最新全国1数学试卷理高考试卷科电子版

最新全国（1）2015 年普通高等学校招生全国统 一考试 理科数学注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.第Ⅰ卷 1 至 3 页，第Ⅱ卷 3 至 5 页. 2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置. 3.全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效. 4. 考试结束后，将本试题和答题卡一并交回.第Ⅰ卷一. 选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的. 1+z （1） 设复数 z 满足 ＝i，则|z|＝ 1 z (A)1 (B) 2 (C) 3 (D)2 (2)sin20°cos10°－con160°sin10°＝ 1 1 3 3 (A)  (B) (C)  (D) 2 2 2 2 n 2 (3)设命题 P：  n  N， n > 2 ，则  P 为 (A)  n  N， n2 > 2n (B)  n  N， n2 ≤ 2n (C)  n  N， n2 ≤ 2n (D)  n  N， n2 ＝ 2n (4)投篮测试中， 每人投 3 次， 至少投中 2 次才能通过测试.已知某同学每次投篮投 中的概率为 0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为 (A)0.648 (B)0.432 (C)0.36 (D)0.312 x2 (5)已知 M(x0，y0)是双曲线 C：  y 2  1 上的一点，F1、F2 是 C 上的两个焦点， 2 若 MF1  MF2 ＜0，则 y0 的取值范围是3 3 3 3 ， ) (B)(－ ， ) 3 3 6 6 2 2 2 2 2 3 2 3 (C)(  ， ) (D)(  ， ) 3 3 3 3 (6)《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题:“今有委米依垣 内角，下周八尺，高五尺.问:积及为米几何?”其意思为:“在屋内墙角处堆放米(如图，米 堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧度为 8 尺，米堆的高为 5 尺，问米堆的体积和 堆放的米各为多少?”已知 1 斛米的体积约为 1.62 立方尺，圆周率约为 3，估算出堆放斛 的米约有(A)(－(A)14 斛(B)22 斛(C)36 斛(D)66 斛(7)设 D 为 ABC 所在平面内一点 BC  3CD ，则 1 4 1 4 (A) AD   AB  AC (B) AD  AB  AC 3 3 3 3 4 1 4 1 (C) AD  AB  AC (D) AD  AB  AC 3 3 3 3 (8)函数 f(x)＝ (A)( (C)( )，k )，k 的部分图像如图所示，则 f(x)的单调递减区间为 (b)( (D)( )，k )，k(9)执行右面的程序框图，如果输入的 t＝0.01，则输出的 n＝ (A)5 (B)6 (C)7 (D)8（10） ( x2  x  y)5 的展开式中， x5 y 2 的系数为 (A)10 (B)20 (C)30(D)602 r（11）圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为 r)组成一个几何体， （12）该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示.若该几何体的 （13）表面积为 16 ＋ 20  ，则 r＝ 正视图 (A)1 (B)2 (C)4 (D)8 rr12.设函数 f(x)＝ex(2x－1)－ax＋a，其中 a 1，若存在唯一的 整数 x0，使得 f(x0) 0，则 a 的取值范围是( ) 3 3 3 3 3 3 A.[  ，1) B. [  , ) C. [ , ) D. [ ，1) 2e 4 2e 4 2e 2e2 r 俯视图第 II 卷本卷包括必考题和选考题两部分.第(13)题~第(21)题为必考题， 每个试题考生都必须作答. 第(22)题~第(24)题未选考题，考生根据要求作答. 