矩阵初等变换及应用

矩阵初等变换及应用

王法辉

摘要：矩阵初等变换是高等代数的重要组成部分。本文对初等变换进行了研究探讨，详细介绍了与矩阵初等变换有关的基础知识。在阐述矩阵初等变换方法及应用原理的基础上，首先重点讨论该方法在解决高等代数相关计算问题上的应用，如求多项式的最大公因式、求逆矩阵解矩阵方程、求解线性方程组、判定向量的线性相关性、化二次型为标准型、求空间的基等。尤其是利用矩阵初等变换法求空间的基(解空间、特征子空间、核、值域等)的问题的计算,以具体实例生动的展示出问题的内在关系,最后给出了该方法在解决实际问题中的应用。本文理论分析与实际相结合，凸现了矩阵初等变换法直接、便利、有效的威力与作用。

关键词：矩阵初等变换；最大公因式；线性相关性；二次型；空间的基

1 导言

在线性方程组的讨论中我们看到，线性方程组的一些重要性质反映在它的系数矩阵和增广矩阵的性质上，并且解方程组的过程也表现为变换这些矩阵的过程。在数学的学习和应用中，矩阵理论是高等代数的重要组成部分，矩阵初等变换方法更是贯穿高等代数理论的始终。应用初等变换证明命题过程容易被接受，同时也是解决高等代数相关计算问题最直接、便利、有效的方法。此外，还有大量的各种各样的，表面上看完全没有联系的问题的解决,都可以通过相同的方法实现：矩阵的初等变换。

因此，对矩阵初等变换方法及应用进行探讨，无疑是十分必要和重要的。 目前，有许多文献涉及到对矩阵初等变换方法该的讨论，但比较零散。在研读文献的基础上，对矩阵初等变换的内涵进一步挖掘，使矩阵初等变换方法的威力作用得以充分展示是重要也是必要的。

2 矩阵及其初等变换

2.1 矩阵

由mn个数aij

的数表

a11aA21

am1a12a22am2a1na2n amn(i1,2,,m,j)（i=1,2, ,j=1,2,，n）排成m行n列

称为m行n列的矩阵，简称mn矩阵。

2.2 矩阵的初等变换及初等矩阵

矩阵有行列之分，因此有如下定义

定义1 矩阵的初等行（列）变换是指如下三种变换

(1)交换矩阵某两行（列）的位置，记为rirj (cicj)；

(2)把某一行（列）的k倍加到另一行（列）上，记为rikrj (cikcj)；

(3)用一个非零常数k乘以某一行（列），记为kri (kci)，k0；

矩阵的初等行变换及初等列变换统称为矩阵的初等变换。

定义2 由单位矩阵E经过一次初等变换得到的方阵称为初等矩阵。有以下3种形式

(1)互换矩阵E的i行和j行的位置，得

11011P(i,j)；

11011

(2)用数域P种非零数c乘E的i行，得

1cP(i(c))； 11

(3)把矩阵E的j行的k倍加到i行，有

11kP（i,j(k))。

11

定义3 如果B可以由A经过一系列初等变换得到，矩阵A与B称为等价的。

2.3 矩阵初等变换的若干性质

矩阵的初等变换改变了矩阵的元素,但矩阵初等变换具有以下性质

（1）对矩阵A施行初等行（列）变换，其列（行）向量组之间的线性关系保持不变。

（2）对矩阵A施行初等行变换相当于左乘相应的初等矩阵，施行初等列变换相当于右乘相应的初等矩阵。

（3）可逆矩阵可以表示成一系列初等矩阵的乘积。初等矩阵的逆矩阵也是初等矩阵。

（4）初等变换不改变矩阵的秩。

3 矩阵初等变换在高等代数计算问题中的应用

矩阵初等变换与线性方程组的求解密不可分，不仅给解线性方程组带来了极大方便，同时也发展和完善了矩阵理论本身，极大丰富了矩阵理论的应用领域。矩阵的初等变换方法更是贯穿高等代数理论的始终，在高等代数有关理论的证明及相关计算问题中更是起着巨大的作用。

3.1 求多项式的最大公因式

3.1.1 基本概念

以P[x]表示数域P上的一元多项式环。

定义1（最大公因式） 设f(x)，g(x)是P[x]中两个多项式，P[x]中多项式d(x)称为f(x)，g(x)的一个最大公因式，如果它满足

(1) d(x)是f(x)，g(x)的公因式；

(2) f(x)，g(x)的公因式全是d(x)的因式。

定义2 以P[x]中的一元多项式为元素的矩阵称为多项式矩阵。

定义3 以下3种变换称为多项式矩阵的初等行变换

(1) 交换多项式矩阵的某两行；

(2) 用零次多项式(P中不等于零的数)乘以多项式矩阵的某一行；

(3) 用一个多项式乘以多项式矩阵的某一行再加到另一行。

且分别称以上三种变换为第1类，第2类，第3类多项式矩阵的初等行变换。所说的初等行变换总是指多项式矩阵的行初等变换，所说的矩阵总是指多项式矩阵。

3.1.2 主要结果

在高等代数中，求数域P上两个多项式的最大公因式通常是利用辗转相除法，当多项式的次数较高时，辗转相除法计算较繁琐。由于多项式辗转相除法主要表现为系数间的运算，因此通常利用分离系数法，使运算相对简化。同样地，为了简化求多项式最大公因式的运算，考虑将要求最大公因式的两个多项式的系数与二行矩阵表示式对应起来。考虑P[x]中的多项式

f(x)anxnan1xn1a1xa0(an0)

g(x)bmxbm1xmm1b1xb0(bm0)

