树德中学高2016届第六期入学考试数学试卷(文科)
满分：150分 时间：120分钟 命题：杨世卿
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．
2i
1．已知复数z 满足z ，那么z 的共轭复数在复平面上对应的点位于( )
1＋i A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限
2．已知集合A ＝{x |ax ＝1}，B ＝{0，1}，若A ⊆B ，则由a 的取值构成的集合为( )
A ．{1} B ．{0} C ．{0，1} D ．Φ
→→
3. 已知点A (－1，5) 和向量a ＝(2，3) ，若AB ＝3a ，则点B 的坐标为( )
→
A ．(7，4) B ．(7，14) C ．(5，4) D ．(5，14)
4. 最近, 国家统计局公布:2015年我国经济增速为6.9%，创近25年新低. 在当前经济增速放缓的情况下，转变经济发展方式，淘汰落后产能，寻找新的经济增长点是当务之急. 为此，经济改革专家组到基层调研，由一幅反映某厂6年来这种产品的总产量C 与时间t (年) 的函数关系图初步了解到：某工厂6年来生产某种产品的情况是：前3年年产量的增长速度越来越快，后3年年产量保持不变，则他们看到的图是 (
)
⎧3x -y ≥05．在单位圆x +y =1内随机均匀产生一点(x , y ) ，使得⎨成立的概率是( )
⎩x +3y ≥0
2
2
A ．
1311 B ． C ． D ． 44126
6. 如图，一个封闭的长方体，它的六个表面各标出A 、B 、C 、D 、E 、F 这六个字母，现放
成下面三种不同的位置，所看见的表面上的字母已标明，则字母A 、B 、C 对面的字母依次分别为(
)
A ．D 、E 、F B ．E 、D 、F C ．E 、F 、D D ．F 、D 、E
7. 若a ＜b ＜0，则下列不等式错误的是
11A. a b
B.
( )
D ．a 2＞b 2
11
C ．|a |＞|b | a －b a
3
8. 命题p ：∃b ∈R ，使直线y =-x +b 是曲线y =x -3ax 的切线．若⌝p 为真，则实数a
的取值范围是( )
A ．a
1111 B ．a ≤ C ．a > D ．a ≥ 3333
9. 已知抛物线y 2＝12x 的准线与x 轴的交点为K ，点A 在抛物线上且|AK |＝2|AF |，则A 点的横坐标为 A ．22
( )
C ． 3
D ．4
B ．3
10．如图，已知半平面α β=l ，A 、B 是l 上的两个点，C 、D 在半平面β内，且DA ⊥α, CB ⊥α, AD =4，AB =6, BC =8，在半平面α上有一个动点P ，使得∠APD =∠BPC ，则棱锥P -ABCD 体积的最大值是( ).
A ．144 B ．96 C ．64 D ．48
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分. 11．10
lg 12
⋅(
1lg 5
) 的值是___________. 10
2
x 2y 2y 2
+=1的焦点相同，则双曲线的离心率是_________. 12．双曲线x -2=1与椭圆95m
13．若sin(α+
π
4
) =
2
，则sin 2α=______________. 3
→→→→
14. 在△ABC 中，若AB ·AC ＝AB ·CB ＝2，则边AB 的长等于________．
2a －3
15．已知f (x ) 是定义在R 上以3为周期的偶函数，若f (1)＜1，f (5)＝a 的取值
a ＋1范围为___________.
