第２９卷第１期佛山科学技术学院学报（自然科学版）Ｖ０１．２９Ｎｏ．１２０１１年１月ＪｏｕｒｎａｌｏｆＦｏｓｈａｎＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙ（ＮａｔｕｒａｌＳｃｉｅｎｃｅＥｄｉｔｉｏｎ）Ｊａｎ．２０１１文章编号｛１００８－０１７１（２０１１）０１一００６３－０７
基于ＡＮＳＹＳ的剪切式磁流变液阻尼器磁路的
有限元分析及相关研究
刘苑辉１’２，汪建晓弘，周照耀１
（１．华南理工大学机械与汽车工程学院，广东广州５１０６４０Ｉ
２．佛山科学技术学院机电工程系．广东佛山５２８０００）
摘要：在电磁场有限元理论的指导下．应用有限元软件中的电磁场分析模块——ＡＮＳＹｓ／Ｍｕｌｔｉｐｈｙｓｉｃｓ．对剪切式磁流变液阻尼器进行了磁路分析，比较了两种阻尼器的磁力线和磁感应强度分布．分析了剪切式磁流变液阻尼器设计过程中应该注意的问题。基于Ｂｉｎｇｈａｍ塑性流体模型建立了阻尼力数学模型，根据有限元分析数据利用ＭＡＴＬＡＢ软件建立了励磁电流与磁感应强度之间的关系曲线．
关键词：电磁场有限元理论；磁流变液阻尼器，磁路，Ｂｉｎｇｈａｍ塑性流体模型，ＡＮＳＹＳ
中圈分类号：ＴＭｌ４文献标志码：Ａ
磁流变液主要由载体液、分散于载体液中的铁磁性或顺磁性微粒以及添加剂组成。当施加外加磁场时，磁流变液可以快速获得几乎完全可逆的屈服强度变化（屈服应力变化从０～１００ｋＰａ），经历从液态到半固态的过程［１］。磁流变液阻尼器不仅要求作为工作介质的磁流变液具有零场黏度低、屈服应力大、响应时间短、良好的沉降稳定性以及凝聚稳定性等优良性质，而且要求作为工作介质的磁流变液必须具有高的饱和磁感应强度，以保证磁流变液阻尼器有足够大的力值调节范围，从而避免磁流变液过早饱和带来的不利影响。
如何选择性能优良的导磁材料以及磁流变液，是磁路设计的第一步，它关系到设计意图能否实现。良好的磁路设计还取决于良好的磁路结构设计。磁场在导磁体中的传递形成回路，如在回路中任何位置达到饱和，都将影响整个回路工作磁场的进一步增大。阻尼器的工作效率直接取决于磁流变液的磁感应剪切应力，而磁感应剪切应力取决于磁流变液工作时的磁感应强度。因此，需要对磁流变液阻尼器磁路设计进行探讨，对磁饱和进行分析，只有解决在研究进程和工程实施中遇到的问题，才能推进磁流变液阻尼器在工程领域的应用。
有限元法（ＦｉｎｉｔｅＥｌｅｍｅｎｔＭｅｔｈｏｄ，ＦＥＭ）是目前工程技术领域中实用性强、应用广泛的数值模拟方法之一。有限元仿真分析工具ＡＮＳＹＳ则是基于有限元法的大型数值模拟软件，其中电磁场分析模块ＡＮＳＹＳ／Ｍｕｌｔｉｐｈｙｓｉｃｓ可用来求解电磁场的多方面问题，如磁力线、磁感应强度、磁场强度、涡流、电磁力、电场分布和电感等［２］。
本文针对用于转子系统振动控制的剪切式磁流变液阻尼器的磁路设计、磁场有限元分布及相关参数之间的关系等问题做一些探讨研究。
收稿日期：２０１０—１１—１７
作者简介ｔ刘苑辉（１９８４一）．男．广东梅州人，华南理工大学与佛山科学技术学院联合培养硕士研究生．－通讯作者：汪建晓（１９６４－）．男．河北蠡县人，佛山科学技术学院教授．博士。硕士生导师．
６４佛山科学技术学院学报（自然科学版）第２９卷１剪切式磁流变液阻尼器的结构及其工作原理
图１所示为原始的剪切式磁流变液阻尼器的二维简化结构示意图，图２为改进后的剪切式磁流变液阻尼器结构示意图。由于其本身结构的对称性以及为了后面有限元分析的方便，建模时均只需要建立出其一半的模型，并且省略了滚动轴承等其他与磁场分析无关的结构。改进前、后的剪切式磁流变液阻尼器均有６组相对剪切表面，每组相对剪切表面由１个移动板和１个静止板组成，盘问距为１．５ｍｍ，在移动板和静止板之间的间隙中充满磁流变液。
／壳体｝夕＿≤酶甾夕／／／／ｌ
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／＆＼小ｌ■士５：、Ｉ闻隔环、－ｊ
一；、
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：、线圈蠢钢弋℃
，，，静止板移动板‘＼。＼磁流变液卜
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圈１＼＼＼＼＼＼Ｖ圈２改进后的剪切式磁流变液阻尼器ｌ／２结构示意围剪切式磁流变液阻尼器的ｌ／２结构示意图
在没有磁场作用的情况下，图１、２中的磁流变液均处于液体状态，所能传递的力仅为黏性阻尼力，其阻尼力很低。当有足够强度的外加磁场作用时，磁流变液中的磁性粒子马上被磁化，并沿着磁力线方向成链状分布。这种链状结构使得磁流变液的剪切应力增大，表现出塑性体的特性。由于粘塑性流体的屈服应力是磁感应强度的函数，可通过控制线圈中的电流强度来调节磁场强度，进而调节磁感应强度，这样就可以调节流体的剪切应力，从而改变阻尼器的阻尼力。
