直利教育2015年寒假
名师培优一对一教案
第2讲
双曲线的定义及标准方程
1、概念：如果把椭圆定义中的和改成差: |PF 1|-|PF 2|=2a 或|PF 2|-|PF 1|=2a , 即:
||PF 1|-|PF 2||=2a ，其中a >0动点的轨迹会发生什么变化呢？
①若MF 1-MF 2=2a =F 1F 2，则轨迹是线段F 1F 2的延长线； 若MF 2-MF 1的延长线； 1=2a =F 1F 2，则轨迹是线段F 2F ②若F 1F 2
③在0
[说明]通过对椭圆定义的类比，启发学生思考并发现2a 与F 1F 2的大小关系与动点的轨迹的变化规律.
（1）当2a 2c 时，无轨迹
2、概念形成 ⏹ 双曲线定义 定义：平面内到两定点F 1, F 2的距离的差的绝对值等于常数（小于F 1F 2）的点的轨迹叫双曲线. 这两个定点F 1, F 2叫做双曲线的焦点，两个焦点间的距离|F 1F 2|叫做焦距. ⏹ 双曲线定义中的注意点 在概念的理解中要注意：
（1）是平面内到两定点的距离之差的绝对值是一个非零正常数，且这个常数小于F 1F 2 . （2）当|PF 1|-|PF 2|=2a 时，动点的轨迹是与F 2对应的双曲线的一
支
， 木受绳则直，金就砺则利
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1
|PF 2|-|PF 1|=2a 时为双曲线的另一支.
3、双曲线的标准方程的推导
可以仿照求椭圆的标准方程的做法，求双曲线的标准方程．
如图8-12建系，设F 1F 2=2c ，取过点F 1、F 2的直线为x 轴，线段F 1F 2的中垂线为y 轴，建立直角坐标系，则F 1(-c , 0) 、F 2(c , 0) ，设M 是所求轨迹上的点. 依已知条件有
MF 1-MF 2=±2a ，
MF 1=(x +c ) 2+y 2
，
MF 2=(x -c ) 2+y 2，∴(x +c ) 2+y 2-(x -c ) 2+y 2=±2a ，
22
(x +c ) +y =±2a +
(x -c ) 2+y 2，±(a 2-cx ) =a (x -c ) 2+y 2 平方得：
（*）
再平方得：(a 2-c 2) x 2+a 2y 2=a 2(a 2-c 2) ，
即(c 2-a 2) x 2-a 2y 2=a 2(c 2-a 2) ，令b 2=c 2-a 2(c >b >0)
x 2y 2
则b x -a y =a b ，即2-2=1
a b
2
2
2
2
2
2
x 2y 2222
综上：焦点在x 轴上双曲线的标准方程是2-2=1①，其中c =a +b (c >a >0) ，
a b
焦点F 1(-c , 0) 、F 2(c , 0) .
[说明]对于标准方程的推导可以启发学生仿照求椭圆的标准方程的做法来完成，在建立直角
坐标系之前，可以让学生初步推断双曲线所具有的对称性，使建系更合理.
◆同样如果双曲线的焦点在y 轴上(图8－13) ，那么，此时的双曲线的标准方程又是怎样的呢？
焦点是F1(0，－c) 、F2(0，c) 时，a 、b 的意义同上，那么只要将方程①
y 2x 2
的x 、y 互换，就可以得到焦点在y 轴上双曲线的标准方程是2-2=1，
a b
其中c =a +b (c >a >0) ，焦点F 1(0, -c ) 、F 2(0, c ) .
[说明]双曲线的标准方程是指双曲线在标准状态下的方程，这里的标准状
态有两层含义：（1）双曲线的两个焦点均在坐标轴上，（2）这两个焦点的中心必须与原点重合. 从这一方面理解，双曲线的标准方程就是在特殊的直角坐标系下的方程.