三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．（本题满分12分）数列{a n }的各项全为正数，且在
如图所示的算法框图图中，已知输入k =2时，输出S =
14
；输入k =5时, 输出S =. 39
（Ⅰ）求{a n }的通项公式；
（Ⅱ）若b n =2n ，求数列{b n }的前n 项和T n .
a
17．（本题满分12分）如图，在四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 是正方形．点E 是棱PC
的中点，平面ABE 与棱PD 交于点F ． （Ⅰ）求证：AB ∥EF ；
（Ⅱ）若PA =AD ，且平面PAD ⊥平面ABCD ，试证明AF ⊥平面PCD ；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，线段PB 上是否存在点M , 使得EM ⊥平面PCD ? （直接给出结 论，不需要说明理由）
18．（本小题满分12分）某个团购网站为了更好地满足消费者，对在其网站发布的团购产品展开了用户调查，每个用户在使用了团购产品后可以对该产品进行打分，最高分是10分．上个月该网站共卖出了100份团购产品，所有用户打分的平均分作为该产品的参考分值，将这些产品按照得分分成以下几组：第一组[0，2) ，第二组[2，4) ，第三组[4，6) ，第四组[6，8) ，第五组[8，10]，得到的频率分布直方图如图所示．
(Ⅰ) 分别求第三，四，五组的频率；
(Ⅱ) 该网站在得分较高的第三，四，五组中用分层抽样的方法抽取了6个产品作为下个月团购的特惠产品，某人决定在这6个产品中随机抽取2个购买，求他抽到的两个产品均来自第三组的概率．
19．（本小题满分12分）将函数f (x ) ＝2sin(ωx＋φ)(ω＞0，0＜φπ
＜π)g (x ) 的图象，已知g (x ) 的部
4分图象如图所示，该图象与y 轴相交于点F (0，1) ，与x 轴相π
交于点P ，Q ，点M 为最高点，且△MPQ 的面积为2
(Ⅰ) 求函数g (x ) 的解析式；
(Ⅱ) 在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，g (A ) ＝1，且a 5，求△ABC 面积的最大值．
20．（本题满分13分）已知圆心为C 的圆，满足下列条件：圆心C 位于x 轴正半轴上，与直线3x －4y ＋7＝0相切，且被y 轴截得的弦长为3，圆C 的面积小于13. (Ⅰ) 求圆C 的标准方程；
(Ⅱ) 设过点M (0，3) 的直线l 与圆C 交于不同的两点A ，B ，以OA ，OB 为邻边作平行四边形OADB . 是否存在这样的直线l ，使得直线OD 与MC 恰好平行？如果存在，求出l 的方程；如果不存在，请说明理由．
ln x
21．（本题满分14分）已知函数f (x ) ，x ∈(0，＋∞) ．
x
(Ⅰ) 求函数f (x ) 的极值；
3
(Ⅱ) 若对任意的x ≥1，都有f (x ) ≥k (x ＋) ＋2，求实数k 的取值范围．
x
树德中学高2016届第六期入学考试数学试卷(文科) 参考答案
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．
1． D 2． C 3. D 4. A. 5．A 6. B 7. B. 8. A 9. C 10．D 二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分. 11．
51
12．2 13． - 14．2. 15． (－1，4)
910
三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．（本题满分12分）解：（Ⅰ）由框图知：当k =2时，S =
11
=①； a 1a 23
当k =5时，S =
11114+++=， a 1a 2a 2a 3a 3a 4a 4a 59
即
[1**********]1a -a 1
(-+-+-+-) =(-) =1⋅5