图１、２中，壳体、移动板和静止板作为磁路引导元件，均由低碳钢制造，安装滚动轴承的支撑套和给移动板、静止板确定位置的间隔环均由铝合金制造，以保证磁场沿垂直于移动盘表面的方向穿过间隙中的磁流变液。该结构设计注意了壳体结构的对称性，以保证在水平和垂直方向作用在磁流变液的磁场具有对称性，并尽量使磁场分布均匀［３］。
２剪切式磁流变液阻尼器的阻尼力计算模型
假设转轴中心的运动轨迹具有任意形状，阻尼器轴承的
中心Ｂ’在ｚ、ｙ方向的横向位移分别为ｚ矗、如。在某一时间￡
内阻尼器轴承中心的速度（即移动板的涡动速度）为口８（ｆ），如
图３所示，其大小为
，‘———’————一Ｊ●．厂‘、＼＼Ｆ。
口８（ｆ）一√主刍＋多§，
设口占（ｔ）与ｚ轴的夹角为以，则有
ｆｃｏｓ见＝主Ｆ／ｚ，８０），
≮（１）（２）
【ｓｉｎ巩一孰／口８（ｆ）。
将磁流变液视为Ｂｉｎｇｈａｍ流体，其剪切应力为
ｒ一７ｙ＋ｏｓｇｎ（ｙ）。（３）（＼／∥ｊ／一：劬ｈ＼＼／＼；’／幺．．！ＦＩ｝＼ｙ．；图３阻尼器移动板的作用力
第１期刘苑辉等：基于ＡＮＳＹＳ的剪切式磁流变液阻尼器磁路的有限元分析及相关研究６５式（３）中，７为磁流变液的黏度，参考Ｌｏｒｄ公司的产品数据，取磁流变液的黏度叩＝Ｏ．９４～１３．６（剪应变率夕＝１０ｓ．１时），夕为剪应变率。
在模型（３）中，
’，＝口ｅ（ｔ）／踟，Ｐａ・ｓ（４）
式（４）中，踟为移动盘与静止盘的间距；勺为磁流变液的屈服应力，它是由磁流变液的性能和线圈电流Ｚ、线圈匝数等磁场参数决定的。
显然，当液体性能和磁路参数一定时，增加电流即可增大磁场强度，从而提高磁流变液的屈服强度。将ｒ在整个剪切面上积分，可得移动盘所受的阻尼力，即
Ｆ口一ｃ埘聊口（￡）＋Ｆ村，（５）
式（５）中，Ｆ。方向与ｔ，丑（ｆ）方向相反，如图３所示ＩｆＪＩｆ为磁流变液的黏度阻尼系数，Ｆ肘为磁流变液的库仑（摩擦）阻尼力，其表达式分别为
ｆｃ＾ｆ＝以．＇ｒ７（尺；一尺；）／鼬，
ＩＦｊＩｆ＝行，玎（Ｒ；一Ｒｉ）勺。
式（６）中，尺ｚ、Ｒ。分别为移动盘的最大半径和静止盘的最小半径，ｍ为剪切面的个数。“７…
显然，对于确定的磁流变液阻尼器而言，它所提供的黏性阻尼系数是不变的。从式（６）中可以看出，库仑阻尼力随屈服应力的变化而变化，因而可由线圈电流来控制。这正是能用剪切式磁流变液阻尼器来进行振动控制的本质所在。
３剪切式磁流变液阻尼器磁路有限元仿真及其分析
３．１电磁场的约束方程
宏观时变电磁场都服从麦克斯韦方程组‘“，即
￡Ｈ础＝”ｓ＋，＋等）ｄｒ’
乏。Ｅ・出＝一，ｒ关・ｄｒ，
书Ｂ・ｄＳ＝ｏ，。７，
手。Ｄ邮一，ｙＩＤｄｙ。
式（７）中，Ｚ是曲面ｒ的周界，Ｓ是区域ｙ的闭曲面，日为磁场强度，以是外源的电流密度，Ｊ是导电媒质中电流密度，Ｄ是电位移，Ｅ是电场强度，Ｂ是磁感应强度。ｆ是时间。
麦克斯韦方程组（７）不是一个完备方程组，还需补充媒质方程关系，对于线性媒质有
ｆＤ＝ｃＥ，
．《Ｂ＝ＥＨ，（８）
【‘，；ｙＥ。
联立方程组（７）、（８）即可成为一个完备方程组，可以对电磁场进行解析计算，它是有限元法计算电磁场的理论依据。
３．２电磁场的边界条件处理
为了确定电磁场的分布状况，除需要有场量的约束方程外，还应具备场量在不同媒质交界面两侧所满足的边界条件［¨，即
咒ｆ，・（Ｂ，一Ｂｆ）＝Ｏ，（９）
式（９）中，ｆ、．『分别代表边界两侧媒质，以为边界的法向。
式（９）表明磁感应强度在界面法向具有连续性。如忽略漏磁效应，在导磁体外部就不存在磁场。也就是说，在导磁体边界外的媒质中（空气或其他非导磁材料），边界外法向的磁感应强度为零，即在导磁体内部靠近边界的磁感应强度方向必然平行于界面。
６６佛山科学技术学院学报（自然科学版）第２９卷３．３磁路的有限元仿真与分析
３．３．１磁力线和磁通密度的仿真与分析
根据图１、２提出的剪切式磁流变液阻尼器的两种结构，利用ＡＮＳＹＳ软件对磁路进行仿真。
由于采用的是轴对称磁路结构，因此，可以将三维电磁场问题简化为二维二分之一轴对称模型（２Ｄ—ＡｘｉｓｙｍｍｅｔｒｉｃＭｏｄｅｌ）的电磁场问题进行计算。模型为规则的长方形，可选取二次四边形等参单元（ＰＬＡＮＥ５３），该单元求解精度高、边界适应性强，设置智能网格划分精度为２。
在材料属性中，定义空气、线圈和铝合金的相对磁导率（ＭＵＲＸ）均为１。壳体、移动盘和静止盘作为磁路引导元件，均由低碳钢制造。本实验采用１０号钢来制造磁路引导元件，其Ｂ—Ｈ曲线是非线性的，各参数如表１所示；而磁流变液选用Ｌｏｒｄ公司生产的ＭＲＦ一１３２一ＤＧ，其Ｂ一日曲线也是非线性的，各参数如表２所示。