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2
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定义及性质对比
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精题精讲
【例1】 判断下列方程是否表示双曲线，若是，求出三量a , b , c x 2y 2x 2y 2
-=1 ②-=1 ①4222
x 2y 2y 2x 222
-=-1 ④4y -9x =36 （2-2=1 ③4232
分析：双曲线标准方程的格式：平方差，x 项的系数是正的，那么焦点在x 轴上，x 项的分母是a ；y 2项的系数是正的，那么焦点在y 轴上，y 2项的分母是a 22
22
解：①是双曲线，a =2, b =
② 是双曲线，a =③是双曲线，a =
2, c =6 ；
2, b =2, c =2 ； 2, b =2, c =6 ；
④是双曲线，
a =3, b =2, c =【例2】已知双曲线两个焦点的坐标为F 1(-5, 0) ，F 2(5, 0) ，双曲线上一点P 到
F 1(-5, 0) ，F 2(5, 0) 的距离之差的绝对值等于6
解：因为双曲线的焦点在x 轴上，所以设它的标准方程为
x 2y 2
-2=1(a >0, b >02a b
∵2a =6, 2c =10 ∴a =3, c =5 ∴b =5-3=222
x 2y 2
-=1 所求双曲线标准方程为
916
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4
【例3】 已知双曲线的焦点在y 轴上，中心在原点，且点P 2(, 5) ，在此双1(3, -42) ，P 分析：由于已知焦点在y 轴上，中心在原点，所以双曲线的标准方程可用设出来，进
94
本题是用待定系数法来解的，得到的关于待定系数a , b 的一个分式方程组，并且分
母的次数是2，解这种方程组时利用换元法可将它化为二元二次方程组；也可将a 2, b 2的倒
解：因为双曲线的焦点在y 轴上，中心在原点，所以设所求双曲线的标准方程为
y 2x 2
-=1 （a >0, b >0） a 2b 2
⎧(-42) 232
11⎧-2=1⎪232⋅-9⋅=1b 22⎪⎪a a b 则有 ⎨，即⎨ 92
1811() 2⎪5⎪25⋅2-⋅2=1=1-16b a ⎩⎪2
b 2⎩a
解关于
111111
, =, 2= 的二元一次方程组，得222
16b 9a b a
所以，所求双曲线的标准方程为
y 2x 2
-=169
x 2y 2
【例4】 点A 位于双曲线2-2=1(a >0, b >0) 上，F 1, F 2是它的两个焦点，求∆AF 1F 2
a b
的重心G
分析：要求重心的轨迹方程，必须知道三角形的三个顶点的坐标，利用相关点法进行
解：设∆AF 1F 2的重心G 的坐标为(x , y ) ，则点A 的坐标为(3x , 3y ) . 因为点A 位于双曲线
x 2y 2
-2=1(a >0, b >0) 2a b
上，从而有
(3x ) 2(3y ) 2
-2=1(y ≠0) 2
a b
，即
x 2y 2x 2y 2
-=1(y ≠0) 所以，∆AF 1F 2的重心G 的轨迹方程为-=1(y ≠0) a 2b 2a 2b 2() () () () 3333
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5
【例5】 已知∆A B C 的底边BC 长为12，且底边固定，顶点A 是动点，使
1
sin B -sin C =sin A ，求点A 2
分析：首先建立坐标系，由于点A 的运动规律不易用坐标表示，注意条件的运用，可解：以底边BC 为x 轴，底边BC 的中点为原点建立xoy 坐标系，这时
1
B (-6, 0), C (6, 0) ，由sin B -sin C =sin A 得
2
1
b -c =a =6, 即|AC |-|AB |=
2
所以，点A 的轨迹是以B (-6, 0), C (6, 0) 为焦点，2a =6其方程为：
x 2y 2
-=1(x
点评：求轨迹方程的过程中，有一个重要的步骤就是找出(或联想到) 轨迹上的动点所满足的几何条件，列方程就是根据这些条件确定的，由于轨迹问题比较普遍，题型多样，有法，运用逻辑推理，结合平面几何的基本知识，分析、归纳，这里安排本例就是针对以上情
【例6】求下列动圆圆心M 的轨迹方程:
22
(1)与⊙C :(x +2)+y =2内切，且过点A （2，0）
2222
（2）与⊙C 1：x +(y -1) =1和⊙C 2:x +(y +1)=4都外切.
2222
（3）与⊙C 1:(x +3)+y =9外切，且与⊙C 2:(x -3) +y =1内切.
分析：这是圆与圆相切的问题，解题时要抓住关键点，即圆心与切点和关键线段，即半径与圆心距离. 如果相切的⊙C 1、⊙C 2的半径为r 1、r 2且r 1＞r 2，则当它们外切时，|O 1O 2|=r 1+r 2; 当它们内切时，|O 1O 2|=r 1-r 2. 解题中要注意灵活运用双曲线的定义求出轨迹方程.
解：设动圆M 的半径为r
(1)∵⊙C 1与⊙M 内切，点A 在⊙C 外∴|MC |=r -2,|MA |=r ,|MA |-|MC |=2
∴点M 的轨迹是以C 、A 为焦点的双曲线的左支，且有：a =
22227, c =2,b =c -a =∴双曲
22
2y 2
线方程为2x -=1(x ≤-2) 7
2
(2)∵⊙M 与⊙C 1、⊙C 2都外切∴|MC 1|=r +1,|MC 2|=r +2,|MC 2|-|MC 1|=1∴点M 的轨迹是以
C 2、C 1为焦点的双曲线的上支，且有：a =
12223, c =1,b =c -a =∴所求的双曲线方程为： 24
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6
34x 2
4y -=1(y ≥)
43
2
(3)∵⊙M 与⊙C 1外切，且与⊙C 2内切∴|MC 1|=r +3,|MC 2|=r -1,|MC 1|-|MC 2|=4
222
∴点M 的轨迹是以C 1、C 2为焦点的双曲线的右支，且有：a =2,c =3,b =c -a =5
x 2y 2
-=1(x ≥2) ∴所求双曲线方程为：45
x 2y 2-=1的右焦点分别为F 1、F 2，点P 在双曲线上的左支上且【例7】已知双曲线
916
|PF 1||PF 2|=32，求∠F 1PF 2的大小.
分析：一般地，求一个角的大小，通常要解这个角所在的三角形. 解：∵点P 在双曲线的左支上 ∴|PF 1|-|PF 2|=6
22
∴|PF 1|+|PF 2|-2|PF 1||PF 2|=36
22
∴|PF 1|+|PF 2|=100
2222
∵|F 1F 2|=4c =4(a +b )=100 ∴∠F 1PF 2=90° 评述：（1）巧妙地将双曲线的定义应用于解题当中，使问题得以简单化.
（2）题目的“点P 在双曲线的左支上”这个条件非常关键，应引起我们的重视，若将这一条件改为“点P 在双曲线上”结论如何改变呢？请读者试探索.
x 2
-y 2=1的两个焦点，点P 在双曲线上且满足∠F 1PF 2 【例8】已知F 1、F 2是双曲线4
=90°，求△F 1PF 2的面积.
