与圆有关的最值（取值范围）问题
引例1：在坐标系中，点A的坐标为(3，0)，点B为y轴正半轴上的一点，点C是第一象限内一点，且AC=2．设
tan∠BOC=m，则m的取值范围是_________．
引例2：如图，在边长为1的等边△OAB中，以边AB为直径作⊙D，以O为圆心OA长为半径作⊙O，C为半圆
AB上的一个动点（不与A、B两点重合）弧 ，射线AC交⊙O于点E，BC=a，AC=b，求a+b的最大值. 引例3：如图，∠BAC=60°，半径长为1的圆O与∠BAC的两边相切，P为圆O上一动点，以P为圆心，PA长
为半径的圆P交射线AB、AC于D、E两点，连接DE，则线段DE长度的最大值为( ).
A．
3 B．6 C
D．
二、解题策略
1．直观感觉，画出图形；
2．特殊位置，比较结果；
3．理性分析动点过程中所维系的不变条件，通过几何构建，寻找动量与定量（常量）之间的关系，建立等式，进行转化.
三、中考展望与题型训练
例一、斜率运用
如图，A点的坐标为（-2，1），以A为圆心的⊙A切x轴于点B，P(a，b)为⊙A上的一个动点，请分别探索：①b+a的最大值；②b+a的最小值；③b-a的最大值；④b-a的最大值；
【拓展延伸】：①b+2a的范围；②b-2a的范围；
例二、圆外一点与圆的最近点、最远点
1．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，点D是平面内的一个动点，且AD=2，M为BD的中点，在D点运动过程中，线段CM长度的取值范围是 .
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AB向B点运动（点2．如图，⊙O的直径为4，C为⊙O上一个定点，∠ABC=30°，动点P从A点出发沿半圆弧
P与点C在直径AB的异侧)，当P点到达B点时运动停止，在运动过程中，过点C作CP的垂线CD交PB的延长线于D点．
在点P的运动过程中，线段CD长度的取值范围为 ；
例三、
1
．如图，△ABC中，∠BAC=60°，∠ABC=45°，AB=D是线段BC上的一个动点，以AD为直径作⊙O分别交AB，AC于E，F两点，连接EF，则线段EF长度的最小值为 ．
2. 如图，定长弦CD在以AB为直径的⊙O上滑动（点C、D与点A、B不重合），M是CD的中点，过点C作CP⊥AB于点P，若CD=3，AB=8，则PM长度的最大值是 ．
例四、
1．如图，已知半径为2的⊙O与直线l相切于点A，点P是直径AB左侧半圆上的动点，过点P作直线l的垂线，垂足为C，PC与⊙O交于点D，连接PA、PB，设PC的长为x（2＜x＜4），则当x= 时，PD•CD的值最大，且最大值是为 .
2．如图，线段AB=4，C为线段AB上的一个动点，以AC、BC为边作等边△ACD和等边△BCE，⊙O外接于△CDE，则⊙O半径的最小值为
( ).
第 2 页 共 2 页
D. 2
3．在平面直角坐标系中，以坐标原点O为圆心，2为半径画⊙O，P是⊙O上一动点，且P在第一象限内，过点P作⊙O的切线与x轴相交于点A，与y轴相交于点B，线段AB长度的最小值是 .
例四、相切的应用（有公共点、最大或最小夹角）
1．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，D为AB边上一点，过点D作CD的垂线交直线BC于点E，
则线段CE长度的最小值是 .
2．如图，Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AB=4，以AC上的一点O为圆心OA为半径作⊙O，若⊙O与边BC始终有交点（包括B、C两点），则线段AO的取值范围是 .
例五、其他几何知识的运用
如图所示，AC⊥AB，AB=6，AC=4，点D是以AB为直径的半圆O上一动点，DE⊥CD交直线AB于点E，设∠DAB=α，（0°＜α＜90°）．若要使点E在线段OA上（包括O、A两点），则tanα的取值范围为 .
【题型训练】
1．如图，已知直线l与⊙O相离，OA⊥l于点A，OA=5，OA与⊙O相交于点P，AB与⊙O相切于点B，BP的延长线交直线l于点C，若在⊙O上存在点Q，使△QAC是以AC为底边的等腰三角形，则⊙O的半径r的取值范围为 .