d a 1a 2a 2a 3a 3a 4a 4a 5d a 1a 5d a 1a 5
14d 44⋅==, 所以a 1a 5=9② d a 1a 5a 1a 59
=
由①②得⎨
⎧⎪a 1(a 1+d )=3
，（4分）
a a +4d =9)⎪⎩1(1
⎧a 1=1
所以⎨，a n =2n -1, n ∈N *. （6分）
⎩d =2
a 2n -1
=（Ⅱ）由（Ⅰ）得b n =2n =2
1n
⋅4， 2
1114(1-4n ) 2n 2n
=(4-1) . （12分） 所以T n =⋅(4+4+... +4) =
221-43
17．（本题满分12分）
（Ⅰ）证明：因为底面ABCD 是正方形，
所以AB ∥CD ．又因为AB ⊄平面PCD ，CD ⊂平面PCD ， 所以AB ∥平面PCD ．
又因为A , B , E , F 四点共面，且平面ABEF 平面PCD =EF ， 所以AB ∥EF ． （5分）
（Ⅱ）在正方形ABCD 中，CD ⊥AD ．又因为平面PAD ⊥平面ABCD ，
且平面PAD 平面ABCD =AD ， 所以CD ⊥平面PAD ． 又AF ⊂平面PAD 所以CD ⊥AF ．由（Ⅰ）可知AB ∥EF ，
又因为AB ∥CD , 所以CD ∥EF . 由点E 是棱PC 中点，所以点F 是棱PD 中点． 在△PAD 中，因为PA =AD ，所以AF ⊥PD ．
又因为PD CD =D ，所以AF ⊥平面PCD ． （10分） （Ⅲ）不存在． （12分） 18．（本小题满分12分）
解 (Ⅰ) 第三组的频率是0.150×2＝0.3； 第四组的频率是0.100×2＝0.2； 第五组的频率是0.050×2＝0.1 （5分） (Ⅱ) 设“抽到的两个产品均来自第三组”为事件A ，
由题意可知，第三、四、五组中分别抽取3个，2个，1个产品．（6分）
不妨设第三组抽到的产品是A 1，A 2，A 3；第四组抽到的产品是B 1，B 2；第五组抽到的产品是C 1，在这6个产品中随机抽取2个所含基本事件总数为：
{A 1，A 2}，{A 1，A 3}，{A 2，A 3}，{A 1，B 1}，{A 1，B 2}，{A 1，C 1}， {A 2，B 1}， {A 2，B 2}，{A 2，C 1}，{A 3，B 1}，{A 3，B 2}，{A 3，C 1}，{B 1，B 2}，{B 1，C 1}，{B 2，C 1}，
（9分）
在A 1，A 2，A 3共3个产品中随机抽取2个所含基本事件数为： {A 1，A 2}，{A 1，A 3}，{A 2，A 3}，
31
所以P (A ) ＝＝ （12分）
155
π
19．（本小题满分12分）解 (Ⅰ) 由题意可知g (x ) ＝2sin[ω(x －) ＋φ] （1分）
41πT π
由于S △ABC ＝2·|PQ |＝|PQ |＝＝T ＝π，即ω＝2（4分）
2222
ππππ
又由于g (0)＝2sin(φ－) ＝1，且－
2222
ππ2π则φφ＝，
263
π2ππ
即g (x ) ＝2sin[2(x －＋＝2sin(2x ．（6分）
436πππ13ππ5ππ
(Ⅱ) g (A ) ＝2sin(2A ＋＝1，2A ＋∈(，则2A ＋，∴A ＝（8分）
6666663
由余弦定理得b 2＋c 2－2bc cos A ＝a 2＝5，∴5＝b 2＋c 2－bc ≥bc （10分）
15∴S △ABC ＝bc sin A ，当且仅当b ＝c 5时，等号成立，
24
3
故S △ABC 的最大值为. （12分）
4
20．（本题满分13分）解 (Ⅰ) 设圆C ：(x －a ) 2＋y 2＝R 2(a ＞0) ，由题意知
⎧|3a ＋7|R ，⎪（3分） 3＋4
a ＋3＝R ，
13
解得a ＝1或a ＝，又∵s ＝πR 2＜13，∴a ＝1，
8
∴圆C 的标准方程为：(x －1) 2＋y 2＝4. （5分）
(Ⅱ) 当斜率不存在时，直线l 为：x ＝0，不满足题意．（7分） 当斜率存在时，设直线l 为：y ＝kx ＋3，A (x 1，y 1) ，B (x 2，y 2) ， 又∵直线l 与圆C 相交于不同的两点，
