函数的解析式及定义域
(一) 复习指导
1．确定一个函数只需两个要素，就是定义域和函数的对应法则f ，定义域是自变量x 的取值范围，它是函数不可缺少的组成部分，在中学阶段，所研究的函数大都是能用解析式表示的，如果未加特殊说明，函数的定义域就是指能使函数解析式有意义的所有实数x 的集合，在实际问题中，还必须考虑自变量x 所代表的具体量的允许范围，求函数的定义域，有以下一些常见的情况： ⑴ 当f (x ) 为整式或奇次根式时，x ∈R ；
⑵ 当f (x ) 为偶次根式时，被开方数不小于0（即≥0）；
⑶ 当f (x ) 为分式时，分母不为0；当分母是偶次根式时，被开方数大于0；
⑷ 当f (x ) 为指数式时，对零指数幂或负整数指数幂，底不为0（如f (x ) =x 0，f (x ) =x
-2
=
1
中x ≠0）。 2x
的值组
⑸ 当f (x ) 是由一些基本函数通过四则运算结合而成的，它的定义域应是使各部分都有意义的自变量
成的集合，即求各部分定义域集合的交集。 ⑹ 分段函数y =f (x ) 的定义域是各段上自变量
的取值集合的并集。
⑺ 由实际问题建立的函数，除了要考虑使解析式有意义外，还要考虑实际意义对自变量的要求
⑻ 对于含参数字母的函数，求定义域时一般要对字母的取值情况进行分类讨论，并要注意函数的定义域为非
空集合。
⑼ 对数函数的真数必须大于零，底数大于零且不等于1。
此外，函数解析式涉及到零指幂或负指幂时，注意底不为0，涉及到分数指数幂时，注意底大于0；对于函数y =tan ϕ(x ) ，应考虑ϕ(x ) =/k π+
π
(k ∈Z ) 等，如果函数f (x ) 是由几个数学式子构成的，则其定义域是使每2
个式子都有意义的实数集合．
注:求函数定义域是通过解关于自变量的不等式（组）来实现的。函数定义域是研究函数性质的基础和前提。函数对应法则通常表现为表格，解析式和图象。
对函数中对应法则f 的作用，应该加深理解并能正确的应用．
2．复合函数的定义域和解析式
（1）复合函数的定义
设u =g (x ) 是A 到B 的函数，y =f (u ) 是B 到C 上的函数，且遍B 中的元素时，y 取遍C ，那么y =f [g (x )]就是A 到C 上的函数。此函
'
'
B ⊆B ' ，当u 取
数称为由外函数
y =f (x ) 和内函数u =g (x ) 复合而成的复合函数。
说明：
⑴复合函数的定义域，就是复合函数y =f [g (x )]中x 的取值范围。 ⑵x 称为直接变量，u 称为中间变量，u 的取值范围即为g (x ) 的值域。 ⑶f [g (x )]与g [f (x )]表示不同的复合函数。 说明：
① 已知f (x ) 的定义域为(a , b ) ，求f [g (x )]的定义域的方法：
已知f (x ) 的定义域为(a , b ) ，求f [g (x )]的定义域。实际上是已知中间变量的u 的取值范围，即u ∈(a , b ) ，
g (x ) ∈(a , b ) 。通过解不等式a
② 已知f [g (x )]的定义域为(a , b ) ，求f (x ) 的定义域的方法：
若已知f [g (x )]的定义域为(a , b ) ，求f (x ) 的定义域。实际上是已知直接变量x 的取值范围，即x ∈(a , b ) 。先利用a
已知f (x ) 求复合函数f [g (x )]的解析式，直接把f (x ) 中的x 换成g (x ) 即可。 已知f [g (x )]求f (x ) 的常用方法有：配凑法和换元法。
配凑法就是在f [g (x )]中把关于变量x 的表达式先凑成g (x ) 整体的表达式，再直接把g (x ) 换成x 而得
f (x ) 。
换元法就是先设g (x ) =t ，从中解出x （即用t 表示x ），再把x （关于t 的式子）直接代入f [g (x )]中消去x 得到f (t ) ，最后把f (t ) 中的t 直接换成x 即得f (x ) 。 注： 当已知函数的类型求函数的解析式时，一般用待定系数法；
若已知抽象的函数表达式，则常用解方程组、消参的思想方法求函数的解析式。已知f (x ) 满足某个等式，这个等式除f (x ) 是未知量外，还出现其他未知量，如f (-x ) 、f () 等，必须根据已知等式再构造出其他等式组成方程组，通过解方程组求出f (x ) 。
(二) 解题方法指导
例1．求下列函数的定义域： (1)y =
1x
1
⋅
log 2(2x -3)
(2)y =log 0. 5(x 2-3) ⋅
例2．已知y =f (x ) 的定义域为[－3，2]，求y =f (2x +3)的定义域．
例3．已知f (x +1)=x 2－2x ，求f (x ) 及f (x －2) ．
例4．已知f (x ) 是二次函数，且满足f (x +1)+f (x －1)=2x 2－4x ，求f (x ) ．
例5*．已知函数f (x ) 对任意x 均满足2f (x )+f (1－x )=x 2，求f (x ) ．
例6．若函数f (x ) 的定义域是[0，1]，求f (1-2x ) 的定义域；
例7．已知函数f (x ) 定义域是(a , b ) ，求F (x ) =f (3x -1) -f (3x +1) 的定义域．
例 题 解 析
⎧2x -3>033
例1解：(1)由⎨，解得x ＞且x ≠2，所以所求的定义域为{x |x >且x =/2}⋅
2x -3=122/⎩
(2)由log 0.5(x 2－3) ≥0得0＜x 2－3≤1，解得：-2≤x
3
[-2, -3) (, 2].