二、填空题：本大题共 3 小题，每小题 5 分 (13)若函数 f(x)＝xln(x＋ a  x2 )为偶函数，则 a＝ (14)一个圆经过椭圆 的三个顶点， 且圆心在 x 轴上， 则该圆的标准方程为 . . .x 1  0 y  (15)若 x，y 满足约束条件  x  y  0 ，则 的最大值为 x x  y  4  0 (16)在平面四边形 ABCD 中， ∠A＝∠B＝∠C＝75°， BC＝2， 则 AB 的取值范围是 三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. (17)(本小题满分 12 分) Sn 为数列{an}的前 n 项和.已知 an>0， (Ⅰ)求{an}的通项公式： (Ⅱ)设 ，求数列 }的前 n 项和E F D B C(18)如图，四边形 ABCD 为菱形，∠ABC＝120°， E，F 是平面 ABCD 同一侧的两点，BE⊥平面 ABCD， DF⊥平面 ABCD，BE＝2DF，AE⊥EC. A (1)证明：平面 AEC⊥平面 AFC (2)求直线 AE 与直线 CF 所成角的余弦值(19)某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费 x(单位：千元)对年 销售量 y(单位： t)和年利润 z(单位： 千元)的影响， 对近 8 年的年宣传费 xi 和年销售量 yi(i ＝1，2， · · · ，8)数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值.年 销 售 量 /t年宣传费(千元)8 8x46.6y56.3w6.8， ，i=1(xi－ x )2 289.8i=1(wi－ w )2 1.6i=18(xi－ x )(yi－i=18(wi－y)1469w )(yi－ y )108.8表中 wi ＝ x iw ＝1 8i=18wi(Ⅰ)根据散点图判断，y＝a＋bx 与 y＝c＋d x 哪一个适宜作为年销售量 y 关于年宣传费 x 的回归方程类型？(给出判断即可，不必说明理由)(Ⅱ)根据(Ⅰ)的判断结果及表中数据，建立 y 关于 x 的回归方程； (Ⅲ)以知这种产品的年利率 z 与 x、 y 的关系为 z＝0.2y－x.根据(Ⅱ)的结果回答下列问题： （i） 年宣传费 x＝49 时，年销售量及年利润的预报值是多少？ （ii） 年宣传费 x 为何值时，年利率的预报值最大？ 附：对于一组数据(u1 v1)，(u2 v2)„„.. (un vn)，其回归线 v＝    u 的斜率和 截距的最小二乘估计分别为： (u  u )(v  v)i 1 i in (u  u )i 1 in,  v   u2(20)(本小题满分 12 分)x2 与直线 l:y＝kx＋a(a>0)交于 M，N 两点， 4 (Ⅰ)当 k＝0 时，分别求 C 在点 M 和 N 处的切线方程； (Ⅱ)y 轴上是否存在点 P，使得当 k 变动时，总有∠OPM＝∠OPN？说明理由.在直角坐标系 xoy 中，曲线 C：y＝(21)(本小题满分 12 分)1 已知函数 f(x)＝ x 3  ax  , g ( x)   ln x 4 (Ⅰ)当 a 为何值时，x 轴为曲线 y  f ( x) 的切线；(Ⅱ)用 minm, n表示 m，n 中的最小值，设函数 h( x)  min  f ( x), g( x) (x  0)，讨论h(x)零点的个数 请考生在(22)、(23)、(24)三题中任选一题作答.注意：只能做所选定的题目.如果多做，则按所做第一个题目计分，做答时，请用 2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑. (22)(本题满分 10 分)选修 4－1：几何证明选讲 如图，AB 是☉O 的直径，AC 是☉O 的切线，BC 交☉O 于点 EC E D A BO（I） 若 D 为 AC 的中点，证明：DE 是☉O 的切线； （II） 若 OA＝ 3 CE，求∠ACB 的大小.(23)(本小题满分 10 分)选修 4－4：坐标系与参数方程 在直角坐标系 xOy 中.直线 C1 :x＝－2， 圆 C2 ： (x－1)2＋(y－2)2＝1， 以坐标原点为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系. （I） 求 C1 ， C2 的极坐标方程； （II） 若直线 C3 的极坐标方程为   的面积4   R  ，设 C2 与 C3 的交点为 M ，N，求△C2MN(24)(本小题满分 10 分)选修 4—5：不等式选讲 已知函数 ＝|x＋1|－2|x－a|，a>0.