第三部分 共点力的平衡
【学习目标】
1、理解共点力作用下的物体平衡条件及其在解题中的应用。
2、掌握几种常见的平衡问题的解题方法。
【自主学习】
1．共点力
物体同时受几个力的作用，如果这几个力都作用于物体的 或者它们的作用线交于 ，这几个力叫共点力。
2．平衡状态：
一个物体在共点力作用下，如果保持 或 运动，则该物体处于平衡状态．
3．平衡条件：
物体所受合外力 ．其数学表达式为：F 合＝ 或F x 合= Fy 合= ，其中F x 合为物体在x 轴方向上所受的合外力，F y 合为物体在y 轴方向上所受的合外力．
平衡条件的推论
(1)物体在多个共点力作用下处于平衡状态，则其中的一个力与余下的力的合力等大反向.
(2)物体在同一平面内的三个互不平行的力的作用下处于平衡状态时，这三个力必为共点力.
(3)物体在三个共点力作用下处于平衡状态时，这三个力的有向线段必构成封闭三角形，即表示这三个力的矢量首尾相接，恰能组成一个封闭三角形.
4．力的平衡：
作用在物体上的几个力的合力为零，这种情形叫做 。
若物体受到两个力的作用处于平衡状态，则这两个力 ．
若物体受到三个力的作用处于平衡状态，则其中任意两个力的合力与第三个力 ．
5. 解题途径
当物体在两个共点力作用下平衡时，这两个力一定等值反向；当物体在三个共点力作用下平衡时，往往采用平行四边形定则或三角形定则；当物体在四个或四个以上共点力作用下平衡时，往往采用正交分解法.
【知识要点梳理】
要点一：物体的受力分析
把指定物体（研究对象）在特定的物理情景中所受到的所有外力找出来，并画出受力图，这就是受力分析。
一、受力分析的顺序
先找重力，再找接触力（弹力、摩擦力），最后分析其他力（电磁力、浮力等）。
二、受力分析的三个判断依据
（1）从力的概念判断，寻找对应的施力物体。
（2）从力的性质判断，寻找产生的原因。
（3）从力的效果判断，寻找是否产生形变或改变运动状态（是静止、匀速运动还是有加速度）。
三、疑难导析
1．受力分析应注意的问题
在受力分析过程中应首先区分内力和外力，对几个物体作为整体进行受力分析时，这几个物体间的作用力为内力，不能在受力分析图中出现；当把某一物体单独隔离分析时，原来的内力变成了外力，要画在受力图上；另外在画受力分析图时，不能把合力与分力同时画出，因合力与分力是一种等效替代关系；当难以确定物体的某些受力情况时，可先根据（或确定）物体的运动状态，再运用平衡条件或牛顿运动定律判定未知力。
2．研究对象的选取
在进行受力分析时，第一步就是选取研究对象。选取的研究对象可以是一个物体（质点），也可以是由几个物体组成的整体（质点组）。
（1）隔离法：
将某物体从周围物体中隔离出来，单独分析该物体所受到的各个力，称为隔离法。 隔离法的原则：
把相连结的各个物体看成一个整体，如果要分析的是整体内物体间的相互作用力（即内力），就要把跟该力有关的某物体隔离出来。当然，对隔离出来的物体而言，它受到的各个力就应视为外力了。
（2）整体法：
把相互连结的几个物体视为一个整体（系统），从而分析整体外的物体对整体中各个物体的作用力（外力），称为整体法。
整体法的基本原则：
a ）当整体中各物体具有相同的加速度（加速度不相同的问题，中学阶段不宜采用整体法）或都处于平衡状态（即a=0）时，命题要研究的是外力，而非内力时，选整体为研究对象。
b ）整体法要分析的是外力，而不是分析整体中各物体间的相互作用力（内力）。
c）整体法的运用原则是先避开次要矛盾（未知的内力）突出主要矛盾（要研究的外力）这样一种辨证的思想。
（3）整体法、隔离法的交替运用
对于连结体问题，多数情况既要分析外力，又要分析内力，这时我们可以采取先整体（解决外力）后隔离（解决内力）的交叉运用方法，当然个别情况也可先隔离（由已知内力解决未知外力）再整体的相反运用顺序。
要点二：．共点力的平衡
一、共点力的平衡条件 在共点力作用下物体的平衡条件是合力为零，即或、。
二、解题方法
当物体在两个共点力作用下平衡时，这两个力一定等值反向；当物体在三个共点力作用 下平衡时，往往采用平行四边形定则或三角形定则；当物体在四个或四个以上共点力作用下 平衡时，往往采用正交分解法。
三、解共点力平衡问题的一般步骤
（1）选取研究对象。
（2）对所选研究对象进行受力分析，并画出受力图。
（3）对研究对象所受力进行处理一般情况下需要建立合适的直角坐标系，用正交分解法处理。
（4）建立平衡方程，若各力作用在同一直线上，可直接用
