二次函数知识点总结及典型例题
一、二次函数的概念和图像
1、二次函数的概念：一般地，如果y =ax 2+bx +c (a , b , c 是常数，a ≠0) ，那么y 叫做x 的二次函数。y =ax 2+bx +c (a , b , c 是常数，a ≠0) 叫做二次函数的一般式。
2、二次函数的图像 ： 二次函数的图像是一条关于x =-
b
对称的曲线，这条曲线叫抛物线。 2a
抛物线的主要特征：①有开口方向；②有对称轴；③有顶点。 二、二次函数的解析式
二次函数的解析式有三种形式：
（1）一般式：y =ax 2+bx +c (a , b , c 是常数，a ≠0) （2）顶点式：y =a (x -h ) 2+k (a , h , k 是常数，a ≠0)
（3）两根式y =a (x -x 1)(x -x 2) 如果没有交点，则不能这样表示。 三、二次函数的性质 1、二次函数的性质
2、二次函数y =ax 2+bx +c (a , b , c 是常数，a ≠0) 中，a 、b 、c 的含义：
a 表示开口方向：a >0时，抛物线开口向上 a
b 与对称轴有关：对称轴为x=-
b
（0，c ） c 表示抛物线与y 轴的交点坐标：
2a
3、二次函数与一元二次方程的关系
一元二次方程的解是其对应的二次函数的图像与x 轴的交点坐标。
因此一元二次方程中的∆=b 2-4ac ，在二次函数中表示图像与x 轴是否有交点。
当∆>0时，图像与x 轴有两个交点；当∆=0时，图像与x 轴有一个交点；当∆
2、函数平移规律 左加右减、上加下减 四、二次函数的最值
如果自变量的取值范围是全体实数，那么函数在顶点处取得最大值（或最小值），即当x =-
y 最值
4ac -b 2
=。
4a
b
是否在自变量取值范围x 1≤x ≤x 2内，若2a
b
时，2a
如果自变量的取值范围是x 1≤x ≤x 2，那么，首先要看-
4ac -b 2b
在此范围内，则当x=-时，y 最值=；
2a 4a
若不在此范围内，则需要考虑函数在x 1≤x ≤x 2范围内的增减性，
二次函数题型分类： 二次函数的定义
1、下列函数中，是二次函数的是 .
222
①y=x－4x+1； ②y=2x； ③y=2x+4x； ④y=－3x ；
⑤y=－2x －1； ⑥y=mx2+nx+p； ⑦y =(4,x) ； ⑧y=－5x 。
2、若函数y=(m－2)x m －2+5x+1是关于x 的二次函数，则m 的值为 。 二次函数的对称轴、顶点、最值
1．抛物线y=2x2+4x+m2－m 经过坐标原点，则m 的值为 。 2．抛物线y ＝x 2＋3x 的顶点在( )
A. 第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
1
3．已知抛物线y ＝x 2＋(m－1)x － 的顶点的横坐标是2，则m 的值是_ .