其中ai bjP(i0,1,2,n;j0,1,2,m),

引入如下记号

an当nm时,（f(x),g(x)）bnan1a1bn1b1a0； b0

a当nm时，（f(x),g(x)）n

0an1am1

00ama1

bmb1a0。 b0

由于多项式的最大公因式具有以下基本性质

（1） （f(x),g(x)）=（g(x),f(x)）；

（2） 若（f(x),h(x)）=1，则（f(x),g(x)）=（f(x),g(x)h(x)）；

（3）（f(x),g(x)）=（f(x)kg(x),g(x)）, kP；

因此，如上引入的二行矩阵反映了以下事实

（1）交换二行矩阵两行的位置，得到的矩阵仍然对应这两个多项式的最大公因式；

（2）二行矩阵某一行的k倍加于另一行得到的矩阵仍然对应这两个多项式的最大公因式。

上述事实意味着数域P上多项式的最大公因式（f(x),g(x)）可以利用二行矩阵进行初等行变换求得。具体实施步骤为

（1）根据多项式的系数作出（f(x),g(x)）对应的二行矩阵；

（2）利用第1、2类初等行变换使得二行矩阵中的行出现端首(左端或右端)为0；

（3）向左(或向右)平移二行矩阵中某行，使得这一行端首的0去掉。这表明（f(x),g(x)）的次数在降低。

反复利用（1）、（2）、（3）直到出现二行矩阵的两行元素对应成比例为止。

3.1.3 计算举例

例1 已知数域P上的一元多项式

f(x)x67x48x37x7，g(x)3x57x33x27

求(f(x),g(x))。

解 构造二行矩阵A并实施初等行变换

A1078077r1

13r2001470147

3073070

303730370

将第一行元素轮换使其1414首项不为零70700

3r29

14r1

30733070



14701400

337

9将第二行元素轮换使其首项不为零

02709

27014

37014700

37

r28

127r20

27007

2700

92709

27009

2709

2700

7007

27000

将第一行元素轮换使其不为零

27

9r243

214r1

9

27027007007000

2727

0700700将第二行元素轮换使其首项不为零

7007000r1r0

2727

70070001272000000

7007000

第二行除以（7）0000000

1001000



第二行元素共轮换过3次，所以最大公因式为d(x)x31。

例2 求多项式f(x)x42x34x24x3，g(x)2x35x24x3，h(x)x36x211x6的最大公因式。

解 构造三行矩阵A并进行初等行变换

12443

A0254310900

r1r202543



60

1611601611

10900

对第二行进行轮换，使其首项不为025430

61160

1

1090010900

r22r1,r3r1051430轮换514300

62060

0620600



1090010

r11

15,r26143900

r2r1,r3r1442

1001

1055000

1055

13100

031000

r5310900

27,r3100260010-900

轮换2-6000



01300

1-3000

r10390039

12r226000000

轮换26000

13000



13000

所以(f(x),g(x),h(x))x3。

3.2 求逆矩阵 解矩阵方程

3.2.1 可逆矩阵定义

若对n级矩阵A有n级矩阵B使

ABBAE

则称A是可逆的，B称为A的可逆矩阵。其中E为n级单位矩阵。

3.2.2 初等变换求逆的原理和步骤

由于可逆矩阵A可表示为一系列初等矩阵的乘积，故由A1AE有

P1PsAE

P

1PSAE

因此有如下求逆步骤

（1）构造n2n的矩阵A｜E；

（2）对上述矩阵实行初等行变换，当用初等行变换把A化为单位阵，则E的位置变成A的逆矩阵，即

A｜E E｜A1

需要指出的是在此过程中只能用初等行变换。如果用列变换，则需把E置于A的下方变成2nn矩阵且只能使用列变换把A化为单位矩阵，同时E化为A的逆矩阵，即

A初等列变换EEA1 

利用与求逆矩阵相同的原理，矩阵初等变换可用于解矩阵方程。

3.2.2 计算举例

021的逆矩阵。 302例1 求A=023

解 构造矩阵，由

021100021100r302010 332r2A｜E302010000123094023

302010302010r021100 329r21r2r021100194609402300

r12r330018912r31006340208461010423E｜A1 rr2r32(2)460019001946

634 423得A1=946

21311，B=2，求X使得AXB 1220例2 设A=13025

解 构造矩阵CA｜E并实施初等行变换

0213111222

r2,r22r1,r3r1r103131 C=122200051302505

r3r2

r25,r33r1222010042010r01001=112r22r301E｜AB 0013200132

得 X=A142B=01 32

3.3 求解线性方程组

3.3.1 有关概念与结论

考虑n元线性方程组

a11x1a1nxnb1axaxb2112nn2 

an1x1annxnbn

并记

a11a1n，bAan1annb1a11a1n，an1annbnb1 bn

则得方程组的矩阵形式Axb。

称一下三种变换：

（1） 用一非零的数乘以某方程；

（2） 把一个方程的倍数加到另一个方程；

（3） 互换两个方程的位置；

为线性方程组的初等变换。

利用方程组的初等变换求解线性方程组的过程的矩阵描述即为对系数矩阵A或者增广矩阵进行初等行变换的过程。

有关结论

（1）Axb有解r(A)r(A)r，且当rn时，有唯一解；当rn时，有无穷多解。

（2）Ax0恒有解r(A)r，当rn时，有唯一零解；当rn时，有非零解。

3.3.2 计算实例

例1 求解齐次线性方程组

x1x2 x32x4x50  x33x4x50

 2x3x42x50

解对方程组的系数矩阵矩阵A施行初等行变换

01112111053r1r3,r2r3r1r2,r32r25A0013100131

0021200050

01100110001r3()0010100101 50005000010

x1x2同解的方程组x3x5其中x2，x5为自由未知量，设x2C1,x5C2（C1,C2为x04

任意实数）则通解为

x110x202x3C10C21。 x04001x5

例2 求解非齐次线性方程组

2x1 x2 x3 x4 x x2x x12344x16x22x32x4

3x16x29x37x42449

解 对增广矩阵A施行初等行变换

21111121A=

4622

36972449100001041103 0013



0000

x1x34

r(A)r()34，所以方程组有无穷多解。同解方程组x2x33， x3为自

x 34

由未知量，方程组的通解

x14x32=+kx30x43

11

， k为任意实数。 10

3.4 判定向量组的线性关系 求向量组的极大无关组 3.4.1 基本概念

定义1（线性相关和线性无关）设有向量组1,2,3s，如果有不全为0的一组数k1,k2,,ks，使

k11kss0

称向量组线性相关，否则称为线性无关。

定义2（线性组合和线性表出）设有向量组1,2,3s及向量，若有数

k1,k2,,ks，使

k11kss

称向量为向量组1,2,3s的线性组合，也称可由1,2,3,s线性表出。

（Ⅰ）定义3（向量组等价） 设有向量组1,2,3,s及1,2,3t，（Ⅱ）（Ⅰ）（Ⅱ）如果中的每一个向量i(i1,2,,s)都可以有向量组线性表出，（Ⅰ）那么称向量组1,2,3,s可由向量组1,2,3t线性表出；如果与（Ⅱ）可以互相线性表出，称他们为等价。

定义4（极大无关组） 如果一个向量组的部分组本身是线性无关的，并且从这向量组中任意添一个向量（如果还有的话），所得的向量组都线性相关，则向量组的这个部分组称为一个极大线性无关组。 3.4.2 有关结论

（1）向量组1,2,3,s线性相关线性方程组x11xss0有非零解；

向量组1,2,3,s线性无关线性方程组x11xss0只有零 解。

（2）可由1,2,3s线性表出x11xss有解。

因此，可以利用初等变换解决向量组的线性相关性判定、求极大无关组的问题。

3.4.3 计算举例

例 求向量组1(2,4,2)T，2(1,1,0)T，3(2,3,1)T，4(3,5,2)T的极大无关组及秩，并把其余向量用极大无关组线性表示。

解 令A，对A施行矩阵初等行变换，得（1，2，3，4）

2123

22r1,r3r1

A=4135r2012212301110000

2321

0111r3r2

 

0111

1101212r0111

0000

1

1+2，2

故1，2是1，2，3，4的一个极大无关组，且3=

4=1+2。

3.5 化二次型为标准型

3.5.1 基本概念

定义1（二次型及其标准型） 设P是一数域，一个系数在数域P中的

x1,x2xn的二次齐次多项式

22

f(x1,x2xn)=a11x122a12x1x22a1nx1xna22x22a2nx2xnannxn

称为数域P上的一个n元二次型，简称二次型。仅含平方项的二次型

22

d1x12d2x2dnxn

称为标准型。

a11

a21

定义2（二次型的矩阵表示）记A=

an1

a12a1nx1

xa22a2n，x2， 



an2annx3

则

f(x1,x2xn)=xTAx

A称为二次型的矩阵（ATA）。

定义3（合同矩阵） 对数域P上有nn矩阵A、B，若有数域P上可逆矩阵C，使

BCTAC，

称矩阵A与B合同。 3.5.2 有关结论

（1）数域P上任意一个n元二次型f(x1,x2,xn)xTAx都可以经过非退化的线性替换xCy化为标准型。

（2） 任意一个对称矩阵合同于对角矩阵。 3.5.3 初等变换化二次型为标准型的原理

A

用初等变换法把二次型化为标准型，是对2nn矩阵施行初等列变换的

E同时对A施以相应的行变换，当矩阵A化为对角阵时，单位矩阵E就化为所要求的非退化变换矩阵C。即

TA施行相同的列变换

CACA对A施行初等行变换，对E

 E CC

3.5.4 计算举例

66

例 用初等变换法化二次型f(x1,x2,x3)2x1x32x1x24x1x36x2x3为

规范标准型，并写出相应的非退化线性变换。

212

，由 103解 二次型的矩阵A=

231

2

1A2E=1

00

122

103

31c3c1,r3r10



001

010

010

104010

0

4

1

1c2c21,r2r2

 101

20

1020411

2

0100020

1

40210038c2,r38r2c111

2

001

0010

031 381

得 f(x1,x2,x3)的标准型为2y12

1

12其中C=01

00



38。 1

122

y231y3，所用的非退化线性变换为xCy，2

3.6 求空间的基 3.6.1 基本概念

定义1（线性空间） 设V是一个非空集合，P是一个数域。

对于V中任意两个元素和，在V中都有唯一的一个元素和它们对应，称为和的和，记为=+，这种代数运算，叫做加法；对于任意数域P中任一数k与V中任一元素，在V中都有唯一的一个元素与它们对应，称为k与

