直线参数t的几何意义

数学试题（文）

1．在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C 的极坐标

⎧⎪x =-2+⎪2方程为ρsin θ=a cos θ(a >0)，过点P (-2, -4)的直线l

的参数方程为⎨⎪y =-4+⎪⎩

直线l 与曲线C 相交于A , B 两点．

（Ⅰ）写出曲线C 的直角坐标方程和直线l 的普通方程；（Ⅱ）若PA ⋅PB =AB ，求a 的值．

22 （为参数），t 2

2．在平面直角坐标系中，以原点为极点，x 轴为极轴建立极坐标系，曲线C

1的方程为⎨⎧⎪x =θ（θ⎪⎩y =sin θ为参数），曲线C 2的极坐标方程为C 2:ρcos θ+ρsin θ=1, 若曲线C 1与C 2相交于A 、B 两点．

(1)求|AB |的值；(2)求点M (-1, 2) 到A 、B 两点的距离之积．

⎧x =⎪⎪23．已知在直角坐标系xOy 中，曲线C

1的参数方程为⎨．在极坐标系（与直角坐(t 为参数）

⎪y =-2+⎪⎩2

标取相同的长度单位，且以原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴）中，曲线C 2的方程为ρ2-a ρcos θ-ap sin θ=a 2+2，a ∈[0,2]．

（Ⅰ）求曲线C 2直角坐标方程，并说明方程表示的曲线类型；

（Ⅱ）若曲线C 1、C 2交于A 、B 两点，定点P(0,-2)，求PA ⋅PB 的最大值．

⎧x =2+t cos αx 2y 2π⎨α≠+y =t sin α2）与曲线1612=1交4．已知直线l 的参数方程为⎩，（t 为参数，α为倾斜角，且

于A , B 两点.

（I ）写出直线l 的一般方程及直线l 通过的定点P 的坐标；（Ⅱ）求|PA ||PB |的最大值。

1⎧x =3+t ⎪⎧x =4cos θ⎪25．已知直线l 的参数方程为⎨（t 为参数），曲线C 的参数方程为⎨（θ为参数）. y =4sin θ⎩⎪y =2+t ⎪2⎩

⑴将曲线C 的参数方程化为普通方程；⑵若直线l 与曲线C 交于A 、B 两点，求线段AB 的长.

6．在直角坐标系中, 以原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系, 已知曲线C:ρsin 2θ=2a cos θ

⎧⎪x =-2+⎪(a >0),已知过点P(-2,-4)的直线l 的参数方程为

:⎨⎪y =-4+⎪⎩ （t 为参数）, 直线l 与曲线C 分别交2

于M,N 两点．

(1)写出曲线C 和直线l 的普通方程；(2)若|PM|,|MN|,|PN|成等比数列, 求a 的值．

7．已知曲线C 的极坐标方程式ρ=2cos θ，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 轴的正半轴，建

⎧x =+m ⎪⎪立平面直角坐标系，直线L

的参数方程是⎨，（t 为参数）．

⎪y =1t ⎪⎩2

（1）求曲线C 的直角坐标方程和直线L 的普通方程；

（2）设点P (m ,0) ，若直线L 与曲线C 交于两点A , B ，且|PA |⋅|PB |=1，求实数m 的值．

8．在极坐标系中, O为极点, 半径为2的圆C 的圆心的极坐标为(2, π) . （1）求圆C 的极坐标方程； 3

1⎧x =1+t ⎪2⎪⎨（2）在以极点O 为原点，以极轴为x 轴正半轴建立的直角坐标系中，直线l 的参数方程为⎪ y =-2+t ⎪2⎩

（t 为参数），直线l 与圆C 相交于A ，B 两点，已知定点M (1, -2) , 求|MA|·|MB|。

⎧, ⎪x =3-⎪29．在直角坐标系xoy 中，直线l

的参数方程为⎨（t 为参数）。在极坐标系（与直角坐标系

⎪y =⎪⎩xoy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴）中，圆C

的方程为ρ=θ。

（1）求圆C 的直角坐标方程；

（2）设圆C 与直线l 交于点A 、B ，若点P

的坐标为，求|PA|+|PB|.

参考答案

ρsin 2θ=a cos θ(a >0)ρ2sin 2θ=a ρcos θ(a >0)C 1．解析：（Ⅰ）曲线的极坐标方程，可化为，即

y 2=ax (a >0)；

⎧⎪x =-2+⎪⎨⎪y =-4+⎪直线l

的参数方程为⎩22（t 为参数），消去参数t ，化为普通方程是y =x -2；

y 2=ax (a >0)l C （Ⅱ）将直线的参数方程代入曲线的直角坐标方程中，

得

；设A 、B 两点对应的参数分别为t1，t2，

则t 1+t 2=a +8), t 1⋅t 2=4(a +8)；∵PA ⋅PB =AB 2(t -t )，∴122=t 1⋅t 2，

即12

考点：1. 参数方程化成普通方程；2. 点的极坐标和直角坐标的互化． (t +t )28+a )⎤=20(8+a )=5t 1⋅

t 2⎦；∴，解得：a =2，或a =-8（舍去）；∴a 的值为2． 2

x 2

+y 2=1，C 2:ρcos θ+ρsin θ=1, 2．解析：解(1) 曲线C 1的普通方程为2

⎧⎪x =-1-⎪则C 2的普通方程为x +y -1=0，则C

2的参数方程为：⎨⎪y =2+⎪⎩

代入C

1得3t +14=

0，AB =t 1-t 2=

(2) MA MB =t 1t 2=22(t 为参数) 2分 2 6分 14. 10分 3

考点：(1)参数方程的应用；（2) 直线与椭圆相交的综合问题.