几个力不在同一直线上，可用与联立列出方程组。 的代数式冽方程，若 （5）解方程，必要时对结果进行讨论。
四、疑难导析
1、对平衡状态的理解
对于共点力作用下物体的平衡，不要认为只有静止才是平衡状态，匀速直线运动也是物体的平衡状态。因此，静止的物体一定平衡，但平衡的物体不一定静止。还需要注意，不要把速度为零和静止状态相混淆，静止状态是物体在一段时间内保持速度为零不变，其加速度为零，而物体速度为零可能是物体静止，也可能是物体做变速运动中的一个过渡状态，加速度不为零。由此可见，静止的物体速度一定为零，但速度为零的物体不一定静止。因此，静止的物体一定处于平衡状态，但速度为零的物体不一定处于平衡状态。
总之，共点力作用下的物体只要物体的加速度为零，它一定处于平衡状态，只要物体的加速度不为零，它一定处于非平衡状态。
2、平衡条件的推论
（1）如果物体在两个力的作用下处于平衡状态，这两个力必定大小相等、方向相反，为一对平衡力。
（2）如果物体在三个力的作用下处于平衡状态，其中任意两个力的合力一定与第三个力大小相等、方向相反。
（3）如果物体受多个力作用而处于平衡状态，其中任何一个力与其他力的合力大小相等、方向相反。
（4）当物体处于平衡状态时，沿任意方向物体所受的合力均为零。
（5）三力汇交原理：如果一个物体受到三个非平行力作用而平衡，这三个力的作用线必定在同一平面内，而且必为共点力。
3、解答平衡问题常用的物理方法
（1）隔离法与整体法
隔离法 为了弄清系统（接连体）内某个物体的受力和运动情况，一般可采用隔离法。运用隔离法解题的基本步骤是：
a ）明确研究对象或过程、状态；
b ）将某个研究对象、某段运动过程或某个状态从全过程中隔离出来；
c ）画出某状态下的受力图或运动过程示意图；
d ）选用适当的物理规律列方程求解。
整体法 当只涉及研究系统而不涉及系统内部某些物体的力和运动时，一般可采用整体法。运用整体法解题的基本步骤是：
a ）明确研究的系统和运动的全过程；
b ）画出系统整体的受力图和运动全过程的示意图；
c ）选用适当的物理规律列方程求解。
隔离法和整体法常常需交叉运用，从而优化解题思路和方法，使解题简捷明快。
（2）图解法分析动态平衡问题
所谓动态平衡问题是指通过控制某些物理量，使物体的状态发生缓慢变化，而在这个过程中物体又始终处于一系列的平衡状态，利用图解法解决此类问题的基本方法是：对研究对象在状态变化过程中的若干状态进行受力分析，依据某一参量的变化，在同一图中做出物体在若干状态下的平衡力图（力的平行四边形简化为三角形），再由动态的力四边形各边长度变化及角度变化确定力的大小及方向的变化情况。
（3）临界状态处理方法—假设法
某种物理现象变化为另一种物理现象的转折状态叫做临界状态，平衡物体的临界状态是指物体所处的平衡状态将要破坏、而尚未破坏的状态。解答平衡物体的临界问题时可用假设法。运用假设法解题的基本步骤是：
a ）明确研究对象；
b ）画受力图；
c ）假设可发生的临界现象；
d ）列出满足所发生的临界现象的平衡方程求解。
【题型透析】
类型一——如何进行受力分析
对物体进行受力分析，是解决力学问题的基础，是研究力学问题的重要方法，它贯穿于整个力学乃至整个教材之中，在整个高中物理学习的全过程中占有极重要的地位。 受力分析的方法：（1）整体法，隔离法；（2）假设法。
类型二——用图解法处理物体的动态平衡问题
当物体受三个力而平衡，其构成的矢量三角形中一个力大小、方向都不变，另一个力的方向不变，当判断由第三个力的大小和方向变化引起的变化时可用图解法。
例1. 现用两根绳子AO 和BO 悬挂一质量为10N 的小球，AO 绳的A 点固定
在竖直放置的圆环的环上，O 点为圆环的圆心，AO 绳与竖直方向的夹角为37 ，BO 绳的B 点可在环上滑动，已知每根绳子所能承受的最大拉力均为12N ，则在B 点沿环顺时针缓慢滑到N 的过程中（ C ）
A. 两根绳均不断 B. 两根绳同时断
C. AO绳先断 D. BO绳先断
例2. 所图所示，光滑斜面上安装一光滑挡板AO ，挡板可绕O 处铰链无摩擦转动，在挡板与斜面间放一匀质球，现使挡板从图示位置缓慢转至竖直位置，则此过程中球对挡板的压力的N 变化情况可能是（ ）。
A. 逐渐减小 B. 逐渐增大
C. 先减小后增大 D. 先增大后减小
例3. 有一个直角支架AOB ，AO 水平放置, 表面粗糙, OB竖直向
下, 表面光滑.AO 上套有小环P ，OB 上套有小环Q ，两环质量均为m ，两环由一根质量可忽略、不可伸长的细绳相连，并在某一位置平衡（如图所示）.