⎧⎪y ＝kx ＋3，联立⎨消去y 得：(1＋k 2) x 2＋(6k －2) x ＋6＝0，（8分） 22
⎪（x －1）＋y ＝4，⎩
∴Δ＝(6k －2) 2－24(1＋k 2) ＝12k 2－24k －20＞0，
2626
解得k ＜1或k ＞1＋，
336k －22k ＋6
x 1＋x 2＝－，（9分） y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2) ＋6＝1＋k 1＋k →→→→
在▱OADB 中，OD ＝(OA ＋OB ) ＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2) ，MC ＝(1，－3) ，
6k －22k ＋63→→
假设OD ∥MC ，则－3(x 1＋x 2) ＝y 1＋y 2，∴＝ 解得k ＝12分）
41＋k 1＋k 但
32626
∉ (－∞，1－3∪(1＋3，＋∞)，假设不成立． 4
∴不存在这样的直线l . （13分）
1－ln x
f ′(x ) ＝0，解得x ＝e. x 当00， 当x >e时，f ′(x )
1
所以f (x ) 在x ＝e 处取得极大值 （5分）
e
3
(Ⅱ) f (x ) ≥k (x ＋) ＋2(x ≥1) 等价于ln x －kx 2－2x －3k ≥0(x ≥1) ， （6分）
x
设函数g (x ) ＝ln x －kx 2－2x －3k (x ≥1) ，
－2kx 2－2x ＋11
g ′(x ) ＝－2kx －2＝.
x x
1
由题意知g (1)≥0，即k ≤－. （8分）
2
1
当k ≤－时，设h (x ) ＝－2kx 2－2x ＋1， （9分）
2
1
其图象开口向上，对称轴x 1，
2k
h (1)＝－2k －1≥0，所以h (x ) ≥0在x ∈[1，＋∞) 上恒成立， 所以g ′(x ) ≥0在x ∈[1，＋∞) 上恒成立，
即g (x ) 在x ∈[1，＋∞) 上为增函数， （12分） 所以g (x ) ≥g (1)≥0. （13分）
1
所以实数k 的取值范围为(－∞，－． （14分）
2
21．（本题满分14分）解 (Ⅰ) f ′(x ) ＝
树德中学高2016届第六期入学考试数学试卷(文科)
满分：150分 时间：120分钟 命题：杨世卿
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．
2i
1．已知复数z 满足z ，那么z 的共轭复数在复平面上对应的点位于( )
1＋i A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限
2．已知集合A ＝{x |ax ＝1}，B ＝{0，1}，若A ⊆B ，则由a 的取值构成的集合为( )
A ．{1} B ．{0} C ．{0，1} D ．Φ
→→
3. 已知点A (－1，5) 和向量a ＝(2，3) ，若AB ＝3a ，则点B 的坐标为( )
→
A ．(7，4) B ．(7，14) C ．(5，4) D ．(5，14)
4. 最近, 国家统计局公布:2015年我国经济增速为6.9%，创近25年新低. 在当前经济增速放缓的情况下，转变经济发展方式，淘汰落后产能，寻找新的经济增长点是当务之急. 为此，经济改革专家组到基层调研，由一幅反映某厂6年来这种产品的总产量C 与时间t (年) 的函数关系图初步了解到：某工厂6年来生产某种产品的情况是：前3年年产量的增长速度越来越快，后3年年产量保持不变，则他们看到的图是 (
)
⎧3x -y ≥05．在单位圆x +y =1内随机均匀产生一点(x , y ) ，使得⎨成立的概率是( )
⎩x +3y ≥0
2
2
A ．
1311 B ． C ． D ． 44126
6. 如图，一个封闭的长方体，它的六个表面各标出A 、B 、C 、D 、E 、F 这六个字母，现放
成下面三种不同的位置，所看见的表面上的字母已标明，则字母A 、B 、C 对面的字母依次分别为(
)
A ．D 、E 、F B ．E 、D 、F C ．E 、F 、D D ．F 、D 、E
7. 若a ＜b ＜0，则下列不等式错误的是
11A. a b
B.