(Ⅰ)当 a＝1 时，求不等式 f(x)>1 的解集； (Ⅱ)若 f(x)的图像与 x 轴围成的三角形面积大于 6，求 a 的取值范围2015 年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学试题答案 A 卷选择题答案 一、 选择题 （1）A （2）D （7）A （8）D A、B 卷非选择题答案 二、填空题 （13）1（3）C （9）C（4）A （10）C（5）A （11）B（6）B （12）D3 25 （14） ( x  ) 2  y 2  2 4（15）3（16）二、 解答题（17）解：2 2 （I）由 an  2an  4Sn  3 ，可知 an 1  2an1  4Sn1  3. 2 2 可得 an 1  an  2(an1  a)  4an1 即2 2 2(an1  an )  an 1  an  (an1  a)(an1  a) 由于 an  0 可得 an1  an  2.又 a12  2a1  4a1  3 ，解得 a1  1(舍去)，a1  3所以 an  是首相为 3，公差为 2 的等差数列，通项公式为 an  2n  1. （II）由 an  2n  1 1 1 1 1 1 bn    (  ). an a1 (2n  1)(2n  3) 2 2n  1 2n  3 设数列 bn  的前 n 项和为 Tn ，则Tn  b1  b2  bn( 1 1  )( ) 2n  1 2n  3  1 1 1 1 1 (  )(  )  2 3 5 5 7 n  . 3(2n  3)（18）解： （I）连结 BD，设 BD AC=G，连结 EG，FG，EF. 在菱形 ABCD 中不妨设 GB=1.由  ABC=120°， 可得 AG=GC= 3 .由 BE  平面 ABCD, AB=BC 可知 AE=EC. 又 AE  EC，所以 EG= 3 ，且 EG  AC.在 Rt  EBG 中，2 6 .在 Rt  FDG 中，可得 FG= . 2 2 2 在直角梯形 BDFE 中，由 BD=2，BE= 2 ，DF= ， 2 3 2 可得 FE= .从而 EG2  FG2  EF 2 , 所以EG  FG 2 又 AC FG  G, 可得EG  平面AFC. 因为 EG  平面AEC 所以平面 AEC  平面AFC可得 BE= 2 故 DF=（III）如图，以 G 为坐标原点，分别以 GB，GC 的方向为 x 轴，y 轴正方向，GB 为单位长，建立空间直角坐标系 G-xyz.2 由（I）可得 A(0，  3,0), E (1， 0，2), F (1， 0， ), C (0，3,0) 所以 2 AE  CF 3 2 AE  (1，3 2), CF  (1，3, ). 故 cos AE, CF   . 2 3 AE  CF 3 所以直线 AE 与直线 CF 所成直角的余弦值为 . 3（19）解： （ I）由散点图可以判断， y  c  d x 适宜作为年销售量 y 关于年宣传费 x 的回归方程类 型。 „„2 分 （II）令 w nx ，先建立 y 关于 w 的线性回归方程。由于ˆ d (w  w)( y  y )i 1 i i (w  w)i 1 in2108.8  68 1.6ˆ  563  68 6.8  100.6 。 ˆ  y  dw c ˆ  1 0 0 . 6 w 68 所以 y 关于 w 的线性回归方程为 y ，因此 y 关于 x 的回归方程为ˆ  100.6  68 x 。 y（III） （i）由（II）知，当 x=49 时，年销售量 y 的预报值„„6 分ˆ  100.6  68 49  576.6 y年利润 z 的预报值ˆ  576.6  0.2  49  66.32 。 z„„9 分（ii）根据（II）的结果知，年利润 z 的预报值ˆ  0.2(100.6  68 x )  x  x  13.6 x  20.12 z 13.6 ˆ 取得最大值  6.8 ，即 x=46.24 时， z 所以当 x  2故年宣传费为 46.24 千元时，年利润的预报值最大。 „„12 分（20）解：x x2  （I）有题设可得 M (2 a , a), N (2 a , a), 或M （-2 a ,a）.又 y = ，故y  在x  2 a 2 4 处 的 导 数 值 为 a ， C 在 点 ( 2 a a, 出 ) 的 切 线 方 程 为y  a  a ( x  2 a ),即 ax  y  a  0 x2 y  在x  2 a ，即 ax  y  a  0 . 4 股所求切线方程为 ax  y  a  0和 a x  y  a  0 （III）存在符合题意的点，证明如下： 设 P(0，b)为符合题意的点，M(x,y),N(x,y)直线 PM，PN 的斜率分别为 k1 , k2y  kx  a代入C的方程得x2  4kx  4a  0. 