分块矩阵的性质及其应用
摘要：本文介绍分块矩阵的定义、分块方法、运算性质，并通过例题说明分块矩阵理论
在高等代数中的广泛应用。
关键词：分块矩阵、初等变换、应用、运算性质。 0引言
矩阵是高等代数中的一个重要内容，也是高等数学的很多分支研究问题的工具。当我们处理阶数较高或具有特殊结构的矩阵时，用处理一般低阶矩阵的方法，往往比较困难，为了研究问题的方便，也为了显示出矩阵中某些部分的特性，我们常把一个大型矩阵分成若干子块，把每个子块看作一个元素，从而构成一个分块矩阵，这是处理矩阵问题的重要技巧。利用矩阵的分块，可以把高阶矩阵划分成阶数较低的“块”，然后对这些以“块”为元素的矩阵施行矩阵的运算。本文就分块矩阵的加法与数量乘法、乘法、转置、初等变换等运算性质，及分块矩阵在矩阵求逆、行列式展开等方面的应用作了较为深入的研究。 1 分块矩阵的定义 定义
s ⨯t
[1]
：把一个m ⨯n 矩阵A ，在行的方向分成s 块，在列的方向分成t 块，称为A 的
分块矩阵，记作A =[A k ⨯l ]s ⨯t ，其中A k ⨯l (k =1, 2, , s ; l =1, 2, , t )称为A 的子块，它们
是各种类型的小矩阵。
⎡1
⎢0⎢
例：把一个5阶矩阵A =⎢0
⎢⎢0⎢⎣0
01000
00100
23-140
5⎤
⎥-2
⎥
6⎥ (1) ⎥0⎥4⎥⎦
用水平和垂直的虚线分成四块，如果记：
⎡1
⎢ ⎢0⎢⎣0
010
0⎤
⎥
0=I 3 ⎥1⎥⎦
⎡2
⎢3⎢⎢⎣-15⎤
⎥
-2=A 1 ⎥6⎥⎦
⎡0
⎢⎣0
00
0⎤⎥=00⎦
⎡4⎢⎣00⎤
⎥=A 24⎦
就可以把A 看成由上面4个小矩阵所组成，写作：
⎡I 3
A =⎢
⎣0
A 1⎤⎥ A 2⎦
并称它是A 的一个2⨯2分块矩阵，其中的每一个小矩阵称为A 的一个子块。常用的矩阵分块方法，除了上例中的4块矩阵，还有以下几种： （1） 按行分块
⎡a 11⎢a 12
A =⎢
⎢... ⎢⎣a m 1
a 12a 22... a m 2
...
a in
... ... ... ...
a 1n ⎤⎡A 1⎤
⎥⎢⎥a 2n A 2
⎥=⎢⎥ ... ⎥⎢ ⎥⎥⎢⎥a mn ⎦⎣A m ⎦
i =1, 2, . . m . ,
其中A i =[a i 1
(2)按列分块
⎡b 11
⎢b 21⎢ B =⎢... ⎢⎣b n 1
b 12b 22... b n 2
a i 2
]
... ... ... ...
b 1s ⎤⎥b 2s
⎥=[B
1
... ⎥⎥b ns ⎦
B 2
...
⎡b 1j ⎤⎢⎥b 2j
⎥ j =1, 2, , s B S ] 其中B j =⎢⎢ ⎥⎢⎥b ⎢nj ⎦⎥⎣
(3)当n 阶矩阵C 中都集中在主对角线附近，有时也可以分块成下面的对角块矩阵（又称准对角矩阵）：
⎡C 1
⎢
C=⎢
⎢⎢⎣
C 2
⎤⎥
⎥ 其中C 是r 阶方阵(i =1, 2, , m
i i
⎥⎥C m ⎦
m
∑r
i =1
i
=n
)
如：
⎡0⎢1⎢⎢0B =⎢
⎢0⎢0⎢⎢⎣0
⎡0
其中B 1=⎢
⎣1
-120000-1⎤⎥， 2⎦
001-100
00-1120
0002-20
0⎤
⎥0⎥0⎥⎥0⎥0⎥⎥3⎥⎦
⎡B 1
⎢=⎢⎢⎣
B 2
⎤
⎥ ⎥B 3⎥⎦
⎡1
⎢
B 2=⎢-1
⎢⎣0
-112
0⎤
⎥
2， B 3=[3]； ⎥-2⎥⎦
矩阵分块的第一个好处是使得矩阵的结构显得更清楚，如上面的矩阵（1）中，A 的左上角是一个3阶单位阵I 3，左下角是2⨯3零矩阵。
第二个好处（也是最重要的好处）是矩阵的运算可以通过小矩阵的运算进行，从而把高阶矩阵的运算转化为低阶矩阵的运算。这在下面的研究中会得到充分的体现。 矩阵分块的目的在于简化矩阵的运算，对矩阵进行分块时，要根据实际需要来进行。
2 分块矩阵的运算性质
下面我们来研究分块矩阵的运算性质： （1） 分块矩阵的加法与数量乘法
设A ，B 都是m ⨯n 矩阵，并且对A ，B 用同样的方法进行分块：
⎡A 11⎢A 21
A =⎢
⎢... ⎢⎣A l 1
A 12A 22... A l 2
... ... ... ...
A 1K ⎤⎡B 11
⎥⎢A 2K B
⎥ B =⎢21
⎢... ... ⎥
⎥⎢A lk ⎦⎣B l 1
B 12B 22... B l 2
... ... ... ...