( )
D ．a 2＞b 2
11
C ．|a |＞|b | a －b a
3
8. 命题p ：∃b ∈R ，使直线y =-x +b 是曲线y =x -3ax 的切线．若⌝p 为真，则实数a
的取值范围是( )
A ．a
1111 B ．a ≤ C ．a > D ．a ≥ 3333
9. 已知抛物线y 2＝12x 的准线与x 轴的交点为K ，点A 在抛物线上且|AK |＝2|AF |，则A 点的横坐标为 A ．22
( )
C ． 3
D ．4
B ．3
10．如图，已知半平面α β=l ，A 、B 是l 上的两个点，C 、D 在半平面β内，且DA ⊥α, CB ⊥α, AD =4，AB =6, BC =8，在半平面α上有一个动点P ，使得∠APD =∠BPC ，则棱锥P -ABCD 体积的最大值是( ).
A ．144 B ．96 C ．64 D ．48
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分. 11．10
lg 12
⋅(
1lg 5
) 的值是___________. 10
2
x 2y 2y 2
+=1的焦点相同，则双曲线的离心率是_________. 12．双曲线x -2=1与椭圆95m
13．若sin(α+
π
4
) =
2
，则sin 2α=______________. 3
→→→→
14. 在△ABC 中，若AB ·AC ＝AB ·CB ＝2，则边AB 的长等于________．
2a －3
15．已知f (x ) 是定义在R 上以3为周期的偶函数，若f (1)＜1，f (5)＝a 的取值
a ＋1范围为___________.
三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．（本题满分12分）数列{a n }的各项全为正数，且在
如图所示的算法框图图中，已知输入k =2时，输出S =
14
；输入k =5时, 输出S =. 39
（Ⅰ）求{a n }的通项公式；
（Ⅱ）若b n =2n ，求数列{b n }的前n 项和T n .
a
17．（本题满分12分）如图，在四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 是正方形．点E 是棱PC
的中点，平面ABE 与棱PD 交于点F ． （Ⅰ）求证：AB ∥EF ；
（Ⅱ）若PA =AD ，且平面PAD ⊥平面ABCD ，试证明AF ⊥平面PCD ；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，线段PB 上是否存在点M , 使得EM ⊥平面PCD ? （直接给出结 论，不需要说明理由）
18．（本小题满分12分）某个团购网站为了更好地满足消费者，对在其网站发布的团购产品展开了用户调查，每个用户在使用了团购产品后可以对该产品进行打分，最高分是10分．上个月该网站共卖出了100份团购产品，所有用户打分的平均分作为该产品的参考分值，将这些产品按照得分分成以下几组：第一组[0，2) ，第二组[2，4) ，第三组[4，6) ，第四组[6，8) ，第五组[8，10]，得到的频率分布直方图如图所示．
(Ⅰ) 分别求第三，四，五组的频率；
(Ⅱ) 该网站在得分较高的第三，四，五组中用分层抽样的方法抽取了6个产品作为下个月团购的特惠产品，某人决定在这6个产品中随机抽取2个购买，求他抽到的两个产品均来自第三组的概率．
19．（本小题满分12分）将函数f (x ) ＝2sin(ωx＋φ)(ω＞0，0＜φπ
＜π)g (x ) 的图象，已知g (x ) 的部
4分图象如图所示，该图象与y 轴相交于点F (0，1) ，与x 轴相π
交于点P ，Q ，点M 为最高点，且△MPQ 的面积为2
(Ⅰ) 求函数g (x ) 的解析式；
(Ⅱ) 在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，g (A ) ＝1，且a 5，求△ABC 面积的最大值．
