与圆有关的最值问题

与圆有关的最值(取值范围)问题

引例1:在坐标系中,点A的坐标为(3,0),点B为y轴正半轴上的一点,点C是第一象限内一点,且AC=2.设

tan∠BOC=m,则m的取值范围是_________.

引例2:如图,在边长为1的等边△OAB中,以边AB为直径作⊙D,以O为圆心OA长为半径作⊙O,C为半圆

AB上的一个动点(不与A、B两点重合)弧 ,射线AC交⊙O于点E,BC=a,AC=b,求a+b的最大值. 引例3:如图,∠BAC=60°,半径长为1的圆O与∠BAC的两边相切,P为圆O上一动点,以P为圆心,PA长

为半径的圆P交射线AB、AC于D、E两点,连接DE,则线段DE长度的最大值为( ).

A.

3 B.6 C

D.

二、解题策略

1.直观感觉,画出图形;

2.特殊位置,比较结果;

3.理性分析动点过程中所维系的不变条件,通过几何构建,寻找动量与定量(常量)之间的关系,建立等式,进行转化.

三、中考展望与题型训练

例一、斜率运用

如图,A点的坐标为(-2,1),以A为圆心的⊙A切x轴于点B,P(a,b)为⊙A上的一个动点,请分别探索:①b+a的最大值;②b+a的最小值;③b-a的最大值;④b-a的最大值;

【拓展延伸】:①b+2a的范围;②b-2a的范围;

例二、圆外一点与圆的最近点、最远点

1.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=4,BC=3,点D是平面内的一个动点,且AD=2,M为BD的中点,在D点运动过程中,线段CM长度的取值范围是 .

第 1 页 共 1 页

AB向B点运动(点2.如图,⊙O的直径为4,C为⊙O上一个定点,∠ABC=30°,动点P从A点出发沿半圆弧

P与点C在直径AB的异侧),当P点到达B点时运动停止,在运动过程中,过点C作CP的垂线CD交PB的延长线于D点.

在点P的运动过程中,线段CD长度的取值范围为 ;

例三、

1

.如图,△ABC中,∠BAC=60°,∠ABC=45°,AB=D是线段BC上的一个动点,以AD为直径作⊙O分别交AB,AC于E,F两点,连接EF,则线段EF长度的最小值为 .

2. 如图,定长弦CD在以AB为直径的⊙O上滑动(点C、D与点A、B不重合),M是CD的中点,过点C作CP⊥AB于点P,若CD=3,AB=8,则PM长度的最大值是 .

例四、

1.如图,已知半径为2的⊙O与直线l相切于点A,点P是直径AB左侧半圆上的动点,过点P作直线l的垂线,垂足为C,PC与⊙O交于点D,连接PA、PB,设PC的长为x(2<x<4),则当x= 时,PD•CD的值最大,且最大值是为 .

2.如图,线段AB=4,C为线段AB上的一个动点,以AC、BC为边作等边△ACD和等边△BCE,⊙O外接于△CDE,则⊙O半径的最小值为

( ).

第 2 页 共 2 页

D. 2

3.在平面直角坐标系中,以坐标原点O为圆心,2为半径画⊙O,P是⊙O上一动点,且P在第一象限内,过点P作⊙O的切线与x轴相交于点A,与y轴相交于点B,线段AB长度的最小值是 .

例四、相切的应用(有公共点、最大或最小夹角)

1.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=6,BC=8,D为AB边上一点,过点D作CD的垂线交直线BC于点E,

则线段CE长度的最小值是 .

2.如图,Rt△ABC中,∠C=90°,∠A=30°,AB=4,以AC上的一点O为圆心OA为半径作⊙O,若⊙O与边BC始终有交点(包括B、C两点),则线段AO的取值范围是 .

例五、其他几何知识的运用

如图所示,AC⊥AB,AB=6,AC=4,点D是以AB为直径的半圆O上一动点,DE⊥CD交直线AB于点E,设∠DAB=α,(0°<α<90°).若要使点E在线段OA上(包括O、A两点),则tanα的取值范围为 .

【题型训练】

1.如图,已知直线l与⊙O相离,OA⊥l于点A,OA=5,OA与⊙O相交于点P,AB与⊙O相切于点B,BP的延长线交直线l于点C,若在⊙O上存在点Q,使△QAC是以AC为底边的等腰三角形,则⊙O的半径r的取值范围为 .

