分类、想象思想的运用 一、 方法思想
1. 分类思想方法是一种逻辑划分，在研究与解决数学问题时，按照某一确定的标准在比较的基础上，将
数学对象划分为若干既有联系又有区别的部分。“比较”是分类的前提，“分类”是比较的结果。 2. 分类一种是对题目问题的归类，一种是在解决问题、求解的过程中出现的情况分类讨论。
3. 分类时应注意以下几个方面的内容：①注意信息之间的共性；②注意信息之间的差异；③注意已知与
未知的联系；④注意选择适当的观察角度；⑤注意找出有关的隐含信息。
4. 对问题的归类，就是根据题目的类型对它进行归类划分，题目中出现了什么问题内容，是关于哪方面
的，其中含有哪些包含的知识信息，与此有关的或接近的有哪些常用的解题方法。按性质把数学问题分类的好处是，由于同一种类型的问题性质十分相似，其解法也非常接近，把他们的共同点提炼出来，就能够形成对于该类问题比较容易凑效的某种解题模式。 5. 想象包含：联想、设想、猜想。
6. 联想一种是指对题目类型的分类联想，一种是指对题目解决所需知识内容的联想。其中引起联想的是
题目中所出现的条件信息。设想是指对问题解决的一种规划或对解决途径的一种设计尝试；一般情况应分两种设想尝试：先对未知和已知的直接联系，或直接知识使用的联想；如果不行，再使用变换转化进行分析求解。 二、 例题应用
例： １、在锐角∆A B C 中，tan(A +B ) =2tan A ，求tan B 的最大值．
例： ２、在∆A B C 中，b cos B 是a cos C , c cos A 的等差中项．
（1） 求B 的大小； （2）
若a +c =
例： ３、在∆A B C 中，已知2sin
2
b =2，求∆A B C 的面积．
A +B 2
+cos 2C =1，外接圆半径R =2．
（1） 求角C 的大小；
（2） 求∆A B C 面积的最大值．
例： ４、如图，在平行四边形A B C D 中，A C 与B D 交于点O ，
E 是线段O D 的中点，A E 的延长线与C D 交于点F ．若
AC =a , BD =b ，则AF = （用a , b 表
D
F
C
A
示）
1（3）
例： ５、已知平面向量a , b , c 满足a +b +c =0，且a 与b 的夹角为135︒，c 与b 的夹角为120︒，
c =2，则a =．
例： ６、在数列{a n }中，a 1=2, a n +1=4a n -3n +1, n ∈N *．
（1） 证明：数列{a n -n }是等比数列；
（2） 设数列{a n }的前n 项和为S n ，求S n +1-4S n 的最大值．
例： ７、设实数x , y 满足3剟xy
例： ８、在平面直角坐标系xOy 中，过坐标原点的一条直线与函数f (x ) =
则线段PQ 长的最小值是 ．
例： ９、不等式sin x +a cos x +a …1+cos x 对一切x ∈R 成立，则实数a 的取值范围为 ．
（若改变不等号的方向为„呢？）
三、 归纳
1. 分类归纳一个是对题目类型的分类归纳，即属于哪一类、哪一个知识方面的题目。 2. 另一个是在解题过程中出现的分类，例如：
（1） 涉及有关不确定的数学概念、式子、图形及归类问题时，注意分类讨论：
*
例： 10、设等比数列{a n }的公比为q ，前n 项和S n >0(n ∈N ) ．
2
8, 4剟
x
2
y
9，则
x y
34
的最大值是 ．
2x
的图象交于P , Q 两点，
22
（1） 求q 的取值范围； （2） 设b n =a n +2-
2（3）
32
a n +1，记数列{b n }的前n 项和为T n ，试比较S n 和T n 的大小．
例： 11、不等式x +1-x -3…0的解集是 ．
⎧⎛1⎪⎪ 2
例： 12、设函数f (x ) =⎨⎝
⎪1
2⎪⎩x
⎫
⎪-1, (x „0) ⎭，已知f (a ) >1，则a 的取值范围为 ． ,
(x >0)
x
例： 13、求函数f (x ) =x +
（2） 涉及有关参数时，注意分类讨论： 例： 14、求不等式a (x -2)(x +a ) >0的解集．
x x
15、已知函数f (x ) =a 2+b 3，其中常数a , b 满足a b ≠0．
2x
的定义域及值域．
（1） 若a b >0，判断函数f (x ) 的单调性；
（2） 若a b f (x ) 时的x 的取值范围．
（3） 用不完全归纳法猜想，以完全归纳法证明猜想：
3（3）
分类、想象思想的运用 一、 方法思想
1. 分类思想方法是一种逻辑划分，在研究与解决数学问题时，按照某一确定的标准在比较的基础上，将