分析：利用双曲线的定义及△F 1PF 2中的勾股定理可求△F 1PF 2的面积.
x 2
-y 2=1上的一个点且F 1、F 2为焦点. 解：∵P 为双曲线4
∴||PF 1|-|PF 2||=2a =4 |F 1F 2|=2c =25 ∵∠F 1PF 2=90° ∴在Rt △PF 1F 2中 |PF 1|+|PF 2|=|F 1F 2|=20
∵（|PF 1|-|PF 2|）2=|PF 1|2+|PF 2|2-2|PF 1||PF 2|=16 ∴20-2|PF 1||PF 2|=16 ∴|PF 1|²|PF 2|=2
∴S ∆F 1PF 2=
2
2
2
F PF 12
|PF 1|²|PF 2|=1由此题可归纳出S △F1PF2=bcot ∠12评述：双曲线定义的应22
用在解题中起了关键性的作用.
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综合发展：
1. 已知点F 1（0，-13）、F 2（0，13），动点P 到F 1与F 2的距离之差的绝对值为26，则动点P 的轨迹方程为（ ）
A.y=0 B.y=0(x≤-13或x ≥13) C.x=0(|y|≥13) D. 以上都不对 【解析】∵||PF1|-|PF2||=|F1F 2|，∴P 点的轨迹为分别以F 1、F 2为端点的两条射线. 【答案】C
2. 在方程mx 2－my 2=n 中，若mn ＜0，则方程的曲线是（ ）
A. 焦点在x 轴上的椭圆 B. 焦点在x 轴上的双曲线 C. 焦点在y 轴上的椭圆 D. 焦点在y 轴上的双曲线
x 2y 2【解析】 把方程mx －my =n 写成标准方程=1 -
n n m m
n n
∵mn ＜0, ∴＜0, －＞0.
m m
∴方程表示焦点在y 轴上的双曲线. 【答案】 D
2
2
2222
3. 已知点P （x ，y ）的坐标满足(x -1) +(y -1) -(x +3) +(y +3) =±4，则动点P
的轨迹是（ ）
A. 椭圆 B. 双曲线 C. 两条射线 D. 以上都不对 【解析】点（1，1）与（-3，-3）的距离为42>4，∴P 的轨迹是双曲线.
【答案】B
x 2y 2
4. 已知双曲线的方程为2-2=1,点A 、B 在双曲线的右支上，线段AB 经过双曲线的右焦
a b
点F 2，|AB |=m , F 1为另一焦点，则△ABF 1的周长为（ ）
A.2a +2m B.4a +2m C. a +m D.2a +4m 【解析】 ∵A 、B 在双曲线的右支上， ∴|BF 1|－|BF 2|=2a ,|AF 1|－|AF 2|=2a , ∴|BF 1|+|AF 1|－(|BF 2|+|AF 2|)=4a ∴|BF 1|+|AF 1|=4a +m
∴△ABF 1的周长为4a +m +m =4a +2m . 【答案】 B a 225
5. 已知双曲线的焦距为26，=, 则双曲线的标准方程是（ ）
c 13
y 2y 2x 2x 2--A. =1 B. =1 2516925169
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8
y 2x 2-C. =1 25144
y 2y 2x 2x 2--D. =1或=1 2514425144
a 225
【解析】 ∵2c =26,=,
c 13
∴c ＝13，a 2＝25. ∴b 2=132－25=144.
y 2y 2x 2x 2--∴双曲线的标准方程为=1或=1. 2514425144
【答案】 D
x 2
6. F 1、F 2为双曲线－y 2=－1的两个焦点，点P 在双曲线上，且∠F 1PF 2=90°, 则△F 1PF 2
4
的面积是（ ）
A.2 B.4 C.8 D.16
x 2【解析】 双曲线－y 2=－1的两个焦点是F 1(0，－) 、F 2(0，5) ，
4
∵∠F 1PF 2=90°, ∴｜PF 1｜2+｜PF 2｜2=｜F 1F 2｜2. 即｜PF 1｜2+｜PF 2｜2=20 ① ∵｜PF 1｜－｜PF 2｜=±2，
∴｜PF 1｜2－2｜PF 2｜²｜PF 1｜+｜PF 2｜2=4 ②
①－②得2｜PF 1｜²｜PF 2｜=16，∴S ∆F 1PF 2=
1
｜PF 1｜²｜PF 2｜=4. 2
【答案】 B
7. 双曲线的焦点在y 轴上，且它的一个焦点在直线5x －2y +20=0上，两焦点关于原点对称，
c 5
=，则此双曲线的方程是（ ） a 3
x 2y 2x 2y 2
--A. =1 B. =1 36646436
x 2y 2x 2y 2
-- C. =－1 D. =－1 36646436
【解析】 在方程5x －2y +20=0中，令x =0得：y =10，
∵双曲线的一个焦点在直线5x －2y +20=0上又在y 轴上，且两焦点关于原点对称， ∴c =10,
c 5
=, ∴a =6,∴b 2=c 2－a 2=100－36=64. a 3
y 2x 2x 2y 2
--∴双曲线的方程为=1，即=－1. 36646436
∵
【答案】 D
8. 已知ΔABC 中，B 、C 是两个定点，并且sinB-sinC=
1
sinA ，则顶点A 的轨迹方程是（ ） 2
A. 双曲线 B. 椭圆 C. 双曲线的一部分 D. 椭圆的一部分 【解析】由正弦定理得|AC|-|AB|=∴点A 的轨迹是双曲线的一部分. 【答案】C
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9
1
|BC|.∵B 、C 为定点，∴|BC|为常数. 2
9. 双曲线2x 2－y 2=k 的焦距是6，求k 的值.
x 2y 2
【解】 把双曲线的方程写成标准形式，=1. -
k k 2
k k
当k ＞0时，a 2=, b 2=k ，由题知+k =9即k =6.
