“另类”的常量函数
我们知道，所谓常量函数，是不论自变量如何变化、对应的函数值都始终保持同一数值不变的函数，其函数表达式可表示为
f (x ) =A （A 为常数）
但是，也有一种常量函数，其表达式却有点“另类”。例如，由计算机科学的创始人之一、美国的麦卡锡首创的“91函数”，就是一个用分段函数表示的常量函数，其定义如下：
n >100⎧n −10f (n ) =⎨ （n 为自然数） f (f (n +11)) n ≤100⎩
之所以称之为“91函数”，是因为对于n 取1到100之间任一整数值时，恒有f (n ) =91。下面，我们就根据91函数的定义，通过具体的计算来验证这一点。
先证明f (100) =91：
f (100) =f (f (100+11)) =f (f (111))
=f (111−10) =f (101)
=101−10=91
然后，我们从最小的自然数1开始，逐个计算相应的函数值：
f (1) =f (f (12)) =f (f (f (23))) =f (f (f (f (34)))) ="
不难看出，随着计算过程的延续，函数f 复合的层次越来越多。为简明起见，姑且用符号f (k ) 表示k 层f 的复合，则上述计算过程就可以简记为
f (1) =f (2) (12) =f (3) (23) =f (4) (34) =f (5) (45)
=f
注意到f (10) (6) (56) =f (7) (67) =f (8) (78) =f (9) (89) =f (10) (100) (9) (100) 就是f (f (100)) ，而f (100) =91，所以
f (10) (100) =f (9) (f (100)) =f (9) (91)
代入上式，可得
f (1) =f
而 f (9) (10) (100) =f (9) (91) （*） (91) =f (10) (102) =f (9) (92) =f (10) (103) =f (9) (93) =f (10) (104)
=" =f (9) (99) =f (10) (110) =f (9) (100)
(9) 于是，（*）式又化为 f (1) =f (10) (100) =f (9) (91) =f
…………
不断重复上述过程，即得 (100)
f (1) =f (10) (100) =f (9) (91) =f (9) (100) =f (8) (91) =f (8) (100)
=" =f (100) =91
类似地，还可以验证
f (2) =91,
此处就不再一一列举了。 f (3) =91, " , f (99) =91
至此，我们完全有理由感叹“91函数”的构造是如此的精妙！重复的计算不但没有使人感到厌倦，反而让人得到了极大的愉悦。可以毫不夸张地说，数学的无比魅力已经在这里被展现得淋漓尽致了！
感叹之余，人们也许会问，用这种表达方式表示常量函数，“91函数”是不是唯一的一个呢？会不会有“92函数”、“93函数”或是“85函数”之类的函数存在呢？通过对“91函数”的仔细观察与研究，似乎可以发现其中的两个常数“10、11”与“91”之间有如下的关系：
100−10+(11−10) =91
于是我们就有了如下的猜想：
设分段函数
n −A n >100⎧f (n ) =⎨ f (f (n +A +1)) n ≤100⎩
其中A 、n 为自然数，且A
f (n ) =100−A +1
这个猜想是否成立，建议有兴趣的读者证明或验证之。
“另类”的常量函数
我们知道，所谓常量函数，是不论自变量如何变化、对应的函数值都始终保持同一数值不变的函数，其函数表达式可表示为
f (x ) =A （A 为常数）
但是，也有一种常量函数，其表达式却有点“另类”。例如，由计算机科学的创始人之一、美国的麦卡锡首创的“91函数”，就是一个用分段函数表示的常量函数，其定义如下：
n >100⎧n −10f (n ) =⎨ （n 为自然数） f (f (n +11)) n ≤100⎩
之所以称之为“91函数”，是因为对于n 取1到100之间任一整数值时，恒有f (n ) =91。下面，我们就根据91函数的定义，通过具体的计算来验证这一点。
先证明f (100) =91：
f (100) =f (f (100+11)) =f (f (111))
=f (111−10) =f (101)
=101−10=91
然后，我们从最小的自然数1开始，逐个计算相应的函数值：
f (1) =f (f (12)) =f (f (f (23))) =f (f (f (f (34)))) ="
不难看出，随着计算过程的延续，函数f 复合的层次越来越多。为简明起见，姑且用符号f (k ) 表示k 层f 的复合，则上述计算过程就可以简记为
f (1) =f (2) (12) =f (3) (23) =f (4) (34) =f (5) (45)
=f
注意到f (10) (6) (56) =f (7) (67) =f (8) (78) =f (9) (89) =f (10) (100) (9) (100) 就是f (f (100)) ，而f (100) =91，所以
f (10) (100) =f (9) (f (100)) =f (9) (91)
代入上式，可得
f (1) =f
而 f (9) (10) (100) =f (9) (91) （*） (91) =f (10) (102) =f (9) (92) =f (10) (103) =f (9) (93) =f (10) (104)
=" =f (9) (99) =f (10) (110) =f (9) (100)
(9) 于是，（*）式又化为 f (1) =f (10) (100) =f (9) (91) =f
…………
不断重复上述过程，即得 (100)
f (1) =f (10) (100) =f (9) (91) =f (9) (100) =f (8) (91) =f (8) (100)
=" =f (100) =91
类似地，还可以验证
f (2) =91,
此处就不再一一列举了。 f (3) =91, " , f (99) =91
至此，我们完全有理由感叹“91函数”的构造是如此的精妙！重复的计算不但没有使人感到厌倦，反而让人得到了极大的愉悦。可以毫不夸张地说，数学的无比魅力已经在这里被展现得淋漓尽致了！
感叹之余，人们也许会问，用这种表达方式表示常量函数，“91函数”是不是唯一的一个呢？会不会有“92函数”、“93函数”或是“85函数”之类的函数存在呢？通过对“91函数”的仔细观察与研究，似乎可以发现其中的两个常数“10、11”与“91”之间有如下的关系：
100−10+(11−10) =91
于是我们就有了如下的猜想：
设分段函数
n −A n >100⎧f (n ) =⎨ f (f (n +A +1)) n ≤100⎩
其中A 、n 为自然数，且A
f (n ) =100−A +1
这个猜想是否成立，建议有兴趣的读者证明或验证之。