B 1k ⎤
⎥B 2K
⎥ ... ⎥⎥B lk ⎦
其中A ij , B ij 都是m i ⨯n j 矩阵，即A ij 和B ij 是同型矩阵，那么
⎡A 11+B 11⎢
A 21+B 21⎢ A +B =⎢... ⎢
⎣A l 1+B l 1
A 12+B 12A 22+B 22
... A l 2+B l 2
... ... ... ...
A 1k +B 1k ⎤
⎥
A 2k +B 2k
⎥ ⎥...
⎥
A lk +B lk ⎦
设A 是m ⨯n 矩阵，把A 进行分块：
⎡A 11⎢A 21⎢ A =⎢... ⎢⎣A l 1
A 12A 22... A l 2
... ... ... ...
A 1k ⎤⎡aA 11
⎥⎢A 2k aA
⎥，a 为任意数，则aA =⎢21
⎢... ... ⎥
⎥⎢A lk ⎦⎣aA l 1
aA 12aA 22... aA l 2
... ... ... ...
aA 1k ⎤
⎥aA 2k
⎥ ... ⎥
⎥aA lk ⎦
(2)分块矩阵的乘法
下面的定理表明，分块矩阵的乘法类似于矩阵的乘法。 定理
[2]
：设A 为m ⨯n 矩阵，B 为n ⨯l 矩阵，若对A ，B 作如下分块：
n 2
...
n s
n 1
m 1⎡A 11
⎢m 2A 21
⎢A =
⎢... ⎢m r ⎣A r 1
l 1
l 2
...
l t
B 1t ⎤⎥B 2t
⎥ ... ⎥⎥B st ⎦
A 12A 22... A r 2
... ... ... ...
A 1s ⎤n 1⎡B 11
⎥⎢A 2s n 2B 21
⎥ B =⎢... ⎥ ⎢... ⎥⎢A rs ⎦n s ⎣B s 1
B 12B 22... B s 2
... ... ... ...
(1)
l 1 l 2 … l t
m 1⎡G 11
⎢m 2G 21
⎢ 则 AB =
⎢... ⎢m r ⎣G r 1
G 12G 22... G r 2
... ... ... ...
G 1t ⎤
⎥S G 2t
⎥， 其中G =
∑A ik B ki (i =1, 2,..., r ; j =1, 2,..., t ) (2) ... ⎥k =1
⎥G rt ⎦
证明: 记 l 1 l 2 … l t
m 1⎡G 11
⎢m 2G 21
⎢ G =
⎢... ⎢m r ⎣G r 1
G 12G 22... G r 2
... ... ... ...
G 1t ⎤
⎥G 2t
⎥ ... ⎥⎥G rt ⎦
下面证明将G 看作以数为元素的矩阵, 有G =AB
首先, AB 为m ⨯l 矩阵, 基于(1)的分块方式及(2)式,G ij 为m i ⨯l j 矩阵, 且有 m 1+m 2+. . +. l t =l . m r =m l 1+l 2+. . +故将G 看作以数为元素的矩阵, 也是一个m ⨯l 矩阵。
其次，G 的(i , j )元g ij 必位于分块矩阵G 的某一子块G pq 之中，不妨设g ij 是G pq 的（i ', j '）元素，即有：
i =m 1+m 2+... +m p -1+i ' 1≤i '≤m p
j =l 1+l 2+... +l q -1+j '
1≤j '≤l q (3)
由(2)式 有：G pq =A P 1B 1q +A p 2B 2q +..... +A ps B sq
可知G pq 的（i ', j '）元素应是A p 1, A p 2,.... A ps 的第i '行分别与B 1q , B 2q ,... B sq 的第j '列的相应元素乘积的和。由(3)式可知，A pk 的第i '行元素位于A 中第i 行，B kq 的第j '列元素位于B 中第j 列(k =1, 2, , s )再注意到对A , B 所作的分块，可得：
n 1
n 1+n 2
ik
n 1+n 2+... +n s
n
g ij =
∑a
k =1
b kj +
∑a
k =n 1+1
ik
b kj +….+
∑
k =n 1+... +n s +1
a ik b kj
=∑a ik b kj
k =1
这说明, 矩阵G 的(i , j )元素恰好等于矩阵AB 的(i , j )元素, 基于以上两点可得 G =AB
例:设矩阵
⎡1⎢0⎢
A =⎢0
⎢⎢0⎢⎣0
01000
00100
23-140
5⎤⎡1
⎥⎢-20
⎥⎢6⎥=⎢0⎥⎢0⎥⎢04⎥⎦⎢⎣0
01000
00100
23-140
5⎤
⎥-2
⎥⎡I
3
6⎥=⎢⎥⎣00⎥4⎥⎦
A 1⎤
⎥ 4I 2⎦
⎡2
3其中I 3为三阶单位阵, I 2为二阶单位阵, A 1=⎢⎢⎢⎣-15⎤
⎡0⎥
-2 0=⎢
⎥
⎣0
6⎥⎦
00
0⎤
⎥0⎦
矩阵
⎡a 1⎢b ⎢1
B =⎢c 1
⎢⎢0⎢⎣0
a 2b 2c 200
a 3b 3c 310
a 4⎤⎡a 1
⎥⎢b 4b ⎥⎢1c 4⎥=⎢c 1
⎥⎢0⎥⎢01⎥⎦⎢⎣0
a 2b 2c 200
a 3b 3c 310
a 4⎤
⎥b 4
⎥⎡B
1
c 4⎥=⎢⎥⎣00⎥1⎥⎦
0⎤⎥0⎦
B 2⎤⎥, I 2⎦
其中
⎡a 1
⎢B 1=b 1
⎢⎢⎣c 1a 2⎤⎡a 3
⎥⎢b 2 B 2=b 3
⎥⎢
⎢c 2⎦⎣c 3a 4⎤
⎡0⎥
b 4 0=⎢⎥
⎣0
c 4⎥⎦
I 2为二阶单位阵.