22
k k
当k ＜0时，a 2=－k , b 2=－, －k －=9即k =－6
22
综上所述k =±6为所求.
y 2x 2
-10. 过双曲线=1的一个焦点作x 轴的垂线，求垂线与双曲线的交点到两焦点的距离. 14425
y 2x 2
-【解】 ∵双曲线方程为=1 14425
∴c =+25=13,于是焦点F 1（－13，0）、F 2（13，0），设过点F 1的垂直于x 轴的直线l 交双曲线于A (－13, y )(y >0).
y 2132252525
=-1=∴, ∴y =, 即|AF 1|= [1**********]2
25313
= 121225313
故垂线与双曲线的交点到两焦点的距离为或.
1212
又∵|AF 2|－|AF 1|=2a =24,∴|AF 2|=24+|AF 1|=24+
11. 一双曲线中心为原点，对称轴为坐标轴，且过点A （-2，-3）、（7，62），求双曲线的方程.
【解】当双曲线的焦点在x 轴上时，设双曲线的方程为mx 2-ny 2=1(m>0,n>0)，则由题知
1⎧m =, 22⎪⎧⎪⎪m (-2) -n (-3) =1, ⎧28m -9n =1, 25
解之得⎨ ⎨⎨221⎪⎩49m -72n =1. ⎪n =. ⎩m ⋅7-n (62) =1,
⎪75⎩
x 2y 2
-∴双曲线的方程为=1. 2575
当双曲线的焦点在y 轴上时，设双曲线的方程为py 2-qx 2=1(p>0,q>0)，则
22
⎧⎪p (-3) -q (-27) =1,
此方程组的解使p 、q 都为负值，故应舍去. ⎨22
⎪⎩p (62) -q ⋅7=1,
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10
x 2y 2
-综上所述，所求双曲线的方程为=1. 2575
12. 已知曲线C ：x 2－y 2＝1及直线l ：y =kx －1.
(1)若l 与C 有两个不同的交点，求实数k 的取值范围；
(2)若l 与C 交于A 、B 两点，O 是坐标原点，且△AOB 的面积为2，求实数k 的值.
⎧x 2-y 2=1【解】 (1)由⎨消y ，得(1－k 2) x 2＋2kx －2＝0
⎩y =kx -1
2⎧⎪1-k ≠0由⎨ 22⎪⎩Δ=4k +8(1-k ) >0
得k 的取值范围为（－2，－1）∪（－1，1）∪（1，2）
（2）设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），
由（1）得x 1＋x 2＝－
又l 过点D (0，－1)
∴Ｓ△OAB ＝Ｓ△OAD ＋Ｓ△OBD ＝
∴（x 1－x 2）2＝（22）2 2k 2，x x ＝－ 12221-k 1-k 111｜x 1｜＋｜x 2｜＝｜x 1－x 2｜＝2 222
-2k 82）＋＝８ 221-k 1-k
∴k ＝0或k =±. 2即（
x 2y 2
13. 已知双曲线=1，P 为双曲线上一点，F 1、F 2是双曲线的两个焦点，并且∠-2416
F 1PF 2=60°，求ΔF 1PF 2的面积.
【解】|F1F 2|2=4c2=4³(24+16)=160.在ΔF 1PF 2中，由余弦定理得
|F1F 2|2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1||PF2|=160.
∴|PF1|2+|PF2|2-|PF1||PF2|=160. ①
又∵|PF1|-|PF2|=±224，∴|PF1|2-2|PF1||PF2|+|PF2|2=96. ②
①-②得|PF1|²|PF2|=64.
∴S ∆F 1PF 2=11|PF1|²|PF2|²sin60°=³64³=16. 222
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2【点评】若本题是填空题或选择题时，则用解法二：S ∆F 1PF 2=bcot
cot θ=16³260︒=16. 2
14.A 、B 、C 是我方三个炮兵阵地，A 在B 的正东，相距6 km ，C 在B 的北偏西30°方向上，相距4 km ，P 为敌炮阵地. 某时刻A 发现敌炮阵地的某种信号，由于B 、C 两地比A 距P 地远，因此4秒后，B 、C 才同时发现这一信号（该项信号的传播速度为每秒1 km ）.A 若炮击P 地，求炮击的方位角.
【解】以AB 的中点为原点，BA 所在的直线为x 轴建立直角坐标系，则A （3，0），B （-3，0），C （-5，2）. ∵|PB|-|PA|=4，∴点P 在以A 、B 为焦点的双曲线的右支上，该x 2y 2
-=1(x≥2). ① 双曲线右支的方程是45
又∵|PB|=|PC|，∴点P 在线段BC 的垂直平分线上，该直线的方程为 x-3y+7=0. ②
将②代入①得11x -56x-256=0，得x=8或x=-
又k PA =tanα=，∴α=60°.
故点P 在点A 的北偏东30°方向上，即A 炮击P 地的方位角是北偏东30°.