故 x1  x2  4k , x1 x2  4a.从而 kx  a代入C的方程得x2  4kx  4a  0. 故x1  x2  4k , x1x2  4a. y  b y2  b 从而k1  k 2  1  x1 x22kx1 x2  (a  b)( x1  x2 ) x1 x2 k (a  b) a当 b=-a 时，有 k1  k2  0, 则直线PM的倾角与直线PN的倾角互补，故OPM=OPN，所以点P(0,-a)符合题意 （21）解：( x0 , 0)则f ( x0 )  0, f ( x0 )  0即 1  3   x0  ax0   0  （I）设曲线 y=f(x)与 x 轴相切于点  4  3x 2  a  0   0  1 3 解得x0 , a   2 4 3 因此，当 a   时，x轴为曲线y  f ( x)的切线 4 （II）当 x  (1, )时，g( x)  1nx  0, 从而h(x)=min f ( x), g( x)  g( x)  0, 故h( x)在(1, )无零点5 5 当x  1时，若a   则f (1)  a   0, h(1)  min  f (1), g (1)  g (1)  0, 故x  4 4 5 是 h( x)的零点；若a   , 则f(1)考虑 0. (x) f在（0,1）的零点个数 2 （i）若a  -3或a  0,则f （x）=3x +a在（1,0）无零点，故f(x)在（0,1）单调 1 5 f (0)  , f (1)a  , 所以当a  -3时，f(x)在（0,1）有一个零点；当a  0时f(x)在（1,0）没有零点 4 4 a a (ii)若  3  a  0, 则f ( x)在（0， )单调递减，在（  ,1）单调递增，故在（0,1）中 3 3a 2a a 1 当x   a )   3 时，f ( x)取得最小值，最小值为f (  3 3 3 4a 3 ①若f (  )  0.即   a  0, f ( x)在（0,1）无零点； 3 4 a 3 ②若f(  )=0,即a =- 则f ( x)在(0,1)有唯一零点 3 4 a 3 1 5 3 ③若f (  )  0, 即  3  a   ,由于f (0)  , f (1)  a   a   3 4 4 4 45 时，f ( x)在（0,1）有两个零点；当-3（22）解： （I）链接 AE，由已知得， AE  BC AC  AB在 Rt AEC 中，由已知得，DE=DC 故 DEC  DCE 链接 OE，则  OBE=  OEB 又  ACB+  ABC=90°所以  DEC+  OEB=90°o 故 OED  90 ，DE 是 O 得切线（II）设 CE=1，AE=X，由已知得 AB  2 3 ， BE  12  x2 由摄影定理可得，AE=CE.BE，所以 x2  12  x2 即 x  x  12  04 2可得 x  3 ，所以 ACB  60o（23）解： （I）因为 x   cos  ， y   sin  ，所以 C1 的极坐标方程为  cos   2 ， C2 的极坐标方程 为  2  2 cos  4 sin   4  0 。 （II）将   „„5 分4代入  2  2 cos  4 sin   4  0 ，得  2  3 2  4 0 ，解得 1  2 2 ，2  2 。故 1  2  2 ，即 MN  2 。由于 C2 的半径为 1，所以 C2 MN 的面积为1 。 2„„10 分（24）解：（I）当 a  1 时， f  x   1 化为 x  1  2 x 1 1  0 ， 当 x  1 时，不等式化为 x  4  0 ，无解；2  x  1； 3 当 x  1 时，不等式化为  x  2  0 ，解得 1  x  2 。  2  所以 f  x   1 的解集为  x  x  2  。  3   x  1  2a, x  1,  （II）由题设可得， f  x   3 x  1  2a, 1  x  a,   x  1  2a, x  a, 当 1  x  1 时，不等式化为 3 x  2  0 ，解得 所以函数 f  x  的图像与 x 轴围成的三角形的三个顶点分别为 A „„5 分 2a  1  , 0  ， B  2a  1,0 ，  3 C  a, a  1 ， ABC 的面积为由题设得2 2  a  1 。 32 2  a  1  6 ，故 a  2 。 3 所以 a 的取值范围为  2, „„10 分B 卷选择题 一、 选择题 （1）D（2）A （3）C （4）A (5) D (6) B (7) D (8) A (9) C (10) C (11) B (12) A