在计算AB 时, 把A , B 的各小子块看作元素, 然后按通常的矩阵乘法把它们相乘, 于是
AB =
⎡I 3
⎢⎣0
a 2b 2c 200
A 1⎤⎥4I 2⎦⎡B 1⎢⎣0B 2⎤⎥I 2⎦
=
⎡I 3B 1+A 10⎢
⎣0B 1+4I 20I 3B 2+A 1I 2⎤
⎥
0B 2+4I 2I 2⎦
=
⎡B 1⎢⎣0B 2+A 1⎤
⎥ 4I 2⎦
⎡a 1
⎢b ⎢1=⎢c 1
⎢⎢0⎢⎣0
a 3+2b 3+3c 3-140
a 4+5⎤
⎥b 4-2
⎥c 4+6⎥
⎥0⎥4⎥⎦
容易验证, 这个结果与按矩阵乘法法则直接计算的结果是一致的。
注意：上例中A 的列的分法与B 的行的分法是一致的，也就是说我们遵循了以下规则
1 A 的列组数等于B 的行组数。
2 A 的每个列组所含的列数等于B 的相应行组所含的行数。
(3) 分块矩阵的转置 先看一个例子：设
⎡1⎢
A =⎢4
⎢⎣7
258
369
a ⎤
⎥b ⎥0⎥⎦
记 A 1=⎢
⎣4
⎡125
3⎤⎥6⎦
A 2=⎢⎥ A 3=[789] A 4=[0]
⎣b ⎦
⎡1⎢
A 2⎤2
⎢' 因此我们有：A =⎥
⎢3A 4⎦
⎢⎣a
456b
7⎤⎥8⎡A 1'⎥ =
⎢'
9⎥⎣A 2⎥0⎦
⎡a ⎤
则A 可以分块成：A =⎢
⎡A 1⎣A 3'⎤A 3
⎥ 'A 4⎦
⎡A 11
⎢A 21⎢一般地，设A=⎢... ⎢⎣A s 1
A 12A 22... A s 2
... ... ... ...
'A 1t ⎤⎡A 11⎢'⎥
A A 2t
⎥是一个分块矩阵，那么A '=⎢12
⎢... ... ⎥
⎢⎥
A st ⎦⎣A 1't
'A 21'A 22... 't A 2
... ... ... ...
A s '1⎤
⎥A s '2
⎥ ... ⎥⎥'⎦A st
分块矩阵取转置的规则是[3]：
第一步：把A 的每一块都看成元素（数）取转置 第二步：对A 的每一块取转置。 （4）分块矩阵的初等变换
分块矩阵的初等变换是处理分块矩阵有关问题的重要工具，由文[3]我们可以推广得到如下定义：
定义：以下三种变换称为分块矩阵的初等行变换
10 用一个行列式不为零的方阵左乘（右乘）分块矩阵的某一块行。 20互换两块行的位置。
30把一个块行的P （矩阵）倍（即这个块行里每一个小矩阵都左乘或右乘一个矩阵
P
）加到另一块行上。
类似地，我们可以定义分块矩阵的初等列变换。 例：设n 阶矩阵A 分块表示为：A =⎢证明：A 22-A 21A 11
-1
⎡A 11⎣A 21A 12⎤
其中A 11, A 22为方阵，且A 和A 11可逆，⎥，A 22⎦
A 12可逆。
证明：先对分块阵A 作初等变换，将其化为上三角块矩阵。为此，根据有关结论（[3] 193，（3）），可左乘矩阵
1
P 1=⎢-1
-A A 2111⎣
⎡I
0⎤
⎥ I 2⎦
其中I 1, I 2为单位阵，其阶数分别为A 11, A 22的阶数，于是：
⎡A 11
P 1A =⎢
⎣0
A 22
⎤记作
-1
P A ，=A B A -A A A 12 =111⎥222111-1
-A 21A 11A 12⎦
-111
A 12
由于p 1=1，A ≠0，A 11≠0 ，所以 A 22-A 21A A 12=故矩阵[A 22-A 21A 11-1A 12]可逆。 3 分块矩阵的应用
A A 11
≠0
分块矩阵是矩阵的一种推广，与普通矩阵不同，分块矩阵的元素可以是数，也可以是小矩阵。它的引入使矩阵这一重要工具的使用更广泛，下面举例说明分块矩阵的应用： （1）矩阵求逆
⎡1⎢-1
例：设矩阵P =⎢
⎢0⎢⎣0
0200
1-102
1⎤⎥0
⎥, 求P 的逆。 1⎥⎥1⎦
解：将P 分块如下
⎡1⎢-1⎢ P =⎢0⎢⎣0
⎡1
0⎤
0200
1-102
1⎤
⎥记作0⎡A 1⎥ =
⎢
1⎥⎣A 3⎥1⎦
⎡1
1⎤
A 2⎤⎥ A 4⎦
其中 A 1=⎢⎥, A 2=⎢⎥, A 3=⎢⎥, A 4=⎢⎥; -12-100021⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦如果P 可逆，可设 P
-1
⎡00⎤⎡01⎤
⎡X 1
=⎢⎣X 3X 2⎤-1
⎥, 这里X 1, X 2, X 3, X 4均为二阶方阵，由PP =I 4有： X 4⎦⎡A 1⎣A 3
A 2⎤⎡X 1
⎥⎢A 4⎦⎣X 3
X 2⎤⎡I 2
⎥=⎢X 4⎦⎣0
0⎤⎥ I 2⎦
P P -1=⎢
⎧
⎪⎪⎨⎪⎪⎩
A 1X 1+A 2X 3=I A 1X
2
则有
+A 2X
4
=0
A 4X 3=0A 4X
4
=0
显然有A 1, A 4可逆，由上面的等式组可求得：
X 3=0 X 4=A 4-1
⎡1-=⎢2⎢1⎣1⎤2⎥0⎥⎦
X 1=A 1-1
⎡1
=⎢1⎢⎣2
⎡
0⎤⎢--1-1
1⎥ X 2=-A 1A 2A 4=⎢
⎢-2⎥⎦
⎣
1212
-
1⎤2⎥ ⎥0⎥⎦
所以P 的逆为: P
-1
⎡⎢1⎢1⎢=2⎢⎢0⎢⎢0⎣
01200
---
12121
-
21
1⎤2⎥⎥0⎥
. ⎥1⎥2⎥0⎥⎦
（2）用分块矩阵解决行列式问题
x 0
-1x 0... 0a n -1
0-1x ... 0a n -2
... ... ... ... ... ...