表１阻尼器结构导磁材料的磁场强度与磁感应强度的关系
阻尼器的工作效率直接取决于磁流变液的磁感应剪切应力，而磁感应剪切应力是由磁流变液工作时的磁感应强度决定的。为了研究电流强度与磁感应强度的关系，分别在Ｏ．２、Ｏ．４、０．６、Ｏ．８、１．ｏ、１．２、１．４、１．６、１．８和２．ｏＡ等１０种电流情况进行仿真。
本文不考虑漏磁，只加通量平行条件，并满足约束方程（８）和边界条件处理（９），而励磁线圈以电流密度的形式加载于单元上。利用ＡＮＳＹＳ软件对其电磁场分布进行计算求解出节点的矢量磁势值，经处理后得到通量线、磁通量密度和磁场分布等。由于篇幅所限，本文只列出了励磁电流为２．ｏＡ时两种结构仿真得到的磁力线分布和磁感应强度分布，图４、５分别为原始结构（图１）的磁力线分布和磁感应强度分布示意图，图６、７分别为改进后结构（图２）的磁力线分布和磁感应强度分布示意图。
从图４、６可以发现，在轴承处由铝合金制造的支撑套起到了很好的隔磁作用。励磁线圈产生的磁力线基本上沿着设计的磁路分布，磁力线呈非均匀分布，离线圈越近，磁力线越密，并且随着励磁电流的增大而增大，同时在未达到磁饱和之前磁通也随着电流的增大而增大。磁力线几乎全部分布在有效的模型内，说明磁路结构设计和材料选择符合要求。
由图５、７可以看到，在实体模型的边界，特别位于结构拐角处，磁感应强度变化比较大，容易先出现磁饱和现象。磁场在导磁体中的传递形成回路，回路中任何位置达到饱和，将影响整个回路工作磁场的进一步增大，这个是在设计时应该注意的地方。除此之外，还应该充分注意磁动势主要降落所在的地方，对于改进后的阻尼器的整个磁路的磁动势主要降落在磁流变液间隙处，表明达到ＭＲＦ阻尼器磁路设图４原始结构剪切式磁流变液阻尼嚣的磁力线分布
圈５原始结构剪切式磁滚变液阻尼器的磁感应强度分布
第１期刘苑辉等：基于ＡＮＳＹＳ的剪切式磁流变液阻尼器磁路的有限元分析及相关研究６７圈６改进结构剪切式磁流变液阻尼器的磁力线分布圈７改进结构剪切式磁流变液阻尼器的磁感应强度分布计的目的；而原始结构由于在磁路中存在空气隙，它的磁动势并没有完全降落在磁流变液间隙上，在空气隙当中也分担了一部分的磁动势，说明原始结构并没有完全达到ＭＲＦ阻尼器磁路设计的目的，其原因为阻尼器结构材料的磁导率远大于磁流变液的磁导率，且在改进结构的磁路回路中不存在空气间隙，使得在很小的间隙中就可以产生很大的磁压降，二者的磁导率比值越大，则间隙中的磁压降就越大，产生的磁场越强，磁流变效应也相对越强。
３．３．２改进后结构磁路相关参数的分析
（１）磁感应强度与励磁电流之间的关系
比较图１、２两种结构可以发现，改进后的结构在相同条件下产生的磁感应强度Ｂ较大，由于阻尼器的阻尼力是随着Ｂ值增大而增大的，改进后的结构更容易满足要求，阻尼力的调节范围更广。下面针对改进后的结构进行深入的分析。
由前面所述还可以知道，在阻尼器工作间隙一定的情况下，通过改变励磁电流密度，可以得到在不同励磁电流情况下的工作间隙中的磁感应强度。工作间隙磁感应强度采取对有限元分析关键节点数据求平均值的方法得到，具体如表３所示。
袭３两种结构在不同电流下问隙为１．５ｍｍ时间隙处的磁感应强度
利用ＭＡＴＬＡＢ“］绘图工具可以画出图１、２两种结构的Ｂ—Ｊ曲线图，如图８所示。
从图８中可以清晰地看到，在相同电流、相同间隙下原始结构的工作间隙磁感应强度明显比改进后结构的工作间隙磁感应强度小。
利用ＭＡＴＬＡＢ绘图工具对改进后的结构有限元分析数据进行二次曲线拟合，可得工作间隙在为１．５ｍｍ时磁感应强度Ｂ与励磁电流Ｊ的函数公式，即
Ｂ＝０．０４６Ｊ３一Ｏ．３Ｊ２＋Ｏ：８ｊ—Ｏ．００２２，（１０）
由式（１０）得到的关系曲线如图９所示。
（２）控制电流、移动盘涡动速度与阻尼力之间的关系
参考Ｌｏｒｄ公司的产品数据，对于ＭＲＦ一１３２型磁流变液体，ｒ，与磁感应强度８之间的关系为［７］
ｒ．＝４３３９３．２２Ｂ‘一１７７９２７．３６８３＋１８３５４２．７１８２—３０１７．８２Ｂ。（１１）
根据ＡＮＳＹＳ电磁场分析得到的不同控制电流下磁感应强度Ｂ的大小，结合式（５）和（６），运用ＭＡＴＬＡＢ软件可得图１０所示控制电流、移动盘涡动速度与阻尼力的三维关系。
由图１０可知，随着移动盘涡动速度的增大，阻尼力几乎呈线性增大Ｉ而阻尼力随控制电流的增大则呈现先快速增大后变缓直至平稳的趋势，这是因为当电流增大到一定的值时，磁流变液达到磁饱和状
态，此后，随着电流的增大，输出的阻尼力不再增大。
６８佛山科学技术学院学报（自然科学版）
１第２９卷
Ｏ・
Ｏ・
０・
Ｏ．０・９０・８０・７Ｏ．６
毫ｏ．
Ｏ．
Ｏ．
０．
Ｏ．毫ｏ．５Ｏ．４０．３０．２Ｏ．１
０
０．２０．４Ｏ．６０．８ｌ１．２１．４
ｖ｜ｋ１．６１．８２２．２
