２０１２年第２期
圆锥曲线焦点弦长公式及其应用
■王智红
利用圆锥曲线 焦点弦是过圆锥曲线焦点的一类特殊弦，
的定义和余弦定理可以推导出圆锥曲线统一焦点弦长公式．整理如下，并说明其应用，供同学们参考．
２２
，例１ 若双曲线２－两焦点的坐标１（ａ＞０，ｂ＞０）２＝ａｂ
），），为Ｆ倾斜角为α的直线ｌ过Ｆ１，交双曲线－ｃ，０Ｆｃ，０１（２（
用同样的方法可以得出，焦点在ｘ轴上的椭圆的焦点弦长．
２２
ＡＢ｜｜＝２２２＝２２２
ａ－ｃｃｏｓα｜ａ－ｃｃｏｓα｜２＝＝．２２２
ｃ１－ｅｃｏｓ｜α｜２
１－２ｏｓα｜｜
ａ
焦点在ｙ轴上的椭圆的焦点弦长：２ａｂ２ＡＢ．｜｜＝２２２＝２２
ａ－ｃｓｉｎα｜１－ｅｓｉｎα｜
２
），例２ 若抛物线ｙ焦点为Ｆ，倾斜＝２ｘ（０，ｐｐ＞０
２
角为α的直线ｌ过Ｆ，交抛物线于Ａ、求弦长｜Ｂ两点，ＡＢ｜
．
于Ａ、求弦长｜Ｂ两点，ＡＢ｜
．
（），解：如图１当Ａ、１Ｂ在连接Ｆ双曲线同一支上时，Ａ，２设ＦＢ，ＦＡＦＢ｜｜＝ｍ，｜｜＝ｎ，２１１
则双曲线定义可得：
ＦＡａ＋ｍ，｜｜＝２２
）
４６
ＦＢａ＋ｎ．｜｜＝２２
由余弦定理可得（２ａ＋
２２
ｍ）＝ｍ２＋（２ｃ）－２ｍ·
解：如图３，过Ａ、Ｂ分别向准线ｌ′
图１
作垂线Ａ设Ａ′，ＢＢ′，Ａ′、Ｂ′为垂足．
则Ａ点的横坐ＦＡＦＢ｜｜＝ｍ，｜｜＝ｎ，
２ｃｃｏｓα．
２
整理可得ｍ＝．ａ＋ｃｃｏｓα２同理ｎ＝．ａ－ｃｃｏｓα
标为＋ｍｃｏｓＢ点的横坐标为α，
２２
由抛物线定义可得－ｎｃｏｓα，
２２
＋＝
ａ＋ｃｃｏｓａ－ｃｃｏｓαα
则弦长｜ＡＢ｜＝ｍ＋ｎ＝
２
２ａｂ２２２．ａ－ｃｃｏｓα
（如图２，当Ａ、２）Ｂ在双
＋ｍｃｏｓ＝ｍ，－α＋２２２ｎｃｏｓα＋
即ｍ＝，ｎ＝＝ｎ，２１－ｃｏｓα
图３
，则ｍ＋ｎ＝２．１＋ｃｏｓ１－ｃｏｓαα
２
）所以ｙ的焦点弦长｜ｘ（＝２ＡＢ．｜＝ｐｐ≠０２１－ｃｏｓα
曲线的两支上时，连接ＦＡ，２
设｜ＦＢ，ＦＡ｜＝ｍ，ＦＢ｜｜＝２１１则双曲线定义可得：ｎ，ＦＡａ＋ｍ，ＦＢ｜｜＝２｜｜＝２２
ｎ－２ａ．
由余弦定理可得（２ａ＋２２ｍ）＝ｍ２＋（２ｃ）－２ｍ·
２ｃｃｏｓα．
２２２
（）ｎ－２ａ）＝ｎ＋（２ｃ－２ｎ·２ｃｃｏｓα．
２
２
记通径ｑ＝｜离心率ｅ＝１，则｜２ＡＢ．｜，｜＝ｐ２２
１－ｅｃｏｓ｜α｜
２
）同理，抛物线ｘ的焦点弦长．＝２ｐｙ（ｐ≠０ＡＢ＝．｜｜＝２２２
１－ｓｉｎα｜１－ｅｓｉｎα｜