000... x a 2
000... -1x +a 1
例：设行列式P =
0... 0a n
, 试展开P .
解：把矩阵P 进行分块如下:
⎡x
⎢0⎢⎢0P =⎢
⎢... ⎢0⎢⎢a n ⎣
-1x 0... 0a n -1
0-1x ... 0a n -2
... ... ... ... ... ...
000... x a 2
⎤
⎥0
⎥
0⎥⎡A 1
⎥=⎢... ⎥⎣A 3-1⎥
⎥x +a 1⎦⎥0
A 2⎤
⎥; A 4⎦
当x ≠0时, A 1=x n -1≠0, A 1可逆。
⎡I n -1
此时选取矩阵：Q 1=⎢-1
⎣-A 3A 10⎤⎡I n -1⎥ Q 2=⎢1⎦⎣0-A 1A 2⎤
⎥ 1⎦
-1
则有：Q 1PQ 2=⎢
⎣0
⎡A 1
⎤⎥ -1
A 4-A 3A 1A 2⎦
上面等式两边取行列式，便有 Q 1P Q 2=A 1A 4-A 3A 1-1A 2 ; 但是Q 1=1, Q 2=1
⎡x -1⎢⎢0=⎢0⎢⎢. . . ⎢0⎣
x x
-2-1
x x x
-3-2-1
. . . x . . . . . .
-1
A 1
0. . . 0
. . . . . . 0
. . .
⎤-(n -2) ⎥x ⎥-(n -3)
⎥ x
⎥. . . ⎥-1⎥x ⎦
-(n -1)
-1
. a 2x ) A 4-A 3A 1-1A 2=(x +a 1) +(a n x -(n -1) +a n -1x -(n -2) +. . +
这样有 p =x n -1(x +a 1+a n x -(n -1) +a n -1x -(n -2) +... +a 2x -1) =x n +a 1x n -1+a 2x n -2+... +a n -1x +a n
当x =0时，P =(-1) n +1a n (-1) n -1=a n 也可以表示为上述形式，所以行列式P 的展开式为:P =x n +a 1x n -1+a 2x n -2+... +a n -1x +a n . （3）用分块矩阵证明矩阵秩问题
定理：设A ，B 都是n 阶矩阵，若AB =0，则秩(A )+秩(B )≤n 证明：对矩阵B 作分块：B =(B 1, B 2,..., B n ) , 由于AB =0
即(AB 1, AB 2,..., AB n ), 也就是 AB i =0 (i =1, 2,..., n ) ; 说明B 的各列B i 都是AX =0的解，从而秩(B 1, B 2,..., B n ) ≤n-秩(A) 即证： 秩(A )+秩(B )≤n
例：如果A , B 是两个任意的m ⨯n 矩阵，证明：秩(A +B )≤秩(A )+秩(B ) 证明：把矩阵A , B 按列分块, 记A =(A 1, A 2,..., A m ), B =(B 1, B 2,..., B m ) 则A +B =(A 1+B 1, A 2+B 2,..., A m +B m ); 又组A 1+B 1, A 2+B 2, …, A m +B m 可由A 1, A 2,..., A m , B 1, B 2,..., B m 线性表出, 那么:
秩(A +B )=秩{A 1+B 1, A 2+B 2,..., A m +B m }≤秩{A 1, A 2,..., A m , B 1, B 2,..., B m } ≤秩{A 1, A 2,..., A m }+秩{B 1, B 2,..., B m }=秩(A )+秩(B )
综上所述，分块矩阵是高等代数中的一个有力的工具和方法，除上述几个方面外，矩阵分块在其他方面的应用也很广泛，如用分块矩阵讨论线性方程组，同样也可以得出有关线性方程组的所有结果，在此就不作详细说明了。
参考文献：
[1] 居余马 线性代数[M] 清华大学出版社 80—90
[2] 穆大禄，裴惠生 高等代数教程[M] 山东大学出版社 1990 59—61 [3] 北京大学数学系 高等代数[M] 高等教育出版社
[4] 叶伯诚 高等代数[M] 青岛海洋大学出版社 1989 146—150
Some Properties and Applications of Block Matrixes
Abstract:The paper introduces the definition of block matrixes , discusses its operations,and
observes some applications of block matrixes in advanced algebra through examples.