的数量乘积，记为=k，这种代数运算，叫做数量乘法。如果加法与数量

乘法满足以下规则 （1）+=+

（2）（+）+=+（+）

（3）在V中有一个元素0，对于V中任一元素都有+0=（这个元素称为V的零元素）

（4）对于V中每一个元素，都有V中的元素，使得+=0（称为的负元素） （5）1=

（6）k（l）=（kl） （7）（k+l）=k+l （8）k（+）=k+k 称V为数域P上的线性空间。

定义2（基与维数） 如果在线性空间V中有n个线性无关的向量,没有更多数目的线性无关的向量,那么就称V是n维的。

在n维线性空间V中，n个线性无关的向量称为V的一组基。

易知，如果在线性空间V中有n个向量1,2,,n线性无关,且V中任一向量都可以由它们线性表出,那么V是n维的, 1,2,,n就是V的一组基；在线性空间V中, 如果向量组1,2,,n线性无关, 而1,2,,n，线性相关, 则向量可以由1,2,,n线性表出,且表示法唯一。

定义3（生成子空间）设1,2,,n是线性空间V中的一组向量，则这组向量所有可能的线性组合所成的集合是非空的，而且对两种运算封闭，因而是V的一个子空间，叫做V的生成子空间，记为L(1,2,,n)。

定义4（子空间的交与和） 设V1，V2是线性空间V的两个子空间，所谓V1

与V2的交，是指所有同时存在与V1和V2的元素，记为V1V2；所谓V1与V2的和，是指由所有能表示成12，（ 1 V1，2 V2）的向量组合的子集合，记

为V1 +V2。

如果V1，那么他们的交V1V2与和V1 +V2V2是线性空间V的两个子空间，也是V的子空间，分别称为交子空间与和子空间。

定义5（正交补空间） 设V1，V2是欧氏空间V的两个子空间，如果对于任意的属于V1，属于V2恒有（，）=0则称V1，V2为正交的，记为V1V2。

如果V1V2，并且V1+V2=V，子空间V2称为V1的一个正交补。 定义6（特征子空间） 设是V的线性变换， F，则

｜V,() V

是V的子空间，称为V的特征子空间。 V是的不变子空间。

定义7（线性变换的值域和核） 设是线性空间V的一个线性变换，集合

(V){(｜)V}

称为线性变换的值域也记做Im或者V；集合

1(0){｜V，（）0}

称为线性变换的核，也记作ker。 3.6.2 计算举例

121

242

例 已知A

210

3330121



624 ，并记，，2，

123

2102



3333

0

6，1，2，3，4， （1，2，1，0）（2，4，2，6）（3，3，3，3）（2，1，0，2）423

142。

34

即A12

3

（1）求Ax0的解空间的基；

（2）求A的零特征值00的特征子空间V0的基； （3）设VL(1

2

34，求V⊥的基；

（4）求1,2,3,4的极大无关组；

1（0）（5）定义线性变换xAx，求的基；

（V）（6）求（5）中线性变换的值域的基。

解（1）空间的基即为Ax0的基础解系。由

121

242A

210

3330121

0060

03223609

12100

220

01633 0322236309

1

10121032202010133

00301000

6309096

401

103320201331000

000340

320 310

11

22

得Ax0的基础解系为，所求基为；

3300

（2）当00的时候，V0={Ax0｜x,xpn}，即所求空间的基为Ax0的

12

基础解系，所以基为；

30

12

（3）由题意由i,x=ix0，（i=1，2，3，4），即x=0，即Ax0，

34

12

⊥

所以V的基为；

301

（4）由A0

00

1321

300000

40320

可得，1,2,3,4的极大无关组为1,2，4； 310

1

2

1

（5）由核的定义知，（0）V0,(00)，所求基为；

30（6）(V)L((1),(2),(3),(4))，而

((1),(2),(3),(4))=（1，2，3，4）A

所以(V)的基为A的列向量组的极大无关组对应的(1),(2),(3),(4)的极大无关组,即基为(1),(2),(4)。其中，(1)1222334，

(2)2142334，(4)622334。

4 矩阵初等变换在实际问题中的应用

矩阵初等变换不仅可以用于解决高等代数计算问题，在现实生活中，也有许许多多的问题可以用矩阵初等变换来解决。

例 现有一个木工、一个电工、一个油漆工，三人相互同意彼此装修他们自己的房子，在装修之前，他们达成了如下协议

（1） 每人总共只工作10天（包括给自己家干活在内）; （2） 每人的工资根据一般的市价在60—80之间; （3） 每人的日工资数似的每人的总收入与总支出相等。

表1是他们协商后制定出的工作天数的分配方案，如何计算他们应得的工资？

表1 各工种工作天数

天数

木工 电工 油漆工

在木工家工作天数 2 1 6 在电工家工作天数 4 5 1 在油漆工家工作天数 4

4

3

解 设木工、电工、油漆工的工资分别为x1,x2,x3，由题意得



2x1x26x310x14x

8x1x26x30

15x2x310x2 即 4x15x2x30 4x1

4x23x310x

34x1

4x27x30

对系数矩阵A作初等行变换,得

816A45109800

r12r2,r2r3098r1r2

0944744744其同解方程组为



9x28x304x7x 14x230

得

x13136x3

31k

x8xx136

2

93 即 x2=8

k （k60,80）， x3kx9

3k





x1当k72时，x62264。 x723

5 结语

08 7



本文主要对矩阵初等变换的作用作了简单的介绍。通过对一些概念的表述和部分原理的推导，用矩阵的初等变换解决了高等代数计算中的多种问题以及现实生活中的一些问题，并通过解决这些问题进一步说明了矩阵初等变换的作用。

本文的突出点是对矩阵初等变换解决问题的方法进行了详细的阐述，简单明了，并将能解决的各种问题加以分类和归纳，比各种代数书籍更为具体。

参考文献

[1] 高吉全.矩阵初等变换的方法和应用研究[M].北京: 中国工人出版社,2000:96-108 [2] 王萼芳,石生明修订.高等代数[M]. (第三版).北京: 高等教育出版社,2003:12-18 [3] 张文博等译.线性代数[M]. 北京:机械工业出版社,2007:66-76 [4] 李志斌.线性代数[M]. 北京:机械工业出版社,2006:80-96 [5] 蔡若松,张莉.初等变换浅议[J].辽宁工学院学报.2002. (22):63-65 [6] 凌征求.矩阵初等变换的几个应用[J].玉林师范学院学报.2001. (22):37-40 [7] 邓建松等译.Mathematica使用指南[M].科学出版社,2002

[8]刘水强，王绍恒.利用矩阵行变换求解方程组[J].重庆三峡学院学报.2001.(05):42-45 [9]杨民生.矩阵初等变换的应用[J].安庆师范学院学报（自然科学版）.1995.(03):55-58 [10]王玲.初等变换与可逆矩阵[J]. 锦州师范学院（自然科学版）.2000.(02):39-42 [11]欧启通. 矩阵初等变换的应用[J]. 甘肃联合大学学报（自然科学版）.2007.(03):55-60 [12]谢芳.矩阵初等变换的若干应用[J].绍通师范专科学院学报.2004.(02）:21-25

[13]谭军. 矩阵初等变换的一些性质和应用[J]. 郑州航空工业管理学院学报.2002.（24）:50-54 [14]FENG Tian-xiang,TAN Ming-shu.Applications of elementary transformation in matrix computation[J].黑龙江大学自然科学报.2004.(04):23-27

[15]XIONG Hui-jun.A Criterion for the Positive definiteness of a Block-Matrix and Its Applications[J] .湖南文理学院学报（自然科学版）2006.（04）:33-36

附录：开题报告

矩阵初等变换及应用

1 选题背景

在线性方程组的讨论中可以发现，线性方程组的一些重要性质反映在它的系数矩阵和增广矩阵的性质上，并且解方程组的过程也表现为变换这些矩阵的过程。此外，还有大量的各种各样的，表面上看完全没有联系的问题的解决,都可以通过相同的方法实现：矩阵的初等变换。因此矩阵初等变换就成为极其重要的一个知识点。

