变化率与导数、导数的计算
自我检测:
1.(教材习题改编) 若f (x ) =x e ,则f ′(1)=( )
A .0 B .e C.2e
D .e
2
x
2.曲线y =x ln x 在点(e,e) 处的切线与直线x +ay =1垂直,则实数a 的值为( )
A .2
1
B .-2
1D .-
2
1232
3.(教材习题改编) 某质点的位移函数是s (t ) =2t -(g =10 m/s) ,则当t =2 s 时,它
2的加速度是( ) A .14 m/s
2
B .4 m/s C.10 m/s
3
22
D .-4 m/s
2
4.(2012·广东高考) 曲线y =x -x +3在点(1,3)处的切线方程为________. 5.函数y =x cos x -sin x 的导数为________.
解析:y ′=(x cos x )′-(sin x )′=x ′cos x +x (cos x )′-cos x
=cos x -x sin x -cos x =-x sin x . 答案:-x sin x
[例1] e +1(1)y =x sin x ; (2)y =
e -1
2
x
练习1.求下列函数的导数.
⎛211⎫x
(1)y =e ·ln x ; (2)y =x x ++3⎪;
⎝
x x ⎭
[例2] y 轴交点的纵坐标
是( )
A .-9 B .-3 C.9
(2)设函数f (x ) =g (x ) +x ,曲线y =g (x ) 在点(1,g (1))处的切线方程为y =2x +1,则曲线
2
D .15
y =f (x ) 在点(1,f (1))处切线的斜率为( )
1A
4
若例2(1)变为:曲线y =x +11,求过点P (0,13)且与曲线相切的直线方程.
练习2.(1)(2012·新课标全国卷) 曲线y =x (3ln x +1) 在点(1,1)处的切线方程为________.
11
(2)(2013·乌鲁木齐诊断性测验) 直线y +b 与曲线y =-+ln x 相切,则b 的值
22为( ) A .-2
3
B .2 C.4
1D 2
1
B .-1C
2
D .1
变化率与导数、导数的计算作业
1.设函数f (x ) 是R 上以5为周期的可导偶函数,则曲线y =f (x ) 在x =5处的切线的斜率11
为( )A .- B.0 C..5
55
2.函数f (x ) 是定义在(0,+∞) 上的可导函数,且满足f (x )>0,xf ′(x ) +f (x )b ,则必有 A .af (b )
( ) .
D .bf (b )
B .bf (a )
1
3.已知函数f (x ) =x 3+2ax 2a (a >0),则f (2)的最小值为( ) . 3
A .122
12
B .12+8a +a C .8+8a a
D .16
4.已知函数f (x ) 的导函数为f ′(x ) ,且满足f (x ) =2xf ′(1)+ln x ,则f ′(1)=( ) . A .-e B.-1 C.1 D.e
5.等比数列{a n }中,a 1=2,a 8=4,函数f (x ) =x (x -a 1)(x -a 2)…(x -a 8) ,则f ′(0)=( ) . A .2 B.2 C.2 D.2
6.已知函数f ′(x ) ,g ′(x ) 分别是二次函数f (x ) 和三次函数g (x ) 的导函数,它们在同一坐标系下的图象如图所示,设函数h (x ) =f (x ) -g (x ) ,则 ( ) . A .h (1)
8.若过原点作曲线y =e 的切线,则切点的坐标为________,切线的斜率为________. 9.已知函数f (x ) 在R 上满足f (x ) =2f (2-x ) -x +8x -8,则曲线y =f (x ) 在x =1处的导数f ′(1)=________.
10.同学们经过市场调查,得出了某种商品在2011年的价格y (单位:元) 与时间t (单位:月) t 2的函数关系为:y =2+(1≤t ≤12) ,则10月份该商品价格上涨的速度是______元/月.
20-t 11.求下列函数的导数:
e x +1
(1)y =(2x +1) ,(n ∈N ) ; (2)y =ln (x +1+x ) ; (3)y = (4)y =2x sin(2x +5) .
e -1
n
*
2
6
9
12
15
x
12.设函数f (x ) =x +2ax +bx +a ,g (x ) =x -3x +2,其中x ∈R ,a 、b 为常数,已知曲线y =f (x ) 与y =g (x ) 在点(2,0)处有相同的切线l . (1)求a 、b 的值,并写出切线l 的方程;
(2)若方程f (x ) +g (x ) =mx 有三个互不相同的实根0、x 1、x 2,其中x 1
322
b
13.设函数f (x ) =ax -x y =f (x ) 在点(2,f (2))处的切线方程为7x -4y -12=0. (1)求f (x ) 的解析式;
(2)证明:曲线y =f (x ) 上任一点处的切线与直线x =0和直线y =x 所围成的三角形面积为定值,并求此定值.
314.设f (x ) =ln(x +1) +x +1+ax +b (a ,b ∈R ,a ,b ,为常数) ,曲线y =f (x ) 与直线y =x
2在(0,0)点相切.