Key words:block matrix, elementary transformation, application,operational nature
分块矩阵的性质及其应用
摘要：本文介绍分块矩阵的定义、分块方法、运算性质，并通过例题说明分块矩阵理论
在高等代数中的广泛应用。
关键词：分块矩阵、初等变换、应用、运算性质。 0引言
矩阵是高等代数中的一个重要内容，也是高等数学的很多分支研究问题的工具。当我们处理阶数较高或具有特殊结构的矩阵时，用处理一般低阶矩阵的方法，往往比较困难，为了研究问题的方便，也为了显示出矩阵中某些部分的特性，我们常把一个大型矩阵分成若干子块，把每个子块看作一个元素，从而构成一个分块矩阵，这是处理矩阵问题的重要技巧。利用矩阵的分块，可以把高阶矩阵划分成阶数较低的“块”，然后对这些以“块”为元素的矩阵施行矩阵的运算。本文就分块矩阵的加法与数量乘法、乘法、转置、初等变换等运算性质，及分块矩阵在矩阵求逆、行列式展开等方面的应用作了较为深入的研究。 1 分块矩阵的定义 定义
s ⨯t
[1]
：把一个m ⨯n 矩阵A ，在行的方向分成s 块，在列的方向分成t 块，称为A 的
分块矩阵，记作A =[A k ⨯l ]s ⨯t ，其中A k ⨯l (k =1, 2, , s ; l =1, 2, , t )称为A 的子块，它们
是各种类型的小矩阵。
⎡1
⎢0⎢
例：把一个5阶矩阵A =⎢0
⎢⎢0⎢⎣0
01000
00100
23-140
5⎤
⎥-2
⎥
6⎥ (1) ⎥0⎥4⎥⎦
用水平和垂直的虚线分成四块，如果记：
⎡1
⎢ ⎢0⎢⎣0
010
0⎤
⎥
0=I 3 ⎥1⎥⎦
⎡2
⎢3⎢⎢⎣-15⎤
⎥
-2=A 1 ⎥6⎥⎦
⎡0
⎢⎣0
00
0⎤⎥=00⎦
⎡4⎢⎣00⎤
⎥=A 24⎦
就可以把A 看成由上面4个小矩阵所组成，写作：
⎡I 3
A =⎢
⎣0
A 1⎤⎥ A 2⎦
并称它是A 的一个2⨯2分块矩阵，其中的每一个小矩阵称为A 的一个子块。常用的矩阵分块方法，除了上例中的4块矩阵，还有以下几种： （1） 按行分块
⎡a 11⎢a 12
A =⎢
⎢... ⎢⎣a m 1
a 12a 22... a m 2
...
a in
... ... ... ...
a 1n ⎤⎡A 1⎤
⎥⎢⎥a 2n A 2
⎥=⎢⎥ ... ⎥⎢ ⎥⎥⎢⎥a mn ⎦⎣A m ⎦
i =1, 2, . . m . ,
其中A i =[a i 1
(2)按列分块
⎡b 11
⎢b 21⎢ B =⎢... ⎢⎣b n 1
b 12b 22... b n 2
a i 2
]
... ... ... ...
b 1s ⎤⎥b 2s
⎥=[B
1
... ⎥⎥b ns ⎦
B 2
...
⎡b 1j ⎤⎢⎥b 2j
⎥ j =1, 2, , s B S ] 其中B j =⎢⎢ ⎥⎢⎥b ⎢nj ⎦⎥⎣
(3)当n 阶矩阵C 中都集中在主对角线附近，有时也可以分块成下面的对角块矩阵（又称准对角矩阵）：
⎡C 1
⎢
C=⎢
⎢⎢⎣
C 2
⎤⎥
⎥ 其中C 是r 阶方阵(i =1, 2, , m
i i
⎥⎥C m ⎦
m
∑r
i =1
i
=n
)
如：
⎡0⎢1⎢⎢0B =⎢
⎢0⎢0⎢⎢⎣0
⎡0
其中B 1=⎢
⎣1
-120000-1⎤⎥， 2⎦
001-100
00-1120
0002-20
0⎤
⎥0⎥0⎥⎥0⎥0⎥⎥3⎥⎦
⎡B 1
⎢=⎢⎢⎣
B 2
⎤
⎥ ⎥B 3⎥⎦
⎡1
⎢
B 2=⎢-1
⎢⎣0
-112
0⎤
⎥
2， B 3=[3]； ⎥-2⎥⎦
矩阵分块的第一个好处是使得矩阵的结构显得更清楚，如上面的矩阵（1）中，A 的左上角是一个3阶单位阵I 3，左下角是2⨯3零矩阵。
第二个好处（也是最重要的好处）是矩阵的运算可以通过小矩阵的运算进行，从而把高阶矩阵的运算转化为低阶矩阵的运算。这在下面的研究中会得到充分的体现。 矩阵分块的目的在于简化矩阵的运算，对矩阵进行分块时，要根据实际需要来进行。
2 分块矩阵的运算性质
下面我们来研究分块矩阵的运算性质： （1） 分块矩阵的加法与数量乘法
设A ，B 都是m ⨯n 矩阵，并且对A ，B 用同样的方法进行分块：
⎡A 11⎢A 21
A =⎢
⎢... ⎢⎣A l 1
A 12A 22... A l 2
... ... ... ...
A 1K ⎤⎡B 11
⎥⎢A 2K B
⎥ B =⎢21
⎢... ... ⎥
⎥⎢A lk ⎦⎣B l 1
B 12B 22... B l 2
... ... ... ...