1．1 研究的目的和意义

在数学的学习和应用中，矩阵理论是高等代数的重要组成部分，矩阵初等变换方法更是贯穿高等代数理论的始终。应用初等变换证明命题过程容易被接受，同时也是解决高等代数相关计算问题最直接、便利、有效的方法。因此，对矩阵初等变换方法及应用进行探讨，无疑是十分必要和重要的。

目前，已有许多文献涉及到该问题的讨论，研读现有文献，吸取精华，在深刻理解矩阵初等变换内涵的基础上，理论分析与实例应用相结合，讨论、挖掘矩阵初等变换在解决高等代数相关问题中的作用，如：解线性方程组、求向量组的极大无关组和线性关系、求逆矩阵和解矩阵方程、求解空间（特征子空间、生成子空间）的基、求交子空间（和子空间、核子空间、正交补空间）的基、求多项式的最大公因式、化二次型为标准型等，使矩阵初等变换方法的威力作用得以充分展示。

1．2 研究方法

目前，有许多文献涉及到对矩阵初等变换方法该的讨论，但比较零散。在研读文献的基

础上，深刻理解矩阵初等变换的内涵，采用理论分析与实例应用相结合的方法，讨论、挖掘矩阵初等变换在解决高等代数相关问题中的作用，如：解线性方程组、求向量组的极大无关组和线性关系、求逆矩阵和解矩阵方程、求解空间（特征子空间、生成子空间）的基、求交子空间（和子空间、核子空间、正交补空间）的基、求多项式的最大公因式、化二次型为标准型等，使矩阵初等变换方法的威力作用得以充分展示。

2 文章结构

论文总共分为五个部分。其中第一部分为导言，主要介绍选题的背景；第二部分介绍矩阵初等变换方法及有关性质；第三部分为矩阵初等变换在高等代数相关问题中的应用，如求多项式的最大公因式、解线性方程组、求向量组的极大无关组和线性关系、求逆矩阵和解矩阵方程、求解空间（特征子空间、生成子空间、核子空间、正交补空间）的基、化二次型等；第四部分为实际应用问题；第五部分为文章的结束语，简要概括论文的工作。

具体框架如下：

1 导言

2 矩阵及其初等变换

2.1 矩阵定义

2.2 矩阵的初等变换及初等矩阵

2.3 矩阵初等变换的若干性质

3 矩阵初等变换在高等代数计算问题中的应用

3.1.求多项式的最大公因式

矩阵初等变换与线性方程组的求解密不可分，不仅给解线性方程组带来了极大方便，同时也发展和完善了矩阵理论本身，极大丰富了矩阵理论的应用领域。

首先定义多项式矩阵的行初等变换，然后利用多项式的基本性质推广定理，给出利用矩阵的初等行变换求多项式的最大公因式计算实例．

3.2 求逆矩阵 解矩阵方程

首先给出可逆矩阵定义，其次阐述矩阵初等变换求逆的原理和步骤 ：

由于可逆矩阵A可表示为一系列初等矩阵的乘积，故有AAE有 1

P1PsAE P1PSAE

有如下求逆步骤

（1） 构造n2n的矩阵A｜E

（2） 对上述矩阵实施初等行变换，当用初等变换把A化为单位阵，则E

的位置变成A的逆矩阵，即A｜E E｜A1，同时有

A初等列变换EEA1 

最后给出计算实例。

3.3 求解线性方程组

a11x1a1nxnb1axaxb2112nn2考虑n元线性方程组 an1x1annxnbn

首先介绍线性方程组的初等变换的概念，其次阐述方程组解的情况（齐次、非奇次），最后以实例实现矩阵初等变换解方程组的方法。

3.4 判定向量组的线性关系 求向量组的极大无关组

首先阐述有关概念，如线性相关和线性无关、线性组合和线性表出、向量组等价、极大无关组等，其次给出有关结论及原理，如

（1）向量组1,2,3s线性相关线性方程组x11xss0有非零解

向量组1,2,3s线性无关线性方程组x11xss0有唯一零解。

（2）可由1,2,3s线性表出x11xss有解

最后给出计算实例。

3.5 化二次型为标准型

首先阐述有关概念，如二次型及其标准型；其次给出有关理论，如

（1）数域P上任意一个n元二次型f(x1,x2xn)xAx都可以经过非退化的线性替换T

xcy化为标准型。

（2） 任意一个对称矩阵合同与对角矩阵。

最后给出计算原理及实例。

3.6 求解空间的基

阐述有关概念，如给出有关理论，如线性空间、解空间、特征子空间、生成子空间、核子空间、正交补空间、线性变换的至于与核等；给出综合计算实例。

4 实际问题举例

5 结语

论文工作的简要说明。

4 参考文献综述

大多数的参考文献，要么只有矩阵的初等变换在部分方面的应用，要么就是对初等变换在各方面的应用一笔带过，显得过于简单。本文将综合讨论矩阵初等变换在解决高等代数相关问题中的应用，凸现矩阵初等变换方法的威力作用。

5 工作计划

2007年11月--2008年2月中旬：

检索文献、查阅资料、收集课题所需中外文素材；

2008年3月--2008年4月中旬：

进一步收集素材、筛选信息，完成毕业论文写作的初步思想，完成开题报告。结合毕业论文题目翻译英文参考资料

2008年4月中旬—2007年5月初：

完成毕业论文初稿，送指导教师审阅;.

2008年5月初—2007年5月底：

修改、完善初稿,完成论文，准备毕业答辩。

5 参考文献

[1] 高吉全.矩阵初等变换的方法和应用研究[M].北京: 中国工人出版社,2000:96-108

[2] 王萼芳,石生明修订.高等代数[M]. (第三版).北京: 高等教育出版社,2003:12-18

[3] 张文博等译.线性代数[M]. 北京:机械工业出版社,2007:66-76

[4] 李志斌.线性代数[M]. 北京:机械工业出版社,2006:80-96

[5] 蔡若松,张莉.初等变换浅议[J].辽宁工学院学报.2002. (22):63-65

[6] 凌征求.矩阵初等变换的几个应用[J].玉林师范学院学报.2001. (22):37-40

[7] 邓建松等译.Mathematica使用指南[M].科学出版社,2002

[8]刘水强，王绍恒.利用矩阵行变换求解方程组[J].重庆三峡学院学报.2001.(05):42-45

[9]杨民生.矩阵初等变换的应用[J].安庆师范学院学报（自然科学版）.1995.(03):55-58

[10]王玲.初等变换与可逆矩阵[J]. 锦州师范学院（自然科学版）.2000.(02):39-42

[11]欧启通. 矩阵初等变换的应用[J]. 甘肃联合大学学报（自然科学版）.2007.(03):55-60

[12]谢芳.矩阵初等变换的若干应用[J].绍通师范专科学院学报.2004.(02）:21-25

[13]FENG Tian-xiang,TAN Ming-shu.Applications of elementary transformation in matrix computation[J].黑龙江大学自然科学报.2004.(04):23-27

[14]XIONG Hui-jun.A Criterion for the Positive definiteness of a Block-Matrix and Its Applications[J] .湖南文理学院学报（自然科学版）2006.（04）:33-36

致 谢

本学位论文是在我的导师李乃华老师的亲切关怀和悉心指导下完成的。大一的时候我学习了李老师的所教授的《高等代数》，她严肃的科学态度，严谨的治学精神，风趣的授课方式，无时无刻不深深地感染和激励着我，使我的学习态度从浮躁转变成成熟、踏实。在大四期间，李老师都始终给予我细心的指导和不懈的支持，倾注了大量的心血，使我论文能够最终顺利完成。在此谨向李老师致以诚挚的谢意和崇高的敬意。

论文的得以顺利完成，我真挚的感谢我的师长、同学、朋友，以及你们给与我的帮助。在这里请接受我诚挚的谢意!