最新全国（1）2015 年普通高等学校招生全国统 一考试 理科数学注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.第Ⅰ卷 1 至 3 页，第Ⅱ卷 3 至 5 页. 2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置. 3.全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效. 4. 考试结束后，将本试题和答题卡一并交回.第Ⅰ卷一. 选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的. 1+z （1） 设复数 z 满足 ＝i，则|z|＝ 1 z (A)1 (B) 2 (C) 3 (D)2 (2)sin20°cos10°－con160°sin10°＝ 1 1 3 3 (A)  (B) (C)  (D) 2 2 2 2 n 2 (3)设命题 P：  n  N， n > 2 ，则  P 为 (A)  n  N， n2 > 2n (B)  n  N， n2 ≤ 2n (C)  n  N， n2 ≤ 2n (D)  n  N， n2 ＝ 2n (4)投篮测试中， 每人投 3 次， 至少投中 2 次才能通过测试.已知某同学每次投篮投 中的概率为 0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为 (A)0.648 (B)0.432 (C)0.36 (D)0.312 x2 (5)已知 M(x0，y0)是双曲线 C：  y 2  1 上的一点，F1、F2 是 C 上的两个焦点， 2 若 MF1  MF2 ＜0，则 y0 的取值范围是3 3 3 3 ， ) (B)(－ ， ) 3 3 6 6 2 2 2 2 2 3 2 3 (C)(  ， ) (D)(  ， ) 3 3 3 3 (6)《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题:“今有委米依垣 内角，下周八尺，高五尺.问:积及为米几何?”其意思为:“在屋内墙角处堆放米(如图，米 堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧度为 8 尺，米堆的高为 5 尺，问米堆的体积和 堆放的米各为多少?”已知 1 斛米的体积约为 1.62 立方尺，圆周率约为 3，估算出堆放斛 的米约有(A)(－(A)14 斛(B)22 斛(C)36 斛(D)66 斛(7)设 D 为 ABC 所在平面内一点 BC  3CD ，则 1 4 1 4 (A) AD   AB  AC (B) AD  AB  AC 3 3 3 3 4 1 4 1 (C) AD  AB  AC (D) AD  AB  AC 3 3 3 3 (8)函数 f(x)＝ (A)( (C)( )，k )，k 的部分图像如图所示，则 f(x)的单调递减区间为 (b)( (D)( )，k )，k(9)执行右面的程序框图，如果输入的 t＝0.01，则输出的 n＝ (A)5 (B)6 (C)7 (D)8（10） ( x2  x  y)5 的展开式中， x5 y 2 的系数为 (A)10 (B)20 (C)30(D)602 r（11）圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为 r)组成一个几何体， （12）该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示.若该几何体的 （13）表面积为 16 ＋ 20  ，则 r＝ 正视图 (A)1 (B)2 (C)4 (D)8 rr12.设函数 f(x)＝ex(2x－1)－ax＋a，其中 a 1，若存在唯一的 整数 x0，使得 f(x0) 0，则 a 的取值范围是( ) 3 3 3 3 3 3 A.[  ，1) B. [  , ) C. [ , ) D. [ ，1) 2e 4 2e 4 2e 2e2 r 俯视图第 II 卷本卷包括必考题和选考题两部分.第(13)题~第(21)题为必考题， 每个试题考生都必须作答. 第(22)题~第(24)题未选考题，考生根据要求作答. 