数学对象划分为若干既有联系又有区别的部分。“比较”是分类的前提，“分类”是比较的结果。 2. 分类一种是对题目问题的归类，一种是在解决问题、求解的过程中出现的情况分类讨论。
3. 分类时应注意以下几个方面的内容：①注意信息之间的共性；②注意信息之间的差异；③注意已知与
未知的联系；④注意选择适当的观察角度；⑤注意找出有关的隐含信息。
4. 对问题的归类，就是根据题目的类型对它进行归类划分，题目中出现了什么问题内容，是关于哪方面
的，其中含有哪些包含的知识信息，与此有关的或接近的有哪些常用的解题方法。按性质把数学问题分类的好处是，由于同一种类型的问题性质十分相似，其解法也非常接近，把他们的共同点提炼出来，就能够形成对于该类问题比较容易凑效的某种解题模式。 5. 想象包含：联想、设想、猜想。
6. 联想一种是指对题目类型的分类联想，一种是指对题目解决所需知识内容的联想。其中引起联想的是
题目中所出现的条件信息。设想是指对问题解决的一种规划或对解决途径的一种设计尝试；一般情况应分两种设想尝试：先对未知和已知的直接联系，或直接知识使用的联想；如果不行，再使用变换转化进行分析求解。 二、 例题应用
例： １、在锐角∆A B C 中，tan(A +B ) =2tan A ，求tan B 的最大值．
例： ２、在∆A B C 中，b cos B 是a cos C , c cos A 的等差中项．
（1） 求B 的大小； （2）
若a +c =
例： ３、在∆A B C 中，已知2sin
2
b =2，求∆A B C 的面积．
A +B 2
+cos 2C =1，外接圆半径R =2．
（1） 求角C 的大小；
（2） 求∆A B C 面积的最大值．
例： ４、如图，在平行四边形A B C D 中，A C 与B D 交于点O ，
E 是线段O D 的中点，A E 的延长线与C D 交于点F ．若
AC =a , BD =b ，则AF = （用a , b 表
D
F
C
A
示）
1（3）
例： ５、已知平面向量a , b , c 满足a +b +c =0，且a 与b 的夹角为135︒，c 与b 的夹角为120︒，
c =2，则a =．
例： ６、在数列{a n }中，a 1=2, a n +1=4a n -3n +1, n ∈N *．
（1） 证明：数列{a n -n }是等比数列；
（2） 设数列{a n }的前n 项和为S n ，求S n +1-4S n 的最大值．
例： ７、设实数x , y 满足3剟xy
例： ８、在平面直角坐标系xOy 中，过坐标原点的一条直线与函数f (x ) =
则线段PQ 长的最小值是 ．
例： ９、不等式sin x +a cos x +a …1+cos x 对一切x ∈R 成立，则实数a 的取值范围为 ．
（若改变不等号的方向为„呢？）
三、 归纳
1. 分类归纳一个是对题目类型的分类归纳，即属于哪一类、哪一个知识方面的题目。 2. 另一个是在解题过程中出现的分类，例如：
（1） 涉及有关不确定的数学概念、式子、图形及归类问题时，注意分类讨论：
*
例： 10、设等比数列{a n }的公比为q ，前n 项和S n >0(n ∈N ) ．
2
8, 4剟
x
2
y
9，则
x y
34
的最大值是 ．
2x
的图象交于P , Q 两点，
22
（1） 求q 的取值范围； （2） 设b n =a n +2-
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a n +1，记数列{b n }的前n 项和为T n ，试比较S n 和T n 的大小．
例： 11、不等式x +1-x -3…0的解集是 ．
⎧⎛1⎪⎪ 2
例： 12、设函数f (x ) =⎨⎝
⎪1
2⎪⎩x
⎫
⎪-1, (x „0) ⎭，已知f (a ) >1，则a 的取值范围为 ． ,
(x >0)
x
例： 13、求函数f (x ) =x +
（2） 涉及有关参数时，注意分类讨论： 例： 14、求不等式a (x -2)(x +a ) >0的解集．
x x
15、已知函数f (x ) =a 2+b 3，其中常数a , b 满足a b ≠0．
2x
的定义域及值域．
（1） 若a b >0，判断函数f (x ) 的单调性；
（2） 若a b f (x ) 时的x 的取值范围．
（3） 用不完全归纳法猜想，以完全归纳法证明猜想：
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