小结：求类似于(2)题的多重复合形式的函数的定义域，应“由外向里”，即从最外层开始进行，得到一个不
等式后，在求解的过程中再逐层考虑约束条件．
例2解：因为y =f (x ) 的定义域为[－3，2]，所以x 的任意取值都必须在[－3，2]内，而2x ＋3相当于自变量的一个取值，所以2x ＋3也要在[－3，2]内，因此有：－3≤2x ＋3≤2解得-3≤x ≤-
所以所求函数定义域为[-3, -]⋅
例3解法1：令t =x ＋1，则x =t －1，所以有f (t )=(t －1) 2－2(t －1)=t 2－4t ＋3，所以f (x )=x 2－4x ＋3；f (x －2)=(x －2) 2－4(x －2) ＋3=x 2－8x ＋15．
解法2：将f (x ＋1)=x 2－2x 看做关于x 的恒等式，对于x 的任意取值，两端总是相等的，所以可直接得到：
1⋅ 2
12
f (x )=f [(x －1) ＋1]=(x －1) 2－2(x －1)=x 2－4x ＋3
f (x －2)=f [(x －3) ＋1]=(x －3) 2－2(x －3) ＝x 2－8x ＋15
例4解：设f (x )=ax 2＋bx ＋c (a ≠0)
则f (x ＋1)=a (x ＋1) 2＋b (x ＋1) ＋c =ax 2＋(2a ＋b ) x ＋a ＋b ＋c f (x －1)=a (x －1) 2＋b (x －1) ＋c =ax 2＋(－2a ＋b ) x ＋a －b ＋c 由f (x ＋1) ＋f (x －1)=2x 2－4x 得2ax 2＋2bx ＋2(a ＋c )=2x 2－4x 这是关于x 的恒等式，对任意一个x ，两端对应项系数都相等，所以有2a =2，2b =－4，2(a ＋c )=0，解得a =1，b =－2，c =－1
所以所求的函数为f (x )=x 2－2x －1．
例5解：令t =x －1，则t =x －1，由2f (x ) ＋f (1－x )=x 2，得2f (1－t ) ＋f (t )=(1－t ) 2，此式对任意t 均成立．所以又有2f (1－x ) ＋f (x )=(1－x ) 2，这就得到了关于f (x ) 和f (x －1) 的二元一次方程组．
2⎧⎪2f (x ) +f (1-x ) =x
， ⎨2
⎪⎩2f (1-x ) +f (x ) =(1-x )
解得f (x ) =
12
(x +2x -1) ，这就是所求的函数． 3
例6解：函数f (1-2x ) 是由A 到B 上的函数u =1-2x 与B 到C 上的函数y =f (u ) 复合而成的函数．
函数f (x ) 的定义域是[0，1]，
∴B=[0,1]，即函数u =1-2x 的值域为[0，1]． ∴0≤1-2x ≤1，
1， 21
∴函数f (1-2x ) 的定义域[0,]．
2
∴-1≤-2x ≤0，即0≤x ≤例7
b +1⎧a +1
⎧a
解：由题，⎨，⎨，
⎩a
⎪3⎩3
⎧a +1b +1
≥⎪
当⎨33，即
⎪⎩a
时，不表示函数；
当，即时，表示函数，
其定义域为
．
函数的解析式及定义域
(一) 复习指导
1．确定一个函数只需两个要素，就是定义域和函数的对应法则f ，定义域是自变量x 的取值范围，它是函数不可缺少的组成部分，在中学阶段，所研究的函数大都是能用解析式表示的，如果未加特殊说明，函数的定义域就是指能使函数解析式有意义的所有实数x 的集合，在实际问题中，还必须考虑自变量x 所代表的具体量的允许范围，求函数的定义域，有以下一些常见的情况： ⑴ 当f (x ) 为整式或奇次根式时，x ∈R ；
⑵ 当f (x ) 为偶次根式时，被开方数不小于0（即≥0）；
⑶ 当f (x ) 为分式时，分母不为0；当分母是偶次根式时，被开方数大于0；
⑷ 当f (x ) 为指数式时，对零指数幂或负整数指数幂，底不为0（如f (x ) =x 0，f (x ) =x
-2
=
1
中x ≠0）。 2x
的值组
⑸ 当f (x ) 是由一些基本函数通过四则运算结合而成的，它的定义域应是使各部分都有意义的自变量
成的集合，即求各部分定义域集合的交集。 ⑹ 分段函数y =f (x ) 的定义域是各段上自变量
的取值集合的并集。
⑺ 由实际问题建立的函数，除了要考虑使解析式有意义外，还要考虑实际意义对自变量的要求