二、填空题：本大题共 3 小题，每小题 5 分 (13)若函数 f(x)＝xln(x＋ a  x2 )为偶函数，则 a＝ (14)一个圆经过椭圆 的三个顶点， 且圆心在 x 轴上， 则该圆的标准方程为 . . .x 1  0 y  (15)若 x，y 满足约束条件  x  y  0 ，则 的最大值为 x x  y  4  0 (16)在平面四边形 ABCD 中， ∠A＝∠B＝∠C＝75°， BC＝2， 则 AB 的取值范围是 三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. (17)(本小题满分 12 分) Sn 为数列{an}的前 n 项和.已知 an>0， (Ⅰ)求{an}的通项公式： (Ⅱ)设 ，求数列 }的前 n 项和E F D B C(18)如图，四边形 ABCD 为菱形，∠ABC＝120°， E，F 是平面 ABCD 同一侧的两点，BE⊥平面 ABCD， DF⊥平面 ABCD，BE＝2DF，AE⊥EC. A (1)证明：平面 AEC⊥平面 AFC (2)求直线 AE 与直线 CF 所成角的余弦值(19)某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费 x(单位：千元)对年 销售量 y(单位： t)和年利润 z(单位： 千元)的影响， 对近 8 年的年宣传费 xi 和年销售量 yi(i ＝1，2， · · · ，8)数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值.年 销 售 量 /t年宣传费(千元)8 8x46.6y56.3w6.8， ，i=1(xi－ x )2 289.8i=1(wi－ w )2 1.6i=18(xi－ x )(yi－i=18(wi－y)1469w )(yi－ y )108.8表中 wi ＝ x iw ＝1 8i=18wi(Ⅰ)根据散点图判断，y＝a＋bx 与 y＝c＋d x 哪一个适宜作为年销售量 y 关于年宣传费 x 的回归方程类型？(给出判断即可，不必说明理由)(Ⅱ)根据(Ⅰ)的判断结果及表中数据，建立 y 关于 x 的回归方程； (Ⅲ)以知这种产品的年利率 z 与 x、 y 的关系为 z＝0.2y－x.根据(Ⅱ)的结果回答下列问题： （i） 年宣传费 x＝49 时，年销售量及年利润的预报值是多少？ （ii） 年宣传费 x 为何值时，年利率的预报值最大？ 附：对于一组数据(u1 v1)，(u2 v2)„„.. (un vn)，其回归线 v＝    u 的斜率和 截距的最小二乘估计分别为： (u  u )(v  v)i 1 i in (u  u )i 1 in,  v   u2(20)(本小题满分 12 分)x2 与直线 l:y＝kx＋a(a>0)交于 M，N 两点， 4 (Ⅰ)当 k＝0 时，分别求 C 在点 M 和 N 处的切线方程； (Ⅱ)y 轴上是否存在点 P，使得当 k 变动时，总有∠OPM＝∠OPN？说明理由.在直角坐标系 xoy 中，曲线 C：y＝(21)(本小题满分 12 分)1 已知函数 f(x)＝ x 3  ax  , g ( x)   ln x 4 (Ⅰ)当 a 为何值时，x 轴为曲线 y  f ( x) 的切线；(Ⅱ)用 minm, n表示 m，n 中的最小值，设函数 h( x)  min  f ( x), g( x) (x  0)，讨论h(x)零点的个数 请考生在(22)、(23)、(24)三题中任选一题作答.注意：只能做所选定的题目.如果多做，则按所做第一个题目计分，做答时，请用 2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑. (22)(本题满分 10 分)选修 4－1：几何证明选讲 如图，AB 是☉O 的直径，AC 是☉O 的切线，BC 交☉O 于点 EC E D A BO（I） 若 D 为 AC 的中点，证明：DE 是☉O 的切线； （II） 若 OA＝ 3 CE，求∠ACB 的大小.(23)(本小题满分 10 分)选修 4－4：坐标系与参数方程 在直角坐标系 xOy 中.直线 C1 :x＝－2， 圆 C2 ： (x－1)2＋(y－2)2＝1， 以坐标原点为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系. （I） 求 C1 ， C2 的极坐标方程； （II） 若直线 C3 的极坐标方程为   的面积4   R  ，设 C2 与 C3 的交点为 M ，N，求△C2MN(24)(本小题满分 10 分)选修 4—5：不等式选讲 已知函数 ＝|x＋1|－2|x－a|，a>0.