统计案例总复习
一．考点分析
1．建立回归直线方程解决预测问题
例1．假设关于某种设备的使用年限x （年）与所支出的维修费用y （万元）有如下统计资料：
x 2
3
4
5
6
y 2.2 3.8 5.5 6.5 7.0
已知
∑x
i =2
6
2i
=90, ∑y =140.8, ∑x i y i =112.3, n -2=3时，r 0.05=0.878
2i i =2
i =2
66
≈≈1.4. ）
（1）对x , y 进行相关性检验，如果x 与y 具有相关关系，求出回归直线方程； （2）估计使用年限为10年时，维修费用约是多少？
分析：求出回归方程，将使用年限10代入进行求解维修费用。 解：（1）由题设条件可得=作统计步聚如下：
①作统计假设：x 与y 不具有相关关系； ②n -2=3时，r 0.05=0.878. ③
2+3+4+5+62.2+3.8+5.5+6.5+7.0
=4, ==5.
55
∑x
i =22
i
6
2i
-5⋅=112.3-5⨯4⨯5=12.3，∑x i 2-52=90-5⨯42=10，
i =2
6
∑y
i =2
6
-52=140.8-125=15.8，
12.3
==≈=0.987.
1.4⨯8.9所以r =
④|r |=0.987>0.878，即|r |>r 0.05。
所以有95%的把握认为“x 与y 之间具有线性相关关系”，去求回归直线方程是有意义的。
ˆ=b
∑x y -5⋅i i
i =2
6
∑x
i =2
6
=
2
i
-52
112.3-5⨯4⨯5ˆ=5-1.23⨯4=0.08. ˆ=-=1.23，a 2
90-5⨯4
ˆ=1.23x +0.08. 所以所求的回归直线方程为：y
ˆ=1.23⨯10+0.08=12.38（万元） （2）当x =10时，y
即估计用10年时，维修的费用为12.38万元。
解题指导：在解决具体问题时，要先进行相关性检验，通过检验确认两个变量之间是否具有相关关系。若它们之间具有线性相关关系，再求出直线方程，否则，即使求出回方程也是毫无意义的，而且其估计和预测的量也是不可信的。回归直线方程求解需要复杂的运算，随着新课程标准的继续实施和新课程高考改革的不断深入，考查学生数据处理能力，特别是运用计算器等现代技术工具对进行数据处理的能力，将是改革的方向之一. 2．解答非线性回归问题
试建立y 关于x 的回归方程。
分析：根据表中的数据，作散点图，如图1，易看出样本点不呈带状分布，而是和反比例函数y =
k
(k ≠0) 的图像比较吻合，因此，需要通过转化选择更为合适的模型来做答。 x
解：令
u =1
，由已知数据，可得变换后的样本数据： 作出散点图，如图2所示，可以看出，变换后的样本点分布在一条直线的附近，因此可以用线性回归方程拟合。计算得u =1. 55，y =7. 2，
∑u
i =1
5
2
i
=21. 3125，∑u i y i =94. 25，
i =1
5
∑u y -5u ⋅y
i i
5
则b=
i =1
∑u
i =1
5
2
i
-5u
2
≈4.13，a =y -b u ≈0. 8，因此y 关于u 的线性回归方程为
^^
y =4. 13u +0. 8，则y 关于x 的非线性回归方程为y =
^
4. 13
+0. 8. x
点评：从该例题我们可以看出：
（1）解决这类问题必须严格按照建立回归模型的基本步骤，这不是因循守旧，墨守成规，而是按部就班，依照规律办事。
（2）一些非线性回归问题可通过变量变换转化为线性回归问题求解。
（3）衡量两个变量是否具有线性相关关系，我们可以通过画散点图或计算相关系数r 来判断。
解题指导：非线性回归问题有时并不直接给出经验公式，此时我们可以由已知的数据画出散点图，并把散点图与我们已经学习的各种函数，如幂函数、指数函数、对数函数、二次函数等作比较，然后采用变量的置换，把问题转化成线性回归分析问题，使问题得以解决。
三．独立性检验
根据表中数据判断该药与哪类患者痊愈的相关性的可信度更大？
分析：分别求出两类患者“使用新药与痊愈有关”犯错误的概率，谁的概率小，说明谁使用新药与痊愈相关的可信度大。
180⨯(40⨯30-80⨯30) 2
≈4. 675>3. 841， 解：对于男性患者，有k =
120⨯60⨯70⨯110
因此，在犯错误的概率不超过0.05的前提下，认为使用新药与男性患者痊愈有关。
79⨯(6⨯23-21⨯29) 2
≈8. 106>7. 879. 对于女性患者，有k =
35⨯44⨯27⨯52
因此，在犯错误的概率不超过0.005的前提下，认为使用新药与女性患者痊愈有关。 综上可知，新药与女性患者痊愈的相关性的可信度更大。
解题指导：用独立性检验的知识判定两个变量之间的关系，首先计算出K2的观测值k 的大小，然后将k 的值与临界值k0的大小进行比较，即可得到“判定两个变量有关系犯错误”的概率。
统计案例总复习
一．考点分析
1．建立回归直线方程解决预测问题
例1．假设关于某种设备的使用年限x （年）与所支出的维修费用y （万元）有如下统计资料：
x 2
3
4
5
6
y 2.2 3.8 5.5 6.5 7.0
已知
∑x
i =2
6
2i
=90, ∑y =140.8, ∑x i y i =112.3, n -2=3时，r 0.05=0.878
2i i =2
i =2
66
≈≈1.4. ）
（1）对x , y 进行相关性检验，如果x 与y 具有相关关系，求出回归直线方程； （2）估计使用年限为10年时，维修费用约是多少？
分析：求出回归方程，将使用年限10代入进行求解维修费用。 解：（1）由题设条件可得=作统计步聚如下：
①作统计假设：x 与y 不具有相关关系； ②n -2=3时，r 0.05=0.878. ③
2+3+4+5+62.2+3.8+5.5+6.5+7.0
=4, ==5.