232（舍）. 于是可得P （8，5）. 11
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直利教育2015年寒假
名师培优一对一教案
第2讲
双曲线的定义及标准方程
1、概念：如果把椭圆定义中的和改成差: |PF 1|-|PF 2|=2a 或|PF 2|-|PF 1|=2a , 即:
||PF 1|-|PF 2||=2a ，其中a >0动点的轨迹会发生什么变化呢？
①若MF 1-MF 2=2a =F 1F 2，则轨迹是线段F 1F 2的延长线； 若MF 2-MF 1的延长线； 1=2a =F 1F 2，则轨迹是线段F 2F ②若F 1F 2
③在0
[说明]通过对椭圆定义的类比，启发学生思考并发现2a 与F 1F 2的大小关系与动点的轨迹的变化规律.
（1）当2a 2c 时，无轨迹
2、概念形成 ⏹ 双曲线定义 定义：平面内到两定点F 1, F 2的距离的差的绝对值等于常数（小于F 1F 2）的点的轨迹叫双曲线. 这两个定点F 1, F 2叫做双曲线的焦点，两个焦点间的距离|F 1F 2|叫做焦距. ⏹ 双曲线定义中的注意点 在概念的理解中要注意：
（1）是平面内到两定点的距离之差的绝对值是一个非零正常数，且这个常数小于F 1F 2 . （2）当|PF 1|-|PF 2|=2a 时，动点的轨迹是与F 2对应的双曲线的一
支
， 木受绳则直，金就砺则利
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1
|PF 2|-|PF 1|=2a 时为双曲线的另一支.
3、双曲线的标准方程的推导
可以仿照求椭圆的标准方程的做法，求双曲线的标准方程．
如图8-12建系，设F 1F 2=2c ，取过点F 1、F 2的直线为x 轴，线段F 1F 2的中垂线为y 轴，建立直角坐标系，则F 1(-c , 0) 、F 2(c , 0) ，设M 是所求轨迹上的点. 依已知条件有
MF 1-MF 2=±2a ，
MF 1=(x +c ) 2+y 2
，
MF 2=(x -c ) 2+y 2，∴(x +c ) 2+y 2-(x -c ) 2+y 2=±2a ，
22
(x +c ) +y =±2a +
(x -c ) 2+y 2，±(a 2-cx ) =a (x -c ) 2+y 2 平方得：
（*）
再平方得：(a 2-c 2) x 2+a 2y 2=a 2(a 2-c 2) ，
即(c 2-a 2) x 2-a 2y 2=a 2(c 2-a 2) ，令b 2=c 2-a 2(c >b >0)
x 2y 2
则b x -a y =a b ，即2-2=1
a b
2
2
2
2
2
2
x 2y 2222
综上：焦点在x 轴上双曲线的标准方程是2-2=1①，其中c =a +b (c >a >0) ，
a b
焦点F 1(-c , 0) 、F 2(c , 0) .
[说明]对于标准方程的推导可以启发学生仿照求椭圆的标准方程的做法来完成，在建立直角
坐标系之前，可以让学生初步推断双曲线所具有的对称性，使建系更合理.
◆同样如果双曲线的焦点在y 轴上(图8－13) ，那么，此时的双曲线的标准方程又是怎样的呢？
焦点是F1(0，－c) 、F2(0，c) 时，a 、b 的意义同上，那么只要将方程①
y 2x 2
的x 、y 互换，就可以得到焦点在y 轴上双曲线的标准方程是2-2=1，
a b
其中c =a +b (c >a >0) ，焦点F 1(0, -c ) 、F 2(0, c ) .
[说明]双曲线的标准方程是指双曲线在标准状态下的方程，这里的标准状
态有两层含义：（1）双曲线的两个焦点均在坐标轴上，（2）这两个焦点的中心必须与原点重合. 从这一方面理解，双曲线的标准方程就是在特殊的直角坐标系下的方程.