⑻ 对于含参数字母的函数，求定义域时一般要对字母的取值情况进行分类讨论，并要注意函数的定义域为非
空集合。
⑼ 对数函数的真数必须大于零，底数大于零且不等于1。
此外，函数解析式涉及到零指幂或负指幂时，注意底不为0，涉及到分数指数幂时，注意底大于0；对于函数y =tan ϕ(x ) ，应考虑ϕ(x ) =/k π+
π
(k ∈Z ) 等，如果函数f (x ) 是由几个数学式子构成的，则其定义域是使每2
个式子都有意义的实数集合．
注:求函数定义域是通过解关于自变量的不等式（组）来实现的。函数定义域是研究函数性质的基础和前提。函数对应法则通常表现为表格，解析式和图象。
对函数中对应法则f 的作用，应该加深理解并能正确的应用．
2．复合函数的定义域和解析式
（1）复合函数的定义
设u =g (x ) 是A 到B 的函数，y =f (u ) 是B 到C 上的函数，且遍B 中的元素时，y 取遍C ，那么y =f [g (x )]就是A 到C 上的函数。此函
'
'
B ⊆B ' ，当u 取
数称为由外函数
y =f (x ) 和内函数u =g (x ) 复合而成的复合函数。
说明：
⑴复合函数的定义域，就是复合函数y =f [g (x )]中x 的取值范围。 ⑵x 称为直接变量，u 称为中间变量，u 的取值范围即为g (x ) 的值域。 ⑶f [g (x )]与g [f (x )]表示不同的复合函数。 说明：
① 已知f (x ) 的定义域为(a , b ) ，求f [g (x )]的定义域的方法：
已知f (x ) 的定义域为(a , b ) ，求f [g (x )]的定义域。实际上是已知中间变量的u 的取值范围，即u ∈(a , b ) ，
g (x ) ∈(a , b ) 。通过解不等式a
② 已知f [g (x )]的定义域为(a , b ) ，求f (x ) 的定义域的方法：
若已知f [g (x )]的定义域为(a , b ) ，求f (x ) 的定义域。实际上是已知直接变量x 的取值范围，即x ∈(a , b ) 。先利用a
已知f (x ) 求复合函数f [g (x )]的解析式，直接把f (x ) 中的x 换成g (x ) 即可。 已知f [g (x )]求f (x ) 的常用方法有：配凑法和换元法。
配凑法就是在f [g (x )]中把关于变量x 的表达式先凑成g (x ) 整体的表达式，再直接把g (x ) 换成x 而得
f (x ) 。
换元法就是先设g (x ) =t ，从中解出x （即用t 表示x ），再把x （关于t 的式子）直接代入f [g (x )]中消去x 得到f (t ) ，最后把f (t ) 中的t 直接换成x 即得f (x ) 。 注： 当已知函数的类型求函数的解析式时，一般用待定系数法；
若已知抽象的函数表达式，则常用解方程组、消参的思想方法求函数的解析式。已知f (x ) 满足某个等式，这个等式除f (x ) 是未知量外，还出现其他未知量，如f (-x ) 、f () 等，必须根据已知等式再构造出其他等式组成方程组，通过解方程组求出f (x ) 。
(二) 解题方法指导
例1．求下列函数的定义域： (1)y =
1x
1
⋅
log 2(2x -3)
(2)y =log 0. 5(x 2-3) ⋅
例2．已知y =f (x ) 的定义域为[－3，2]，求y =f (2x +3)的定义域．
例3．已知f (x +1)=x 2－2x ，求f (x ) 及f (x －2) ．
例4．已知f (x ) 是二次函数，且满足f (x +1)+f (x －1)=2x 2－4x ，求f (x ) ．
例5*．已知函数f (x ) 对任意x 均满足2f (x )+f (1－x )=x 2，求f (x ) ．
例6．若函数f (x ) 的定义域是[0，1]，求f (1-2x ) 的定义域；
例7．已知函数f (x ) 定义域是(a , b ) ，求F (x ) =f (3x -1) -f (3x +1) 的定义域．
例 题 解 析
⎧2x -3>033
例1解：(1)由⎨，解得x ＞且x ≠2，所以所求的定义域为{x |x >且x =/2}⋅
2x -3=122/⎩
(2)由log 0.5(x 2－3) ≥0得0＜x 2－3≤1，解得：-2≤x
3
[-2, -3) (, 2].