55
∑x
i =22
i
6
2i
-5⋅=112.3-5⨯4⨯5=12.3，∑x i 2-52=90-5⨯42=10，
i =2
6
∑y
i =2
6
-52=140.8-125=15.8，
12.3
==≈=0.987.
1.4⨯8.9所以r =
④|r |=0.987>0.878，即|r |>r 0.05。
所以有95%的把握认为“x 与y 之间具有线性相关关系”，去求回归直线方程是有意义的。
ˆ=b
∑x y -5⋅i i
i =2
6
∑x
i =2
6
=
2
i
-52
112.3-5⨯4⨯5ˆ=5-1.23⨯4=0.08. ˆ=-=1.23，a 2
90-5⨯4
ˆ=1.23x +0.08. 所以所求的回归直线方程为：y
ˆ=1.23⨯10+0.08=12.38（万元） （2）当x =10时，y
即估计用10年时，维修的费用为12.38万元。
解题指导：在解决具体问题时，要先进行相关性检验，通过检验确认两个变量之间是否具有相关关系。若它们之间具有线性相关关系，再求出直线方程，否则，即使求出回方程也是毫无意义的，而且其估计和预测的量也是不可信的。回归直线方程求解需要复杂的运算，随着新课程标准的继续实施和新课程高考改革的不断深入，考查学生数据处理能力，特别是运用计算器等现代技术工具对进行数据处理的能力，将是改革的方向之一. 2．解答非线性回归问题
试建立y 关于x 的回归方程。
分析：根据表中的数据，作散点图，如图1，易看出样本点不呈带状分布，而是和反比例函数y =
k
(k ≠0) 的图像比较吻合，因此，需要通过转化选择更为合适的模型来做答。 x
解：令
u =1
，由已知数据，可得变换后的样本数据： 作出散点图，如图2所示，可以看出，变换后的样本点分布在一条直线的附近，因此可以用线性回归方程拟合。计算得u =1. 55，y =7. 2，
∑u
i =1
5
2
i
=21. 3125，∑u i y i =94. 25，
i =1
5
∑u y -5u ⋅y
i i
5
则b=
i =1
∑u
i =1
5
2
i
-5u
2
≈4.13，a =y -b u ≈0. 8，因此y 关于u 的线性回归方程为
^^
y =4. 13u +0. 8，则y 关于x 的非线性回归方程为y =
^
4. 13
+0. 8. x
点评：从该例题我们可以看出：
（1）解决这类问题必须严格按照建立回归模型的基本步骤，这不是因循守旧，墨守成规，而是按部就班，依照规律办事。
（2）一些非线性回归问题可通过变量变换转化为线性回归问题求解。
（3）衡量两个变量是否具有线性相关关系，我们可以通过画散点图或计算相关系数r 来判断。
解题指导：非线性回归问题有时并不直接给出经验公式，此时我们可以由已知的数据画出散点图，并把散点图与我们已经学习的各种函数，如幂函数、指数函数、对数函数、二次函数等作比较，然后采用变量的置换，把问题转化成线性回归分析问题，使问题得以解决。
三．独立性检验
根据表中数据判断该药与哪类患者痊愈的相关性的可信度更大？
分析：分别求出两类患者“使用新药与痊愈有关”犯错误的概率，谁的概率小，说明谁使用新药与痊愈相关的可信度大。
180⨯(40⨯30-80⨯30) 2
≈4. 675>3. 841， 解：对于男性患者，有k =
120⨯60⨯70⨯110
因此，在犯错误的概率不超过0.05的前提下，认为使用新药与男性患者痊愈有关。
79⨯(6⨯23-21⨯29) 2
≈8. 106>7. 879. 对于女性患者，有k =
35⨯44⨯27⨯52
因此，在犯错误的概率不超过0.005的前提下，认为使用新药与女性患者痊愈有关。 综上可知，新药与女性患者痊愈的相关性的可信度更大。
解题指导：用独立性检验的知识判定两个变量之间的关系，首先计算出K2的观测值k 的大小，然后将k 的值与临界值k0的大小进行比较，即可得到“判定两个变量有关系犯错误”的概率。