4
4．抛物线y=x2+2x－3的对称轴是。
5．若二次函数y=3x2+mx－3的对称轴是直线x ＝1，则m ＝。 6. 已知二次函数y=x2－4x+m－3的最小值为3，则m ＝ 。 函数y=ax2+bx+c的图象和性质
1．抛物线y=x2+4x+9的对称轴是 。
2．抛物线y=2x2－12x+25的开口方向是 ，顶点坐标是 。 函数y=a(x－h) 2的图象与性质 1．填表：
二次函数的平移
3
1. 抛物线y= － x 2向左平移3个单位，再向下平移4个单位，所得到的抛物线的关系式
2
为 。
2. 抛物线y= 2x2， ，可以得到y=2(x+4}2－3。
3. 将抛物线y=x2+1向左平移2个单位，再向下平移
3
个单位，所得到的抛物线的关系式
为
。
4. 如果将抛物线y=2x2－1的图象向右平移3个单位，所得到的抛物线的关系式为 。
函数的交点
1. 抛物线y=x2+7x+3与直线y=2x+9的交点坐标为 2. 直线y=7x+1与抛物线y=x2+3x+5的图象有
函数的图象特征与a 、b 、c 的关系
1. 已知抛物线y=ax2+bx+c的图象如右图所示，则a 、b 、c 的符号为（ ） A.a>0,b>0,c>0 B.a>0,b>0,c=0 C.a>0,b0,b
2. 当b
c
3. 在同一坐标系中，函数y= ax2+c与y= (a
x
A B C D
二次函数与x 轴、y 轴的交点（二次函数与一元二次方程的关系） 1. 如果二次函数y ＝x 2＋4x ＋c 图象与x 轴没有交点，其中c 为整数，则c ＝ （写一个即可）
2
2. 二次函数y ＝x -2x-3图象与x 轴交点之间的距离为 3. 抛物线y ＝－3x 2＋2x －1的图象与x 轴交点的个数是( )
A.没有交点 B.只有一个交点 C.有两个交点 D.有三个交点 函数解析式的求法
2
一、已知抛物线上任意三点时，通常设解析式为一般式y=ax+bx+c，然后解三元方程组求解； 1．已知二次函数的图象经过A （0，3）、B （1，3）、C （－1，1）三点，求该二次函数的解析式。
二、已知抛物线的顶点坐标，或抛物线上纵坐标相同的两点和抛物线上另一点时，通常设解析式为顶点式y=a(x－h) 2+k求解。
1．已知二次函数的图象的顶点坐标为（1，－6），且经过点（2，－8），求该二次函数的解析式。
2.已知二次函数的图象的顶点坐标为（1，－3），且经过点P （2，0）点，求二次函数的解析式。
三、已知抛物线与轴的交点的坐标时，通常设解析式为交点式y=a(x－x 1)(x－x 2) 。
1．当二次函数图象与x 轴交点的横坐标分别是x 1= －3，x 2=1时，且与y 轴交点为（0，－2），求这个二次函数的解析式
二次函数知识点总结及典型例题
一、二次函数的概念和图像
1、二次函数的概念：一般地，如果y =ax 2+bx +c (a , b , c 是常数，a ≠0) ，那么y 叫做x 的二次函数。y =ax 2+bx +c (a , b , c 是常数，a ≠0) 叫做二次函数的一般式。
2、二次函数的图像 ： 二次函数的图像是一条关于x =-
b
对称的曲线，这条曲线叫抛物线。 2a
抛物线的主要特征：①有开口方向；②有对称轴；③有顶点。 二、二次函数的解析式
二次函数的解析式有三种形式：
（1）一般式：y =ax 2+bx +c (a , b , c 是常数，a ≠0) （2）顶点式：y =a (x -h ) 2+k (a , h , k 是常数，a ≠0)
（3）两根式y =a (x -x 1)(x -x 2) 如果没有交点，则不能这样表示。 三、二次函数的性质 1、二次函数的性质
2、二次函数y =ax 2+bx +c (a , b , c 是常数，a ≠0) 中，a 、b 、c 的含义：
a 表示开口方向：a >0时，抛物线开口向上 a
b 与对称轴有关：对称轴为x=-
b
（0，c ） c 表示抛物线与y 轴的交点坐标：
2a
3、二次函数与一元二次方程的关系
一元二次方程的解是其对应的二次函数的图像与x 轴的交点坐标。
因此一元二次方程中的∆=b 2-4ac ，在二次函数中表示图像与x 轴是否有交点。
当∆>0时，图像与x 轴有两个交点；当∆=0时，图像与x 轴有一个交点；当∆
2、函数平移规律 左加右减、上加下减 四、二次函数的最值
如果自变量的取值范围是全体实数，那么函数在顶点处取得最大值（或最小值），即当x =-
y 最值
4ac -b 2
=。
4a
b
是否在自变量取值范围x 1≤x ≤x 2内，若2a
b
时，2a
如果自变量的取值范围是x 1≤x ≤x 2，那么，首先要看-
4ac -b 2b
在此范围内，则当x=-时，y 最值=；
2a 4a
若不在此范围内，则需要考虑函数在x 1≤x ≤x 2范围内的增减性，
二次函数题型分类： 二次函数的定义
1、下列函数中，是二次函数的是 .