小结：求类似于(2)题的多重复合形式的函数的定义域，应“由外向里”，即从最外层开始进行，得到一个不
等式后，在求解的过程中再逐层考虑约束条件．
例2解：因为y =f (x ) 的定义域为[－3，2]，所以x 的任意取值都必须在[－3，2]内，而2x ＋3相当于自变量的一个取值，所以2x ＋3也要在[－3，2]内，因此有：－3≤2x ＋3≤2解得-3≤x ≤-
所以所求函数定义域为[-3, -]⋅
例3解法1：令t =x ＋1，则x =t －1，所以有f (t )=(t －1) 2－2(t －1)=t 2－4t ＋3，所以f (x )=x 2－4x ＋3；f (x －2)=(x －2) 2－4(x －2) ＋3=x 2－8x ＋15．
解法2：将f (x ＋1)=x 2－2x 看做关于x 的恒等式，对于x 的任意取值，两端总是相等的，所以可直接得到：
1⋅ 2
12
f (x )=f [(x －1) ＋1]=(x －1) 2－2(x －1)=x 2－4x ＋3
f (x －2)=f [(x －3) ＋1]=(x －3) 2－2(x －3) ＝x 2－8x ＋15
例4解：设f (x )=ax 2＋bx ＋c (a ≠0)
则f (x ＋1)=a (x ＋1) 2＋b (x ＋1) ＋c =ax 2＋(2a ＋b ) x ＋a ＋b ＋c f (x －1)=a (x －1) 2＋b (x －1) ＋c =ax 2＋(－2a ＋b ) x ＋a －b ＋c 由f (x ＋1) ＋f (x －1)=2x 2－4x 得2ax 2＋2bx ＋2(a ＋c )=2x 2－4x 这是关于x 的恒等式，对任意一个x ，两端对应项系数都相等，所以有2a =2，2b =－4，2(a ＋c )=0，解得a =1，b =－2，c =－1
所以所求的函数为f (x )=x 2－2x －1．
例5解：令t =x －1，则t =x －1，由2f (x ) ＋f (1－x )=x 2，得2f (1－t ) ＋f (t )=(1－t ) 2，此式对任意t 均成立．所以又有2f (1－x ) ＋f (x )=(1－x ) 2，这就得到了关于f (x ) 和f (x －1) 的二元一次方程组．
2⎧⎪2f (x ) +f (1-x ) =x
， ⎨2
⎪⎩2f (1-x ) +f (x ) =(1-x )
解得f (x ) =
12
(x +2x -1) ，这就是所求的函数． 3
例6解：函数f (1-2x ) 是由A 到B 上的函数u =1-2x 与B 到C 上的函数y =f (u ) 复合而成的函数．
函数f (x ) 的定义域是[0，1]，
∴B=[0,1]，即函数u =1-2x 的值域为[0，1]． ∴0≤1-2x ≤1，
1， 21
∴函数f (1-2x ) 的定义域[0,]．
2
∴-1≤-2x ≤0，即0≤x ≤例7
b +1⎧a +1
⎧a
解：由题，⎨，⎨，
⎩a
⎪3⎩3
⎧a +1b +1
≥⎪
当⎨33，即
⎪⎩a
时，不表示函数；
当，即时，表示函数，
其定义域为
．