圈８两种结构的Ｂ—Ｊ曲线图圉９励磁电流与磁感应强度的关系曲线
（３）磁感应强度与工作间隙的关系
为了进一步了解工作间隙处磁感应强度的影响因素，
现利用改进后结构的模型对其进行在不同间隙下的磁路分
析，由于篇幅所限，本实验就只针对在励磁电流为２Ａ时的
情况分析，结果如表４所示。根据表４中的数据，利用
ＭＡＴＬＡＢ软件可以得到工作间隙ｚ与磁感应强度Ｂ的关系曲线，如图１１所示。ｚ／ｍｍＢ／Ｔ１Ｏ．５６５表４励磁电流，＝２Ａ时不同工作间隙下的磁感应强度１．５０．７４２２Ｏ．６５６２．５Ｏ．５８５
图ｌＯ控制电流、移动盘涡动速度与阻尼力的三雄曲线关系图ｌｌ工作闻隙ｚ与磁感应强度Ｂ的关系
从图１１中可以看出，在特定的磁流变液和结构下，工作间隙存在一个最优值，它使得工作间隙下的磁感应强度取得最大值，从而可以充分发挥磁流变液的性能。
４结论
（１）为尽可能使外加磁场对磁流变效应有着最大的影响，必须确保磁力线垂直于阻尼间隙通道中磁流变液的流动方向，并确保磁力线集中在阻尼间隙通道中。
（２）阻尼盘和壳体作为磁路引导元件，应由高导磁材料制成，这样可产生较大的磁感应强度。
（３）安装滚动轴承的支撵套和给移动板、静止板确定位置的间隔环均由铝合金制造，以保证磁场沿垂直于移动盘表面的方向穿过间隙中的磁流变液。
（４）阻尼器的工作效率直接取决于磁流变液的磁感应剪切应力，而磁感应剪切应力又由磁流变液工作时的磁感应强度决定。要想提高剪切式磁流变液阻尼器的阻尼力，就必须提高工作间隙下磁流变液的磁感应强度。
（５）利用专业电磁场有限元软件——ＡＮＳＹＳ／Ｍｕｌｔｉｐｈｙｓｉｃｓ对阻尼器的磁路进行仿真比较可靠，通过有限元模型进行磁路计算与设计基本可以代替磁路的物理试验，以减少试验次数，缩短原型研制周
期，并可节约开发成本。
第１期刘苑辉等：基于ＡＮＳＹＳ的剪切式磁流变液阻尼器磁路的有限元分析及相关研究６９参考文献ｔ
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［２］孙明礼．胡仁軎。崔海容．等．ＡＮｓＹｓｌｏ．ｏ电磁学有限元分析实例指导教程［Ｍ］．北京；机械工业出版社，２００７：４．［３］汪建晓．磁流变液及其在机械振动控制中的应用［Ｄ］．上海：上海交通大学，２００３．
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［５］邹继斌．磁路与磁场［Ｍ］．哈尔滨；哈尔滨工业大学出版社，１９９８．
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［７］ｗＡＬＩＤＥＩ—Ａｏｕａｒ．ＦｉｎｉｔｅＥｌｅｍｅｎｔＡｎａｌｙｓｉｓＢａｓｅｄＭｏｄｅｌｉｎｇｏｆＭａｇｎｅｔｏｒｈｅｏｌｏｇｉｃａＩＤａｍｐｅｒｓ［Ｄ］．ＢＩａｃｋｓｂｕｒｇ：Ｖｉ卜
ｇｉｎｉａＰｏｌｙｔｅｃｈｎｉｃＩｎｓｔｉｔｕｔｅａｎｄＳｔａｔｅＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，２００２．
【责任编辑：任小平ｒｅｎｘｐ９０＠１６３．ｃｏｍ】
Ｔｈｅｆｉｎｉｔｅｅｌｅｍｅｎｔａｎａｌｙｓｉｓａｎｄ
ｒｅｌａｔｅｄｓｔｕｄｙｏｎｓｈｅａｒｍｏｄｅＭＲＦｄａｍｐｅｒ，ｓ
ｍａｇｎｅｔｉｃｃｉｒｃｕｉｔｂａｓｅｄｏｎＡＮＳＹＳ
ＬＩＵＹｕａｎ—ｈｕｉｌ”，ＷＡＮＧＪｉａｎ—ｘｉａ０２，ＺＨＯＵＺｈａｏ—ｙａ０１
（１．Ｓｃｈ∞ｌｏｆＭｅｃｈａｎｉｃａｌａｎｄＡｕｔｏｍｏｔｉｖｅＥｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ。ｓｏｕｔｈＣｈｉｎａＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙｏｆＴｅｃｈｎｏｌｏｇｙ，Ｇｕａｎｇｚｈｏｕ５１０６４０．
Ｃｈｉｎａ，２．ＤｅｐａｒｔｍｅｎｔｏｆＭｅｃｈａｔｒｏｎｉｃｓＥｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ．ＦｏｓｈａｎＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｆｏｓｈａｎ５２８０００，Ｃｈｉｎａ）
Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｉｎｌｉｇｈｔｏｆｔｈｅｅｌｅｃｔｒｏｍａｇｎｅｔｉｃｆｉｅｌｄ’ｓｆｉｎｉｔｅｅｌｅｍｅｎｔｔｈｅｏｒｙ，ｔｈｅｓｈｅａｒｍｏｄｅＭＲＦｄａｍｐｅｒ，ｓｍａｇｎｅｔｉｃｃｉｒｃｕｉｔｓｗｅｒｅａｎａｌｙｚｅｄｂｙｍｅａｎｓｏｆｔｈｅｅｋｃｔｒｏｍａｇｎｅｔｉｃｍｏｄｕｌｅｏｆｆｉｎｉｔｅｅｌｅｍｅｎｔａｎａｌｙｓｉｓｓｏｆｔｗａｒｅ，ｔｈｅＡＮＳＹＳ／Ｍｕｌｔｉｐｈｙｓｉｃｓ．Ｔｈｅｆｌｕｘｌｉｎｅｓａｎｄｔｈｅｍａｇｎｅｔｉｃｆｌｕｘｄｅｎｓｉｔｙｏｆｔｗｏｄａｍｐｅｒｓａｒｅｃｏｍｐａｒｅｄ．ＳｏｍｅｐｒｏｂｌｅｍｓｒｅｌａｔｅｄｔｏｔｈｅｄｅｓｉｇｎｏｆｓｈｅａｒｍｏｄｅＭＲＦｄａｍｐａｒｅａｒｅｍｅｎｔｉｏｎｅｄ．ＢａｓｅｄｏｎＢｉｎｇｈａｍｐｌａｓｔｉｃｍｏｄｅＩ，ｔｈｅｍａｔｈｅｍａｔｉｃａｌｍｏｄｅｌｏｆｔｈｅｄａｍｐｉｎｇｆｏｒｃｅｉｓｅｓｔａｂｌｉｓｈｅｄ，ａｎｄｔｈｅｒｅｌａｔｉｏｎｓｈｉｐｃｕｒｖｅｓｂｅｔｗｅｅｎｅｘｃｉｔｉｎｇｃｕｒｒｅｎｔａｎｄｍａｇｎｅｔｉｃｎｕｘｄｅｎｓｉｔｙａｒｅｓｅｔｕｐｗｉｔｈｔｈｅｒｅｆｅｒｅｎｃｅｔ０ｔｈｅｆｉｎｉｔｅｅｌｅｍｅｎｔａｎａｌｙｓｉｓｂｙｕｓｉｎｇＭＡＴＬＡＢｓｏｆｔｗａｒｅ．
Ｋｅｙｗｏｒｄｓ：ｅｌｅｃｔｒｏｍａｇｎｅｔｉｃｆｉｅｌｄ’ｓｆｉｎｉｔｅｅｌｅｍｅｎｔｔｈｅｏｒｙｌＭＲＦｄａｍｐｅｒｌｍａｇｎｅｔｉｃｃｉｒｃｕｉｔＩＢｉｎｇｈａｍｐｌａｓｔｉｃｍｏｄｅｌＩＡＮＳＹＳ
第２９卷第１期佛山科学技术学院学报（自然科学版）Ｖ０１．２９Ｎｏ．１２０１１年１月ＪｏｕｒｎａｌｏｆＦｏｓｈａｎＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙ（ＮａｔｕｒａｌＳｃｉｅｎｃｅＥｄｉｔｉｏｎ）Ｊａｎ．２０１１文章编号｛１００８－０１７１（２０１１）０１一００６３－０７
基于ＡＮＳＹＳ的剪切式磁流变液阻尼器磁路的
有限元分析及相关研究
刘苑辉１’２，汪建晓弘，周照耀１
（１．华南理工大学机械与汽车工程学院，广东广州５１０６４０Ｉ
２．佛山科学技术学院机电工程系．广东佛山５２８０００）
摘要：在电磁场有限元理论的指导下．应用有限元软件中的电磁场分析模块——ＡＮＳＹｓ／Ｍｕｌｔｉｐｈｙｓｉｃｓ．对剪切式磁流变液阻尼器进行了磁路分析，比较了两种阻尼器的磁力线和磁感应强度分布．分析了剪切式磁流变液阻尼器设计过程中应该注意的问题。基于Ｂｉｎｇｈａｍ塑性流体模型建立了阻尼力数学模型，根据有限元分析数据利用ＭＡＴＬＡＢ软件建立了励磁电流与磁感应强度之间的关系曲线．
关键词：电磁场有限元理论；磁流变液阻尼器，磁路，Ｂｉｎｇｈａｍ塑性流体模型，ＡＮＳＹＳ
中圈分类号：ＴＭｌ４文献标志码：Ａ
磁流变液主要由载体液、分散于载体液中的铁磁性或顺磁性微粒以及添加剂组成。当施加外加磁场时，磁流变液可以快速获得几乎完全可逆的屈服强度变化（屈服应力变化从０～１００ｋＰａ），经历从液态到半固态的过程［１］。磁流变液阻尼器不仅要求作为工作介质的磁流变液具有零场黏度低、屈服应力大、响应时间短、良好的沉降稳定性以及凝聚稳定性等优良性质，而且要求作为工作介质的磁流变液必须具有高的饱和磁感应强度，以保证磁流变液阻尼器有足够大的力值调节范围，从而避免磁流变液过早饱和带来的不利影响。
如何选择性能优良的导磁材料以及磁流变液，是磁路设计的第一步，它关系到设计意图能否实现。良好的磁路设计还取决于良好的磁路结构设计。磁场在导磁体中的传递形成回路，如在回路中任何位置达到饱和，都将影响整个回路工作磁场的进一步增大。阻尼器的工作效率直接取决于磁流变液的磁感应剪切应力，而磁感应剪切应力取决于磁流变液工作时的磁感应强度。因此，需要对磁流变液阻尼器磁路设计进行探讨，对磁饱和进行分析，只有解决在研究进程和工程实施中遇到的问题，才能推进磁流变液阻尼器在工程领域的应用。
有限元法（ＦｉｎｉｔｅＥｌｅｍｅｎｔＭｅｔｈｏｄ，ＦＥＭ）是目前工程技术领域中实用性强、应用广泛的数值模拟方法之一。有限元仿真分析工具ＡＮＳＹＳ则是基于有限元法的大型数值模拟软件，其中电磁场分析模块ＡＮＳＹＳ／Ｍｕｌｔｉｐｈｙｓｉｃｓ可用来求解电磁场的多方面问题，如磁力线、磁感应强度、磁场强度、涡流、电磁力、电场分布和电感等［２］。
本文针对用于转子系统振动控制的剪切式磁流变液阻尼器的磁路设计、磁场有限元分布及相关参数之间的关系等问题做一些探讨研究。
收稿日期：２０１０—１１—１７
作者简介ｔ刘苑辉（１９８４一）．男．广东梅州人，华南理工大学与佛山科学技术学院联合培养硕士研究生．－通讯作者：汪建晓（１９６４－）．男．河北蠡县人，佛山科学技术学院教授．博士。硕士生导师．
６４佛山科学技术学院学报（自然科学版）第２９卷１剪切式磁流变液阻尼器的结构及其工作原理