矩阵初等变换及应用

王法辉

摘要：矩阵初等变换是高等代数的重要组成部分。本文对初等变换进行了研究探讨，详细介绍了与矩阵初等变换有关的基础知识。在阐述矩阵初等变换方法及应用原理的基础上，首先重点讨论该方法在解决高等代数相关计算问题上的应用，如求多项式的最大公因式、求逆矩阵解矩阵方程、求解线性方程组、判定向量的线性相关性、化二次型为标准型、求空间的基等。尤其是利用矩阵初等变换法求空间的基(解空间、特征子空间、核、值域等)的问题的计算,以具体实例生动的展示出问题的内在关系,最后给出了该方法在解决实际问题中的应用。本文理论分析与实际相结合，凸现了矩阵初等变换法直接、便利、有效的威力与作用。

关键词：矩阵初等变换；最大公因式；线性相关性；二次型；空间的基

1 导言

在线性方程组的讨论中我们看到，线性方程组的一些重要性质反映在它的系数矩阵和增广矩阵的性质上，并且解方程组的过程也表现为变换这些矩阵的过程。在数学的学习和应用中，矩阵理论是高等代数的重要组成部分，矩阵初等变换方法更是贯穿高等代数理论的始终。应用初等变换证明命题过程容易被接受，同时也是解决高等代数相关计算问题最直接、便利、有效的方法。此外，还有大量的各种各样的，表面上看完全没有联系的问题的解决,都可以通过相同的方法实现：矩阵的初等变换。

因此，对矩阵初等变换方法及应用进行探讨，无疑是十分必要和重要的。 目前，有许多文献涉及到对矩阵初等变换方法该的讨论，但比较零散。在研读文献的基础上，对矩阵初等变换的内涵进一步挖掘，使矩阵初等变换方法的威力作用得以充分展示是重要也是必要的。

2 矩阵及其初等变换

2.1 矩阵

由mn个数aij

的数表

a11aA21

am1a12a22am2a1na2n amn(i1,2,,m,j)（i=1,2, ,j=1,2,，n）排成m行n列

称为m行n列的矩阵，简称mn矩阵。

2.2 矩阵的初等变换及初等矩阵

矩阵有行列之分，因此有如下定义

定义1 矩阵的初等行（列）变换是指如下三种变换

(1)交换矩阵某两行（列）的位置，记为rirj (cicj)；

(2)把某一行（列）的k倍加到另一行（列）上，记为rikrj (cikcj)；

(3)用一个非零常数k乘以某一行（列），记为kri (kci)，k0；

矩阵的初等行变换及初等列变换统称为矩阵的初等变换。

定义2 由单位矩阵E经过一次初等变换得到的方阵称为初等矩阵。有以下3种形式

(1)互换矩阵E的i行和j行的位置，得

11011P(i,j)；

11011

(2)用数域P种非零数c乘E的i行，得

1cP(i(c))； 11

(3)把矩阵E的j行的k倍加到i行，有

11kP（i,j(k))。

11

定义3 如果B可以由A经过一系列初等变换得到，矩阵A与B称为等价的。

2.3 矩阵初等变换的若干性质

矩阵的初等变换改变了矩阵的元素,但矩阵初等变换具有以下性质

（1）对矩阵A施行初等行（列）变换，其列（行）向量组之间的线性关系保持不变。

（2）对矩阵A施行初等行变换相当于左乘相应的初等矩阵，施行初等列变换相当于右乘相应的初等矩阵。

（3）可逆矩阵可以表示成一系列初等矩阵的乘积。初等矩阵的逆矩阵也是初等矩阵。

（4）初等变换不改变矩阵的秩。

3 矩阵初等变换在高等代数计算问题中的应用

矩阵初等变换与线性方程组的求解密不可分，不仅给解线性方程组带来了极大方便，同时也发展和完善了矩阵理论本身，极大丰富了矩阵理论的应用领域。矩阵的初等变换方法更是贯穿高等代数理论的始终，在高等代数有关理论的证明及相关计算问题中更是起着巨大的作用。

3.1 求多项式的最大公因式

3.1.1 基本概念

以P[x]表示数域P上的一元多项式环。

定义1（最大公因式） 设f(x)，g(x)是P[x]中两个多项式，P[x]中多项式d(x)称为f(x)，g(x)的一个最大公因式，如果它满足

(1) d(x)是f(x)，g(x)的公因式；

(2) f(x)，g(x)的公因式全是d(x)的因式。

定义2 以P[x]中的一元多项式为元素的矩阵称为多项式矩阵。

定义3 以下3种变换称为多项式矩阵的初等行变换

(1) 交换多项式矩阵的某两行；

(2) 用零次多项式(P中不等于零的数)乘以多项式矩阵的某一行；

(3) 用一个多项式乘以多项式矩阵的某一行再加到另一行。

且分别称以上三种变换为第1类，第2类，第3类多项式矩阵的初等行变换。所说的初等行变换总是指多项式矩阵的行初等变换，所说的矩阵总是指多项式矩阵。

3.1.2 主要结果

在高等代数中，求数域P上两个多项式的最大公因式通常是利用辗转相除法，当多项式的次数较高时，辗转相除法计算较繁琐。由于多项式辗转相除法主要表现为系数间的运算，因此通常利用分离系数法，使运算相对简化。同样地，为了简化求多项式最大公因式的运算，考虑将要求最大公因式的两个多项式的系数与二行矩阵表示式对应起来。考虑P[x]中的多项式

f(x)anxnan1xn1a1xa0(an0)

g(x)bmxbm1xmm1b1xb0(bm0)