223．（【解析】（Ⅰ）将x =ρcos θ, y =ρsin θ代入，得x +y -ax -ay =12a +2，配方得，2

a a a a

(x -) 2+(y -) 2=a 2+2，表示以(, ) 2222

122（Ⅱ）将曲线C 1的参数方程代入C

2的直角坐标方程，得t -) t -a +2a +2=0， 7分2

由参数的几何意义，PA ⋅PB =t 1t 2=-

即PA ⋅PB ≤4 10分 112a +2a +2，因为a ∈[0,2]，故2≤-a 2+2a +2≤4， 22

⎧x =2+t cos απ ⎨, α≠t =t sin α2） 4．（I ）⎩（t 为参数，α为倾斜角，且

∴y t sin α==tan α, ∴直线l 的一般方程x tan α-y -2tan α=0x -2t cos α

直线l 通过的定点P 的坐标为（2，0） 4分

⎧x =2t cos α l 的参数方程为⎨, ⎩y =t sin α （Ⅱ）

x 2y 2

椭圆方程为+=1，右焦点坐标为（P 2，0）1612

∴（32+t cos α) 2+4(t sin α) 2-48=0，即(3+sin 2α) t 2+12cos α⋅t -36=0

直线l 过椭圆的右焦点，∴直线l 恒与椭圆有两个焦点。

∴|PA ||PB |=36

s +sin 2α

0≤α

∴0≤sin 2α

5．解答：⑴x 2+y 2=16…………5分 1⎧x =3+t ⎪⎪2⑵将⎨代入x 2+y 2=16，并整理得t +t -9=0

⎪y =2+t ⎪2⎩

设A ，B 对应的参数为t 1，t 2，则t 1+t 2=-，t 1t 2=-9 AB =t 1-t 2=

6．解：(1)由ρsin t 1+t 2)2-4t 1t 22=37…………10分 2θ=2a cos θ得曲线C:y =2ax , 消去参数t 可求得, 直线l 的普通方程为y =x -2．

2(2)直线l ⎧⎪x =-2⎪的参数方程

为⎨⎪y =-4+⎪⎩为参数), 代入y =2a x ,

得2

t -4+a )t +8(4+a )=0, 设两交点M,N 对应的参数分别为t 1,t 2,

则有t 1+t 2=4+a ), 2

t 1t 2=8(4+a )．因为|MN|2=|PM|·|PN|,所以(t1-t 2) 2=(t1+t2) 2-4t 1·t 2=t1·t 2,

解得a =1． 12分

7．解析：（1）曲线C 的极坐标方程是ρ=2cos θ，化为ρ=2ρcos θ，可得直角坐标方程：x +y =2x ． 222

⎧x =+m ⎪⎪2直线L

的参数方程是⎨，（t 为参数），消去参数t

可得x +m ． 1⎪y =t ⎪⎩2

⎧x =+m ⎪⎪2（2）

把⎨，（t 为参数），代入方程：x 2+y 2=2x ，

化为：t 2+t +m 2-2m =0， ⎪y =1t ⎪⎩2

由∆>0，解得-1

解得m =1∆>

0．∴实数m =1

8．试题分析：（1）设P (ρ, θ) 是圆上任意一点，则在等腰三角形COP 中，OC=2，OP=ρ, ∠COP =|θ-而π3|，1π|OP |=|OC |cos ∠COP 所以，ρ=4cos(θ-) 即为所求的圆C 的极坐标方程。 23

（2）圆C 的直角坐标方程为

（

x -1) 2+(y 2=4，即：x 2+y 2-2x -=0

1⎧x =1+t ⎪2⎪将直线l

的参数方程⎨ （t 为参数）代入圆C 的方程得：

⎪y =-2⎪⎩t 2-(3+t +3+=0，其两根t 1、

t 2满足t 1⋅t 2=3+

所以，|MA|·

|MB|=|t 1⋅t 2|=3+分

9．解析：（1

）由ρ=

θ得x 2+y 2-=

0, 即x 2+(y 2=5.

（2）将l 的参数方程代入圆C

的直角坐标方程，得(3-22t ) +) =5，

即t 2-+4=

0, 由于∆=2-4⨯4=2>0，故可设t 1, t 2是上述方程的两实根，

所以⎨1⎧⎪t +t 2=又直线l 过点P 故由上式及t 的几何意义得： ⎪⎩t 1t 2=4

PA +PB =|t1|+|t2|=t1+

t 2=