图１所示为原始的剪切式磁流变液阻尼器的二维简化结构示意图，图２为改进后的剪切式磁流变液阻尼器结构示意图。由于其本身结构的对称性以及为了后面有限元分析的方便，建模时均只需要建立出其一半的模型，并且省略了滚动轴承等其他与磁场分析无关的结构。改进前、后的剪切式磁流变液阻尼器均有６组相对剪切表面，每组相对剪切表面由１个移动板和１个静止板组成，盘问距为１．５ｍｍ，在移动板和静止板之间的间隙中充满磁流变液。
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一；、
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圈１＼＼＼＼＼＼Ｖ圈２改进后的剪切式磁流变液阻尼器ｌ／２结构示意围剪切式磁流变液阻尼器的ｌ／２结构示意图
在没有磁场作用的情况下，图１、２中的磁流变液均处于液体状态，所能传递的力仅为黏性阻尼力，其阻尼力很低。当有足够强度的外加磁场作用时，磁流变液中的磁性粒子马上被磁化，并沿着磁力线方向成链状分布。这种链状结构使得磁流变液的剪切应力增大，表现出塑性体的特性。由于粘塑性流体的屈服应力是磁感应强度的函数，可通过控制线圈中的电流强度来调节磁场强度，进而调节磁感应强度，这样就可以调节流体的剪切应力，从而改变阻尼器的阻尼力。
图１、２中，壳体、移动板和静止板作为磁路引导元件，均由低碳钢制造，安装滚动轴承的支撑套和给移动板、静止板确定位置的间隔环均由铝合金制造，以保证磁场沿垂直于移动盘表面的方向穿过间隙中的磁流变液。该结构设计注意了壳体结构的对称性，以保证在水平和垂直方向作用在磁流变液的磁场具有对称性，并尽量使磁场分布均匀［３］。
２剪切式磁流变液阻尼器的阻尼力计算模型
假设转轴中心的运动轨迹具有任意形状，阻尼器轴承的
中心Ｂ’在ｚ、ｙ方向的横向位移分别为ｚ矗、如。在某一时间￡
内阻尼器轴承中心的速度（即移动板的涡动速度）为口８（ｆ），如
图３所示，其大小为
，‘———’————一Ｊ●．厂‘、＼＼Ｆ。
口８（ｆ）一√主刍＋多§，
设口占（ｔ）与ｚ轴的夹角为以，则有
ｆｃｏｓ见＝主Ｆ／ｚ，８０），
≮（１）（２）
【ｓｉｎ巩一孰／口８（ｆ）。
将磁流变液视为Ｂｉｎｇｈａｍ流体，其剪切应力为
ｒ一７ｙ＋ｏｓｇｎ（ｙ）。（３）（＼／∥ｊ／一：劬ｈ＼＼／＼；’／幺．．！ＦＩ｝＼ｙ．；图３阻尼器移动板的作用力
第１期刘苑辉等：基于ＡＮＳＹＳ的剪切式磁流变液阻尼器磁路的有限元分析及相关研究６５式（３）中，７为磁流变液的黏度，参考Ｌｏｒｄ公司的产品数据，取磁流变液的黏度叩＝Ｏ．９４～１３．６（剪应变率夕＝１０ｓ．１时），夕为剪应变率。
在模型（３）中，
’，＝口ｅ（ｔ）／踟，Ｐａ・ｓ（４）
式（４）中，踟为移动盘与静止盘的间距；勺为磁流变液的屈服应力，它是由磁流变液的性能和线圈电流Ｚ、线圈匝数等磁场参数决定的。
显然，当液体性能和磁路参数一定时，增加电流即可增大磁场强度，从而提高磁流变液的屈服强度。将ｒ在整个剪切面上积分，可得移动盘所受的阻尼力，即
Ｆ口一ｃ埘聊口（￡）＋Ｆ村，（５）
式（５）中，Ｆ。方向与ｔ，丑（ｆ）方向相反，如图３所示ＩｆＪＩｆ为磁流变液的黏度阻尼系数，Ｆ肘为磁流变液的库仑（摩擦）阻尼力，其表达式分别为
ｆｃ＾ｆ＝以．＇ｒ７（尺；一尺；）／鼬，
ＩＦｊＩｆ＝行，玎（Ｒ；一Ｒｉ）勺。
式（６）中，尺ｚ、Ｒ。分别为移动盘的最大半径和静止盘的最小半径，ｍ为剪切面的个数。“７…
显然，对于确定的磁流变液阻尼器而言，它所提供的黏性阻尼系数是不变的。从式（６）中可以看出，库仑阻尼力随屈服应力的变化而变化，因而可由线圈电流来控制。这正是能用剪切式磁流变液阻尼器来进行振动控制的本质所在。
３剪切式磁流变液阻尼器磁路有限元仿真及其分析
３．１电磁场的约束方程
宏观时变电磁场都服从麦克斯韦方程组‘“，即
￡Ｈ础＝”ｓ＋，＋等）ｄｒ’
乏。Ｅ・出＝一，ｒ关・ｄｒ，
书Ｂ・ｄＳ＝ｏ，。７，
手。Ｄ邮一，ｙＩＤｄｙ。
式（７）中，Ｚ是曲面ｒ的周界，Ｓ是区域ｙ的闭曲面，日为磁场强度，以是外源的电流密度，Ｊ是导电媒质中电流密度，Ｄ是电位移，Ｅ是电场强度，Ｂ是磁感应强度。ｆ是时间。
麦克斯韦方程组（７）不是一个完备方程组，还需补充媒质方程关系，对于线性媒质有
ｆＤ＝ｃＥ，
．《Ｂ＝ＥＨ，（８）
【‘，；ｙＥ。
联立方程组（７）、（８）即可成为一个完备方程组，可以对电磁场进行解析计算，它是有限元法计算电磁场的理论依据。
３．２电磁场的边界条件处理
为了确定电磁场的分布状况，除需要有场量的约束方程外，还应具备场量在不同媒质交界面两侧所满足的边界条件［¨，即
咒ｆ，・（Ｂ，一Ｂｆ）＝Ｏ，（９）
式（９）中，ｆ、．『分别代表边界两侧媒质，以为边界的法向。
式（９）表明磁感应强度在界面法向具有连续性。如忽略漏磁效应，在导磁体外部就不存在磁场。也就是说，在导磁体边界外的媒质中（空气或其他非导磁材料），边界外法向的磁感应强度为零，即在导磁体内部靠近边界的磁感应强度方向必然平行于界面。