其中ai bjP(i0,1,2,n;j0,1,2,m),

引入如下记号

an当nm时,（f(x),g(x)）bnan1a1bn1b1a0； b0

a当nm时，（f(x),g(x)）n

0an1am1

00ama1

bmb1a0。 b0

由于多项式的最大公因式具有以下基本性质

（1） （f(x),g(x)）=（g(x),f(x)）；

（2） 若（f(x),h(x)）=1，则（f(x),g(x)）=（f(x),g(x)h(x)）；

（3）（f(x),g(x)）=（f(x)kg(x),g(x)）, kP；

因此，如上引入的二行矩阵反映了以下事实

（1）交换二行矩阵两行的位置，得到的矩阵仍然对应这两个多项式的最大公因式；

（2）二行矩阵某一行的k倍加于另一行得到的矩阵仍然对应这两个多项式的最大公因式。

上述事实意味着数域P上多项式的最大公因式（f(x),g(x)）可以利用二行矩阵进行初等行变换求得。具体实施步骤为

（1）根据多项式的系数作出（f(x),g(x)）对应的二行矩阵；

（2）利用第1、2类初等行变换使得二行矩阵中的行出现端首(左端或右端)为0；

（3）向左(或向右)平移二行矩阵中某行，使得这一行端首的0去掉。这表明（f(x),g(x)）的次数在降低。

反复利用（1）、（2）、（3）直到出现二行矩阵的两行元素对应成比例为止。

3.1.3 计算举例

例1 已知数域P上的一元多项式

f(x)x67x48x37x7，g(x)3x57x33x27

求(f(x),g(x))。

解 构造二行矩阵A并实施初等行变换

A1078077r1

13r2001470147

3073070

303730370

将第一行元素轮换使其1414首项不为零70700

3r29

14r1

30733070



14701400

337

9将第二行元素轮换使其首项不为零

02709

27014

37014700

37

r28

127r20

27007

2700

92709

27009

2709

2700

7007

27000

将第一行元素轮换使其不为零

27

9r243

214r1

9

27027007007000

2727

0700700将第二行元素轮换使其首项不为零

7007000r1r0

2727

70070001272000000

7007000

第二行除以（7）0000000

1001000



第二行元素共轮换过3次，所以最大公因式为d(x)x31。

例2 求多项式f(x)x42x34x24x3，g(x)2x35x24x3，h(x)x36x211x6的最大公因式。

解 构造三行矩阵A并进行初等行变换

12443

A0254310900

r1r202543



60

1611601611

10900

对第二行进行轮换，使其首项不为025430

61160

1

1090010900

r22r1,r3r1051430轮换514300

62060

0620600



1090010

r11

15,r26143900

r2r1,r3r1442

1001

1055000

1055

13100

031000

r5310900

27,r3100260010-900

轮换2-6000



01300

1-3000

r10390039

12r226000000

轮换26000

13000



13000

所以(f(x),g(x),h(x))x3。

3.2 求逆矩阵 解矩阵方程

3.2.1 可逆矩阵定义

若对n级矩阵A有n级矩阵B使

ABBAE

则称A是可逆的，B称为A的可逆矩阵。其中E为n级单位矩阵。

3.2.2 初等变换求逆的原理和步骤

由于可逆矩阵A可表示为一系列初等矩阵的乘积，故由A1AE有

P1PsAE

P

1PSAE

因此有如下求逆步骤

（1）构造n2n的矩阵A｜E；

（2）对上述矩阵实行初等行变换，当用初等行变换把A化为单位阵，则E的位置变成A的逆矩阵，即

A｜E E｜A1

需要指出的是在此过程中只能用初等行变换。如果用列变换，则需把E置于A的下方变成2nn矩阵且只能使用列变换把A化为单位矩阵，同时E化为A的逆矩阵，即

A初等列变换EEA1 

利用与求逆矩阵相同的原理，矩阵初等变换可用于解矩阵方程。

3.2.2 计算举例

021的逆矩阵。 302例1 求A=023

解 构造矩阵，由

021100021100r302010 332r2A｜E302010000123094023

302010302010r021100 329r21r2r021100194609402300

r12r330018912r31006340208461010423E｜A1 rr2r32(2)460019001946

634 423得A1=946

21311，B=2，求X使得AXB 1220例2 设A=13025

解 构造矩阵CA｜E并实施初等行变换

0213111222

r2,r22r1,r3r1r103131 C=122200051302505

r3r2

r25,r33r1222010042010r01001=112r22r301E｜AB 0013200132

得 X=A142B=01 32

3.3 求解线性方程组

3.3.1 有关概念与结论

考虑n元线性方程组

a11x1a1nxnb1axaxb2112nn2 

an1x1annxnbn

并记

a11a1n，bAan1annb1a11a1n，an1annbnb1 bn

则得方程组的矩阵形式Axb。

称一下三种变换：

（1） 用一非零的数乘以某方程；

（2） 把一个方程的倍数加到另一个方程；

（3） 互换两个方程的位置；

为线性方程组的初等变换。

利用方程组的初等变换求解线性方程组的过程的矩阵描述即为对系数矩阵A或者增广矩阵进行初等行变换的过程。

有关结论

（1）Axb有解r(A)r(A)r，且当rn时，有唯一解；当rn时，有无穷多解。

（2）Ax0恒有解r(A)r，当rn时，有唯一零解；当rn时，有非零解。

3.3.2 计算实例

例1 求解齐次线性方程组

x1x2 x32x4x50  x33x4x50

 2x3x42x50

解对方程组的系数矩阵矩阵A施行初等行变换

01112111053r1r3,r2r3r1r2,r32r25A0013100131

0021200050

01100110001r3()0010100101 50005000010

x1x2同解的方程组x3x5其中x2，x5为自由未知量，设x2C1,x5C2（C1,C2为x04

任意实数）则通解为

x110x202x3C10C21。 x04001x5

例2 求解非齐次线性方程组

2x1 x2 x3 x4 x x2x x12344x16x22x32x4

3x16x29x37x42449

解 对增广矩阵A施行初等行变换

21111121A=

4622

36972449100001041103 0013



0000

x1x34

r(A)r()34，所以方程组有无穷多解。同解方程组x2x33， x3为自

x 34

由未知量，方程组的通解

x14x32=+kx30x43

11

， k为任意实数。 10

3.4 判定向量组的线性关系 求向量组的极大无关组 3.4.1 基本概念

定义1（线性相关和线性无关）设有向量组1,2,3s，如果有不全为0的一组数k1,k2,,ks，使

k11kss0

称向量组线性相关，否则称为线性无关。

定义2（线性组合和线性表出）设有向量组1,2,3s及向量，若有数

k1,k2,,ks，使

k11kss

称向量为向量组1,2,3s的线性组合，也称可由1,2,3,s线性表出。

（Ⅰ）定义3（向量组等价） 设有向量组1,2,3,s及1,2,3t，（Ⅱ）（Ⅰ）（Ⅱ）如果中的每一个向量i(i1,2,,s)都可以有向量组线性表出，（Ⅰ）那么称向量组1,2,3,s可由向量组1,2,3t线性表出；如果与（Ⅱ）可以互相线性表出，称他们为等价。

定义4（极大无关组） 如果一个向量组的部分组本身是线性无关的，并且从这向量组中任意添一个向量（如果还有的话），所得的向量组都线性相关，则向量组的这个部分组称为一个极大线性无关组。 3.4.2 有关结论

（1）向量组1,2,3,s线性相关线性方程组x11xss0有非零解；

向量组1,2,3,s线性无关线性方程组x11xss0只有零 解。

（2）可由1,2,3s线性表出x11xss有解。

因此，可以利用初等变换解决向量组的线性相关性判定、求极大无关组的问题。

3.4.3 计算举例

例 求向量组1(2,4,2)T，2(1,1,0)T，3(2,3,1)T，4(3,5,2)T的极大无关组及秩，并把其余向量用极大无关组线性表示。

解 令A，对A施行矩阵初等行变换，得（1，2，3，4）

2123

22r1,r3r1

A=4135r2012212301110000

2321

0111r3r2

 

0111

1101212r0111

0000

1

1+2，2

故1，2是1，2，3，4的一个极大无关组，且3=

4=1+2。

3.5 化二次型为标准型

3.5.1 基本概念

定义1（二次型及其标准型） 设P是一数域，一个系数在数域P中的

x1,x2xn的二次齐次多项式

22

f(x1,x2xn)=a11x122a12x1x22a1nx1xna22x22a2nx2xnannxn

称为数域P上的一个n元二次型，简称二次型。仅含平方项的二次型

22

d1x12d2x2dnxn

称为标准型。

a11

a21

定义2（二次型的矩阵表示）记A=

an1

a12a1nx1

xa22a2n，x2， 



an2annx3

则

f(x1,x2xn)=xTAx

A称为二次型的矩阵（ATA）。

定义3（合同矩阵） 对数域P上有nn矩阵A、B，若有数域P上可逆矩阵C，使

BCTAC，

称矩阵A与B合同。 3.5.2 有关结论

（1）数域P上任意一个n元二次型f(x1,x2,xn)xTAx都可以经过非退化的线性替换xCy化为标准型。

（2） 任意一个对称矩阵合同于对角矩阵。 3.5.3 初等变换化二次型为标准型的原理

A

用初等变换法把二次型化为标准型，是对2nn矩阵施行初等列变换的

E同时对A施以相应的行变换，当矩阵A化为对角阵时，单位矩阵E就化为所要求的非退化变换矩阵C。即

TA施行相同的列变换

CACA对A施行初等行变换，对E

 E CC

3.5.4 计算举例

66

例 用初等变换法化二次型f(x1,x2,x3)2x1x32x1x24x1x36x2x3为

规范标准型，并写出相应的非退化线性变换。

212

，由 103解 二次型的矩阵A=

231

2

1A2E=1

00

122

103

31c3c1,r3r10



001

010

010

104010

0

4

1

1c2c21,r2r2

 101

20

1020411

2

0100020

1

40210038c2,r38r2c111

2

001

0010

031 381

得 f(x1,x2,x3)的标准型为2y12

1

12其中C=01

00



38。 1

122

y231y3，所用的非退化线性变换为xCy，2

3.6 求空间的基 3.6.1 基本概念

定义1（线性空间） 设V是一个非空集合，P是一个数域。

对于V中任意两个元素和，在V中都有唯一的一个元素和它们对应，称为和的和，记为=+，这种代数运算，叫做加法；对于任意数域P中任一数k与V中任一元素，在V中都有唯一的一个元素与它们对应，称为k与