B 1k ⎤
⎥B 2K
⎥ ... ⎥⎥B lk ⎦
其中A ij , B ij 都是m i ⨯n j 矩阵，即A ij 和B ij 是同型矩阵，那么
⎡A 11+B 11⎢
A 21+B 21⎢ A +B =⎢... ⎢
⎣A l 1+B l 1
A 12+B 12A 22+B 22
... A l 2+B l 2
... ... ... ...
A 1k +B 1k ⎤
⎥
A 2k +B 2k
⎥ ⎥...
⎥
A lk +B lk ⎦
设A 是m ⨯n 矩阵，把A 进行分块：
⎡A 11⎢A 21⎢ A =⎢... ⎢⎣A l 1
A 12A 22... A l 2
... ... ... ...
A 1k ⎤⎡aA 11
⎥⎢A 2k aA
⎥，a 为任意数，则aA =⎢21
⎢... ... ⎥
⎥⎢A lk ⎦⎣aA l 1
aA 12aA 22... aA l 2
... ... ... ...
aA 1k ⎤
⎥aA 2k
⎥ ... ⎥
⎥aA lk ⎦
(2)分块矩阵的乘法
下面的定理表明，分块矩阵的乘法类似于矩阵的乘法。 定理
[2]
：设A 为m ⨯n 矩阵，B 为n ⨯l 矩阵，若对A ，B 作如下分块：
n 2
...
n s
n 1
m 1⎡A 11
⎢m 2A 21
⎢A =
⎢... ⎢m r ⎣A r 1
l 1
l 2
...
l t
B 1t ⎤⎥B 2t
⎥ ... ⎥⎥B st ⎦
A 12A 22... A r 2
... ... ... ...
A 1s ⎤n 1⎡B 11
⎥⎢A 2s n 2B 21
⎥ B =⎢... ⎥ ⎢... ⎥⎢A rs ⎦n s ⎣B s 1
B 12B 22... B s 2
... ... ... ...
(1)
l 1 l 2 … l t
m 1⎡G 11
⎢m 2G 21
⎢ 则 AB =
⎢... ⎢m r ⎣G r 1
G 12G 22... G r 2
... ... ... ...
G 1t ⎤
⎥S G 2t
⎥， 其中G =
∑A ik B ki (i =1, 2,..., r ; j =1, 2,..., t ) (2) ... ⎥k =1
⎥G rt ⎦
证明: 记 l 1 l 2 … l t
m 1⎡G 11
⎢m 2G 21
⎢ G =
⎢... ⎢m r ⎣G r 1
G 12G 22... G r 2
... ... ... ...
G 1t ⎤
⎥G 2t
⎥ ... ⎥⎥G rt ⎦
下面证明将G 看作以数为元素的矩阵, 有G =AB
首先, AB 为m ⨯l 矩阵, 基于(1)的分块方式及(2)式,G ij 为m i ⨯l j 矩阵, 且有 m 1+m 2+. . +. l t =l . m r =m l 1+l 2+. . +故将G 看作以数为元素的矩阵, 也是一个m ⨯l 矩阵。
其次，G 的(i , j )元g ij 必位于分块矩阵G 的某一子块G pq 之中，不妨设g ij 是G pq 的（i ', j '）元素，即有：
i =m 1+m 2+... +m p -1+i ' 1≤i '≤m p
j =l 1+l 2+... +l q -1+j '
1≤j '≤l q (3)
由(2)式 有：G pq =A P 1B 1q +A p 2B 2q +..... +A ps B sq
可知G pq 的（i ', j '）元素应是A p 1, A p 2,.... A ps 的第i '行分别与B 1q , B 2q ,... B sq 的第j '列的相应元素乘积的和。由(3)式可知，A pk 的第i '行元素位于A 中第i 行，B kq 的第j '列元素位于B 中第j 列(k =1, 2, , s )再注意到对A , B 所作的分块，可得：
n 1
n 1+n 2
ik
n 1+n 2+... +n s
n
g ij =
∑a
k =1
b kj +
∑a
k =n 1+1
ik
b kj +….+
∑
k =n 1+... +n s +1
a ik b kj
=∑a ik b kj
k =1
这说明, 矩阵G 的(i , j )元素恰好等于矩阵AB 的(i , j )元素, 基于以上两点可得 G =AB
例:设矩阵
⎡1⎢0⎢
A =⎢0
⎢⎢0⎢⎣0
01000
00100
23-140
5⎤⎡1
⎥⎢-20
⎥⎢6⎥=⎢0⎥⎢0⎥⎢04⎥⎦⎢⎣0
01000
00100
23-140
5⎤
⎥-2
⎥⎡I
3
6⎥=⎢⎥⎣00⎥4⎥⎦
A 1⎤
⎥ 4I 2⎦
⎡2
3其中I 3为三阶单位阵, I 2为二阶单位阵, A 1=⎢⎢⎢⎣-15⎤
⎡0⎥
-2 0=⎢
⎥
⎣0
6⎥⎦
00
0⎤
⎥0⎦
矩阵
⎡a 1⎢b ⎢1
B =⎢c 1
⎢⎢0⎢⎣0
a 2b 2c 200
a 3b 3c 310
a 4⎤⎡a 1
⎥⎢b 4b ⎥⎢1c 4⎥=⎢c 1
⎥⎢0⎥⎢01⎥⎦⎢⎣0
a 2b 2c 200
a 3b 3c 310
a 4⎤
⎥b 4
⎥⎡B
1
c 4⎥=⎢⎥⎣00⎥1⎥⎦
0⎤⎥0⎦
B 2⎤⎥, I 2⎦
其中
⎡a 1
⎢B 1=b 1
⎢⎢⎣c 1a 2⎤⎡a 3
⎥⎢b 2 B 2=b 3
⎥⎢
⎢c 2⎦⎣c 3a 4⎤
⎡0⎥
b 4 0=⎢⎥
⎣0
c 4⎥⎦
I 2为二阶单位阵.