６６佛山科学技术学院学报（自然科学版）第２９卷３．３磁路的有限元仿真与分析
３．３．１磁力线和磁通密度的仿真与分析
根据图１、２提出的剪切式磁流变液阻尼器的两种结构，利用ＡＮＳＹＳ软件对磁路进行仿真。
由于采用的是轴对称磁路结构，因此，可以将三维电磁场问题简化为二维二分之一轴对称模型（２Ｄ—ＡｘｉｓｙｍｍｅｔｒｉｃＭｏｄｅｌ）的电磁场问题进行计算。模型为规则的长方形，可选取二次四边形等参单元（ＰＬＡＮＥ５３），该单元求解精度高、边界适应性强，设置智能网格划分精度为２。
在材料属性中，定义空气、线圈和铝合金的相对磁导率（ＭＵＲＸ）均为１。壳体、移动盘和静止盘作为磁路引导元件，均由低碳钢制造。本实验采用１０号钢来制造磁路引导元件，其Ｂ—Ｈ曲线是非线性的，各参数如表１所示；而磁流变液选用Ｌｏｒｄ公司生产的ＭＲＦ一１３２一ＤＧ，其Ｂ一日曲线也是非线性的，各参数如表２所示。
表１阻尼器结构导磁材料的磁场强度与磁感应强度的关系
阻尼器的工作效率直接取决于磁流变液的磁感应剪切应力，而磁感应剪切应力是由磁流变液工作时的磁感应强度决定的。为了研究电流强度与磁感应强度的关系，分别在Ｏ．２、Ｏ．４、０．６、Ｏ．８、１．ｏ、１．２、１．４、１．６、１．８和２．ｏＡ等１０种电流情况进行仿真。
本文不考虑漏磁，只加通量平行条件，并满足约束方程（８）和边界条件处理（９），而励磁线圈以电流密度的形式加载于单元上。利用ＡＮＳＹＳ软件对其电磁场分布进行计算求解出节点的矢量磁势值，经处理后得到通量线、磁通量密度和磁场分布等。由于篇幅所限，本文只列出了励磁电流为２．ｏＡ时两种结构仿真得到的磁力线分布和磁感应强度分布，图４、５分别为原始结构（图１）的磁力线分布和磁感应强度分布示意图，图６、７分别为改进后结构（图２）的磁力线分布和磁感应强度分布示意图。
从图４、６可以发现，在轴承处由铝合金制造的支撑套起到了很好的隔磁作用。励磁线圈产生的磁力线基本上沿着设计的磁路分布，磁力线呈非均匀分布，离线圈越近，磁力线越密，并且随着励磁电流的增大而增大，同时在未达到磁饱和之前磁通也随着电流的增大而增大。磁力线几乎全部分布在有效的模型内，说明磁路结构设计和材料选择符合要求。
由图５、７可以看到，在实体模型的边界，特别位于结构拐角处，磁感应强度变化比较大，容易先出现磁饱和现象。磁场在导磁体中的传递形成回路，回路中任何位置达到饱和，将影响整个回路工作磁场的进一步增大，这个是在设计时应该注意的地方。除此之外，还应该充分注意磁动势主要降落所在的地方，对于改进后的阻尼器的整个磁路的磁动势主要降落在磁流变液间隙处，表明达到ＭＲＦ阻尼器磁路设图４原始结构剪切式磁流变液阻尼嚣的磁力线分布
圈５原始结构剪切式磁滚变液阻尼器的磁感应强度分布
第１期刘苑辉等：基于ＡＮＳＹＳ的剪切式磁流变液阻尼器磁路的有限元分析及相关研究６７圈６改进结构剪切式磁流变液阻尼器的磁力线分布圈７改进结构剪切式磁流变液阻尼器的磁感应强度分布计的目的；而原始结构由于在磁路中存在空气隙，它的磁动势并没有完全降落在磁流变液间隙上，在空气隙当中也分担了一部分的磁动势，说明原始结构并没有完全达到ＭＲＦ阻尼器磁路设计的目的，其原因为阻尼器结构材料的磁导率远大于磁流变液的磁导率，且在改进结构的磁路回路中不存在空气间隙，使得在很小的间隙中就可以产生很大的磁压降，二者的磁导率比值越大，则间隙中的磁压降就越大，产生的磁场越强，磁流变效应也相对越强。
３．３．２改进后结构磁路相关参数的分析
（１）磁感应强度与励磁电流之间的关系
比较图１、２两种结构可以发现，改进后的结构在相同条件下产生的磁感应强度Ｂ较大，由于阻尼器的阻尼力是随着Ｂ值增大而增大的，改进后的结构更容易满足要求，阻尼力的调节范围更广。下面针对改进后的结构进行深入的分析。
由前面所述还可以知道，在阻尼器工作间隙一定的情况下，通过改变励磁电流密度，可以得到在不同励磁电流情况下的工作间隙中的磁感应强度。工作间隙磁感应强度采取对有限元分析关键节点数据求平均值的方法得到，具体如表３所示。
袭３两种结构在不同电流下问隙为１．５ｍｍ时间隙处的磁感应强度
利用ＭＡＴＬＡＢ“］绘图工具可以画出图１、２两种结构的Ｂ—Ｊ曲线图，如图８所示。
从图８中可以清晰地看到，在相同电流、相同间隙下原始结构的工作间隙磁感应强度明显比改进后结构的工作间隙磁感应强度小。
利用ＭＡＴＬＡＢ绘图工具对改进后的结构有限元分析数据进行二次曲线拟合，可得工作间隙在为１．５ｍｍ时磁感应强度Ｂ与励磁电流Ｊ的函数公式，即
Ｂ＝０．０４６Ｊ３一Ｏ．３Ｊ２＋Ｏ：８ｊ—Ｏ．００２２，（１０）
由式（１０）得到的关系曲线如图９所示。
（２）控制电流、移动盘涡动速度与阻尼力之间的关系
