP ′ O 是菱形． ····················································6分 9
9
9
∴OQ =4－2t =16．∴点Q 的坐标是（16，0）． ·········································· 7分 ∵PM =3-t =
3
5
7
，OM =4t =8， 359
在Rt △PMO
中，PO = ∴菱形PQP ′O 的边长为
． ···································································· 8分 9