(Ⅰ)当 a＝1 时，求不等式 f(x)>1 的解集； (Ⅱ)若 f(x)的图像与 x 轴围成的三角形面积大于 6，求 a 的取值范围2015 年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学试题答案 A 卷选择题答案 一、 选择题 （1）A （2）D （7）A （8）D A、B 卷非选择题答案 二、填空题 （13）1（3）C （9）C（4）A （10）C（5）A （11）B（6）B （12）D3 25 （14） ( x  ) 2  y 2  2 4（15）3（16）二、 解答题（17）解：2 2 （I）由 an  2an  4Sn  3 ，可知 an 1  2an1  4Sn1  3. 2 2 可得 an 1  an  2(an1  a)  4an1 即2 2 2(an1  an )  an 1  an  (an1  a)(an1  a) 由于 an  0 可得 an1  an  2.又 a12  2a1  4a1  3 ，解得 a1  1(舍去)，a1  3所以 an  是首相为 3，公差为 2 的等差数列，通项公式为 an  2n  1. （II）由 an  2n  1 1 1 1 1 1 bn    (  ). an a1 (2n  1)(2n  3) 2 2n  1 2n  3 设数列 bn  的前 n 项和为 Tn ，则Tn  b1  b2  bn( 1 1  )( ) 2n  1 2n  3  1 1 1 1 1 (  )(  )  2 3 5 5 7 n  . 3(2n  3)（18）解： （I）连结 BD，设 BD AC=G，连结 EG，FG，EF. 在菱形 ABCD 中不妨设 GB=1.由  ABC=120°， 可得 AG=GC= 3 .由 BE  平面 ABCD, AB=BC 可知 AE=EC. 又 AE  EC，所以 EG= 3 ，且 EG  AC.在 Rt  EBG 中，2 6 .在 Rt  FDG 中，可得 FG= . 2 2 2 在直角梯形 BDFE 中，由 BD=2，BE= 2 ，DF= ， 2 3 2 可得 FE= .从而 EG2  FG2  EF 2 , 所以EG  FG 2 又 AC FG  G, 可得EG  平面AFC. 因为 EG  平面AEC 所以平面 AEC  平面AFC可得 BE= 2 故 DF=（III）如图，以 G 为坐标原点，分别以 GB，GC 的方向为 x 轴，y 轴正方向，GB 为单位长，建立空间直角坐标系 G-xyz.2 由（I）可得 A(0，  3,0), E (1， 0，2), F (1， 0， ), C (0，3,0) 所以 2 AE  CF 3 2 AE  (1，3 2), CF  (1，3, ). 故 cos AE, CF   . 2 3 AE  CF 3 所以直线 AE 与直线 CF 所成直角的余弦值为 . 3（19）解： （ I）由散点图可以判断， y  c  d x 适宜作为年销售量 y 关于年宣传费 x 的回归方程类 型。 „„2 分 （II）令 w nx ，先建立 y 关于 w 的线性回归方程。由于ˆ d (w  w)( y  y )i 1 i i (w  w)i 1 in2108.8  68 1.6ˆ  563  68 6.8  100.6 。 ˆ  y  dw c ˆ  1 0 0 . 6 w 68 所以 y 关于 w 的线性回归方程为 y ，因此 y 关于 x 的回归方程为ˆ  100.6  68 x 。 y（III） （i）由（II）知，当 x=49 时，年销售量 y 的预报值„„6 分ˆ  100.6  68 49  576.6 y年利润 z 的预报值ˆ  576.6  0.2  49  66.32 。 z„„9 分（ii）根据（II）的结果知，年利润 z 的预报值ˆ  0.2(100.6  68 x )  x  x  13.6 x  20.12 z 13.6 ˆ 取得最大值  6.8 ，即 x=46.24 时， z 所以当 x  2故年宣传费为 46.24 千元时，年利润的预报值最大。 „„12 分（20）解：x x2  （I）有题设可得 M (2 a , a), N (2 a , a), 或M （-2 a ,a）.又 y = ，故y  在x  2 a 2 4 处 的 导 数 值 为 a ， C 在 点 ( 2 a a, 出 ) 的 切 线 方 程 为y  a  a ( x  2 a ),即 ax  y  a  0 x2 y  在x  2 a ，即 ax  y  a  0 . 4 股所求切线方程为 ax  y  a  0和 a x  y  a  0 （III）存在符合题意的点，证明如下： 设 P(0，b)为符合题意的点，M(x,y),N(x,y)直线 PM，PN 的斜率分别为 k1 , k2y  kx  a代入C的方程得x2  4kx  4a  0. 