概率统计1

高中数学选修2-3基础知识

一、基本原理

1．加法原理：做一件事有n类办法，则完成这件事的方法数等于各类方法数相加。 2．乘法原理：做一件事分n步完成，则完成这件事的方法数等于各步方法数相乘。

二、排列：从n个不同元素中，任取m（m≤n）个元素，按照一定的顺序排成一

列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列，所有排列的个数记为An.

m1.Annn1n2„„nm1

01n

（2）二项式系数和：CnCn„Cn2n

35024n1

（3）C1 nCnCn„CnCnCn„2

（4）最值:分n为奇数和偶数进行讨论；

5.应用“赋值法”可求得二项展开式中各项系数和即令式子中变量为1。

注意：f(x)(abx)na0a1xa2x2a3x3akxkanxn

令x1得：a0a1a2a3akanf(1)

nm!

①

②

令x1得：a0a1a2a3ak(1）anf(1)

①+②f(1)+f(1)

得：a0a2a422 ①-②f(1)-f(1)

得：a1a3a522

2. 规定：0!1

(1)n!n(n1)!,(n1)n!(n1)!

(2) nn![(n1)1]n!(n1)n!n!(n1)!n!； (3)

nn1

1n1111



(n1)!(n1)!(n1)!(n1)!n!(n1)!

三、组合：从n个不同元素中任取m（m≤n）个元素并组成一组，叫做从n 个不同的m 元素中任取 m 个元素的组合数，记作 Cn 。

nn1„„nm1Amn!

1. 公式： Cn

m!m!nm!Amm

a0f(0) 六、事件分类

（1）必然事件，P)1，不可能事件，P()0

（2）包含关系：AB，“A发生必导致B发生”称B包含A。

规定：Cn1

mnmmm1m01n

2.组合数性质： CnCn，CnCnCn„Cn2n 1，CnCn„

四、处理排列组合应用题

1.①明确要完成的是一件什么事（审题） ②有序还是无序 ③分步还是分类。 2．解排列、组合题的基本策略

（1）两种思路：①直接法；②间接法（2）分类处理；（3）分步处理；

（4）两种途径：①元素分析法；②位置分析法。 3．排列组合应用题：

（1）穷举法（列举法）：将所有满足题设条件的排列与组合逐一列举出来；（2）特殊元素优先考虑、特殊位置优先考虑；（3）排列组合混合问题先选后排；（4）相邻问题：捆邦法；（5）不相邻问题：插空法；

（6）顺序一定，除法处理。先排后除或先定后插

（7）“小团体”排列问题——采用先整体后局部策略（8）分排问题用“直排法”处理；（9）构造模型（隔板法）；（10）正难则反。五、二项式定理

1.二项展开式的通项公式：Tr1Crnanrbr(r0，1„„n)

它是(a+b)n的二项展开式的第r+1项，而不是第r项；（r=0的情形不要忽视） r

Cn为二项式系数（区别于该项的系数）

2、二项式定理的应用

① 求二项展开式中的任何一项，特别是常数项（变量的指数为0）、有理项（指数为整数）； ② 证明整除或求余数；

③ 利用赋值法证明某些组合恒等式； ④ 近似计算。

r

4.二项式系数的性质：（1）对称性：CrnCnr0，1，2，„„，n n

（3）互斥事件（互不相容事件）：“A与B不能同时发生”叫做A、B互斥。

（并）。（4）事件的和（并）：AB或AB“A与B至少有一个发生”叫做A与B的和

（4）事件的积（交）：A·B或AB“A与B同时发生”叫做A与B的积。（6）对立事件（互逆事件）： “A不发生”叫做A发生的对立（逆）事件A，A

（7）独立事件：A发生与否对B发生的概率没有影响，这样的两个事件叫做相

互独立事件。A与B独立，A与，与B与七、对某一事件概率的求法：

（1）等可能事件的概率（古典概型）P(A)