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定义及性质对比
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精题精讲
【例1】 判断下列方程是否表示双曲线，若是，求出三量a , b , c x 2y 2x 2y 2
-=1 ②-=1 ①4222
x 2y 2y 2x 222
-=-1 ④4y -9x =36 （2-2=1 ③4232
分析：双曲线标准方程的格式：平方差，x 项的系数是正的，那么焦点在x 轴上，x 项的分母是a ；y 2项的系数是正的，那么焦点在y 轴上，y 2项的分母是a 22
22
解：①是双曲线，a =2, b =
② 是双曲线，a =③是双曲线，a =
2, c =6 ；
2, b =2, c =2 ； 2, b =2, c =6 ；
④是双曲线，
a =3, b =2, c =【例2】已知双曲线两个焦点的坐标为F 1(-5, 0) ，F 2(5, 0) ，双曲线上一点P 到
F 1(-5, 0) ，F 2(5, 0) 的距离之差的绝对值等于6
解：因为双曲线的焦点在x 轴上，所以设它的标准方程为
x 2y 2
-2=1(a >0, b >02a b
∵2a =6, 2c =10 ∴a =3, c =5 ∴b =5-3=222
x 2y 2
-=1 所求双曲线标准方程为
916
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4
【例3】 已知双曲线的焦点在y 轴上，中心在原点，且点P 2(, 5) ，在此双1(3, -42) ，P 分析：由于已知焦点在y 轴上，中心在原点，所以双曲线的标准方程可用设出来，进
94
本题是用待定系数法来解的，得到的关于待定系数a , b 的一个分式方程组，并且分
母的次数是2，解这种方程组时利用换元法可将它化为二元二次方程组；也可将a 2, b 2的倒
解：因为双曲线的焦点在y 轴上，中心在原点，所以设所求双曲线的标准方程为
y 2x 2
-=1 （a >0, b >0） a 2b 2
⎧(-42) 232
11⎧-2=1⎪232⋅-9⋅=1b 22⎪⎪a a b 则有 ⎨，即⎨ 92
1811() 2⎪5⎪25⋅2-⋅2=1=1-16b a ⎩⎪2
b 2⎩a
解关于
111111
, =, 2= 的二元一次方程组，得222
16b 9a b a
所以，所求双曲线的标准方程为
y 2x 2
-=169
x 2y 2
【例4】 点A 位于双曲线2-2=1(a >0, b >0) 上，F 1, F 2是它的两个焦点，求∆AF 1F 2
a b
的重心G
分析：要求重心的轨迹方程，必须知道三角形的三个顶点的坐标，利用相关点法进行
解：设∆AF 1F 2的重心G 的坐标为(x , y ) ，则点A 的坐标为(3x , 3y ) . 因为点A 位于双曲线
x 2y 2
-2=1(a >0, b >0) 2a b
上，从而有
(3x ) 2(3y ) 2
-2=1(y ≠0) 2
a b
，即
x 2y 2x 2y 2
-=1(y ≠0) 所以，∆AF 1F 2的重心G 的轨迹方程为-=1(y ≠0) a 2b 2a 2b 2() () () () 3333
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5
【例5】 已知∆A B C 的底边BC 长为12，且底边固定，顶点A 是动点，使
1
sin B -sin C =sin A ，求点A 2
分析：首先建立坐标系，由于点A 的运动规律不易用坐标表示，注意条件的运用，可解：以底边BC 为x 轴，底边BC 的中点为原点建立xoy 坐标系，这时
1
B (-6, 0), C (6, 0) ，由sin B -sin C =sin A 得
2
1
b -c =a =6, 即|AC |-|AB |=
2
所以，点A 的轨迹是以B (-6, 0), C (6, 0) 为焦点，2a =6其方程为：
x 2y 2
-=1(x
点评：求轨迹方程的过程中，有一个重要的步骤就是找出(或联想到) 轨迹上的动点所满足的几何条件，列方程就是根据这些条件确定的，由于轨迹问题比较普遍，题型多样，有法，运用逻辑推理，结合平面几何的基本知识，分析、归纳，这里安排本例就是针对以上情
【例6】求下列动圆圆心M 的轨迹方程:
22
(1)与⊙C :(x +2)+y =2内切，且过点A （2，0）
2222
（2）与⊙C 1：x +(y -1) =1和⊙C 2:x +(y +1)=4都外切.
2222
（3）与⊙C 1:(x +3)+y =9外切，且与⊙C 2:(x -3) +y =1内切.
分析：这是圆与圆相切的问题，解题时要抓住关键点，即圆心与切点和关键线段，即半径与圆心距离. 如果相切的⊙C 1、⊙C 2的半径为r 1、r 2且r 1＞r 2，则当它们外切时，|O 1O 2|=r 1+r 2; 当它们内切时，|O 1O 2|=r 1-r 2. 解题中要注意灵活运用双曲线的定义求出轨迹方程.
解：设动圆M 的半径为r
(1)∵⊙C 1与⊙M 内切，点A 在⊙C 外∴|MC |=r -2,|MA |=r ,|MA |-|MC |=2
∴点M 的轨迹是以C 、A 为焦点的双曲线的左支，且有：a =
22227, c =2,b =c -a =∴双曲
22
2y 2
线方程为2x -=1(x ≤-2) 7
2
(2)∵⊙M 与⊙C 1、⊙C 2都外切∴|MC 1|=r +1,|MC 2|=r +2,|MC 2|-|MC 1|=1∴点M 的轨迹是以
C 2、C 1为焦点的双曲线的上支，且有：a =
12223, c =1,b =c -a =∴所求的双曲线方程为： 24
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6
34x 2
4y -=1(y ≥)
43
2
(3)∵⊙M 与⊙C 1外切，且与⊙C 2内切∴|MC 1|=r +3,|MC 2|=r -1,|MC 1|-|MC 2|=4
222
∴点M 的轨迹是以C 1、C 2为焦点的双曲线的右支，且有：a =2,c =3,b =c -a =5
x 2y 2
-=1(x ≥2) ∴所求双曲线方程为：45
x 2y 2-=1的右焦点分别为F 1、F 2，点P 在双曲线上的左支上且【例7】已知双曲线
916
|PF 1||PF 2|=32，求∠F 1PF 2的大小.
分析：一般地，求一个角的大小，通常要解这个角所在的三角形. 解：∵点P 在双曲线的左支上 ∴|PF 1|-|PF 2|=6
22
∴|PF 1|+|PF 2|-2|PF 1||PF 2|=36
22
∴|PF 1|+|PF 2|=100
2222
∵|F 1F 2|=4c =4(a +b )=100 ∴∠F 1PF 2=90° 评述：（1）巧妙地将双曲线的定义应用于解题当中，使问题得以简单化.
（2）题目的“点P 在双曲线的左支上”这个条件非常关键，应引起我们的重视，若将这一条件改为“点P 在双曲线上”结论如何改变呢？请读者试探索.
x 2
-y 2=1的两个焦点，点P 在双曲线上且满足∠F 1PF 2 【例8】已知F 1、F 2是双曲线4
=90°，求△F 1PF 2的面积.