9x
(1)求a ,b 的值; (2)证明:当0
x +6
变化率与导数、导数的计算
自我检测:
1.(教材习题改编) 若f (x ) =x e ,则f ′(1)=( )
A .0 B .e C.2e
D .e
2
x
2.曲线y =x ln x 在点(e,e) 处的切线与直线x +ay =1垂直,则实数a 的值为( )
A .2
1
B .-2
1D .-
2
1232
3.(教材习题改编) 某质点的位移函数是s (t ) =2t -(g =10 m/s) ,则当t =2 s 时,它
2的加速度是( ) A .14 m/s
2
B .4 m/s C.10 m/s
3
22
D .-4 m/s
2
4.(2012·广东高考) 曲线y =x -x +3在点(1,3)处的切线方程为________. 5.函数y =x cos x -sin x 的导数为________.
解析:y ′=(x cos x )′-(sin x )′=x ′cos x +x (cos x )′-cos x
=cos x -x sin x -cos x =-x sin x . 答案:-x sin x
[例1] e +1(1)y =x sin x ; (2)y =
e -1
2
x
练习1.求下列函数的导数.
⎛211⎫x
(1)y =e ·ln x ; (2)y =x x ++3⎪;
⎝
x x ⎭
[例2] y 轴交点的纵坐标
是( )
A .-9 B .-3 C.9
(2)设函数f (x ) =g (x ) +x ,曲线y =g (x ) 在点(1,g (1))处的切线方程为y =2x +1,则曲线
2
D .15
y =f (x ) 在点(1,f (1))处切线的斜率为( )
1A
4
若例2(1)变为:曲线y =x +11,求过点P (0,13)且与曲线相切的直线方程.
练习2.(1)(2012·新课标全国卷) 曲线y =x (3ln x +1) 在点(1,1)处的切线方程为________.
11
(2)(2013·乌鲁木齐诊断性测验) 直线y +b 与曲线y =-+ln x 相切,则b 的值
22为( ) A .-2
3
B .2 C.4
1D 2
1
B .-1C
2
D .1
变化率与导数、导数的计算作业
1.设函数f (x ) 是R 上以5为周期的可导偶函数,则曲线y =f (x ) 在x =5处的切线的斜率11
为( )A .- B.0 C..5
55
2.函数f (x ) 是定义在(0,+∞) 上的可导函数,且满足f (x )>0,xf ′(x ) +f (x )b ,则必有 A .af (b )
( ) .
D .bf (b )
B .bf (a )
1
3.已知函数f (x ) =x 3+2ax 2a (a >0),则f (2)的最小值为( ) . 3
A .122
12
B .12+8a +a C .8+8a a
D .16
4.已知函数f (x ) 的导函数为f ′(x ) ,且满足f (x ) =2xf ′(1)+ln x ,则f ′(1)=( ) . A .-e B.-1 C.1 D.e
5.等比数列{a n }中,a 1=2,a 8=4,函数f (x ) =x (x -a 1)(x -a 2)…(x -a 8) ,则f ′(0)=( ) . A .2 B.2 C.2 D.2
6.已知函数f ′(x ) ,g ′(x ) 分别是二次函数f (x ) 和三次函数g (x ) 的导函数,它们在同一坐标系下的图象如图所示,设函数h (x ) =f (x ) -g (x ) ,则 ( ) . A .h (1)
8.若过原点作曲线y =e 的切线,则切点的坐标为________,切线的斜率为________. 9.已知函数f (x ) 在R 上满足f (x ) =2f (2-x ) -x +8x -8,则曲线y =f (x ) 在x =1处的导数f ′(1)=________.
10.同学们经过市场调查,得出了某种商品在2011年的价格y (单位:元) 与时间t (单位:月) t 2的函数关系为:y =2+(1≤t ≤12) ,则10月份该商品价格上涨的速度是______元/月.
20-t 11.求下列函数的导数:
e x +1
(1)y =(2x +1) ,(n ∈N ) ; (2)y =ln (x +1+x ) ; (3)y = (4)y =2x sin(2x +5) .
e -1
n
*
2
6
9
12
15
x
12.设函数f (x ) =x +2ax +bx +a ,g (x ) =x -3x +2,其中x ∈R ,a 、b 为常数,已知曲线y =f (x ) 与y =g (x ) 在点(2,0)处有相同的切线l . (1)求a 、b 的值,并写出切线l 的方程;
(2)若方程f (x ) +g (x ) =mx 有三个互不相同的实根0、x 1、x 2,其中x 1
322
b
13.设函数f (x ) =ax -x y =f (x ) 在点(2,f (2))处的切线方程为7x -4y -12=0. (1)求f (x ) 的解析式;
(2)证明:曲线y =f (x ) 上任一点处的切线与直线x =0和直线y =x 所围成的三角形面积为定值,并求此定值.
314.设f (x ) =ln(x +1) +x +1+ax +b (a ,b ∈R ,a ,b ,为常数) ,曲线y =f (x ) 与直线y =x
2在(0,0)点相切.
9x
(1)求a ,b 的值; (2)证明:当0
x +6