现将P 环向左移一小段距离，两环再次达到平衡，那么将移动后的平衡状态和原来的平衡状态比较，AO 杆对P 环的支持力FN 和摩擦力f 的变化情况是 A.FN 不变，f 变大 B.FN不变，f 变小
C.FN 变大，f 变大 D.FN变大，f 变小
例4. 如图所示，两根等长的绳子AB 和BC 吊一重物静止，两根绳子与水平方向夹角均为60°.现保持绳子AB 与水平方向的夹角不变，将绳子BC 逐渐缓慢地变化到沿水平方向，在这一过程中，绳子BC 的拉力变化情况是( )
A ．增大 B．先减小，后增大
C ．减小 D．先增大，后减小
类型三——相似三角形法在平衡问题中的应用
如果在对力利用平行四边形定则（或三角形定则）运算的过程中，力三角形与几何三角形相似，则可根据相似三角形对应边成比例等性质求解。
例5. 光滑的半球形物体固定在水平地面上，球心正上方有一光滑的小滑轮，轻绳的一端系一小球，靠放在半球上的A 点，另一端绕过定滑轮后用力拉住，使小球静止，如图所示。现缓慢地拉绳，在使小球沿球面由A 到B 的过程中，半球对小球的支持力
N 和绳对小球的拉力T 的大小变化情况是（ ）
A ．N 变大，T 变小
B ．N 变小，T 变大
C ．N 变小，T 先变小后变大
D ．N 不变，T 变小
例6. 如图所示，一可视为质点的小球A 用细线拴住系在O 点，在O 点正
下方固定一个小球B(也可视为质点) ．由于A 、B 两球间存在斥力，A 球被排斥开，当细线与竖直方向夹角为α时系统静止．由于某种原因，两球间的斥力减小导致α角减小．已知两球间的斥力总是沿着两球心的连线．试分析α角逐渐减小的过程中，细线的拉力如何变化？
例7．如图所示，AC 是上端带定滑轮的固定竖直杆，质量不计的轻杆BC 一端通过铰链固定在C 点，另一端B 悬挂一重为G 的重物，且B 端系有一根轻绳并绕过定滑轮A ，用力F 拉绳，开始时∠BCA ＞90°，现使∠BCA 缓慢变小，直到杆BC 接近竖直杆AC. 此过程中，杆BC 所受的力( )
A ．大小不变 B．逐渐增大
C ．先减小后增大 D ．先增大后减小
类型四——正交分解法在平衡问题中应用
正交分解法是解平衡问题最常用的方法，尤其是当物体受三个以上的力（不含三个）时，正交分解法更具有优越性，其关健是合理选取坐标及沿坐标轴方向列平衡方程。
例8. 用与竖直方向成α=30°斜向右上方，大小为F 的推力把一个重量为G 的木块压在粗糙竖直墙上保持静止. 求墙对木块的正压力大小N 和墙对木块的摩擦力大小f.
例9. 如图所示，将重力为G 的物体A 放在倾角θ的斜面上，物体与斜面间的动摩擦因
数为μ，那么对A 施加一个多大的水平力F ，可使物体沿斜面匀速上滑？
例10. 两刚性球a 和b 的质量分别为ma 和mb ，直径分别为da 和db(da>db)．将a 、b 依次放入一竖直放置、内径为d 的平底圆筒内，如图所示．设a 、b 两球静止时对圆筒侧面的压力大小分别为FN1和FN2，筒底所受的压力大小为F. 已知重力加速度为g. 若所有接触都是光滑的，则( )
A ．F ＝(ma＋mb)g FN1＝FN2
B ．F ＝(ma＋mb)g FN1≠FN2
C ．mag
D ．mag
类型五——共点力平衡中的临界与极值问题
1．临界问题：当某物理量变化时，会引起其他几个物理童的变化，从而使物体所处的平衡状态“恰好出现”或“恰好不出现”，在问题的描述中常用“刚好”、“刚能”、“恰能”等语言叙述。
解决这类问题的基本方法是假设推理法，即先假设怎样，然后再根据平衡条件及有关知识列方程求解。
例11. 如图所示，两个完全相同的小球，重力大小为G ，两物体与地面间的动摩擦因数均为μ，一根轻绳的两端固定在两个球上，在绳的中点施加一个竖直向上的拉力，当绳被拉直后，两段绳的夹角为θ，求当F 至少为多大时，两球将会发生相对滑动？
例12. 如图所示，两个木块的质量分别为m 1和m 2，两个轻质弹簧
的劲度分别为k 1和k 2，上面的木块压在上面的弹簧上（但不拴接），整个弹簧处于静止状态。现缓慢向上提上面的木块，直到它刚离开上面的弹簧，在这过程中下面木块移动的距离为 ，上面木块移动的距离为
2．极值问题：平衡物体的极值，一般指在力的变化过程中的最大值和最小值问题。 解决这类问题的方法常用：
（1）解析法：即根据物体的平衡条件列出方程，在解方程时，采用数学知识求极值或者根据物理临界条件求极值。
（2）图解法：即根据物体的平衡条件作出力的矢量图，画出平行四边形或者矢量三角形进行动态分析，确定最大值或最小值。
例13. 如图所示，用一个轻质三角支架悬挂重物，已知AB 杆所承受的最大压力为2 000 N，AC 绳所承受最大拉力为1 000 N，，为不使支架断裂，求悬挂
物的重力应满足的条件？
