测量电池电动势和内阻的系统误差分析

测量电池电动势和内阻的系统误差分析

（Ⅰ）问题提出

在“用伏特表和安培表测量电池电动势和内阻” 的实验中，由于伏特表和安培表的接入会对电路产生影响，所以测量结果必将存在系统误差。那么，测量值和真实值之间有什么关系呢？

（Ⅱ）分析方法

本文介绍三种不同的分析方法。

该实验可以用图l中的甲和乙两种电路进行，两种电路产生的系统误差不同，在每种分析方法中将作分别讨论。

设伏特表和安培表的内阻分别为RV和RA，电池电动势和内阻的真实值分别为E真和r真，测量值分别为E测和r测。

一、公式推导

图1

设在每种电路中变阻器阻值为R1和R2时，伏特表和安培表的两组测量值分别为U1I1和U2I2 。

1．如图1甲，根据闭合电路欧姆定律有：

E测 = U1+ I1r测 （1） E测 = U2+ I2r测 （2） 由（1）（2）解得： r测=

U1U2

（3） I2I1

当变阻器阻值为R1和R2时，外电路总电阻的实际值为：R1/=

E(R1RA)RV(R2RA)RV

，R2/ = 。干路电流为：I/1=/真

,

R1RARVR2RARVR1r真

I/2=

E真

。安培表的读数(由分流原理得)为：I1＝R2r真

RVRV

I/2,伏特表的读数为：I/1,I2=

R1RARVR1RARV

U1=I1(R1+RA),U2=I2(R2+RA)。将U1I1U2I2的表达式代入（3）式得：r测=

r真RV

（4）

r真RV

将（4）式代入（1）式得：E测=

RV

E真 （5）

r真RV

(4)(5)两式告诉我们，用图甲1电路测量时，电池内阻的测量值要比真实值小，或者说测出的内阻实际上是电池内阻的真实值和伏特表内阻的并联值；电动势的测量值也比真实值小，或者说测出的电动势实际上是用伏特表直接接在电池两极时的路端电压(伏特表的读数)。

2．如图1乙，根据闭合电路欧姆定律有：

E测 = U1+ I1r测 （6） E测 = U2+ I2r测 （7） 由（6）（7）解得： r测=

U1U2

（8） I2I1

当变阻器阻值为R1和R2时，外电路总电阻的实际值为：R1/=RA+

R1RVRR

, R2/=RA+2V 。 干路电流(安掊表的读数)

R1RVR2RVE真E真

, I2= 。伏特表的读数

1V2V

RArRAr

R1RV真R2RV真

为：I1=

为：U1=I1R1/ ，U2=I2R2/ 。将U1I1U2I2的表达式代入（8）式得： r测=r真+RA （9）

将（9）式代入（6）式得：E测=E真 （10）

（9）（10）两式告诉我们，用图1乙电路测量时，电池内阻的测量值要比真实值大，或者说测出的内阻实际上是电池内阻的真实值和安培表内阻的串联值；电动势的测量值等于其真实值，即没有系统误差。

二、图象比较

由闭合电路欧姆定律得出路端电压和通过电池内部的电流强度的关系为U=E－Ir , U－I图象如图2所示，图中直线和U轴的交点表示电池的电动势，内阻为斜率的负值，即图中的tanθ值。

⒈如图1甲，伏特表的读数就是路端电压，而安培表的读数由于伏特表的分流却小于通过电池内部的电流强度，即U的测量值准确，I的测量值偏小．按这样的测量值作出的U－I图象肯定存在系统误差．现将由测量值作出的U－I图线（实线）和准确的U－I图线（虚线）在同一图中进行比较．如图3所示，由于对应于每一路端电压值，I的测量值总是偏小，而且随着变阻器阻值的减小（电流的增大）时，这种误差也减小，当外电路阻值为零时，这种误差也为零，所以实际画出的U－I图线和准确的U－I图线在I轴上相交。即E测

⒉如图1乙，安培表的读数就是通过电池内部的电流强度，而伏特表的读数由于安培表的分压却小于电池的路端电压,即I的测量值准确，U的测量值偏小．按这样的测量值作出的U－I图象也肯定存在系统误差．现将由测量值作出的U－I图线（实线）和准确的U－I图线（虚线）在同一图中进行比较．如图4

