乘法公式
.一、内容提要乘法公式也叫做简乘公式,就是把一些特殊的多项式相乘的结果加以总结,直接应用。
公式中的每一个字母,一般可以表示数字、单项式、多项式,有的还可以推广到分式、根式。
公式的应用不仅可从左到右的顺用(乘法展开),还可以由右到左逆用(因式分解),还要记住一些重要的变形及其逆运算――除法等。
基本公式就是最常用、最基礎的公式,并且可以由此而推导出其他公式。
完全平方公式:(a±b) 2=a2±2ab+b2,
平方差公式:(a+b)(a-b)=a2-b 2
立方和(差)公式:(a±b)(a2 ab+b2)=a3±b 3
3. 公式的推广:
多项式平方公式:(a+b+c+d)2=a2+b2+c2+d2+2ab+2ac+2ad+2bc+2bd+2cd
即:多项式平方等于各项平方和加上每两项积的2倍。
二项式定理:(a±b) 3=a3±3a 2b+3ab2±b 3
(a±b) 4=a4±4a 3b+6a2b 2±4ab 3+b4)
(a ±b )5=a5±5a 4b+10a3b 2 ±10a 2b 3+5ab 4±b 5)
„„„„
注意观察右边展开式的项数、指数、系数、符号的规律
由平方差、立方和(差)公式引伸的公式
(a+b)(a3-a 2b+ab2-b 3)=a4-b 4
(a+b)(a4-a 3b+a2b 2-ab 3+b4)=a5+b5
(a+b)(a5-a 4b+a3b 2-a 2b 3+ab4-b 5)=a6-b 6
„„„„
注意观察左边第二个因式的项数、指数、系数、符号的规律
在正整数指数的条件下,可归纳如下:设n 为正整数
-----(a+b)(a2n 1-a 2n 2b+a2n 3b 2-„+ab 2n 2-b 2n 1)=a2n -b 2n
---(a+b)(a2n -a 2n 1b+a2n 2b 2-„-ab 2n 1+b2n )=a2n+1+b2n+1
类似地:
-----(a -b )(an 1+an 2b+an 3b 2+„+ab n 2+bn 1)=an -b n
公式的变形及其逆运算
由(a+b)2=a2+2ab+b2 得 a 2+b2=(a+b)2-2ab
由 (a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3=a3+b3+3ab(a+b) 得 a 3+b3=(a+b)3-3ab(a+b).①②③4.
由公式的推广③可知:当n 为正整数时
a n -b n 能被a -b 整除,
a 2n+1+b2n+1能被a+b整除,
a 2n -b 2n 能被a+b及a -b 整除。
二、例题
例1. 己知x+y=a xy=b
求 ①x 2+y2 ②x 3+y3 ③x 4+y4 ④x 5+y5
解: ①x 2+y2=(x+y)2-2xy =a 2-2b
②x 3+y3=(x+y)3-3xy (x+y)=a 3-3ab
③x 4+y4=(x+y)4-4xy (x 2+y2)-6x 2y 2=a 4-4a 2b +2b 2
④x 5+y5=(x+y)(x4-x 3y+x2y 2-xy 3+y4)
=(x+y)[x 4+y4-xy(x2+y2)+x2y 2]
=a[a 4-4a 2b+2b2-b(a2-2b)+b2]
=a 5-5a 3b+5ab2
例2. 求证:四个連续整数的积加上1的和,一定是整数的平方。
证明:设这四个数分别为a, a+1, a+2, a+3 (a为整数)
a(a+1)(a+2)(a+3)+1=a(a+3)(a+1)(a+2)+1=(a2+3a)(a2+3a+2)+1
=(a2+3a)2+2(a2+3a)+1=(a2+3a+1)2
∵a 是整数,整数的和、差、积、商也是整数
∴a 2+3a+1是整数 证毕
例3. 求证:2222+3111能被7整除
证明:2222+3111=(22)111+3111=4111+3111
根据 a 2n+1+b2n+1能被a+b整除,(见内容提要4)
∴4111+3111能被 4+3整除
∴2222+3111能被7整除
例4. 由完全平方公式推导“个位数字为5的两位数的平方数”的计算规律 解:∵(10a+5)2=100a2+2×10a ×5+25=100a(a+1)+25
∴“个位数字为5的两位数的平方数”的特点是:幂的末两位数字是底数个位数字5的平方,幂的百位以上的数字是底数十位上数字乘以比它大1的数的积。
如:152=225 幂的百位上的数字2=1×2) , 252=625 (6=2×3) ,
352=1225 (12=3×4) 452=2025 (20=4×5)
„„
三、练习15
1. 填空:
①a 2+b2=(a+b)2-_____ ②(a+b)2=(a-b) 2+___
③a 3+b3=(a+b)3-3ab(___) ④a 4+b4=(a2+b2) 2-____
, ⑤a 5+b5=(a+b)(a4+b4) -_____ ⑥a 5+b5=(a2+b2)(a3+b3) -____
2. 填空:
①(x+y)(___________)=x4-y 4 ②(x-y)(__________)=x4-y 4
③(x+y)( ___________)=x5+y5 ④(x -y )(__________)=x5-y 5
3. 计算:
①552= ②652= ③752= ④852= ⑤952=
4. 计算下列各题 ,你发现什么规律
⑥11×19= ⑦22×28= ⑧34×36= ⑨43×47= ⑩76×74=
5.. 已知x+1111=3, 求①x 2+2 ②x 3+3 ③x 4+4的值 x x x x