A包含的等可能结果m



一次试验的等可能结果的总数n

（2）若A、B互斥，则PABP(A)P

(B) 即分类相加；（3）若A、B相互独立，则PA·BPA·PB 即分步相乘；（4）P()1P(A)

（5）如果在一次试验中A发生的概率是p，那么在n次独立重复试验中A恰好发生k次的概率。

nkkk

即当X～B(n,p)时，Pn(k

)C

np1p

八、离散型随机变量

1.在射击、产品检验等例子中，对于随机变量X可能取的值，我们可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量． 2、称表

为离散型随机变量X 的概率分布，简称分布列

性质：① 0≤pi≤1, i =1，2， „ ② p1 + p2 +„+pn= 1．

③ 一般地，离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和。 3.公式：期望（平均数、均值） E(X)＝x1p1＋x2p2＋„＋xnpn

方差:D（X）=（x1-E(X))2·P1+ （x2-E(X))2·P2 + „ + （xn-E(X))2·Pn

说明（1）数学期望的一个特征数，它反映了离散型随机变量取值的平均水平；

(2) D（X

X的标准差；

(3) (4)性质：EaXbaE(X)b DaXba2D(X)

4．二项分布：

线，向它无限靠近；

④当一定时，曲线的形状由确定．越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散；越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中；

⑤ σ相同时,正态分布曲线的位置由期望值μ来决定； ⑥ 态曲线下的总面积等于1. 2、3原则：

从上表看到,正态总体在 (2,2) 以外取值的概率只有4.6%,在 (3,3)以外取值的概率只有0.3% 由于这些概率很小,通常称这些情况发生为小概率事件.也就是说,通常认为这些情况在一次试验中几乎是不可能发生的. 第三章统计案例 1、独立性检验

假设有两个分类变量X和Y，它们的值域分另为{x1, x2}和{y1, y2}，其样本频数列联表为： x1 x2 总计

y1 a c a+c

y2 b d b+d

总计 a+b c+d a+b+c+d

其中0

6、超几何分布：一般地, 设总数为N件的两类物品，其中一类有M件，从所有物品中任取n(n≤N)件,这n件中所含这类物品件数X是一个离散型随机变量，

knkCMCNM

则它取值为k时的概率为P(Xk)(k0,1,2,,m)， n

其中mminM,n,且n≤N,M≤N,n,M,NN*

7、条件概率：对任意事件A和事件B，在已知事件A发生的条件下事件B发生的概率，叫做条件概率.记作P(B|A)，读作A发生的条件下B的概率 8、公式：

九、正态分布：若概率密度曲线就是或近似地是函数

P(B|A)

P(AB)

,P(A)0.P(A)



若要推断的论述为H1：“X与Y有关系”，可以利用独立性检验来考察两个变量是否有关系，并且能较

精确地给出这种判断的可靠程度。具体的做法是，由表中的数据算出随机变量K^2的值（即K的平方） K2 = n (ad - bc) 2 / [(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)]，其中n=a+b+c+d为样本容量， K2的值越大，说明“X与Y有关系”成立的可能性越大。

K2≤3.841时，X与Y无关； K2>3.841时，X与Y有95%可能性有关；K2>6.635时X与Y有99%可能性有关 2、回归分析

ˆabx （1）回归直线方程y

f(x)

e2(x)22,x(,)

xy(x)(y)SPab 其中b, 21SSx

(x)x2n(x2)

（2）相关系数r检验性质：

︱r ︳≤1，︱r ︳并且越接近于1，线性相关程度越强，︱r ︳越接近于0，线性相关程度越弱。

xy

（3）相关指数R2 越接近1，表示回归的效果越好。

（0)是参数，分别表示总体的平均数与标准差．的图像，其中解析式中的实数、

则其分布叫正态分布,记作：N(,)，f( x )的图象称为正态曲线。 1、基本性质：

①曲线在x轴的上方，与x轴不相交；

②曲线关于直线x=对称，且在x=时位于最高点.

③当时x，曲线上升；当时x，曲线下降．并且当曲线向左、右两边无限延伸时，以x轴为渐近