20．（本题满分13分）已知圆心为C 的圆，满足下列条件：圆心C 位于x 轴正半轴上，与直线3x －4y ＋7＝0相切，且被y 轴截得的弦长为3，圆C 的面积小于13. (Ⅰ) 求圆C 的标准方程；
(Ⅱ) 设过点M (0，3) 的直线l 与圆C 交于不同的两点A ，B ，以OA ，OB 为邻边作平行四边形OADB . 是否存在这样的直线l ，使得直线OD 与MC 恰好平行？如果存在，求出l 的方程；如果不存在，请说明理由．
ln x
21．（本题满分14分）已知函数f (x ) ，x ∈(0，＋∞) ．
x
(Ⅰ) 求函数f (x ) 的极值；
3
(Ⅱ) 若对任意的x ≥1，都有f (x ) ≥k (x ＋) ＋2，求实数k 的取值范围．
x
树德中学高2016届第六期入学考试数学试卷(文科) 参考答案
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．
1． D 2． C 3. D 4. A. 5．A 6. B 7. B. 8. A 9. C 10．D 二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分. 11．
51
12．2 13． - 14．2. 15． (－1，4)
910
三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．（本题满分12分）解：（Ⅰ）由框图知：当k =2时，S =
11
=①； a 1a 23
当k =5时，S =
11114+++=， a 1a 2a 2a 3a 3a 4a 4a 59
即
[1**********]1a -a 1
(-+-+-+-) =(-) =1⋅5
d a 1a 2a 2a 3a 3a 4a 4a 5d a 1a 5d a 1a 5
14d 44⋅==, 所以a 1a 5=9② d a 1a 5a 1a 59
=
由①②得⎨
⎧⎪a 1(a 1+d )=3
，（4分）
a a +4d =9)⎪⎩1(1
⎧a 1=1
所以⎨，a n =2n -1, n ∈N *. （6分）
⎩d =2
a 2n -1
=（Ⅱ）由（Ⅰ）得b n =2n =2
1n
⋅4， 2
1114(1-4n ) 2n 2n
=(4-1) . （12分） 所以T n =⋅(4+4+... +4) =
221-43
17．（本题满分12分）
（Ⅰ）证明：因为底面ABCD 是正方形，
所以AB ∥CD ．又因为AB ⊄平面PCD ，CD ⊂平面PCD ， 所以AB ∥平面PCD ．
又因为A , B , E , F 四点共面，且平面ABEF 平面PCD =EF ， 所以AB ∥EF ． （5分）
（Ⅱ）在正方形ABCD 中，CD ⊥AD ．又因为平面PAD ⊥平面ABCD ，
且平面PAD 平面ABCD =AD ， 所以CD ⊥平面PAD ． 又AF ⊂平面PAD 所以CD ⊥AF ．由（Ⅰ）可知AB ∥EF ，
又因为AB ∥CD , 所以CD ∥EF . 由点E 是棱PC 中点，所以点F 是棱PD 中点． 在△PAD 中，因为PA =AD ，所以AF ⊥PD ．
又因为PD CD =D ，所以AF ⊥平面PCD ． （10分） （Ⅲ）不存在． （12分） 18．（本小题满分12分）
解 (Ⅰ) 第三组的频率是0.150×2＝0.3； 第四组的频率是0.100×2＝0.2； 第五组的频率是0.050×2＝0.1 （5分） (Ⅱ) 设“抽到的两个产品均来自第三组”为事件A ，
由题意可知，第三、四、五组中分别抽取3个，2个，1个产品．（6分）
不妨设第三组抽到的产品是A 1，A 2，A 3；第四组抽到的产品是B 1，B 2；第五组抽到的产品是C 1，在这6个产品中随机抽取2个所含基本事件总数为：
{A 1，A 2}，{A 1，A 3}，{A 2，A 3}，{A 1，B 1}，{A 1，B 2}，{A 1，C 1}， {A 2，B 1}， {A 2，B 2}，{A 2，C 1}，{A 3，B 1}，{A 3，B 2}，{A 3，C 1}，{B 1，B 2}，{B 1，C 1}，{B 2，C 1}，