例14. 如图所示，两个质量均为m 的小环套在一水平放置的粗糙长杆上，两根长度均为l 的轻绳一端系在小环上，另一端系在质量为M 的木块上，两个小环之间的距离也为l ，小环保持静止．试求：
(1)小环对杆的压力；
(2)小环与杆之间的动摩擦因数μ至少为多大．
【典型例题】
例1. 一航天探测器完成对月球的探测任务后，在离开月球的过程中，由静止开始沿着与月球表面成一倾斜角的直线飞行，先加速运动，再匀速运动。探测器通过喷气而获得推动力。以下关于喷气方向的描述中正确的是
A. 探测器加速运动时，沿直线向后喷气
B. 探测器加速运动时，竖直向下喷气
C. 探测器匀速运动时，竖直向下喷气
D. 探测器匀速运动时，不需要喷气
解：探测器沿直线加速运动时，所受合力F 合方向与运动方向相同，而重力方向竖直向下，由平行四边形定则知推力方向必须斜向上方，因此喷气方向斜向下方。匀速运动时，所受合力为零，
因此推力方向必须竖直向上，喷气方向竖直向下. 选C
例5. 如图所示，在水平面上放有一质量为m 、与地面的动动摩擦因数为μ的物体，现用力F 拉物体，使其沿地面匀速运动，求F 的最小值及方向. (F min =μmg
μ2+1
，与水平方向的夹角为θ=arctanμ
)
解：以两环和细绳整体为对象求F N ，可知竖直方向上始终二力平衡，F N =2mg不变；以Q 环为对象，在重力、细绳拉力F 和OB 压力N 作用下平衡，设细绳和竖直方向的夹角为α，则P 环向左移的过程中α将减小，N=mgtanα也将减小。再以整体为对象，水平方向只有OB 对Q 的压力N 和OA 对P 环的摩擦力f 作用，因此f=N也减小. 答案选B.
答案：D
总结升华：物体受三个力而平衡，当三个力构成的矢量三角形因角度未知无法用正弦定理求解时，可优先考虑在边长已知的前提下用相似三角形法。
【针对训练】
1. 如图所示，一个半球形的碗放在桌面上，碗口水平，碗的内表面及碗口是光滑的. 一根细线跨在碗口上，线的两端分别细有质量为m 1和m 2的小球，当它们处于平衡状态时，质量为
0m 1的小球与O 点的连线与水平线的夹角为α=60. 两小球的质量比为（ ） 22A. B. C. D. 3322
2. 如图所示，人重600N ，木板重400N ，人与木板、木板与地面间的动摩擦因数
皆为0.2，现在人用水平力拉绳，使他与木块一起向右匀速运动，则（ ）
A. 人拉绳的力是200N B.人拉绳的力是100N
C. 人的脚给木块摩擦力向右 D.人的脚给木块摩擦力向左
4. 如图所示，两个固定的光滑硬杆OA 与OB ，夹角为θ，各套一轻环C 、D ，
C 且C 、D 用细绳相连，现在用一水平恒力F 沿OB 方向拉环D ，当两环平衡时，
绳子的拉力是多大?
5. 如图所示, 均匀杆AB 重为G,A 端用细绳吊在O 点, 在B 端加一水平力F, 使AB 静止, 此时杆与水平方向夹角为α, 细绳与竖直方向成θ角, 则( )
A. 拉力F 一定大于G B. 绳子拉力T 一定大于G C.AB 杆与水平夹角α必小于θ D.F 足够大时细绳可在水平方向上
B
8. 如图所示，劲度系数分别为K 1、K 2的轻弹簧竖直悬挂着，两弹簧间有一质量为m 的重物，最下端挂一质量也为m 的重物，用竖直向上的力F 托着下端重物，整个装置处于静止状态，此时两弹簧的总长正好等于两弹簧原长之和，则该力F=
10. 一质量为m 的物体放在倾角为θ的斜面上，如果物体能沿斜面匀速下滑，则物体与斜面间的动摩擦因数为 ；如果在此物体上作用一个水平力使物体静
止在斜面上，水平力大小mgtg θ，这时物体与斜面间的摩擦力为
11. 如图所示，质量为m 1=0. 4kg 的物体A 与质量为m 2=2kg 的物体B 叠放在倾角为30︒的斜面上，物体B 在平行于斜面向上的拉力F 作用下匀速运动，已知
A 、B 总保持相对静止，若A 、B 间的动摩擦因数均为0. 43，B 与斜面间的动摩擦因数为3/4，求：
（1）则A 、B 间的摩擦力为多少？
（2）拉力F 为多少？
第三部分 共点力的平衡
【学习目标】
1、理解共点力作用下的物体平衡条件及其在解题中的应用。
2、掌握几种常见的平衡问题的解题方法。
【自主学习】
1．共点力
物体同时受几个力的作用，如果这几个力都作用于物体的 或者它们的作用线交于 ，这几个力叫共点力。
2．平衡状态：
一个物体在共点力作用下，如果保持 或 运动，则该物体处于平衡状态．
3．平衡条件：
物体所受合外力 ．其数学表达式为：F 合＝ 或F x 合= Fy 合= ，其中F x 合为物体在x 轴方向上所受的合外力，F y 合为物体在y 轴方向上所受的合外力．
平衡条件的推论
(1)物体在多个共点力作用下处于平衡状态，则其中的一个力与余下的力的合力等大反向.
