数学院研究生实习实践教师指导记录表

重庆师范大学数学学院研究生教学实践教师指导记录表

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教师指导记录（含研究生授课时间，教案情况；研究生授课章节和主要内容、教学效果、不足和改进等）授课时间：2013 年 10 月 25 日授课章节：第三章关于实数的基本定理及闭区间上连续函数性质的证明主要内容：第三章关于实数的基本定理及闭区间上连续函数性质的证明习题课

一、知识回顾：

I．实数基本定理

1．确界原理设 S 为非空数集．若 S 有上界，则 S 必有上确界；若 S 有下界，则 S 必有下确界． 2．数列的单调有界定理单调有界数列必收敛. 3．区间套定理若 an , bn 是一个区间套，则在实数系中存在唯一的一点  ，使得   an , bn  ，

n  1,2, ，即 an    bn ，

n  1,2,.

4．致密性定理有界数列必含有收敛子列． 5．数列柯西收敛准则数列 { xn } 收敛    0, N  N , 当 n, m  N 时，有 xn  xm   。 6．有限覆盖定理设 H 为闭区间 a, b 的一个(无限)开覆盖，则从 H 中可选出有限个开区间来覆盖 a, b 。

II．闭区间上连续函数性质

1. 有界性定理若函数 f 在闭区间 a, b 上连续，则 f 在 a, b 上有界． 2. 最大、最小值定理若函数 f 在闭区间 a, b 上连续，则 f 在 a, b 上有最大值与最小值． 3. 零点存在性定理

f  x  在闭区间  a, b 连续，且 f  a  f b  0 ，则 f  x   0 在  a, b 内至少有一个根。

4. 介值性定理设函数 f 在闭区间 a, b 上连续，且 f a   f b .若  为介于 f a 与f b 之间的任何实数,则存在 x0  a, b ，使得 f x0    5. 反函数连续性定理若函数 f 在 a, b 上严格单调并连续，则反函数 f 续． 6. 一致连续性定理若函数 f 在闭区间 a, b 上连续，则 f 在 a, b 上一致连续．二、典型例题例 1 用“区间套定理”证明“单调有界原理”. 例 2 用“确界原理”证明“区间套定理”. 例 3 用“有限复盖定理”证明“聚点原理”. 例 4 用“确界原理”证明“聚点原理”. 例 5 证明：有限区间 I 上一致连续的函数必有界。例 6 设 f ( x) 是闭区间 [ a , b ] 上的递增函数, 但不必连续 . 如果 f (a )  a ,

1

在其定义域  f a , f b 或  f b, f a  上连

f (b)  b , 则  x0  [ a , b ] , 使 f ( x0 )  x0 .

例 7 设在闭区间 [ a , b ] 上函数 f ( x) 连续,

g ( x) 递增 , 且有 f (a)  g (a) ,

f (b)  g (b) . 试证明: 方程 f ( x)  g ( x) 在区间 ( a , b ) 内有实根 .

教学效

果：

知识点复习到位，习题讲解透彻，准备充分，教学达到预期效果，能很好的与学生互动，学生积极性高，同时能很好的把握课堂节奏。

不足和改进：

声音不够洪亮，板书不美观，有待提高。

（可另加页）