第 3 页 共 3 页
B
2、如图，在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，O 为矩形ABCD的中心，以D为圆心1为半径作⊙D，P为⊙D上的一个动点，连接AP、OP，则△AOP面积的最大值为( ). (A)4 (B)213517 (C) (D) 584
3．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，BC=6，经过点C且与边AB相切的动圆与CA、CB分别相交于点P、Q，则线段PQ长度的最小值是( ). A．19 4 B．24 5 C
．5 D．4．如图，在等腰Rt△ABC中，∠A=90°，AB=AC=4，D是AB的中点，点E在AB边上运动（点E不与点A重合），过A、D、E三点作⊙O，⊙O交AC于另一点F，在此运动变化的过程中，线段EF长度的最小值为 ．
5．如图，A、B两点的坐标分别为(2，0)、(0，2)，⊙C的圆心的坐标为(-1，0)，半径为1，若D是⊙C上的一个动点，线段DA与y轴交于点E，则△ABE面积的最小值是( ).
A
．2 B．1 C.
2- D.2
6．如图，已知A、B两点的坐标分别为(-2，0)、(0，1)，⊙C的圆心坐标为(0，-1)，半径为1，D是⊙C上的一个动点，射线AD与y轴交于点E，则△ABE面积的最大值是( ). A．3 B．1110 C． D．4 33
7．如图，等腰Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=4，⊙C的半径为1，点P在斜边AB上，PQ切⊙O于点Q，则切线长PQ长度的最小值为( ).
第 4 页 共 4 页
8．在直角坐标系中，点A的坐标为（3，0），点P（m，n）是第一象限内一点，且AP=2，则m n的范围为 .
9．在平面直角坐标系中，M（3，4），P是以M为圆心，2为半径的⊙M上一动点，A（-1，0）、B（1，0），连
22接PA、PB，则PA+PB最大值是 .
能力提升
1．如图，P为⊙O内的一个定点，A为⊙O上的一个动点，射线AP、AO分别与⊙O交于B、C两点．若⊙O的半径长为3，OP=
A．2
2．如图，已知A、B两点的坐标分别为（8，0）、（0，﹣6），⊙C的圆心坐标为（0，7），半径为5．若P是⊙C上的一个动点，线段PB与x轴交于点D，则△ABD面积的最大值是（ ）
A．63 B．31 C．32 D．30
3．（2013•枣庄）如图，已知线段OA交⊙O于点B，且OB=AB，点P是⊙O上的一个动点，那么∠OAP的最大值是（ ）
A．90° B．60° C
．45°
D
．30°
第 5 页 共 5 页
，则弦BC的最大值为（ ） B．3 C． D．3
4、如图，E，F是正方形ABCD的边AD上两个动点，满足AE=DF．连接CF交BD于点G，连接BE交AG于点H．若正方形的边长为2，则线段DH长度的最小值是 ．
5．（2013•长春模拟）如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=12，BC=5，经过点C且与边AB相切的动圆与CA、CB分别相交于点P、Q，则PQ长的最小值为 ．
6．（2013•陕西）如图，AB是⊙O的一条弦，点C是⊙O上一动点，且∠ACB=30°，点E、F分别是AC、BC的中点，直线EF与⊙O交于G、H两点．若⊙O的半径为7，则GE+FH的最大值为 ．
7．（2013•咸宁）如图，在Rt△AOB中，OA=OB=3，⊙O的半径为1，点P是AB边上的动点，过点P作⊙O的一条切线PQ（点Q为切点），则切线PQ的最小值为 ．
8．（2013•内江）在平面直角坐标系xOy中，以原点O为圆心的圆过点A（13，0），直线y=kx﹣3k+4与⊙O交于B、C两点，则弦BC的长的最小值为 ．
9．（2011•苏州校级一模）如图，在平面直角坐标系中，以坐标原点O为圆心，2为半径
画⊙O，P是⊙O是一动点且P在第一象限内，过P作⊙O切线与x轴相交于点A，与y
轴相交于点B．则线段AB的最小值是 ．
10、（2015秋•江阴市校级期中）如图，⊙O与正方形ABCD的两边AB、AD相切，且DE
与⊙O相切于E点．若正方形ABCD的周长为28，且DE=4，则sin∠ODE= ．
11、（2014春•兴化市校级月考）如图所示，已知A（1，y1），B（2，y2）为反比例函数y=图象上的两点，动点P（x，0）在x轴正半轴上运动，当线段AP与线段BP之差达到最大时，点P的坐标是 ．
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与圆有关的最值（取值范围）问题
引例1：在坐标系中，点A的坐标为(3，0)，点B为y轴正半轴上的一点，点C是第一象限内一点，且AC=2．设
tan∠BOC=m，则m的取值范围是_________．
引例2：如图，在边长为1的等边△OAB中，以边AB为直径作⊙D，以O为圆心OA长为半径作⊙O，C为半圆
AB上的一个动点（不与A、B两点重合）弧 ，射线AC交⊙O于点E，BC=a，AC=b，求a+b的最大值. 引例3：如图，∠BAC=60°，半径长为1的圆O与∠BAC的两边相切，P为圆O上一动点，以P为圆心，PA长
为半径的圆P交射线AB、AC于D、E两点，连接DE，则线段DE长度的最大值为( ).