(2)物体在同一平面内的三个互不平行的力的作用下处于平衡状态时，这三个力必为共点力.
(3)物体在三个共点力作用下处于平衡状态时，这三个力的有向线段必构成封闭三角形，即表示这三个力的矢量首尾相接，恰能组成一个封闭三角形.
4．力的平衡：
作用在物体上的几个力的合力为零，这种情形叫做 。
若物体受到两个力的作用处于平衡状态，则这两个力 ．
若物体受到三个力的作用处于平衡状态，则其中任意两个力的合力与第三个力 ．
5. 解题途径
当物体在两个共点力作用下平衡时，这两个力一定等值反向；当物体在三个共点力作用下平衡时，往往采用平行四边形定则或三角形定则；当物体在四个或四个以上共点力作用下平衡时，往往采用正交分解法.
【知识要点梳理】
要点一：物体的受力分析
把指定物体（研究对象）在特定的物理情景中所受到的所有外力找出来，并画出受力图，这就是受力分析。
一、受力分析的顺序
先找重力，再找接触力（弹力、摩擦力），最后分析其他力（电磁力、浮力等）。
二、受力分析的三个判断依据
（1）从力的概念判断，寻找对应的施力物体。
（2）从力的性质判断，寻找产生的原因。
（3）从力的效果判断，寻找是否产生形变或改变运动状态（是静止、匀速运动还是有加速度）。
三、疑难导析
1．受力分析应注意的问题
在受力分析过程中应首先区分内力和外力，对几个物体作为整体进行受力分析时，这几个物体间的作用力为内力，不能在受力分析图中出现；当把某一物体单独隔离分析时，原来的内力变成了外力，要画在受力图上；另外在画受力分析图时，不能把合力与分力同时画出，因合力与分力是一种等效替代关系；当难以确定物体的某些受力情况时，可先根据（或确定）物体的运动状态，再运用平衡条件或牛顿运动定律判定未知力。
2．研究对象的选取
在进行受力分析时，第一步就是选取研究对象。选取的研究对象可以是一个物体（质点），也可以是由几个物体组成的整体（质点组）。
（1）隔离法：
将某物体从周围物体中隔离出来，单独分析该物体所受到的各个力，称为隔离法。 隔离法的原则：
把相连结的各个物体看成一个整体，如果要分析的是整体内物体间的相互作用力（即内力），就要把跟该力有关的某物体隔离出来。当然，对隔离出来的物体而言，它受到的各个力就应视为外力了。
（2）整体法：
把相互连结的几个物体视为一个整体（系统），从而分析整体外的物体对整体中各个物体的作用力（外力），称为整体法。
整体法的基本原则：
a ）当整体中各物体具有相同的加速度（加速度不相同的问题，中学阶段不宜采用整体法）或都处于平衡状态（即a=0）时，命题要研究的是外力，而非内力时，选整体为研究对象。
b ）整体法要分析的是外力，而不是分析整体中各物体间的相互作用力（内力）。
c）整体法的运用原则是先避开次要矛盾（未知的内力）突出主要矛盾（要研究的外力）这样一种辨证的思想。
（3）整体法、隔离法的交替运用
对于连结体问题，多数情况既要分析外力，又要分析内力，这时我们可以采取先整体（解决外力）后隔离（解决内力）的交叉运用方法，当然个别情况也可先隔离（由已知内力解决未知外力）再整体的相反运用顺序。
要点二：．共点力的平衡
一、共点力的平衡条件 在共点力作用下物体的平衡条件是合力为零，即或、。
二、解题方法
当物体在两个共点力作用下平衡时，这两个力一定等值反向；当物体在三个共点力作用 下平衡时，往往采用平行四边形定则或三角形定则；当物体在四个或四个以上共点力作用下 平衡时，往往采用正交分解法。
三、解共点力平衡问题的一般步骤
（1）选取研究对象。
（2）对所选研究对象进行受力分析，并画出受力图。
（3）对研究对象所受力进行处理一般情况下需要建立合适的直角坐标系，用正交分解法处理。
（4）建立平衡方程，若各力作用在同一直线上，可直接用
几个力不在同一直线上，可用与联立列出方程组。 的代数式冽方程，若 （5）解方程，必要时对结果进行讨论。
四、疑难导析
1、对平衡状态的理解
