2010年—立体几何—异面直线夹角、线面角
（2010全国卷1文数）(6)直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，若∠BAC =90︒，AB =AC =AA 1，
则异面直线BA 1与AC 1所成的角等于 (A)30° (B)45°(C)60° (D)90°
（2010全国卷1文数）（9）正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，
BB 1与平面ACD 1所成角的余弦值为
（A ）
2
（B ） （C ） （D ）
3333
（2010全国卷2文数）（8）已知三棱锥S -ABC 中，底面ABC 为边长等于2的等边三角形，SA 垂直于底面ABC ，SA =3
，那么直线AB 与平面SBC 所成角的正弦值为
（A ）
解 答
（2010全国卷1文数）(6)直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，若∠BAC =90︒，AB =AC =AA 1，
则异面直线BA 1与AC 1所成的角等于 (A)30° (B)45° (C)60° (D)90°
6.C 【命题意图】本小题主要考查直三棱柱ABC -A 1B 1C 1的性质、异面直线所成的角、异面直线所成的角的求法.
【解析】延长CA 到D ，使得AD =AC ，则ADAC 11为平行四边形，∠DA 1B 就是异面直线
（2010全国卷1文数）（9）正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，
BB 1与平面ACD 1所成角的余弦值为 （A ）
3 (B)
(C) (D)
42 （B （C ） （D 33
9.D 【命题意图】本小题主要考查正方体的性质、直线与平面所成的角、点到平面的距离的求法，利用等体积转化求出D 到平面AC D 1的距离是解决本题的关键所在, 这也是转化思想的具体体现.
A 1
A
C B
1
1
C 1
【解析1】因为BB 1//DD1, 所以B B 1与平面相等, 设
DO ⊥平面
AC D 1所成角和DD 1与平面AC D 1所成角
1
1
AC D 1，由等体积法得V D -ACD =V D -ACD , 即
11
S ∆ACD 1⋅DO =S ∆ACD ⋅DD 1. 设DD 1=a,
33
则S ∆ACD 1=
11112
CD =a 2. AC AD 1sin 60 =⨯) 2=a , S ∆ACD =AD 2222S ∆A C D D D 31
a , 记DD 1与平面AC D 1所成角为θ,
则所
以D O =S ∆A C 1D sin θ=
DO ,
所以cos θ=. =
DD 13
【解析2】设上下底面的中心分别为O 1, O ；O 1O 与平面AC D 1所成角就是B B 1与平面AC D
1所成角，cos ∠O 1OD 1=
O 1O OD 1
=1/
=3（2010全国卷2文数）（8）已知三棱锥S -ABC 中，底面ABC 为边长等于2的等边三角形，SA 垂直于底面ABC ，SA =3，那么直线AB 与平面SBC 所成角的正弦值为
（A ）
3
(B) (C)
(D)
4【解析】D ：本题考查了立体几何的线与面、面与面位置关系及直线与平面所成角。
过A 作AE 垂直于BC 交BC 于E ，连结SE ，过A 作AF 垂直于SE 交S SE 于F ，连BF ，∵正三角形ABC ，∴ E为BC 中点，∵ BC⊥AE ，SA ⊥BC ，∴ BC⊥面SAE ，∴ BC⊥AF ，AF ⊥SE ，∴ AF⊥面SBC ，∵∠
AE =ABF 为直线AB 与面SBC 所成角，由正三角形边长3，∴
B
33
sin ∠ABF =
4 AS=3，∴
SE=AF=2，∴
A
2010年—立体几何—异面直线夹角、线面角
（2010全国卷1文数）(6)直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，若∠BAC =90︒，AB =AC =AA 1，
则异面直线BA 1与AC 1所成的角等于 (A)30° (B)45°(C)60° (D)90°
（2010全国卷1文数）（9）正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，
BB 1与平面ACD 1所成角的余弦值为
（A ）
2
（B ） （C ） （D ）
3333
（2010全国卷2文数）（8）已知三棱锥S -ABC 中，底面ABC 为边长等于2的等边三角形，SA 垂直于底面ABC ，SA =3
，那么直线AB 与平面SBC 所成角的正弦值为
（A ）
解 答
（2010全国卷1文数）(6)直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，若∠BAC =90︒，AB =AC =AA 1，
则异面直线BA 1与AC 1所成的角等于 (A)30° (B)45° (C)60° (D)90°
6.C 【命题意图】本小题主要考查直三棱柱ABC -A 1B 1C 1的性质、异面直线所成的角、异面直线所成的角的求法.
【解析】延长CA 到D ，使得AD =AC ，则ADAC 11为平行四边形，∠DA 1B 就是异面直线
（2010全国卷1文数）（9）正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，
BB 1与平面ACD 1所成角的余弦值为 （A ）
3 (B)
(C) (D)
42 （B （C ） （D 33
9.D 【命题意图】本小题主要考查正方体的性质、直线与平面所成的角、点到平面的距离的求法，利用等体积转化求出D 到平面AC D 1的距离是解决本题的关键所在, 这也是转化思想的具体体现.
A 1
A
C B
1
1
C 1
【解析1】因为BB 1//DD1, 所以B B 1与平面相等, 设
DO ⊥平面
AC D 1所成角和DD 1与平面AC D 1所成角
1
1
AC D 1，由等体积法得V D -ACD =V D -ACD , 即
11
S ∆ACD 1⋅DO =S ∆ACD ⋅DD 1. 设DD 1=a,
33
则S ∆ACD 1=
11112
CD =a 2. AC AD 1sin 60 =⨯) 2=a , S ∆ACD =AD 2222S ∆A C D D D 31
a , 记DD 1与平面AC D 1所成角为θ,
则所
以D O =S ∆A C 1D sin θ=
DO ,
所以cos θ=. =
DD 13
【解析2】设上下底面的中心分别为O 1, O ；O 1O 与平面AC D 1所成角就是B B 1与平面AC D
1所成角，cos ∠O 1OD 1=
O 1O OD 1
=1/
=3（2010全国卷2文数）（8）已知三棱锥S -ABC 中，底面ABC 为边长等于2的等边三角形，SA 垂直于底面ABC ，SA =3，那么直线AB 与平面SBC 所成角的正弦值为
（A ）
3
(B) (C)
(D)
4【解析】D ：本题考查了立体几何的线与面、面与面位置关系及直线与平面所成角。
过A 作AE 垂直于BC 交BC 于E ，连结SE ，过A 作AF 垂直于SE 交S SE 于F ，连BF ，∵正三角形ABC ，∴ E为BC 中点，∵ BC⊥AE ，SA ⊥BC ，∴ BC⊥面SAE ，∴ BC⊥AF ，AF ⊥SE ，∴ AF⊥面SBC ，∵∠
AE =ABF 为直线AB 与面SBC 所成角，由正三角形边长3，∴
B
33
sin ∠ABF =
4 AS=3，∴
SE=AF=2，∴
A