故 x1  x2  4k , x1 x2  4a.从而 kx  a代入C的方程得x2  4kx  4a  0. 故x1  x2  4k , x1x2  4a. y  b y2  b 从而k1  k 2  1  x1 x22kx1 x2  (a  b)( x1  x2 ) x1 x2 k (a  b) a当 b=-a 时，有 k1  k2  0, 则直线PM的倾角与直线PN的倾角互补，故OPM=OPN，所以点P(0,-a)符合题意 （21）解：( x0 , 0)则f ( x0 )  0, f ( x0 )  0即 1  3   x0  ax0   0  （I）设曲线 y=f(x)与 x 轴相切于点  4  3x 2  a  0   0  1 3 解得x0 , a   2 4 3 因此，当 a   时，x轴为曲线y  f ( x)的切线 4 （II）当 x  (1, )时，g( x)  1nx  0, 从而h(x)=min f ( x), g( x)  g( x)  0, 故h( x)在(1, )无零点5 5 当x  1时，若a   则f (1)  a   0, h(1)  min  f (1), g (1)  g (1)  0, 故x  4 4 5 是 h( x)的零点；若a   , 则f(1)考虑 0. (x) f在（0,1）的零点个数 2 （i）若a  -3或a  0,则f （x）=3x +a在（1,0）无零点，故f(x)在（0,1）单调 1 5 f (0)  , f (1)a  , 所以当a  -3时，f(x)在（0,1）有一个零点；当a  0时f(x)在（1,0）没有零点 4 4 a a (ii)若  3  a  0, 则f ( x)在（0， )单调递减，在（  ,1）单调递增，故在（0,1）中 3 3a 2a a 1 当x   a )   3 时，f ( x)取得最小值，最小值为f (  3 3 3 4a 3 ①若f (  )  0.即   a  0, f ( x)在（0,1）无零点； 3 4 a 3 ②若f(  )=0,即a =- 则f ( x)在(0,1)有唯一零点 3 4 a 3 1 5 3 ③若f (  )  0, 即  3  a   ,由于f (0)  , f (1)  a   a   3 4 4 4 45 时，f ( x)在（0,1）有两个零点；当-3（22）解： （I）链接 AE，由已知得， AE  BC AC  AB在 Rt AEC 中，由已知得，DE=DC 故 DEC  DCE 链接 OE，则  OBE=  OEB 又  ACB+  ABC=90°所以  DEC+  OEB=90°o 故 OED  90 ，DE 是 O 得切线（II）设 CE=1，AE=X，由已知得 AB  2 3 ， BE  12  x2 由摄影定理可得，AE=CE.BE，所以 x2  12  x2 即 x  x  12  04 2可得 x  3 ，所以 ACB  60o（23）解： （I）因为 x   cos  ， y   sin  ，所以 C1 的极坐标方程为  cos   2 ， C2 的极坐标方程 为  2  2 cos  4 sin   4  0 。 （II）将   „„5 分4代入  2  2 cos  4 sin   4  0 ，得  2  3 2  4 0 ，解得 1  2 2 ，2  2 。故 1  2  2 ，即 MN  2 。由于 C2 的半径为 1，所以 C2 MN 的面积为1 。 2„„10 分（24）解：（I）当 a  1 时， f  x   1 化为 x  1  2 x 1 1  0 ， 当 x  1 时，不等式化为 x  4  0 ，无解；2  x  1； 3 当 x  1 时，不等式化为  x  2  0 ，解得 1  x  2 。  2  所以 f  x   1 的解集为  x  x  2  。  3   x  1  2a, x  1,  （II）由题设可得， f  x   3 x  1  2a, 1  x  a,   x  1  2a, x  a, 当 1  x  1 时，不等式化为 3 x  2  0 ，解得 所以函数 f  x  的图像与 x 轴围成的三角形的三个顶点分别为 A „„5 分 2a  1  , 0  ， B  2a  1,0 ，  3 C  a, a  1 ， ABC 的面积为由题设得2 2  a  1 。 32 2  a  1  6 ，故 a  2 。 3 所以 a 的取值范围为  2, „„10 分B 卷选择题 一、 选择题 （1）D（2）A （3）C （4）A (5) D (6) B (7) D (8) A (9) C (10) C (11) B (12) A