对于共点力作用下物体的平衡，不要认为只有静止才是平衡状态，匀速直线运动也是物体的平衡状态。因此，静止的物体一定平衡，但平衡的物体不一定静止。还需要注意，不要把速度为零和静止状态相混淆，静止状态是物体在一段时间内保持速度为零不变，其加速度为零，而物体速度为零可能是物体静止，也可能是物体做变速运动中的一个过渡状态，加速度不为零。由此可见，静止的物体速度一定为零，但速度为零的物体不一定静止。因此，静止的物体一定处于平衡状态，但速度为零的物体不一定处于平衡状态。
总之，共点力作用下的物体只要物体的加速度为零，它一定处于平衡状态，只要物体的加速度不为零，它一定处于非平衡状态。
2、平衡条件的推论
（1）如果物体在两个力的作用下处于平衡状态，这两个力必定大小相等、方向相反，为一对平衡力。
（2）如果物体在三个力的作用下处于平衡状态，其中任意两个力的合力一定与第三个力大小相等、方向相反。
（3）如果物体受多个力作用而处于平衡状态，其中任何一个力与其他力的合力大小相等、方向相反。
（4）当物体处于平衡状态时，沿任意方向物体所受的合力均为零。
（5）三力汇交原理：如果一个物体受到三个非平行力作用而平衡，这三个力的作用线必定在同一平面内，而且必为共点力。
3、解答平衡问题常用的物理方法
（1）隔离法与整体法
隔离法 为了弄清系统（接连体）内某个物体的受力和运动情况，一般可采用隔离法。运用隔离法解题的基本步骤是：
a ）明确研究对象或过程、状态；
b ）将某个研究对象、某段运动过程或某个状态从全过程中隔离出来；
c ）画出某状态下的受力图或运动过程示意图；
d ）选用适当的物理规律列方程求解。
整体法 当只涉及研究系统而不涉及系统内部某些物体的力和运动时，一般可采用整体法。运用整体法解题的基本步骤是：
a ）明确研究的系统和运动的全过程；
b ）画出系统整体的受力图和运动全过程的示意图；
c ）选用适当的物理规律列方程求解。
隔离法和整体法常常需交叉运用，从而优化解题思路和方法，使解题简捷明快。
（2）图解法分析动态平衡问题
所谓动态平衡问题是指通过控制某些物理量，使物体的状态发生缓慢变化，而在这个过程中物体又始终处于一系列的平衡状态，利用图解法解决此类问题的基本方法是：对研究对象在状态变化过程中的若干状态进行受力分析，依据某一参量的变化，在同一图中做出物体在若干状态下的平衡力图（力的平行四边形简化为三角形），再由动态的力四边形各边长度变化及角度变化确定力的大小及方向的变化情况。
（3）临界状态处理方法—假设法
某种物理现象变化为另一种物理现象的转折状态叫做临界状态，平衡物体的临界状态是指物体所处的平衡状态将要破坏、而尚未破坏的状态。解答平衡物体的临界问题时可用假设法。运用假设法解题的基本步骤是：
a ）明确研究对象；
b ）画受力图；
c ）假设可发生的临界现象；
d ）列出满足所发生的临界现象的平衡方程求解。
【题型透析】
类型一——如何进行受力分析
对物体进行受力分析，是解决力学问题的基础，是研究力学问题的重要方法，它贯穿于整个力学乃至整个教材之中，在整个高中物理学习的全过程中占有极重要的地位。 受力分析的方法：（1）整体法，隔离法；（2）假设法。
类型二——用图解法处理物体的动态平衡问题
当物体受三个力而平衡，其构成的矢量三角形中一个力大小、方向都不变，另一个力的方向不变，当判断由第三个力的大小和方向变化引起的变化时可用图解法。
例1. 现用两根绳子AO 和BO 悬挂一质量为10N 的小球，AO 绳的A 点固定
在竖直放置的圆环的环上，O 点为圆环的圆心，AO 绳与竖直方向的夹角为37 ，BO 绳的B 点可在环上滑动，已知每根绳子所能承受的最大拉力均为12N ，则在B 点沿环顺时针缓慢滑到N 的过程中（ C ）
A. 两根绳均不断 B. 两根绳同时断
C. AO绳先断 D. BO绳先断
例2. 所图所示，光滑斜面上安装一光滑挡板AO ，挡板可绕O 处铰链无摩擦转动，在挡板与斜面间放一匀质球，现使挡板从图示位置缓慢转至竖直位置，则此过程中球对挡板的压力的N 变化情况可能是（ ）。
A. 逐渐减小 B. 逐渐增大
C. 先减小后增大 D. 先增大后减小
例3. 有一个直角支架AOB ，AO 水平放置, 表面粗糙, OB竖直向
下, 表面光滑.AO 上套有小环P ，OB 上套有小环Q ，两环质量均为m ，两环由一根质量可忽略、不可伸长的细绳相连，并在某一位置平衡（如图所示）.