在计算AB 时, 把A , B 的各小子块看作元素, 然后按通常的矩阵乘法把它们相乘, 于是
AB =
⎡I 3
⎢⎣0
a 2b 2c 200
A 1⎤⎥4I 2⎦⎡B 1⎢⎣0B 2⎤⎥I 2⎦
=
⎡I 3B 1+A 10⎢
⎣0B 1+4I 20I 3B 2+A 1I 2⎤
⎥
0B 2+4I 2I 2⎦
=
⎡B 1⎢⎣0B 2+A 1⎤
⎥ 4I 2⎦
⎡a 1
⎢b ⎢1=⎢c 1
⎢⎢0⎢⎣0
a 3+2b 3+3c 3-140
a 4+5⎤
⎥b 4-2
⎥c 4+6⎥
⎥0⎥4⎥⎦
容易验证, 这个结果与按矩阵乘法法则直接计算的结果是一致的。
注意：上例中A 的列的分法与B 的行的分法是一致的，也就是说我们遵循了以下规则
1 A 的列组数等于B 的行组数。
2 A 的每个列组所含的列数等于B 的相应行组所含的行数。
(3) 分块矩阵的转置 先看一个例子：设
⎡1⎢
A =⎢4
⎢⎣7
258
369
a ⎤
⎥b ⎥0⎥⎦
记 A 1=⎢
⎣4
⎡125
3⎤⎥6⎦
A 2=⎢⎥ A 3=[789] A 4=[0]
⎣b ⎦
⎡1⎢
A 2⎤2
⎢' 因此我们有：A =⎥
⎢3A 4⎦
⎢⎣a
456b
7⎤⎥8⎡A 1'⎥ =
⎢'
9⎥⎣A 2⎥0⎦
⎡a ⎤
则A 可以分块成：A =⎢
⎡A 1⎣A 3'⎤A 3
⎥ 'A 4⎦
⎡A 11
⎢A 21⎢一般地，设A=⎢... ⎢⎣A s 1
A 12A 22... A s 2
... ... ... ...
'A 1t ⎤⎡A 11⎢'⎥
A A 2t
⎥是一个分块矩阵，那么A '=⎢12
⎢... ... ⎥
⎢⎥
A st ⎦⎣A 1't
'A 21'A 22... 't A 2
... ... ... ...
A s '1⎤
⎥A s '2
⎥ ... ⎥⎥'⎦A st
分块矩阵取转置的规则是[3]：
第一步：把A 的每一块都看成元素（数）取转置 第二步：对A 的每一块取转置。 （4）分块矩阵的初等变换
分块矩阵的初等变换是处理分块矩阵有关问题的重要工具，由文[3]我们可以推广得到如下定义：
定义：以下三种变换称为分块矩阵的初等行变换
10 用一个行列式不为零的方阵左乘（右乘）分块矩阵的某一块行。 20互换两块行的位置。
30把一个块行的P （矩阵）倍（即这个块行里每一个小矩阵都左乘或右乘一个矩阵
P
）加到另一块行上。
类似地，我们可以定义分块矩阵的初等列变换。 例：设n 阶矩阵A 分块表示为：A =⎢证明：A 22-A 21A 11
-1
⎡A 11⎣A 21A 12⎤
其中A 11, A 22为方阵，且A 和A 11可逆，⎥，A 22⎦
A 12可逆。
证明：先对分块阵A 作初等变换，将其化为上三角块矩阵。为此，根据有关结论（[3] 193，（3）），可左乘矩阵
1
P 1=⎢-1
-A A 2111⎣
⎡I
0⎤
⎥ I 2⎦
其中I 1, I 2为单位阵，其阶数分别为A 11, A 22的阶数，于是：
⎡A 11
P 1A =⎢
⎣0
A 22
⎤记作
-1
P A ，=A B A -A A A 12 =111⎥222111-1
-A 21A 11A 12⎦
-111
A 12
由于p 1=1，A ≠0，A 11≠0 ，所以 A 22-A 21A A 12=故矩阵[A 22-A 21A 11-1A 12]可逆。 3 分块矩阵的应用
A A 11
≠0
分块矩阵是矩阵的一种推广，与普通矩阵不同，分块矩阵的元素可以是数，也可以是小矩阵。它的引入使矩阵这一重要工具的使用更广泛，下面举例说明分块矩阵的应用： （1）矩阵求逆
⎡1⎢-1
例：设矩阵P =⎢
⎢0⎢⎣0
0200
1-102
1⎤⎥0
⎥, 求P 的逆。 1⎥⎥1⎦
解：将P 分块如下
⎡1⎢-1⎢ P =⎢0⎢⎣0
⎡1
0⎤
0200
1-102
1⎤
⎥记作0⎡A 1⎥ =
⎢
1⎥⎣A 3⎥1⎦
⎡1
1⎤
A 2⎤⎥ A 4⎦
其中 A 1=⎢⎥, A 2=⎢⎥, A 3=⎢⎥, A 4=⎢⎥; -12-100021⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦如果P 可逆，可设 P
-1
⎡00⎤⎡01⎤
⎡X 1
=⎢⎣X 3X 2⎤-1
⎥, 这里X 1, X 2, X 3, X 4均为二阶方阵，由PP =I 4有： X 4⎦⎡A 1⎣A 3
A 2⎤⎡X 1
⎥⎢A 4⎦⎣X 3
X 2⎤⎡I 2
⎥=⎢X 4⎦⎣0
0⎤⎥ I 2⎦
P P -1=⎢
⎧
⎪⎪⎨⎪⎪⎩
A 1X 1+A 2X 3=I A 1X
2
则有
+A 2X
4
=0
A 4X 3=0A 4X
4
=0
显然有A 1, A 4可逆，由上面的等式组可求得：
X 3=0 X 4=A 4-1
⎡1-=⎢2⎢1⎣1⎤2⎥0⎥⎦
X 1=A 1-1
⎡1
=⎢1⎢⎣2
⎡
0⎤⎢--1-1
1⎥ X 2=-A 1A 2A 4=⎢
⎢-2⎥⎦
⎣
1212
-
1⎤2⎥ ⎥0⎥⎦
所以P 的逆为: P
-1
⎡⎢1⎢1⎢=2⎢⎢0⎢⎢0⎣
01200
---
12121
-
21
1⎤2⎥⎥0⎥
. ⎥1⎥2⎥0⎥⎦
（2）用分块矩阵解决行列式问题
x 0
-1x 0... 0a n -1
0-1x ... 0a n -2
... ... ... ... ... ...