第 3 页 共 3 页

B

2、如图,在矩形ABCD中,AB=3,BC=4,O 为矩形ABCD的中心,以D为圆心1为半径作⊙D,P为⊙D上的一个动点,连接AP、OP,则△AOP面积的最大值为( ). (A)4 (B)213517 (C) (D) 584

3.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=8,BC=6,经过点C且与边AB相切的动圆与CA、CB分别相交于点P、Q,则线段PQ长度的最小值是( ). A.19 4 B.24 5 C

.5 D.4.如图,在等腰Rt△ABC中,∠A=90°,AB=AC=4,D是AB的中点,点E在AB边上运动(点E不与点A重合),过A、D、E三点作⊙O,⊙O交AC于另一点F,在此运动变化的过程中,线段EF长度的最小值为 .

5.如图,A、B两点的坐标分别为(2,0)、(0,2),⊙C的圆心的坐标为(-1,0),半径为1,若D是⊙C上的一个动点,线段DA与y轴交于点E,则△ABE面积的最小值是( ).

A

.2 B.1 C.

2- D.2

6.如图,已知A、B两点的坐标分别为(-2,0)、(0,1),⊙C的圆心坐标为(0,-1),半径为1,D是⊙C上的一个动点,射线AD与y轴交于点E,则△ABE面积的最大值是( ). A.3 B.1110 C. D.4 33

7.如图,等腰Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC=4,⊙C的半径为1,点P在斜边AB上,PQ切⊙O于点Q,则切线长PQ长度的最小值为( ).

第 4 页 共 4 页

8.在直角坐标系中,点A的坐标为(3,0),点P(m,n)是第一象限内一点,且AP=2,则m n的范围为 .

9.在平面直角坐标系中,M(3,4),P是以M为圆心,2为半径的⊙M上一动点,A(-1,0)、B(1,0),连

22接PA、PB,则PA+PB最大值是 .

能力提升

1.如图,P为⊙O内的一个定点,A为⊙O上的一个动点,射线AP、AO分别与⊙O交于B、C两点.若⊙O的半径长为3,OP=

A.2

2.如图,已知A、B两点的坐标分别为(8,0)、(0,﹣6),⊙C的圆心坐标为(0,7),半径为5.若P是⊙C上的一个动点,线段PB与x轴交于点D,则△ABD面积的最大值是( )

A.63 B.31 C.32 D.30

3.(2013•枣庄)如图,已知线段OA交⊙O于点B,且OB=AB,点P是⊙O上的一个动点,那么∠OAP的最大值是( )

A.90° B.60° C

.45°

D

.30°

第 5 页 共 5 页

,则弦BC的最大值为( ) B.3 C. D.3

4、如图,E,F是正方形ABCD的边AD上两个动点,满足AE=DF.连接CF交BD于点G,连接BE交AG于点H.若正方形的边长为2,则线段DH长度的最小值是 .

5.(2013•长春模拟)如图,在△ABC中,∠C=90°,AC=12,BC=5,经过点C且与边AB相切的动圆与CA、CB分别相交于点P、Q,则PQ长的最小值为 .

6.(2013•陕西)如图,AB是⊙O的一条弦,点C是⊙O上一动点,且∠ACB=30°,点E、F分别是AC、BC的中点,直线EF与⊙O交于G、H两点.若⊙O的半径为7,则GE+FH的最大值为 .

7.(2013•咸宁)如图,在Rt△AOB中,OA=OB=3,⊙O的半径为1,点P是AB边上的动点,过点P作⊙O的一条切线PQ(点Q为切点),则切线PQ的最小值为 .

8.(2013•内江)在平面直角坐标系xOy中,以原点O为圆心的圆过点A(13,0),直线y=kx﹣3k+4与⊙O交于B、C两点,则弦BC的长的最小值为 .

9.(2011•苏州校级一模)如图,在平面直角坐标系中,以坐标原点O为圆心,2为半径

画⊙O,P是⊙O是一动点且P在第一象限内,过P作⊙O切线与x轴相交于点A,与y

轴相交于点B.则线段AB的最小值是 .

10、(2015秋•江阴市校级期中)如图,⊙O与正方形ABCD的两边AB、AD相切,且DE

与⊙O相切于E点.若正方形ABCD的周长为28,且DE=4,则sin∠ODE= .

11、(2014春•兴化市校级月考)如图所示,已知A(1,y1),B(2,y2)为反比例函数y=图象上的两点,动点P(x,0)在x轴正半轴上运动,当线段AP与线段BP之差达到最大时,点P的坐标是 .