对比以上得到的双曲线、椭圆、抛物线焦点弦长公式，我们得到圆锥曲线的统一焦点弦长公式为：
，焦点在ｘ轴上，２１－ｅｃｏｓ｜α｜
其中ｑ为圆锥曲ＡＢ｜｜＝，焦点在ｙ轴上，２
１－ｅｓｉｎ｜α｜线的通径，ｅ为圆锥曲线的离心率，α为焦点弦的倾斜角．
２２
练习：过双曲线ｘ－ｙ＝４的右焦点作倾斜角为α的直
图２
ｂ，整理可得ｍ＝ｂｎ＝．
ａ＋ｃｃｏｓｃｃｏｓａαα－
则弦长｜ＡＢｎ－ｍ｜＝
２２２
＝－＝２２２．ｃｃｏｓａｃｃｏｓａｃｃｏｓα－ａα－α＋
）（）由（知，焦点在ｘ轴上的双曲线的焦点弦长｜１２ＡＢ｜＝
＝．２２２２
ａ－ｃｃｏｓα｜｜２
１－２ｏｓα｜｜
ａ
２
２ｂ，记通径ｑ＝２离心率ｅ＝ｃ，则｜ＡＢ．｜＝２２ａａ１－ｅｃｏｓ｜α｜
同理，焦点在ｙ轴上的双曲线的焦点弦长｜ＡＢ｜＝２
２＝＝．２２２２２２
ａ－ｃｓｉｎα１－ｅｓｉｎ｜｜｜α｜２
１－２ｉｎα｜｜
ａ
２
线交双曲线于Ａ、若线段Ａ则α的值为Ｂ两点，Ｂ的长为８，
．
２
，解：因ａ＝则通径由｜ｂ＝２ｃ＝２ｅ＝＝４，ＡＢ｜ａ２
２
得即从而ｃ＝８，＝８，＝８，ｏｓα＝２２２
４１－ｅｃｏｓα１－２ｃｏｓα｜｜｜｜
或
，即ｃ故α的值为ｏｓ．α＝±或±，
４２２３３６６
作者单位：河南省新安县第五高级中学
２０１２年第２期
圆锥曲线焦点弦长公式及其应用
■王智红
利用圆锥曲线 焦点弦是过圆锥曲线焦点的一类特殊弦，
的定义和余弦定理可以推导出圆锥曲线统一焦点弦长公式．整理如下，并说明其应用，供同学们参考．
２２
，例１ 若双曲线２－两焦点的坐标１（ａ＞０，ｂ＞０）２＝ａｂ
），），为Ｆ倾斜角为α的直线ｌ过Ｆ１，交双曲线－ｃ，０Ｆｃ，０１（２（
用同样的方法可以得出，焦点在ｘ轴上的椭圆的焦点弦长．
２２
ＡＢ｜｜＝２２２＝２２２
ａ－ｃｃｏｓα｜ａ－ｃｃｏｓα｜２＝＝．２２２
ｃ１－ｅｃｏｓ｜α｜２
１－２ｏｓα｜｜
ａ
焦点在ｙ轴上的椭圆的焦点弦长：２ａｂ２ＡＢ．｜｜＝２２２＝２２
ａ－ｃｓｉｎα｜１－ｅｓｉｎα｜
２
），例２ 若抛物线ｙ焦点为Ｆ，倾斜＝２ｘ（０，ｐｐ＞０
２
角为α的直线ｌ过Ｆ，交抛物线于Ａ、求弦长｜Ｂ两点，ＡＢ｜
．
于Ａ、求弦长｜Ｂ两点，ＡＢ｜
．
（），解：如图１当Ａ、１Ｂ在连接Ｆ双曲线同一支上时，Ａ，２设ＦＢ，ＦＡＦＢ｜｜＝ｍ，｜｜＝ｎ，２１１
则双曲线定义可得：
ＦＡａ＋ｍ，｜｜＝２２
）
４６
ＦＢａ＋ｎ．｜｜＝２２
由余弦定理可得（２ａ＋
２２
ｍ）＝ｍ２＋（２ｃ）－２ｍ·
解：如图３，过Ａ、Ｂ分别向准线ｌ′