乘法公式
.一、内容提要乘法公式也叫做简乘公式,就是把一些特殊的多项式相乘的结果加以总结,直接应用。
公式中的每一个字母,一般可以表示数字、单项式、多项式,有的还可以推广到分式、根式。
公式的应用不仅可从左到右的顺用(乘法展开),还可以由右到左逆用(因式分解),还要记住一些重要的变形及其逆运算――除法等。
基本公式就是最常用、最基礎的公式,并且可以由此而推导出其他公式。
完全平方公式:(a±b) 2=a2±2ab+b2,
平方差公式:(a+b)(a-b)=a2-b 2
立方和(差)公式:(a±b)(a2 ab+b2)=a3±b 3
3. 公式的推广:
多项式平方公式:(a+b+c+d)2=a2+b2+c2+d2+2ab+2ac+2ad+2bc+2bd+2cd
即:多项式平方等于各项平方和加上每两项积的2倍。
二项式定理:(a±b) 3=a3±3a 2b+3ab2±b 3
(a±b) 4=a4±4a 3b+6a2b 2±4ab 3+b4)
(a ±b )5=a5±5a 4b+10a3b 2 ±10a 2b 3+5ab 4±b 5)
„„„„
注意观察右边展开式的项数、指数、系数、符号的规律
由平方差、立方和(差)公式引伸的公式
(a+b)(a3-a 2b+ab2-b 3)=a4-b 4
(a+b)(a4-a 3b+a2b 2-ab 3+b4)=a5+b5
(a+b)(a5-a 4b+a3b 2-a 2b 3+ab4-b 5)=a6-b 6
„„„„
注意观察左边第二个因式的项数、指数、系数、符号的规律
在正整数指数的条件下,可归纳如下:设n 为正整数
-----(a+b)(a2n 1-a 2n 2b+a2n 3b 2-„+ab 2n 2-b 2n 1)=a2n -b 2n
---(a+b)(a2n -a 2n 1b+a2n 2b 2-„-ab 2n 1+b2n )=a2n+1+b2n+1
类似地:
-----(a -b )(an 1+an 2b+an 3b 2+„+ab n 2+bn 1)=an -b n
公式的变形及其逆运算
由(a+b)2=a2+2ab+b2 得 a 2+b2=(a+b)2-2ab
由 (a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3=a3+b3+3ab(a+b) 得 a 3+b3=(a+b)3-3ab(a+b).①②③4.
由公式的推广③可知:当n 为正整数时
a n -b n 能被a -b 整除,
a 2n+1+b2n+1能被a+b整除,
a 2n -b 2n 能被a+b及a -b 整除。
二、例题
例1. 己知x+y=a xy=b
求 ①x 2+y2 ②x 3+y3 ③x 4+y4 ④x 5+y5
解: ①x 2+y2=(x+y)2-2xy =a 2-2b
②x 3+y3=(x+y)3-3xy (x+y)=a 3-3ab
③x 4+y4=(x+y)4-4xy (x 2+y2)-6x 2y 2=a 4-4a 2b +2b 2
④x 5+y5=(x+y)(x4-x 3y+x2y 2-xy 3+y4)
=(x+y)[x 4+y4-xy(x2+y2)+x2y 2]
=a[a 4-4a 2b+2b2-b(a2-2b)+b2]
=a 5-5a 3b+5ab2
例2. 求证:四个連续整数的积加上1的和,一定是整数的平方。
证明:设这四个数分别为a, a+1, a+2, a+3 (a为整数)
a(a+1)(a+2)(a+3)+1=a(a+3)(a+1)(a+2)+1=(a2+3a)(a2+3a+2)+1
=(a2+3a)2+2(a2+3a)+1=(a2+3a+1)2
∵a 是整数,整数的和、差、积、商也是整数
∴a 2+3a+1是整数 证毕
例3. 求证:2222+3111能被7整除
证明:2222+3111=(22)111+3111=4111+3111
根据 a 2n+1+b2n+1能被a+b整除,(见内容提要4)
∴4111+3111能被 4+3整除
∴2222+3111能被7整除
例4. 由完全平方公式推导“个位数字为5的两位数的平方数”的计算规律 解:∵(10a+5)2=100a2+2×10a ×5+25=100a(a+1)+25
∴“个位数字为5的两位数的平方数”的特点是:幂的末两位数字是底数个位数字5的平方,幂的百位以上的数字是底数十位上数字乘以比它大1的数的积。
如:152=225 幂的百位上的数字2=1×2) , 252=625 (6=2×3) ,
352=1225 (12=3×4) 452=2025 (20=4×5)
„„
三、练习15
1. 填空:
①a 2+b2=(a+b)2-_____ ②(a+b)2=(a-b) 2+___
③a 3+b3=(a+b)3-3ab(___) ④a 4+b4=(a2+b2) 2-____
, ⑤a 5+b5=(a+b)(a4+b4) -_____ ⑥a 5+b5=(a2+b2)(a3+b3) -____
2. 填空:
①(x+y)(___________)=x4-y 4 ②(x-y)(__________)=x4-y 4
③(x+y)( ___________)=x5+y5 ④(x -y )(__________)=x5-y 5
3. 计算:
①552= ②652= ③752= ④852= ⑤952=
4. 计算下列各题 ,你发现什么规律
⑥11×19= ⑦22×28= ⑧34×36= ⑨43×47= ⑩76×74=
5.. 已知x+1111=3, 求①x 2+2 ②x 3+3 ③x 4+4的值 x x x x