222
①y=x－4x+1； ②y=2x； ③y=2x+4x； ④y=－3x ；
⑤y=－2x －1； ⑥y=mx2+nx+p； ⑦y =(4,x) ； ⑧y=－5x 。
2、若函数y=(m－2)x m －2+5x+1是关于x 的二次函数，则m 的值为 。 二次函数的对称轴、顶点、最值
1．抛物线y=2x2+4x+m2－m 经过坐标原点，则m 的值为 。 2．抛物线y ＝x 2＋3x 的顶点在( )
A. 第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
1
3．已知抛物线y ＝x 2＋(m－1)x － 的顶点的横坐标是2，则m 的值是_ .
4
4．抛物线y=x2+2x－3的对称轴是。
5．若二次函数y=3x2+mx－3的对称轴是直线x ＝1，则m ＝。 6. 已知二次函数y=x2－4x+m－3的最小值为3，则m ＝ 。 函数y=ax2+bx+c的图象和性质
1．抛物线y=x2+4x+9的对称轴是 。
2．抛物线y=2x2－12x+25的开口方向是 ，顶点坐标是 。 函数y=a(x－h) 2的图象与性质 1．填表：
二次函数的平移
3
1. 抛物线y= － x 2向左平移3个单位，再向下平移4个单位，所得到的抛物线的关系式
2
为 。
2. 抛物线y= 2x2， ，可以得到y=2(x+4}2－3。
3. 将抛物线y=x2+1向左平移2个单位，再向下平移
3
个单位，所得到的抛物线的关系式
为
。
4. 如果将抛物线y=2x2－1的图象向右平移3个单位，所得到的抛物线的关系式为 。
函数的交点
1. 抛物线y=x2+7x+3与直线y=2x+9的交点坐标为 2. 直线y=7x+1与抛物线y=x2+3x+5的图象有
函数的图象特征与a 、b 、c 的关系
1. 已知抛物线y=ax2+bx+c的图象如右图所示，则a 、b 、c 的符号为（ ） A.a>0,b>0,c>0 B.a>0,b>0,c=0 C.a>0,b0,b
2. 当b
c
3. 在同一坐标系中，函数y= ax2+c与y= (a
x
A B C D
二次函数与x 轴、y 轴的交点（二次函数与一元二次方程的关系） 1. 如果二次函数y ＝x 2＋4x ＋c 图象与x 轴没有交点，其中c 为整数，则c ＝ （写一个即可）
2
2. 二次函数y ＝x -2x-3图象与x 轴交点之间的距离为 3. 抛物线y ＝－3x 2＋2x －1的图象与x 轴交点的个数是( )
A.没有交点 B.只有一个交点 C.有两个交点 D.有三个交点 函数解析式的求法
2
一、已知抛物线上任意三点时，通常设解析式为一般式y=ax+bx+c，然后解三元方程组求解； 1．已知二次函数的图象经过A （0，3）、B （1，3）、C （－1，1）三点，求该二次函数的解析式。
二、已知抛物线的顶点坐标，或抛物线上纵坐标相同的两点和抛物线上另一点时，通常设解析式为顶点式y=a(x－h) 2+k求解。
1．已知二次函数的图象的顶点坐标为（1，－6），且经过点（2，－8），求该二次函数的解析式。
2.已知二次函数的图象的顶点坐标为（1，－3），且经过点P （2，0）点，求二次函数的解析式。
三、已知抛物线与轴的交点的坐标时，通常设解析式为交点式y=a(x－x 1)(x－x 2) 。
1．当二次函数图象与x 轴交点的横坐标分别是x 1= －3，x 2=1时，且与y 轴交点为（0，－2），求这个二次函数的解析式