所示，由于

对于于每一电流I的值，U的测量值总是偏小，而且随着变阻器阻值的增

大（电流的减小）时，这种误差也减小。当变阻器阻值无限大时，这种误差趣于零。所以实际画出的U－I图线和准确的U－I图线在U轴上相交。即E测=E真，r测>r真。

三、等效变换

1．如图

l甲，实际

的伏特表V可以等效为理想的伏特表V。和电阻RV的并联(图5)，而电阻RV和实际电池（E真、r真）又

可以等效为一个新电池(E1、r1) (图6)。这样由于V0是理想的，安培表的读数就没有误差了。而E1为等效电池的电动势，即为图5中a、b两点的开路电压，E1=Uab=

E真RV

E真。 r1RV=

RVR真RVR真

为等效电池的内阻，即为等效电池a、b间短路时电动势E1和短路

RV

E真

RrERr

电流I1的比值，r1=1V真V真 。 因此，电池电

真I1RVr真r真

动势和内阻的测量值为：E测=E1=

RrRV

E真, r测=r1=V真。和

RVR真RV

r真

方法1的结果完全相同。

2．如图l乙，实际的安培表A可以等效为理想的安培表A0和电阻RA的串联(图7)，而RA和实际电池又可以等效为一个新电池(E2、r2)

(图8)。这样，由于A0是理想的，伏特表的读数就没有误差了。

而E2为等效电池的电动势，即为图8中c、d两点的开路电压，E2=Ucd=E真，r2为等效电池的内阻，即为等效电池c 、d间短路时电动势E2和短路电流I2的比值，r2=

E2

I2

E真

r真RA，真RAr真

因此，电池的电动势和内阻的测量值为E 测=E=E真，r测=r2=r真+RA。和方法一中的结果也完全相同。

（Ⅲ）总结

以上三种分析方法都可以分析出甲和乙两种电路中电动势和内阻的测量值和真实值之间的关系。

按甲图实验结果表明：

当RV>>r真时，测量误差就很小，而一般情况下都能满足RV>> r真．所以，在一般情况下采用甲图测量比较合适。

按乙图实验结果表明：

当RA

测量电池电动势和内阻的系统误差分析

（Ⅰ）问题提出

在“用伏特表和安培表测量电池电动势和内阻” 的实验中，由于伏特表和安培表的接入会对电路产生影响，所以测量结果必将存在系统误差。那么，测量值和真实值之间有什么关系呢？

（Ⅱ）分析方法

本文介绍三种不同的分析方法。

该实验可以用图l中的甲和乙两种电路进行，两种电路产生的系统误差不同，在每种分析方法中将作分别讨论。

设伏特表和安培表的内阻分别为RV和RA，电池电动势和内阻的真实值分别为E真和r真，测量值分别为E测和r测。

一、公式推导

图1

设在每种电路中变阻器阻值为R1和R2时，伏特表和安培表的两组测量值分别为U1I1和U2I2 。

1．如图1甲，根据闭合电路欧姆定律有：

E测 = U1+ I1r测 （1） E测 = U2+ I2r测 （2） 由（1）（2）解得： r测=

U1U2

（3） I2I1

当变阻器阻值为R1和R2时，外电路总电阻的实际值为：R1/=

E(R1RA)RV(R2RA)RV

，R2/ = 。干路电流为：I/1=/真

,

R1RARVR2RARVR1r真

I/2=

E真

。安培表的读数(由分流原理得)为：I1＝R2r真

RVRV

I/2,伏特表的读数为：I/1,I2=

R1RARVR1RARV

U1=I1(R1+RA),U2=I2(R2+RA)。将U1I1U2I2的表达式代入（3）式得：r测=

r真RV

（4）

r真RV

将（4）式代入（1）式得：E测=

RV

E真 （5）

r真RV

(4)(5)两式告诉我们，用图甲1电路测量时，电池内阻的测量值要比真实值小，或者说测出的内阻实际上是电池内阻的真实值和伏特表内阻的并联值；电动势的测量值也比真实值小，或者说测出的电动势实际上是用伏特表直接接在电池两极时的路端电压(伏特表的读数)。

