多层膜反射率的计算
摘要：
随着光学器件的结构不断复杂化，如何计算带有多层膜结构的
透镜显得尤为重要，本文主要以菲涅尔公式为基础, 用递推法推导了多层膜反射率。
1. 引言
近年来光学薄膜得到了越来越广泛的应用，要设计具有所需特性的光学薄膜，首先必须了解光通过薄膜后的性能, 薄膜的光学特性主要以其反射率和透射率表征。本文首先用菲涅尔系数得到单层膜的反射率, 然后用递推法求得多层膜的反射率。
2. 单层膜反射率的计算
如图 1，假定在折射率为 n2 的光学基板上有一层厚度均匀的薄膜，膜折射率为 n1，膜的几何厚度为d 1，入射介质的折射率为n 0，当光束照射到薄膜上表面时，束在薄膜两表面上要多次反射，因而产生一组反射光束 1、2、3、……，和一组透射光1＇、2＇、3＇、……。
如果入射光的振幅为 E0, 则各反射光束的振幅为：
++++−−−−这里的r1，r1，t1，t1，r2，r2，t2，t2分别表示在两个界面上的反射系数和透射系数(图2) 。由斯托克斯定律可知，r+=−r−，r+2+t+t−=1。 2π式（1）中的δ1=λn1d1cosθ1为膜的位相厚度, 即两相邻光束间的位相差为2δ1。
反射光的合振幅E R 为：
于是我们得到单层膜的反射系数为：
从公式(3)可见，单层膜的反射系数是一个复数，故式(3)可写成：
n1d1cosθ1为膜的位相厚度。表示反射光波++式(4)中r1和r2可通过菲涅尔公式求得。δ1=2πλ的位相落后于入射光波的值：
单层膜的反射率 R为：
从上面的结果我们可以看出, 单层膜的两个界面可以用一个等效界面来代替。如图3所示，膜的折射率为nk，入射介质的折射率为nk−1，出射介质(或基板玻璃) 的折射率为nk+1，膜的位相厚度是δk，设单层膜上界面的反射系数为rk，下界面的反射系数为rk+b， 于是这个单层膜的等效界面的反射系数为pkejφk，可由上述式(4)求得：
3. 多层膜反射率的计算
经过这样处理和理解以后，我们可以将单层膜的反射率计算推广应用到多层膜场合。首先从与基片相邻的底层膜开始，将底层膜的两个界面等效成一个界面，然后再将这个等效界面与上一个界面等效为一个界面，依次往上递推到膜系的顶层的第一个界面，如图 4 所示。
由式(7)可知：
其计算过程是一个逐次迭代的过程, 其中各层膜的折射率为n1，n2，n3，…，nk，入射介质的折射率为n0，基底的折射率为nk+1，各层膜的厚度为d1，d2，d3，…，dk，入射角为θ0。根据折射定律：n0sin θ0=n1sin θ1=⋯=njsin θj，因此可以得到各层膜中光的入 射和折射角ij，对各层膜有：δj=
的菲涅尔系数rj=ηηj−1−ηj+1j−1+ηj+12πλnjdjcosθj(j =0,1,…，k) 。根据菲涅尔公式计算出各层，对p 分量ηj=nj/cosθj(j =0,1,…，k+1)，对s 分量：ηj=njcosθj(j =0,1,…，k+1)，最后求出反射率R=r∙r∗=p1。
多层膜反射率的计算
摘要：
随着光学器件的结构不断复杂化，如何计算带有多层膜结构的
透镜显得尤为重要，本文主要以菲涅尔公式为基础, 用递推法推导了多层膜反射率。
1. 引言
近年来光学薄膜得到了越来越广泛的应用，要设计具有所需特性的光学薄膜，首先必须了解光通过薄膜后的性能, 薄膜的光学特性主要以其反射率和透射率表征。本文首先用菲涅尔系数得到单层膜的反射率, 然后用递推法求得多层膜的反射率。
2. 单层膜反射率的计算
如图 1，假定在折射率为 n2 的光学基板上有一层厚度均匀的薄膜，膜折射率为 n1，膜的几何厚度为d 1，入射介质的折射率为n 0，当光束照射到薄膜上表面时，束在薄膜两表面上要多次反射，因而产生一组反射光束 1、2、3、……，和一组透射光1＇、2＇、3＇、……。
如果入射光的振幅为 E0, 则各反射光束的振幅为：
++++−−−−这里的r1，r1，t1，t1，r2，r2，t2，t2分别表示在两个界面上的反射系数和透射系数(图2) 。由斯托克斯定律可知，r+=−r−，r+2+t+t−=1。 2π式（1）中的δ1=λn1d1cosθ1为膜的位相厚度, 即两相邻光束间的位相差为2δ1。
反射光的合振幅E R 为：
于是我们得到单层膜的反射系数为：
从公式(3)可见，单层膜的反射系数是一个复数，故式(3)可写成：
n1d1cosθ1为膜的位相厚度。表示反射光波++式(4)中r1和r2可通过菲涅尔公式求得。δ1=2πλ的位相落后于入射光波的值：
单层膜的反射率 R为：
从上面的结果我们可以看出, 单层膜的两个界面可以用一个等效界面来代替。如图3所示，膜的折射率为nk，入射介质的折射率为nk−1，出射介质(或基板玻璃) 的折射率为nk+1，膜的位相厚度是δk，设单层膜上界面的反射系数为rk，下界面的反射系数为rk+b， 于是这个单层膜的等效界面的反射系数为pkejφk，可由上述式(4)求得：
3. 多层膜反射率的计算
经过这样处理和理解以后，我们可以将单层膜的反射率计算推广应用到多层膜场合。首先从与基片相邻的底层膜开始，将底层膜的两个界面等效成一个界面，然后再将这个等效界面与上一个界面等效为一个界面，依次往上递推到膜系的顶层的第一个界面，如图 4 所示。
由式(7)可知：
其计算过程是一个逐次迭代的过程, 其中各层膜的折射率为n1，n2，n3，…，nk，入射介质的折射率为n0，基底的折射率为nk+1，各层膜的厚度为d1，d2，d3，…，dk，入射角为θ0。根据折射定律：n0sin θ0=n1sin θ1=⋯=njsin θj，因此可以得到各层膜中光的入 射和折射角ij，对各层膜有：δj=
的菲涅尔系数rj=ηηj−1−ηj+1j−1+ηj+12πλnjdjcosθj(j =0,1,…，k) 。根据菲涅尔公式计算出各层，对p 分量ηj=nj/cosθj(j =0,1,…，k+1)，对s 分量：ηj=njcosθj(j =0,1,…，k+1)，最后求出反射率R=r∙r∗=p1。