分析：利用双曲线的定义及△F 1PF 2中的勾股定理可求△F 1PF 2的面积.
x 2
-y 2=1上的一个点且F 1、F 2为焦点. 解：∵P 为双曲线4
∴||PF 1|-|PF 2||=2a =4 |F 1F 2|=2c =25 ∵∠F 1PF 2=90° ∴在Rt △PF 1F 2中 |PF 1|+|PF 2|=|F 1F 2|=20
∵（|PF 1|-|PF 2|）2=|PF 1|2+|PF 2|2-2|PF 1||PF 2|=16 ∴20-2|PF 1||PF 2|=16 ∴|PF 1|²|PF 2|=2
∴S ∆F 1PF 2=
2
2
2
F PF 12
|PF 1|²|PF 2|=1由此题可归纳出S △F1PF2=bcot ∠12评述：双曲线定义的应22
用在解题中起了关键性的作用.
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综合发展：
1. 已知点F 1（0，-13）、F 2（0，13），动点P 到F 1与F 2的距离之差的绝对值为26，则动点P 的轨迹方程为（ ）
A.y=0 B.y=0(x≤-13或x ≥13) C.x=0(|y|≥13) D. 以上都不对 【解析】∵||PF1|-|PF2||=|F1F 2|，∴P 点的轨迹为分别以F 1、F 2为端点的两条射线. 【答案】C
2. 在方程mx 2－my 2=n 中，若mn ＜0，则方程的曲线是（ ）
A. 焦点在x 轴上的椭圆 B. 焦点在x 轴上的双曲线 C. 焦点在y 轴上的椭圆 D. 焦点在y 轴上的双曲线
x 2y 2【解析】 把方程mx －my =n 写成标准方程=1 -
n n m m
n n
∵mn ＜0, ∴＜0, －＞0.
m m
∴方程表示焦点在y 轴上的双曲线. 【答案】 D
2
2
2222
3. 已知点P （x ，y ）的坐标满足(x -1) +(y -1) -(x +3) +(y +3) =±4，则动点P
的轨迹是（ ）
A. 椭圆 B. 双曲线 C. 两条射线 D. 以上都不对 【解析】点（1，1）与（-3，-3）的距离为42>4，∴P 的轨迹是双曲线.
【答案】B
x 2y 2
4. 已知双曲线的方程为2-2=1,点A 、B 在双曲线的右支上，线段AB 经过双曲线的右焦
a b
点F 2，|AB |=m , F 1为另一焦点，则△ABF 1的周长为（ ）
A.2a +2m B.4a +2m C. a +m D.2a +4m 【解析】 ∵A 、B 在双曲线的右支上， ∴|BF 1|－|BF 2|=2a ,|AF 1|－|AF 2|=2a , ∴|BF 1|+|AF 1|－(|BF 2|+|AF 2|)=4a ∴|BF 1|+|AF 1|=4a +m
∴△ABF 1的周长为4a +m +m =4a +2m . 【答案】 B a 225
5. 已知双曲线的焦距为26，=, 则双曲线的标准方程是（ ）
c 13
y 2y 2x 2x 2--A. =1 B. =1 2516925169
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8
y 2x 2-C. =1 25144
y 2y 2x 2x 2--D. =1或=1 2514425144
a 225
【解析】 ∵2c =26,=,
c 13
∴c ＝13，a 2＝25. ∴b 2=132－25=144.
y 2y 2x 2x 2--∴双曲线的标准方程为=1或=1. 2514425144
【答案】 D
x 2
6. F 1、F 2为双曲线－y 2=－1的两个焦点，点P 在双曲线上，且∠F 1PF 2=90°, 则△F 1PF 2
4
的面积是（ ）
A.2 B.4 C.8 D.16
x 2【解析】 双曲线－y 2=－1的两个焦点是F 1(0，－) 、F 2(0，5) ，
4
∵∠F 1PF 2=90°, ∴｜PF 1｜2+｜PF 2｜2=｜F 1F 2｜2. 即｜PF 1｜2+｜PF 2｜2=20 ① ∵｜PF 1｜－｜PF 2｜=±2，
∴｜PF 1｜2－2｜PF 2｜²｜PF 1｜+｜PF 2｜2=4 ②
①－②得2｜PF 1｜²｜PF 2｜=16，∴S ∆F 1PF 2=
1
｜PF 1｜²｜PF 2｜=4. 2
【答案】 B
7. 双曲线的焦点在y 轴上，且它的一个焦点在直线5x －2y +20=0上，两焦点关于原点对称，
c 5
=，则此双曲线的方程是（ ） a 3
x 2y 2x 2y 2
--A. =1 B. =1 36646436
x 2y 2x 2y 2
-- C. =－1 D. =－1 36646436
【解析】 在方程5x －2y +20=0中，令x =0得：y =10，
∵双曲线的一个焦点在直线5x －2y +20=0上又在y 轴上，且两焦点关于原点对称， ∴c =10,
c 5
=, ∴a =6,∴b 2=c 2－a 2=100－36=64. a 3
y 2x 2x 2y 2
--∴双曲线的方程为=1，即=－1. 36646436
∵
【答案】 D
8. 已知ΔABC 中，B 、C 是两个定点，并且sinB-sinC=
1
sinA ，则顶点A 的轨迹方程是（ ） 2
A. 双曲线 B. 椭圆 C. 双曲线的一部分 D. 椭圆的一部分 【解析】由正弦定理得|AC|-|AB|=∴点A 的轨迹是双曲线的一部分. 【答案】C
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9
1
|BC|.∵B 、C 为定点，∴|BC|为常数. 2
9. 双曲线2x 2－y 2=k 的焦距是6，求k 的值.
x 2y 2
【解】 把双曲线的方程写成标准形式，=1. -
k k 2
k k
当k ＞0时，a 2=, b 2=k ，由题知+k =9即k =6.