图１
作垂线Ａ设Ａ′，ＢＢ′，Ａ′、Ｂ′为垂足．
则Ａ点的横坐ＦＡＦＢ｜｜＝ｍ，｜｜＝ｎ，
２ｃｃｏｓα．
２
整理可得ｍ＝．ａ＋ｃｃｏｓα２同理ｎ＝．ａ－ｃｃｏｓα
标为＋ｍｃｏｓＢ点的横坐标为α，
２２
由抛物线定义可得－ｎｃｏｓα，
２２
＋＝
ａ＋ｃｃｏｓａ－ｃｃｏｓαα
则弦长｜ＡＢ｜＝ｍ＋ｎ＝
２
２ａｂ２２２．ａ－ｃｃｏｓα
（如图２，当Ａ、２）Ｂ在双
＋ｍｃｏｓ＝ｍ，－α＋２２２ｎｃｏｓα＋
即ｍ＝，ｎ＝＝ｎ，２１－ｃｏｓα
图３
，则ｍ＋ｎ＝２．１＋ｃｏｓ１－ｃｏｓαα
２
）所以ｙ的焦点弦长｜ｘ（＝２ＡＢ．｜＝ｐｐ≠０２１－ｃｏｓα
曲线的两支上时，连接ＦＡ，２
设｜ＦＢ，ＦＡ｜＝ｍ，ＦＢ｜｜＝２１１则双曲线定义可得：ｎ，ＦＡａ＋ｍ，ＦＢ｜｜＝２｜｜＝２２
ｎ－２ａ．
由余弦定理可得（２ａ＋２２ｍ）＝ｍ２＋（２ｃ）－２ｍ·
２ｃｃｏｓα．
２２２
（）ｎ－２ａ）＝ｎ＋（２ｃ－２ｎ·２ｃｃｏｓα．
２
２
记通径ｑ＝｜离心率ｅ＝１，则｜２ＡＢ．｜，｜＝ｐ２２
１－ｅｃｏｓ｜α｜
２
）同理，抛物线ｘ的焦点弦长．＝２ｐｙ（ｐ≠０ＡＢ＝．｜｜＝２２２
１－ｓｉｎα｜１－ｅｓｉｎα｜
对比以上得到的双曲线、椭圆、抛物线焦点弦长公式，我们得到圆锥曲线的统一焦点弦长公式为：
，焦点在ｘ轴上，２１－ｅｃｏｓ｜α｜
其中ｑ为圆锥曲ＡＢ｜｜＝，焦点在ｙ轴上，２
１－ｅｓｉｎ｜α｜线的通径，ｅ为圆锥曲线的离心率，α为焦点弦的倾斜角．
２２
练习：过双曲线ｘ－ｙ＝４的右焦点作倾斜角为α的直
图２
ｂ，整理可得ｍ＝ｂｎ＝．
ａ＋ｃｃｏｓｃｃｏｓａαα－
则弦长｜ＡＢｎ－ｍ｜＝
２２２
＝－＝２２２．ｃｃｏｓａｃｃｏｓａｃｃｏｓα－ａα－α＋
）（）由（知，焦点在ｘ轴上的双曲线的焦点弦长｜１２ＡＢ｜＝
＝．２２２２
ａ－ｃｃｏｓα｜｜２
１－２ｏｓα｜｜
ａ
２
２ｂ，记通径ｑ＝２离心率ｅ＝ｃ，则｜ＡＢ．｜＝２２ａａ１－ｅｃｏｓ｜α｜
同理，焦点在ｙ轴上的双曲线的焦点弦长｜ＡＢ｜＝２
２＝＝．２２２２２２
ａ－ｃｓｉｎα１－ｅｓｉｎ｜｜｜α｜２
１－２ｉｎα｜｜
ａ
２
线交双曲线于Ａ、若线段Ａ则α的值为Ｂ两点，Ｂ的长为８，
．
２
，解：因ａ＝则通径由｜ｂ＝２ｃ＝２ｅ＝＝４，ＡＢ｜ａ２
２
得即从而ｃ＝８，＝８，＝８，ｏｓα＝２２２
４１－ｅｃｏｓα１－２ｃｏｓα｜｜｜｜
或
，即ｃ故α的值为ｏｓ．α＝±或±，
４２２３３６６
作者单位：河南省新安县第五高级中学