现将P 环向左移一小段距离，两环再次达到平衡，那么将移动后的平衡状态和原来的平衡状态比较，AO 杆对P 环的支持力FN 和摩擦力f 的变化情况是 A.FN 不变，f 变大 B.FN不变，f 变小
C.FN 变大，f 变大 D.FN变大，f 变小
例4. 如图所示，两根等长的绳子AB 和BC 吊一重物静止，两根绳子与水平方向夹角均为60°.现保持绳子AB 与水平方向的夹角不变，将绳子BC 逐渐缓慢地变化到沿水平方向，在这一过程中，绳子BC 的拉力变化情况是( )
A ．增大 B．先减小，后增大
C ．减小 D．先增大，后减小
类型三——相似三角形法在平衡问题中的应用
如果在对力利用平行四边形定则（或三角形定则）运算的过程中，力三角形与几何三角形相似，则可根据相似三角形对应边成比例等性质求解。
例5. 光滑的半球形物体固定在水平地面上，球心正上方有一光滑的小滑轮，轻绳的一端系一小球，靠放在半球上的A 点，另一端绕过定滑轮后用力拉住，使小球静止，如图所示。现缓慢地拉绳，在使小球沿球面由A 到B 的过程中，半球对小球的支持力
N 和绳对小球的拉力T 的大小变化情况是（ ）
A ．N 变大，T 变小
B ．N 变小，T 变大
C ．N 变小，T 先变小后变大
D ．N 不变，T 变小
例6. 如图所示，一可视为质点的小球A 用细线拴住系在O 点，在O 点正
下方固定一个小球B(也可视为质点) ．由于A 、B 两球间存在斥力，A 球被排斥开，当细线与竖直方向夹角为α时系统静止．由于某种原因，两球间的斥力减小导致α角减小．已知两球间的斥力总是沿着两球心的连线．试分析α角逐渐减小的过程中，细线的拉力如何变化？
例7．如图所示，AC 是上端带定滑轮的固定竖直杆，质量不计的轻杆BC 一端通过铰链固定在C 点，另一端B 悬挂一重为G 的重物，且B 端系有一根轻绳并绕过定滑轮A ，用力F 拉绳，开始时∠BCA ＞90°，现使∠BCA 缓慢变小，直到杆BC 接近竖直杆AC. 此过程中，杆BC 所受的力( )
A ．大小不变 B．逐渐增大
C ．先减小后增大 D ．先增大后减小
类型四——正交分解法在平衡问题中应用
正交分解法是解平衡问题最常用的方法，尤其是当物体受三个以上的力（不含三个）时，正交分解法更具有优越性，其关健是合理选取坐标及沿坐标轴方向列平衡方程。
例8. 用与竖直方向成α=30°斜向右上方，大小为F 的推力把一个重量为G 的木块压在粗糙竖直墙上保持静止. 求墙对木块的正压力大小N 和墙对木块的摩擦力大小f.
例9. 如图所示，将重力为G 的物体A 放在倾角θ的斜面上，物体与斜面间的动摩擦因
数为μ，那么对A 施加一个多大的水平力F ，可使物体沿斜面匀速上滑？
例10. 两刚性球a 和b 的质量分别为ma 和mb ，直径分别为da 和db(da>db)．将a 、b 依次放入一竖直放置、内径为d 的平底圆筒内，如图所示．设a 、b 两球静止时对圆筒侧面的压力大小分别为FN1和FN2，筒底所受的压力大小为F. 已知重力加速度为g. 若所有接触都是光滑的，则( )
A ．F ＝(ma＋mb)g FN1＝FN2
B ．F ＝(ma＋mb)g FN1≠FN2
C ．mag
D ．mag
类型五——共点力平衡中的临界与极值问题
1．临界问题：当某物理量变化时，会引起其他几个物理童的变化，从而使物体所处的平衡状态“恰好出现”或“恰好不出现”，在问题的描述中常用“刚好”、“刚能”、“恰能”等语言叙述。
解决这类问题的基本方法是假设推理法，即先假设怎样，然后再根据平衡条件及有关知识列方程求解。
例11. 如图所示，两个完全相同的小球，重力大小为G ，两物体与地面间的动摩擦因数均为μ，一根轻绳的两端固定在两个球上，在绳的中点施加一个竖直向上的拉力，当绳被拉直后，两段绳的夹角为θ，求当F 至少为多大时，两球将会发生相对滑动？
例12. 如图所示，两个木块的质量分别为m 1和m 2，两个轻质弹簧
的劲度分别为k 1和k 2，上面的木块压在上面的弹簧上（但不拴接），整个弹簧处于静止状态。现缓慢向上提上面的木块，直到它刚离开上面的弹簧，在这过程中下面木块移动的距离为 ，上面木块移动的距离为
2．极值问题：平衡物体的极值，一般指在力的变化过程中的最大值和最小值问题。 解决这类问题的方法常用：
（1）解析法：即根据物体的平衡条件列出方程，在解方程时，采用数学知识求极值或者根据物理临界条件求极值。