2．如图1乙，根据闭合电路欧姆定律有：

E测 = U1+ I1r测 （6） E测 = U2+ I2r测 （7） 由（6）（7）解得： r测=

U1U2

（8） I2I1

当变阻器阻值为R1和R2时，外电路总电阻的实际值为：R1/=RA+

R1RVRR

, R2/=RA+2V 。 干路电流(安掊表的读数)

R1RVR2RVE真E真

, I2= 。伏特表的读数

1V2V

RArRAr

R1RV真R2RV真

为：I1=

为：U1=I1R1/ ，U2=I2R2/ 。将U1I1U2I2的表达式代入（8）式得： r测=r真+RA （9）

将（9）式代入（6）式得：E测=E真 （10）

（9）（10）两式告诉我们，用图1乙电路测量时，电池内阻的测量值要比真实值大，或者说测出的内阻实际上是电池内阻的真实值和安培表内阻的串联值；电动势的测量值等于其真实值，即没有系统误差。

二、图象比较

由闭合电路欧姆定律得出路端电压和通过电池内部的电流强度的关系为U=E－Ir , U－I图象如图2所示，图中直线和U轴的交点表示电池的电动势，内阻为斜率的负值，即图中的tanθ值。

⒈如图1甲，伏特表的读数就是路端电压，而安培表的读数由于伏特表的分流却小于通过电池内部的电流强度，即U的测量值准确，I的测量值偏小．按这样的测量值作出的U－I图象肯定存在系统误差．现将由测量值作出的U－I图线（实线）和准确的U－I图线（虚线）在同一图中进行比较．如图3所示，由于对应于每一路端电压值，I的测量值总是偏小，而且随着变阻器阻值的减小（电流的增大）时，这种误差也减小，当外电路阻值为零时，这种误差也为零，所以实际画出的U－I图线和准确的U－I图线在I轴上相交。即E测

⒉如图1乙，安培表的读数就是通过电池内部的电流强度，而伏特表的读数由于安培表的分压却小于电池的路端电压,即I的测量值准确，U的测量值偏小．按这样的测量值作出的U－I图象也肯定存在系统误差．现将由测量值作出的U－I图线（实线）和准确的U－I图线（虚线）在同一图中进行比较．如图4

所示，由于

对于于每一电流I的值，U的测量值总是偏小，而且随着变阻器阻值的增

大（电流的减小）时，这种误差也减小。当变阻器阻值无限大时，这种误差趣于零。所以实际画出的U－I图线和准确的U－I图线在U轴上相交。即E测=E真，r测>r真。

三、等效变换

1．如图

l甲，实际

的伏特表V可以等效为理想的伏特表V。和电阻RV的并联(图5)，而电阻RV和实际电池（E真、r真）又

可以等效为一个新电池(E1、r1) (图6)。这样由于V0是理想的，安培表的读数就没有误差了。而E1为等效电池的电动势，即为图5中a、b两点的开路电压，E1=Uab=

E真RV

E真。 r1RV=

RVR真RVR真

为等效电池的内阻，即为等效电池a、b间短路时电动势E1和短路

RV

E真

RrERr

电流I1的比值，r1=1V真V真 。 因此，电池电

真I1RVr真r真

动势和内阻的测量值为：E测=E1=

RrRV

E真, r测=r1=V真。和

RVR真RV

r真

方法1的结果完全相同。

2．如图l乙，实际的安培表A可以等效为理想的安培表A0和电阻RA的串联(图7)，而RA和实际电池又可以等效为一个新电池(E2、r2)

(图8)。这样，由于A0是理想的，伏特表的读数就没有误差了。

而E2为等效电池的电动势，即为图8中c、d两点的开路电压，E2=Ucd=E真，r2为等效电池的内阻，即为等效电池c 、d间短路时电动势E2和短路电流I2的比值，r2=

E2

I2

E真

r真RA，真RAr真

因此，电池的电动势和内阻的测量值为E 测=E=E真，r测=r2=r真+RA。和方法一中的结果也完全相同。

（Ⅲ）总结

以上三种分析方法都可以分析出甲和乙两种电路中电动势和内阻的测量值和真实值之间的关系。

按甲图实验结果表明：

当RV>>r真时，测量误差就很小，而一般情况下都能满足RV>> r真．所以，在一般情况下采用甲图测量比较合适。

按乙图实验结果表明：

当RA