22
k k
当k ＜0时，a 2=－k , b 2=－, －k －=9即k =－6
22
综上所述k =±6为所求.
y 2x 2
-10. 过双曲线=1的一个焦点作x 轴的垂线，求垂线与双曲线的交点到两焦点的距离. 14425
y 2x 2
-【解】 ∵双曲线方程为=1 14425
∴c =+25=13,于是焦点F 1（－13，0）、F 2（13，0），设过点F 1的垂直于x 轴的直线l 交双曲线于A (－13, y )(y >0).
y 2132252525
=-1=∴, ∴y =, 即|AF 1|= [1**********]2
25313
= 121225313
故垂线与双曲线的交点到两焦点的距离为或.
1212
又∵|AF 2|－|AF 1|=2a =24,∴|AF 2|=24+|AF 1|=24+
11. 一双曲线中心为原点，对称轴为坐标轴，且过点A （-2，-3）、（7，62），求双曲线的方程.
【解】当双曲线的焦点在x 轴上时，设双曲线的方程为mx 2-ny 2=1(m>0,n>0)，则由题知
1⎧m =, 22⎪⎧⎪⎪m (-2) -n (-3) =1, ⎧28m -9n =1, 25
解之得⎨ ⎨⎨221⎪⎩49m -72n =1. ⎪n =. ⎩m ⋅7-n (62) =1,
⎪75⎩
x 2y 2
-∴双曲线的方程为=1. 2575
当双曲线的焦点在y 轴上时，设双曲线的方程为py 2-qx 2=1(p>0,q>0)，则
22
⎧⎪p (-3) -q (-27) =1,
此方程组的解使p 、q 都为负值，故应舍去. ⎨22
⎪⎩p (62) -q ⋅7=1,
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10
x 2y 2
-综上所述，所求双曲线的方程为=1. 2575
12. 已知曲线C ：x 2－y 2＝1及直线l ：y =kx －1.
(1)若l 与C 有两个不同的交点，求实数k 的取值范围；
(2)若l 与C 交于A 、B 两点，O 是坐标原点，且△AOB 的面积为2，求实数k 的值.
⎧x 2-y 2=1【解】 (1)由⎨消y ，得(1－k 2) x 2＋2kx －2＝0
⎩y =kx -1
2⎧⎪1-k ≠0由⎨ 22⎪⎩Δ=4k +8(1-k ) >0
得k 的取值范围为（－2，－1）∪（－1，1）∪（1，2）
（2）设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），
由（1）得x 1＋x 2＝－
又l 过点D (0，－1)
∴Ｓ△OAB ＝Ｓ△OAD ＋Ｓ△OBD ＝
∴（x 1－x 2）2＝（22）2 2k 2，x x ＝－ 12221-k 1-k 111｜x 1｜＋｜x 2｜＝｜x 1－x 2｜＝2 222
-2k 82）＋＝８ 221-k 1-k
∴k ＝0或k =±. 2即（
x 2y 2
13. 已知双曲线=1，P 为双曲线上一点，F 1、F 2是双曲线的两个焦点，并且∠-2416
F 1PF 2=60°，求ΔF 1PF 2的面积.
【解】|F1F 2|2=4c2=4³(24+16)=160.在ΔF 1PF 2中，由余弦定理得
|F1F 2|2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1||PF2|=160.
∴|PF1|2+|PF2|2-|PF1||PF2|=160. ①
又∵|PF1|-|PF2|=±224，∴|PF1|2-2|PF1||PF2|+|PF2|2=96. ②
①-②得|PF1|²|PF2|=64.
∴S ∆F 1PF 2=11|PF1|²|PF2|²sin60°=³64³=16. 222
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2【点评】若本题是填空题或选择题时，则用解法二：S ∆F 1PF 2=bcot
cot θ=16³260︒=16. 2
14.A 、B 、C 是我方三个炮兵阵地，A 在B 的正东，相距6 km ，C 在B 的北偏西30°方向上，相距4 km ，P 为敌炮阵地. 某时刻A 发现敌炮阵地的某种信号，由于B 、C 两地比A 距P 地远，因此4秒后，B 、C 才同时发现这一信号（该项信号的传播速度为每秒1 km ）.A 若炮击P 地，求炮击的方位角.
【解】以AB 的中点为原点，BA 所在的直线为x 轴建立直角坐标系，则A （3，0），B （-3，0），C （-5，2）. ∵|PB|-|PA|=4，∴点P 在以A 、B 为焦点的双曲线的右支上，该x 2y 2
-=1(x≥2). ① 双曲线右支的方程是45
又∵|PB|=|PC|，∴点P 在线段BC 的垂直平分线上，该直线的方程为 x-3y+7=0. ②
将②代入①得11x -56x-256=0，得x=8或x=-
又k PA =tanα=，∴α=60°.
故点P 在点A 的北偏东30°方向上，即A 炮击P 地的方位角是北偏东30°.
232（舍）. 于是可得P （8，5）. 11
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