000... x a 2
000... -1x +a 1
例：设行列式P =
0... 0a n
, 试展开P .
解：把矩阵P 进行分块如下:
⎡x
⎢0⎢⎢0P =⎢
⎢... ⎢0⎢⎢a n ⎣
-1x 0... 0a n -1
0-1x ... 0a n -2
... ... ... ... ... ...
000... x a 2
⎤
⎥0
⎥
0⎥⎡A 1
⎥=⎢... ⎥⎣A 3-1⎥
⎥x +a 1⎦⎥0
A 2⎤
⎥; A 4⎦
当x ≠0时, A 1=x n -1≠0, A 1可逆。
⎡I n -1
此时选取矩阵：Q 1=⎢-1
⎣-A 3A 10⎤⎡I n -1⎥ Q 2=⎢1⎦⎣0-A 1A 2⎤
⎥ 1⎦
-1
则有：Q 1PQ 2=⎢
⎣0
⎡A 1
⎤⎥ -1
A 4-A 3A 1A 2⎦
上面等式两边取行列式，便有 Q 1P Q 2=A 1A 4-A 3A 1-1A 2 ; 但是Q 1=1, Q 2=1
⎡x -1⎢⎢0=⎢0⎢⎢. . . ⎢0⎣
x x
-2-1
x x x
-3-2-1
. . . x . . . . . .
-1
A 1
0. . . 0
. . . . . . 0
. . .
⎤-(n -2) ⎥x ⎥-(n -3)
⎥ x
⎥. . . ⎥-1⎥x ⎦
-(n -1)
-1
. a 2x ) A 4-A 3A 1-1A 2=(x +a 1) +(a n x -(n -1) +a n -1x -(n -2) +. . +
这样有 p =x n -1(x +a 1+a n x -(n -1) +a n -1x -(n -2) +... +a 2x -1) =x n +a 1x n -1+a 2x n -2+... +a n -1x +a n
当x =0时，P =(-1) n +1a n (-1) n -1=a n 也可以表示为上述形式，所以行列式P 的展开式为:P =x n +a 1x n -1+a 2x n -2+... +a n -1x +a n . （3）用分块矩阵证明矩阵秩问题
定理：设A ，B 都是n 阶矩阵，若AB =0，则秩(A )+秩(B )≤n 证明：对矩阵B 作分块：B =(B 1, B 2,..., B n ) , 由于AB =0
即(AB 1, AB 2,..., AB n ), 也就是 AB i =0 (i =1, 2,..., n ) ; 说明B 的各列B i 都是AX =0的解，从而秩(B 1, B 2,..., B n ) ≤n-秩(A) 即证： 秩(A )+秩(B )≤n
例：如果A , B 是两个任意的m ⨯n 矩阵，证明：秩(A +B )≤秩(A )+秩(B ) 证明：把矩阵A , B 按列分块, 记A =(A 1, A 2,..., A m ), B =(B 1, B 2,..., B m ) 则A +B =(A 1+B 1, A 2+B 2,..., A m +B m ); 又组A 1+B 1, A 2+B 2, …, A m +B m 可由A 1, A 2,..., A m , B 1, B 2,..., B m 线性表出, 那么:
秩(A +B )=秩{A 1+B 1, A 2+B 2,..., A m +B m }≤秩{A 1, A 2,..., A m , B 1, B 2,..., B m } ≤秩{A 1, A 2,..., A m }+秩{B 1, B 2,..., B m }=秩(A )+秩(B )
综上所述，分块矩阵是高等代数中的一个有力的工具和方法，除上述几个方面外，矩阵分块在其他方面的应用也很广泛，如用分块矩阵讨论线性方程组，同样也可以得出有关线性方程组的所有结果，在此就不作详细说明了。
参考文献：
[1] 居余马 线性代数[M] 清华大学出版社 80—90
[2] 穆大禄，裴惠生 高等代数教程[M] 山东大学出版社 1990 59—61 [3] 北京大学数学系 高等代数[M] 高等教育出版社
[4] 叶伯诚 高等代数[M] 青岛海洋大学出版社 1989 146—150
Some Properties and Applications of Block Matrixes
Abstract:The paper introduces the definition of block matrixes , discusses its operations,and
observes some applications of block matrixes in advanced algebra through examples.
Key words:block matrix, elementary transformation, application,operational nature