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与圆有关的最值(取值范围)问题

引例1:在坐标系中,点A的坐标为(3,0),点B为y轴正半轴上的一点,点C是第一象限内一点,且AC=2.设

tan∠BOC=m,则m的取值范围是_________.

引例2:如图,在边长为1的等边△OAB中,以边AB为直径作⊙D,以O为圆心OA长为半径作⊙O,C为半圆

AB上的一个动点(不与A、B两点重合)弧 ,射线AC交⊙O于点E,BC=a,AC=b,求a+b的最大值. 引例3:如图,∠BAC=60°,半径长为1的圆O与∠BAC的两边相切,P为圆O上一动点,以P为圆心,PA长

为半径的圆P交射线AB、AC于D、E两点,连接DE,则线段DE长度的最大值为( ).

A.

3 B.6 C

D.

二、解题策略

1.直观感觉,画出图形;

2.特殊位置,比较结果;

3.理性分析动点过程中所维系的不变条件,通过几何构建,寻找动量与定量(常量)之间的关系,建立等式,进行转化.

三、中考展望与题型训练

例一、斜率运用

如图,A点的坐标为(-2,1),以A为圆心的⊙A切x轴于点B,P(a,b)为⊙A上的一个动点,请分别探索:①b+a的最大值;②b+a的最小值;③b-a的最大值;④b-a的最大值;

【拓展延伸】:①b+2a的范围;②b-2a的范围;

例二、圆外一点与圆的最近点、最远点

1.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=4,BC=3,点D是平面内的一个动点,且AD=2,M为BD的中点,在D点运动过程中,线段CM长度的取值范围是 .

第 1 页 共 1 页

AB向B点运动(点2.如图,⊙O的直径为4,C为⊙O上一个定点,∠ABC=30°,动点P从A点出发沿半圆弧

P与点C在直径AB的异侧),当P点到达B点时运动停止,在运动过程中,过点C作CP的垂线CD交PB的延长线于D点.

在点P的运动过程中,线段CD长度的取值范围为 ;

例三、

1

.如图,△ABC中,∠BAC=60°,∠ABC=45°,AB=D是线段BC上的一个动点,以AD为直径作⊙O分别交AB,AC于E,F两点,连接EF,则线段EF长度的最小值为 .

2. 如图,定长弦CD在以AB为直径的⊙O上滑动(点C、D与点A、B不重合),M是CD的中点,过点C作CP⊥AB于点P,若CD=3,AB=8,则PM长度的最大值是 .

例四、

1.如图,已知半径为2的⊙O与直线l相切于点A,点P是直径AB左侧半圆上的动点,过点P作直线l的垂线,垂足为C,PC与⊙O交于点D,连接PA、PB,设PC的长为x(2<x<4),则当x= 时,PD•CD的值最大,且最大值是为 .

2.如图,线段AB=4,C为线段AB上的一个动点,以AC、BC为边作等边△ACD和等边△BCE,⊙O外接于△CDE,则⊙O半径的最小值为

( ).

第 2 页 共 2 页

D. 2

3.在平面直角坐标系中,以坐标原点O为圆心,2为半径画⊙O,P是⊙O上一动点,且P在第一象限内,过点P作⊙O的切线与x轴相交于点A,与y轴相交于点B,线段AB长度的最小值是 .

例四、相切的应用(有公共点、最大或最小夹角)

1.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=6,BC=8,D为AB边上一点,过点D作CD的垂线交直线BC于点E,

则线段CE长度的最小值是 .

2.如图,Rt△ABC中,∠C=90°,∠A=30°,AB=4,以AC上的一点O为圆心OA为半径作⊙O,若⊙O与边BC始终有交点(包括B、C两点),则线段AO的取值范围是 .

例五、其他几何知识的运用

如图所示,AC⊥AB,AB=6,AC=4,点D是以AB为直径的半圆O上一动点,DE⊥CD交直线AB于点E,设∠DAB=α,(0°<α<90°).若要使点E在线段OA上(包括O、A两点),则tanα的取值范围为 .

【题型训练】

1.如图,已知直线l与⊙O相离,OA⊥l于点A,OA=5,OA与⊙O相交于点P,AB与⊙O相切于点B,BP的延长线交直线l于点C,若在⊙O上存在点Q,使△QAC是以AC为底边的等腰三角形,则⊙O的半径r的取值范围为 .