A．
3 B．6 C
D．
二、解题策略
1．直观感觉，画出图形；
2．特殊位置，比较结果；
3．理性分析动点过程中所维系的不变条件，通过几何构建，寻找动量与定量（常量）之间的关系，建立等式，进行转化.
三、中考展望与题型训练
例一、斜率运用
如图，A点的坐标为（-2，1），以A为圆心的⊙A切x轴于点B，P(a，b)为⊙A上的一个动点，请分别探索：①b+a的最大值；②b+a的最小值；③b-a的最大值；④b-a的最大值；
【拓展延伸】：①b+2a的范围；②b-2a的范围；
例二、圆外一点与圆的最近点、最远点
1．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，点D是平面内的一个动点，且AD=2，M为BD的中点，在D点运动过程中，线段CM长度的取值范围是 .
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AB向B点运动（点2．如图，⊙O的直径为4，C为⊙O上一个定点，∠ABC=30°，动点P从A点出发沿半圆弧
P与点C在直径AB的异侧)，当P点到达B点时运动停止，在运动过程中，过点C作CP的垂线CD交PB的延长线于D点．
在点P的运动过程中，线段CD长度的取值范围为 ；
例三、
1
．如图，△ABC中，∠BAC=60°，∠ABC=45°，AB=D是线段BC上的一个动点，以AD为直径作⊙O分别交AB，AC于E，F两点，连接EF，则线段EF长度的最小值为 ．
2. 如图，定长弦CD在以AB为直径的⊙O上滑动（点C、D与点A、B不重合），M是CD的中点，过点C作CP⊥AB于点P，若CD=3，AB=8，则PM长度的最大值是 ．
例四、
1．如图，已知半径为2的⊙O与直线l相切于点A，点P是直径AB左侧半圆上的动点，过点P作直线l的垂线，垂足为C，PC与⊙O交于点D，连接PA、PB，设PC的长为x（2＜x＜4），则当x= 时，PD•CD的值最大，且最大值是为 .
2．如图，线段AB=4，C为线段AB上的一个动点，以AC、BC为边作等边△ACD和等边△BCE，⊙O外接于△CDE，则⊙O半径的最小值为
( ).
第 2 页 共 2 页
D. 2
3．在平面直角坐标系中，以坐标原点O为圆心，2为半径画⊙O，P是⊙O上一动点，且P在第一象限内，过点P作⊙O的切线与x轴相交于点A，与y轴相交于点B，线段AB长度的最小值是 .
例四、相切的应用（有公共点、最大或最小夹角）
1．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，D为AB边上一点，过点D作CD的垂线交直线BC于点E，
则线段CE长度的最小值是 .
2．如图，Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AB=4，以AC上的一点O为圆心OA为半径作⊙O，若⊙O与边BC始终有交点（包括B、C两点），则线段AO的取值范围是 .
例五、其他几何知识的运用
如图所示，AC⊥AB，AB=6，AC=4，点D是以AB为直径的半圆O上一动点，DE⊥CD交直线AB于点E，设∠DAB=α，（0°＜α＜90°）．若要使点E在线段OA上（包括O、A两点），则tanα的取值范围为 .
【题型训练】
1．如图，已知直线l与⊙O相离，OA⊥l于点A，OA=5，OA与⊙O相交于点P，AB与⊙O相切于点B，BP的延长线交直线l于点C，若在⊙O上存在点Q，使△QAC是以AC为底边的等腰三角形，则⊙O的半径r的取值范围为 .