的数量乘积，记为=k，这种代数运算，叫做数量乘法。如果加法与数量

乘法满足以下规则 （1）+=+

（2）（+）+=+（+）

（3）在V中有一个元素0，对于V中任一元素都有+0=（这个元素称为V的零元素）

（4）对于V中每一个元素，都有V中的元素，使得+=0（称为的负元素） （5）1=

（6）k（l）=（kl） （7）（k+l）=k+l （8）k（+）=k+k 称V为数域P上的线性空间。

定义2（基与维数） 如果在线性空间V中有n个线性无关的向量,没有更多数目的线性无关的向量,那么就称V是n维的。

在n维线性空间V中，n个线性无关的向量称为V的一组基。

易知，如果在线性空间V中有n个向量1,2,,n线性无关,且V中任一向量都可以由它们线性表出,那么V是n维的, 1,2,,n就是V的一组基；在线性空间V中, 如果向量组1,2,,n线性无关, 而1,2,,n，线性相关, 则向量可以由1,2,,n线性表出,且表示法唯一。

定义3（生成子空间）设1,2,,n是线性空间V中的一组向量，则这组向量所有可能的线性组合所成的集合是非空的，而且对两种运算封闭，因而是V的一个子空间，叫做V的生成子空间，记为L(1,2,,n)。

定义4（子空间的交与和） 设V1，V2是线性空间V的两个子空间，所谓V1

与V2的交，是指所有同时存在与V1和V2的元素，记为V1V2；所谓V1与V2的和，是指由所有能表示成12，（ 1 V1，2 V2）的向量组合的子集合，记

为V1 +V2。

如果V1，那么他们的交V1V2与和V1 +V2V2是线性空间V的两个子空间，也是V的子空间，分别称为交子空间与和子空间。

定义5（正交补空间） 设V1，V2是欧氏空间V的两个子空间，如果对于任意的属于V1，属于V2恒有（，）=0则称V1，V2为正交的，记为V1V2。

如果V1V2，并且V1+V2=V，子空间V2称为V1的一个正交补。 定义6（特征子空间） 设是V的线性变换， F，则

｜V,() V

是V的子空间，称为V的特征子空间。 V是的不变子空间。

定义7（线性变换的值域和核） 设是线性空间V的一个线性变换，集合

(V){(｜)V}

称为线性变换的值域也记做Im或者V；集合

1(0){｜V，（）0}

称为线性变换的核，也记作ker。 3.6.2 计算举例

121

242

例 已知A

210

3330121



624 ，并记，，2，

123

2102



3333

0

6，1，2，3，4， （1，2，1，0）（2，4，2，6）（3，3，3，3）（2，1，0，2）423

142。

34

即A12

3

（1）求Ax0的解空间的基；

（2）求A的零特征值00的特征子空间V0的基； （3）设VL(1

2

34，求V⊥的基；

（4）求1,2,3,4的极大无关组；

1（0）（5）定义线性变换xAx，求的基；

（V）（6）求（5）中线性变换的值域的基。

解（1）空间的基即为Ax0的基础解系。由

121

242A

210

3330121

0060

03223609

12100

220

01633 0322236309

1

10121032202010133

00301000

6309096

401

103320201331000

000340

320 310

11

22

得Ax0的基础解系为，所求基为；

3300

（2）当00的时候，V0={Ax0｜x,xpn}，即所求空间的基为Ax0的

12

基础解系，所以基为；

30

12

（3）由题意由i,x=ix0，（i=1，2，3，4），即x=0，即Ax0，

34

12

⊥

所以V的基为；

301

（4）由A0

00

1321

300000

40320

可得，1,2,3,4的极大无关组为1,2，4； 310

1

2

1

（5）由核的定义知，（0）V0,(00)，所求基为；

30（6）(V)L((1),(2),(3),(4))，而

((1),(2),(3),(4))=（1，2，3，4）A

所以(V)的基为A的列向量组的极大无关组对应的(1),(2),(3),(4)的极大无关组,即基为(1),(2),(4)。其中，(1)1222334，

(2)2142334，(4)622334。

4 矩阵初等变换在实际问题中的应用

矩阵初等变换不仅可以用于解决高等代数计算问题，在现实生活中，也有许许多多的问题可以用矩阵初等变换来解决。

例 现有一个木工、一个电工、一个油漆工，三人相互同意彼此装修他们自己的房子，在装修之前，他们达成了如下协议

（1） 每人总共只工作10天（包括给自己家干活在内）; （2） 每人的工资根据一般的市价在60—80之间; （3） 每人的日工资数似的每人的总收入与总支出相等。

表1是他们协商后制定出的工作天数的分配方案，如何计算他们应得的工资？

表1 各工种工作天数

天数

木工 电工 油漆工

在木工家工作天数 2 1 6 在电工家工作天数 4 5 1 在油漆工家工作天数 4

4

3

解 设木工、电工、油漆工的工资分别为x1,x2,x3，由题意得



2x1x26x310x14x

8x1x26x30

15x2x310x2 即 4x15x2x30 4x1

4x23x310x

34x1

4x27x30

对系数矩阵A作初等行变换,得

816A45109800

r12r2,r2r3098r1r2

0944744744其同解方程组为



9x28x304x7x 14x230

得

x13136x3

31k

x8xx136

2

93 即 x2=8

k （k60,80）， x3kx9

3k





x1当k72时，x62264。 x723

5 结语

08 7



本文主要对矩阵初等变换的作用作了简单的介绍。通过对一些概念的表述和部分原理的推导，用矩阵的初等变换解决了高等代数计算中的多种问题以及现实生活中的一些问题，并通过解决这些问题进一步说明了矩阵初等变换的作用。

本文的突出点是对矩阵初等变换解决问题的方法进行了详细的阐述，简单明了，并将能解决的各种问题加以分类和归纳，比各种代数书籍更为具体。

参考文献

[1] 高吉全.矩阵初等变换的方法和应用研究[M].北京: 中国工人出版社,2000:96-108 [2] 王萼芳,石生明修订.高等代数[M]. (第三版).北京: 高等教育出版社,2003:12-18 [3] 张文博等译.线性代数[M]. 北京:机械工业出版社,2007:66-76 [4] 李志斌.线性代数[M]. 北京:机械工业出版社,2006:80-96 [5] 蔡若松,张莉.初等变换浅议[J].辽宁工学院学报.2002. (22):63-65 [6] 凌征求.矩阵初等变换的几个应用[J].玉林师范学院学报.2001. (22):37-40 [7] 邓建松等译.Mathematica使用指南[M].科学出版社,2002

[8]刘水强，王绍恒.利用矩阵行变换求解方程组[J].重庆三峡学院学报.2001.(05):42-45 [9]杨民生.矩阵初等变换的应用[J].安庆师范学院学报（自然科学版）.1995.(03):55-58 [10]王玲.初等变换与可逆矩阵[J]. 锦州师范学院（自然科学版）.2000.(02):39-42 [11]欧启通. 矩阵初等变换的应用[J]. 甘肃联合大学学报（自然科学版）.2007.(03):55-60 [12]谢芳.矩阵初等变换的若干应用[J].绍通师范专科学院学报.2004.(02）:21-25

[13]谭军. 矩阵初等变换的一些性质和应用[J]. 郑州航空工业管理学院学报.2002.（24）:50-54 [14]FENG Tian-xiang,TAN Ming-shu.Applications of elementary transformation in matrix computation[J].黑龙江大学自然科学报.2004.(04):23-27

[15]XIONG Hui-jun.A Criterion for the Positive definiteness of a Block-Matrix and Its Applications[J] .湖南文理学院学报（自然科学版）2006.（04）:33-36

附录：开题报告

矩阵初等变换及应用

1 选题背景

在线性方程组的讨论中可以发现，线性方程组的一些重要性质反映在它的系数矩阵和增广矩阵的性质上，并且解方程组的过程也表现为变换这些矩阵的过程。此外，还有大量的各种各样的，表面上看完全没有联系的问题的解决,都可以通过相同的方法实现：矩阵的初等变换。因此矩阵初等变换就成为极其重要的一个知识点。