（2）图解法：即根据物体的平衡条件作出力的矢量图，画出平行四边形或者矢量三角形进行动态分析，确定最大值或最小值。
例13. 如图所示，用一个轻质三角支架悬挂重物，已知AB 杆所承受的最大压力为2 000 N，AC 绳所承受最大拉力为1 000 N，，为不使支架断裂，求悬挂
物的重力应满足的条件？
例14. 如图所示，两个质量均为m 的小环套在一水平放置的粗糙长杆上，两根长度均为l 的轻绳一端系在小环上，另一端系在质量为M 的木块上，两个小环之间的距离也为l ，小环保持静止．试求：
(1)小环对杆的压力；
(2)小环与杆之间的动摩擦因数μ至少为多大．
【典型例题】
例1. 一航天探测器完成对月球的探测任务后，在离开月球的过程中，由静止开始沿着与月球表面成一倾斜角的直线飞行，先加速运动，再匀速运动。探测器通过喷气而获得推动力。以下关于喷气方向的描述中正确的是
A. 探测器加速运动时，沿直线向后喷气
B. 探测器加速运动时，竖直向下喷气
C. 探测器匀速运动时，竖直向下喷气
D. 探测器匀速运动时，不需要喷气
解：探测器沿直线加速运动时，所受合力F 合方向与运动方向相同，而重力方向竖直向下，由平行四边形定则知推力方向必须斜向上方，因此喷气方向斜向下方。匀速运动时，所受合力为零，
因此推力方向必须竖直向上，喷气方向竖直向下. 选C
例5. 如图所示，在水平面上放有一质量为m 、与地面的动动摩擦因数为μ的物体，现用力F 拉物体，使其沿地面匀速运动，求F 的最小值及方向. (F min =μmg
μ2+1
，与水平方向的夹角为θ=arctanμ
)
解：以两环和细绳整体为对象求F N ，可知竖直方向上始终二力平衡，F N =2mg不变；以Q 环为对象，在重力、细绳拉力F 和OB 压力N 作用下平衡，设细绳和竖直方向的夹角为α，则P 环向左移的过程中α将减小，N=mgtanα也将减小。再以整体为对象，水平方向只有OB 对Q 的压力N 和OA 对P 环的摩擦力f 作用，因此f=N也减小. 答案选B.
答案：D
总结升华：物体受三个力而平衡，当三个力构成的矢量三角形因角度未知无法用正弦定理求解时，可优先考虑在边长已知的前提下用相似三角形法。
【针对训练】
1. 如图所示，一个半球形的碗放在桌面上，碗口水平，碗的内表面及碗口是光滑的. 一根细线跨在碗口上，线的两端分别细有质量为m 1和m 2的小球，当它们处于平衡状态时，质量为
0m 1的小球与O 点的连线与水平线的夹角为α=60. 两小球的质量比为（ ） 22A. B. C. D. 3322
2. 如图所示，人重600N ，木板重400N ，人与木板、木板与地面间的动摩擦因数
皆为0.2，现在人用水平力拉绳，使他与木块一起向右匀速运动，则（ ）
A. 人拉绳的力是200N B.人拉绳的力是100N
C. 人的脚给木块摩擦力向右 D.人的脚给木块摩擦力向左
4. 如图所示，两个固定的光滑硬杆OA 与OB ，夹角为θ，各套一轻环C 、D ，
C 且C 、D 用细绳相连，现在用一水平恒力F 沿OB 方向拉环D ，当两环平衡时，
绳子的拉力是多大?
5. 如图所示, 均匀杆AB 重为G,A 端用细绳吊在O 点, 在B 端加一水平力F, 使AB 静止, 此时杆与水平方向夹角为α, 细绳与竖直方向成θ角, 则( )
A. 拉力F 一定大于G B. 绳子拉力T 一定大于G C.AB 杆与水平夹角α必小于θ D.F 足够大时细绳可在水平方向上
B
8. 如图所示，劲度系数分别为K 1、K 2的轻弹簧竖直悬挂着，两弹簧间有一质量为m 的重物，最下端挂一质量也为m 的重物，用竖直向上的力F 托着下端重物，整个装置处于静止状态，此时两弹簧的总长正好等于两弹簧原长之和，则该力F=
10. 一质量为m 的物体放在倾角为θ的斜面上，如果物体能沿斜面匀速下滑，则物体与斜面间的动摩擦因数为 ；如果在此物体上作用一个水平力使物体静
止在斜面上，水平力大小mgtg θ，这时物体与斜面间的摩擦力为
11. 如图所示，质量为m 1=0. 4kg 的物体A 与质量为m 2=2kg 的物体B 叠放在倾角为30︒的斜面上，物体B 在平行于斜面向上的拉力F 作用下匀速运动，已知
A 、B 总保持相对静止，若A 、B 间的动摩擦因数均为0. 43，B 与斜面间的动摩擦因数为3/4，求：
（1）则A 、B 间的摩擦力为多少？
（2）拉力F 为多少？