（9分）
在A 1，A 2，A 3共3个产品中随机抽取2个所含基本事件数为： {A 1，A 2}，{A 1，A 3}，{A 2，A 3}，
31
所以P (A ) ＝＝ （12分）
155
π
19．（本小题满分12分）解 (Ⅰ) 由题意可知g (x ) ＝2sin[ω(x －) ＋φ] （1分）
41πT π
由于S △ABC ＝2·|PQ |＝|PQ |＝＝T ＝π，即ω＝2（4分）
2222
ππππ
又由于g (0)＝2sin(φ－) ＝1，且－
2222
ππ2π则φφ＝，
263
π2ππ
即g (x ) ＝2sin[2(x －＋＝2sin(2x ．（6分）
436πππ13ππ5ππ
(Ⅱ) g (A ) ＝2sin(2A ＋＝1，2A ＋∈(，则2A ＋，∴A ＝（8分）
6666663
由余弦定理得b 2＋c 2－2bc cos A ＝a 2＝5，∴5＝b 2＋c 2－bc ≥bc （10分）
15∴S △ABC ＝bc sin A ，当且仅当b ＝c 5时，等号成立，
24
3
故S △ABC 的最大值为. （12分）
4
20．（本题满分13分）解 (Ⅰ) 设圆C ：(x －a ) 2＋y 2＝R 2(a ＞0) ，由题意知
⎧|3a ＋7|R ，⎪（3分） 3＋4
a ＋3＝R ，
13
解得a ＝1或a ＝，又∵s ＝πR 2＜13，∴a ＝1，
8
∴圆C 的标准方程为：(x －1) 2＋y 2＝4. （5分）
(Ⅱ) 当斜率不存在时，直线l 为：x ＝0，不满足题意．（7分） 当斜率存在时，设直线l 为：y ＝kx ＋3，A (x 1，y 1) ，B (x 2，y 2) ， 又∵直线l 与圆C 相交于不同的两点，
⎧⎪y ＝kx ＋3，联立⎨消去y 得：(1＋k 2) x 2＋(6k －2) x ＋6＝0，（8分） 22
⎪（x －1）＋y ＝4，⎩
∴Δ＝(6k －2) 2－24(1＋k 2) ＝12k 2－24k －20＞0，
2626
解得k ＜1或k ＞1＋，
336k －22k ＋6
x 1＋x 2＝－，（9分） y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2) ＋6＝1＋k 1＋k →→→→
在▱OADB 中，OD ＝(OA ＋OB ) ＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2) ，MC ＝(1，－3) ，
6k －22k ＋63→→
假设OD ∥MC ，则－3(x 1＋x 2) ＝y 1＋y 2，∴＝ 解得k ＝12分）
41＋k 1＋k 但
32626
∉ (－∞，1－3∪(1＋3，＋∞)，假设不成立． 4
∴不存在这样的直线l . （13分）
1－ln x
f ′(x ) ＝0，解得x ＝e. x 当00， 当x >e时，f ′(x )
1
所以f (x ) 在x ＝e 处取得极大值 （5分）
e
3
(Ⅱ) f (x ) ≥k (x ＋) ＋2(x ≥1) 等价于ln x －kx 2－2x －3k ≥0(x ≥1) ， （6分）
x
设函数g (x ) ＝ln x －kx 2－2x －3k (x ≥1) ，
－2kx 2－2x ＋11
g ′(x ) ＝－2kx －2＝.
x x
1
由题意知g (1)≥0，即k ≤－. （8分）
2
1
当k ≤－时，设h (x ) ＝－2kx 2－2x ＋1， （9分）
2
1
其图象开口向上，对称轴x 1，
2k
h (1)＝－2k －1≥0，所以h (x ) ≥0在x ∈[1，＋∞) 上恒成立， 所以g ′(x ) ≥0在x ∈[1，＋∞) 上恒成立，
即g (x ) 在x ∈[1，＋∞) 上为增函数， （12分） 所以g (x ) ≥g (1)≥0. （13分）
1
所以实数k 的取值范围为(－∞，－． （14分）
2
21．（本题满分14分）解 (Ⅰ) f ′(x ) ＝