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B
2、如图，在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，O 为矩形ABCD的中心，以D为圆心1为半径作⊙D，P为⊙D上的一个动点，连接AP、OP，则△AOP面积的最大值为( ). (A)4 (B)213517 (C) (D) 584
3．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，BC=6，经过点C且与边AB相切的动圆与CA、CB分别相交于点P、Q，则线段PQ长度的最小值是( ). A．19 4 B．24 5 C
．5 D．4．如图，在等腰Rt△ABC中，∠A=90°，AB=AC=4，D是AB的中点，点E在AB边上运动（点E不与点A重合），过A、D、E三点作⊙O，⊙O交AC于另一点F，在此运动变化的过程中，线段EF长度的最小值为 ．
5．如图，A、B两点的坐标分别为(2，0)、(0，2)，⊙C的圆心的坐标为(-1，0)，半径为1，若D是⊙C上的一个动点，线段DA与y轴交于点E，则△ABE面积的最小值是( ).
A
．2 B．1 C.
2- D.2
6．如图，已知A、B两点的坐标分别为(-2，0)、(0，1)，⊙C的圆心坐标为(0，-1)，半径为1，D是⊙C上的一个动点，射线AD与y轴交于点E，则△ABE面积的最大值是( ). A．3 B．1110 C． D．4 33
7．如图，等腰Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=4，⊙C的半径为1，点P在斜边AB上，PQ切⊙O于点Q，则切线长PQ长度的最小值为( ).
第 4 页 共 4 页
8．在直角坐标系中，点A的坐标为（3，0），点P（m，n）是第一象限内一点，且AP=2，则m n的范围为 .
9．在平面直角坐标系中，M（3，4），P是以M为圆心，2为半径的⊙M上一动点，A（-1，0）、B（1，0），连
22接PA、PB，则PA+PB最大值是 .
能力提升
1．如图，P为⊙O内的一个定点，A为⊙O上的一个动点，射线AP、AO分别与⊙O交于B、C两点．若⊙O的半径长为3，OP=
A．2
2．如图，已知A、B两点的坐标分别为（8，0）、（0，﹣6），⊙C的圆心坐标为（0，7），半径为5．若P是⊙C上的一个动点，线段PB与x轴交于点D，则△ABD面积的最大值是（ ）
A．63 B．31 C．32 D．30
3．（2013•枣庄）如图，已知线段OA交⊙O于点B，且OB=AB，点P是⊙O上的一个动点，那么∠OAP的最大值是（ ）
A．90° B．60° C
．45°
D
．30°
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，则弦BC的最大值为（ ） B．3 C． D．3
4、如图，E，F是正方形ABCD的边AD上两个动点，满足AE=DF．连接CF交BD于点G，连接BE交AG于点H．若正方形的边长为2，则线段DH长度的最小值是 ．
5．（2013•长春模拟）如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=12，BC=5，经过点C且与边AB相切的动圆与CA、CB分别相交于点P、Q，则PQ长的最小值为 ．
6．（2013•陕西）如图，AB是⊙O的一条弦，点C是⊙O上一动点，且∠ACB=30°，点E、F分别是AC、BC的中点，直线EF与⊙O交于G、H两点．若⊙O的半径为7，则GE+FH的最大值为 ．
7．（2013•咸宁）如图，在Rt△AOB中，OA=OB=3，⊙O的半径为1，点P是AB边上的动点，过点P作⊙O的一条切线PQ（点Q为切点），则切线PQ的最小值为 ．
8．（2013•内江）在平面直角坐标系xOy中，以原点O为圆心的圆过点A（13，0），直线y=kx﹣3k+4与⊙O交于B、C两点，则弦BC的长的最小值为 ．
9．（2011•苏州校级一模）如图，在平面直角坐标系中，以坐标原点O为圆心，2为半径
画⊙O，P是⊙O是一动点且P在第一象限内，过P作⊙O切线与x轴相交于点A，与y
轴相交于点B．则线段AB的最小值是 ．
10、（2015秋•江阴市校级期中）如图，⊙O与正方形ABCD的两边AB、AD相切，且DE
与⊙O相切于E点．若正方形ABCD的周长为28，且DE=4，则sin∠ODE= ．
11、（2014春•兴化市校级月考）如图所示，已知A（1，y1），B（2，y2）为反比例函数y=图象上的两点，动点P（x，0）在x轴正半轴上运动，当线段AP与线段BP之差达到最大时，点P的坐标是 ．
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