1．1 研究的目的和意义

在数学的学习和应用中，矩阵理论是高等代数的重要组成部分，矩阵初等变换方法更是贯穿高等代数理论的始终。应用初等变换证明命题过程容易被接受，同时也是解决高等代数相关计算问题最直接、便利、有效的方法。因此，对矩阵初等变换方法及应用进行探讨，无疑是十分必要和重要的。

目前，已有许多文献涉及到该问题的讨论，研读现有文献，吸取精华，在深刻理解矩阵初等变换内涵的基础上，理论分析与实例应用相结合，讨论、挖掘矩阵初等变换在解决高等代数相关问题中的作用，如：解线性方程组、求向量组的极大无关组和线性关系、求逆矩阵和解矩阵方程、求解空间（特征子空间、生成子空间）的基、求交子空间（和子空间、核子空间、正交补空间）的基、求多项式的最大公因式、化二次型为标准型等，使矩阵初等变换方法的威力作用得以充分展示。

1．2 研究方法

目前，有许多文献涉及到对矩阵初等变换方法该的讨论，但比较零散。在研读文献的基

础上，深刻理解矩阵初等变换的内涵，采用理论分析与实例应用相结合的方法，讨论、挖掘矩阵初等变换在解决高等代数相关问题中的作用，如：解线性方程组、求向量组的极大无关组和线性关系、求逆矩阵和解矩阵方程、求解空间（特征子空间、生成子空间）的基、求交子空间（和子空间、核子空间、正交补空间）的基、求多项式的最大公因式、化二次型为标准型等，使矩阵初等变换方法的威力作用得以充分展示。

2 文章结构

论文总共分为五个部分。其中第一部分为导言，主要介绍选题的背景；第二部分介绍矩阵初等变换方法及有关性质；第三部分为矩阵初等变换在高等代数相关问题中的应用，如求多项式的最大公因式、解线性方程组、求向量组的极大无关组和线性关系、求逆矩阵和解矩阵方程、求解空间（特征子空间、生成子空间、核子空间、正交补空间）的基、化二次型等；第四部分为实际应用问题；第五部分为文章的结束语，简要概括论文的工作。

具体框架如下：

1 导言

2 矩阵及其初等变换

2.1 矩阵定义

2.2 矩阵的初等变换及初等矩阵

2.3 矩阵初等变换的若干性质

3 矩阵初等变换在高等代数计算问题中的应用

3.1.求多项式的最大公因式

矩阵初等变换与线性方程组的求解密不可分，不仅给解线性方程组带来了极大方便，同时也发展和完善了矩阵理论本身，极大丰富了矩阵理论的应用领域。

首先定义多项式矩阵的行初等变换，然后利用多项式的基本性质推广定理，给出利用矩阵的初等行变换求多项式的最大公因式计算实例．

3.2 求逆矩阵 解矩阵方程

首先给出可逆矩阵定义，其次阐述矩阵初等变换求逆的原理和步骤 ：

由于可逆矩阵A可表示为一系列初等矩阵的乘积，故有AAE有 1

P1PsAE P1PSAE

有如下求逆步骤

（1） 构造n2n的矩阵A｜E

（2） 对上述矩阵实施初等行变换，当用初等变换把A化为单位阵，则E

的位置变成A的逆矩阵，即A｜E E｜A1，同时有

A初等列变换EEA1 

最后给出计算实例。

3.3 求解线性方程组

a11x1a1nxnb1axaxb2112nn2考虑n元线性方程组 an1x1annxnbn

首先介绍线性方程组的初等变换的概念，其次阐述方程组解的情况（齐次、非奇次），最后以实例实现矩阵初等变换解方程组的方法。

3.4 判定向量组的线性关系 求向量组的极大无关组

首先阐述有关概念，如线性相关和线性无关、线性组合和线性表出、向量组等价、极大无关组等，其次给出有关结论及原理，如

（1）向量组1,2,3s线性相关线性方程组x11xss0有非零解

向量组1,2,3s线性无关线性方程组x11xss0有唯一零解。

（2）可由1,2,3s线性表出x11xss有解

最后给出计算实例。

3.5 化二次型为标准型

首先阐述有关概念，如二次型及其标准型；其次给出有关理论，如

（1）数域P上任意一个n元二次型f(x1,x2xn)xAx都可以经过非退化的线性替换T

xcy化为标准型。

（2） 任意一个对称矩阵合同与对角矩阵。

最后给出计算原理及实例。

3.6 求解空间的基

阐述有关概念，如给出有关理论，如线性空间、解空间、特征子空间、生成子空间、核子空间、正交补空间、线性变换的至于与核等；给出综合计算实例。

4 实际问题举例

5 结语

论文工作的简要说明。

4 参考文献综述

大多数的参考文献，要么只有矩阵的初等变换在部分方面的应用，要么就是对初等变换在各方面的应用一笔带过，显得过于简单。本文将综合讨论矩阵初等变换在解决高等代数相关问题中的应用，凸现矩阵初等变换方法的威力作用。

5 工作计划

2007年11月--2008年2月中旬：

检索文献、查阅资料、收集课题所需中外文素材；

2008年3月--2008年4月中旬：

进一步收集素材、筛选信息，完成毕业论文写作的初步思想，完成开题报告。结合毕业论文题目翻译英文参考资料

2008年4月中旬—2007年5月初：

完成毕业论文初稿，送指导教师审阅;.

2008年5月初—2007年5月底：

修改、完善初稿,完成论文，准备毕业答辩。

5 参考文献

[1] 高吉全.矩阵初等变换的方法和应用研究[M].北京: 中国工人出版社,2000:96-108

[2] 王萼芳,石生明修订.高等代数[M]. (第三版).北京: 高等教育出版社,2003:12-18

[3] 张文博等译.线性代数[M]. 北京:机械工业出版社,2007:66-76

[4] 李志斌.线性代数[M]. 北京:机械工业出版社,2006:80-96

[5] 蔡若松,张莉.初等变换浅议[J].辽宁工学院学报.2002. (22):63-65

[6] 凌征求.矩阵初等变换的几个应用[J].玉林师范学院学报.2001. (22):37-40

[7] 邓建松等译.Mathematica使用指南[M].科学出版社,2002

[8]刘水强，王绍恒.利用矩阵行变换求解方程组[J].重庆三峡学院学报.2001.(05):42-45

[9]杨民生.矩阵初等变换的应用[J].安庆师范学院学报（自然科学版）.1995.(03):55-58

[10]王玲.初等变换与可逆矩阵[J]. 锦州师范学院（自然科学版）.2000.(02):39-42

[11]欧启通. 矩阵初等变换的应用[J]. 甘肃联合大学学报（自然科学版）.2007.(03):55-60

[12]谢芳.矩阵初等变换的若干应用[J].绍通师范专科学院学报.2004.(02）:21-25

[13]FENG Tian-xiang,TAN Ming-shu.Applications of elementary transformation in matrix computation[J].黑龙江大学自然科学报.2004.(04):23-27

[14]XIONG Hui-jun.A Criterion for the Positive definiteness of a Block-Matrix and Its Applications[J] .湖南文理学院学报（自然科学版）2006.（04）:33-36

致 谢

本学位论文是在我的导师李乃华老师的亲切关怀和悉心指导下完成的。大一的时候我学习了李老师的所教授的《高等代数》，她严肃的科学态度，严谨的治学精神，风趣的授课方式，无时无刻不深深地感染和激励着我，使我的学习态度从浮躁转变成成熟、踏实。在大四期间，李老师都始终给予我细心的指导和不懈的支持，倾注了大量的心血，使我论文能够最终顺利完成。在此谨向李老师致以诚挚的谢意和崇高的敬意。

论文的得以顺利完成，我真挚的感谢我的师长、同学、朋友，以及你们给与我的帮助。在这里请接受我诚挚的谢意!