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B

2、如图,在矩形ABCD中,AB=3,BC=4,O 为矩形ABCD的中心,以D为圆心1为半径作⊙D,P为⊙D上的一个动点,连接AP、OP,则△AOP面积的最大值为( ). (A)4 (B)213517 (C) (D) 584

3.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=8,BC=6,经过点C且与边AB相切的动圆与CA、CB分别相交于点P、Q,则线段PQ长度的最小值是( ). A.19 4 B.24 5 C

.5 D.4.如图,在等腰Rt△ABC中,∠A=90°,AB=AC=4,D是AB的中点,点E在AB边上运动(点E不与点A重合),过A、D、E三点作⊙O,⊙O交AC于另一点F,在此运动变化的过程中,线段EF长度的最小值为 .

5.如图,A、B两点的坐标分别为(2,0)、(0,2),⊙C的圆心的坐标为(-1,0),半径为1,若D是⊙C上的一个动点,线段DA与y轴交于点E,则△ABE面积的最小值是( ).

A

.2 B.1 C.

2- D.2

6.如图,已知A、B两点的坐标分别为(-2,0)、(0,1),⊙C的圆心坐标为(0,-1),半径为1,D是⊙C上的一个动点,射线AD与y轴交于点E,则△ABE面积的最大值是( ). A.3 B.1110 C. D.4 33

7.如图,等腰Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC=4,⊙C的半径为1,点P在斜边AB上,PQ切⊙O于点Q,则切线长PQ长度的最小值为( ).

第 4 页 共 4 页

8.在直角坐标系中,点A的坐标为(3,0),点P(m,n)是第一象限内一点,且AP=2,则m n的范围为 .

9.在平面直角坐标系中,M(3,4),P是以M为圆心,2为半径的⊙M上一动点,A(-1,0)、B(1,0),连

22接PA、PB,则PA+PB最大值是 .

能力提升

1.如图,P为⊙O内的一个定点,A为⊙O上的一个动点,射线AP、AO分别与⊙O交于B、C两点.若⊙O的半径长为3,OP=

A.2

2.如图,已知A、B两点的坐标分别为(8,0)、(0,﹣6),⊙C的圆心坐标为(0,7),半径为5.若P是⊙C上的一个动点,线段PB与x轴交于点D,则△ABD面积的最大值是( )

A.63 B.31 C.32 D.30

3.(2013•枣庄)如图,已知线段OA交⊙O于点B,且OB=AB,点P是⊙O上的一个动点,那么∠OAP的最大值是( )

A.90° B.60° C

.45°

D

.30°

第 5 页 共 5 页

,则弦BC的最大值为( ) B.3 C. D.3

4、如图,E,F是正方形ABCD的边AD上两个动点,满足AE=DF.连接CF交BD于点G,连接BE交AG于点H.若正方形的边长为2,则线段DH长度的最小值是 .

5.(2013•长春模拟)如图,在△ABC中,∠C=90°,AC=12,BC=5,经过点C且与边AB相切的动圆与CA、CB分别相交于点P、Q,则PQ长的最小值为 .

6.(2013•陕西)如图,AB是⊙O的一条弦,点C是⊙O上一动点,且∠ACB=30°,点E、F分别是AC、BC的中点,直线EF与⊙O交于G、H两点.若⊙O的半径为7,则GE+FH的最大值为 .

7.(2013•咸宁)如图,在Rt△AOB中,OA=OB=3,⊙O的半径为1,点P是AB边上的动点,过点P作⊙O的一条切线PQ(点Q为切点),则切线PQ的最小值为 .

8.(2013•内江)在平面直角坐标系xOy中,以原点O为圆心的圆过点A(13,0),直线y=kx﹣3k+4与⊙O交于B、C两点,则弦BC的长的最小值为 .

9.(2011•苏州校级一模)如图,在平面直角坐标系中,以坐标原点O为圆心,2为半径

画⊙O,P是⊙O是一动点且P在第一象限内,过P作⊙O切线与x轴相交于点A,与y

轴相交于点B.则线段AB的最小值是 .

10、(2015秋•江阴市校级期中)如图,⊙O与正方形ABCD的两边AB、AD相切,且DE

与⊙O相切于E点.若正方形ABCD的周长为28,且DE=4,则sin∠ODE= .

11、(2014春•兴化市校级月考)如图所示,已知A(1,y1),B(2,y2)为反比例函数y=图象上的两点,动点P(x,0)在x轴正半轴上运动,当线段AP与线段BP之差达到最大时,点P的坐标是 .

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