参考Ｌｏｒｄ公司的产品数据，对于ＭＲＦ一１３２型磁流变液体，ｒ，与磁感应强度８之间的关系为［７］
ｒ．＝４３３９３．２２Ｂ‘一１７７９２７．３６８３＋１８３５４２．７１８２—３０１７．８２Ｂ。（１１）
根据ＡＮＳＹＳ电磁场分析得到的不同控制电流下磁感应强度Ｂ的大小，结合式（５）和（６），运用ＭＡＴＬＡＢ软件可得图１０所示控制电流、移动盘涡动速度与阻尼力的三维关系。
由图１０可知，随着移动盘涡动速度的增大，阻尼力几乎呈线性增大Ｉ而阻尼力随控制电流的增大则呈现先快速增大后变缓直至平稳的趋势，这是因为当电流增大到一定的值时，磁流变液达到磁饱和状
态，此后，随着电流的增大，输出的阻尼力不再增大。
６８佛山科学技术学院学报（自然科学版）
１第２９卷
Ｏ・
Ｏ・
０・
Ｏ．０・９０・８０・７Ｏ．６
毫ｏ．
Ｏ．
Ｏ．
０．
Ｏ．毫ｏ．５Ｏ．４０．３０．２Ｏ．１
０
０．２０．４Ｏ．６０．８ｌ１．２１．４
ｖ｜ｋ１．６１．８２２．２
圈８两种结构的Ｂ—Ｊ曲线图圉９励磁电流与磁感应强度的关系曲线
（３）磁感应强度与工作间隙的关系
为了进一步了解工作间隙处磁感应强度的影响因素，
现利用改进后结构的模型对其进行在不同间隙下的磁路分
析，由于篇幅所限，本实验就只针对在励磁电流为２Ａ时的
情况分析，结果如表４所示。根据表４中的数据，利用
ＭＡＴＬＡＢ软件可以得到工作间隙ｚ与磁感应强度Ｂ的关系曲线，如图１１所示。ｚ／ｍｍＢ／Ｔ１Ｏ．５６５表４励磁电流，＝２Ａ时不同工作间隙下的磁感应强度１．５０．７４２２Ｏ．６５６２．５Ｏ．５８５
图ｌＯ控制电流、移动盘涡动速度与阻尼力的三雄曲线关系图ｌｌ工作闻隙ｚ与磁感应强度Ｂ的关系
从图１１中可以看出，在特定的磁流变液和结构下，工作间隙存在一个最优值，它使得工作间隙下的磁感应强度取得最大值，从而可以充分发挥磁流变液的性能。
４结论
（１）为尽可能使外加磁场对磁流变效应有着最大的影响，必须确保磁力线垂直于阻尼间隙通道中磁流变液的流动方向，并确保磁力线集中在阻尼间隙通道中。
（２）阻尼盘和壳体作为磁路引导元件，应由高导磁材料制成，这样可产生较大的磁感应强度。
（３）安装滚动轴承的支撵套和给移动板、静止板确定位置的间隔环均由铝合金制造，以保证磁场沿垂直于移动盘表面的方向穿过间隙中的磁流变液。
（４）阻尼器的工作效率直接取决于磁流变液的磁感应剪切应力，而磁感应剪切应力又由磁流变液工作时的磁感应强度决定。要想提高剪切式磁流变液阻尼器的阻尼力，就必须提高工作间隙下磁流变液的磁感应强度。
（５）利用专业电磁场有限元软件——ＡＮＳＹＳ／Ｍｕｌｔｉｐｈｙｓｉｃｓ对阻尼器的磁路进行仿真比较可靠，通过有限元模型进行磁路计算与设计基本可以代替磁路的物理试验，以减少试验次数，缩短原型研制周
期，并可节约开发成本。
第１期刘苑辉等：基于ＡＮＳＹＳ的剪切式磁流变液阻尼器磁路的有限元分析及相关研究６９参考文献ｔ
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ｇｉｎｉａＰｏｌｙｔｅｃｈｎｉｃＩｎｓｔｉｔｕｔｅａｎｄＳｔａｔｅＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，２００２．
【责任编辑：任小平ｒｅｎｘｐ９０＠１６３．ｃｏｍ】
Ｔｈｅｆｉｎｉｔｅｅｌｅｍｅｎｔａｎａｌｙｓｉｓａｎｄ
ｒｅｌａｔｅｄｓｔｕｄｙｏｎｓｈｅａｒｍｏｄｅＭＲＦｄａｍｐｅｒ，ｓ
ｍａｇｎｅｔｉｃｃｉｒｃｕｉｔｂａｓｅｄｏｎＡＮＳＹＳ
ＬＩＵＹｕａｎ—ｈｕｉｌ”，ＷＡＮＧＪｉａｎ—ｘｉａ０２，ＺＨＯＵＺｈａｏ—ｙａ０１
（１．Ｓｃｈ∞ｌｏｆＭｅｃｈａｎｉｃａｌａｎｄＡｕｔｏｍｏｔｉｖｅＥｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ。ｓｏｕｔｈＣｈｉｎａＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙｏｆＴｅｃｈｎｏｌｏｇｙ，Ｇｕａｎｇｚｈｏｕ５１０６４０．
Ｃｈｉｎａ，２．ＤｅｐａｒｔｍｅｎｔｏｆＭｅｃｈａｔｒｏｎｉｃｓＥｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ．ＦｏｓｈａｎＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｆｏｓｈａｎ５２８０００，Ｃｈｉｎａ）
Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｉｎｌｉｇｈｔｏｆｔｈｅｅｌｅｃｔｒｏｍａｇｎｅｔｉｃｆｉｅｌｄ’ｓｆｉｎｉｔｅｅｌｅｍｅｎｔｔｈｅｏｒｙ，ｔｈｅｓｈｅａｒｍｏｄｅＭＲＦｄａｍｐｅｒ，ｓｍａｇｎｅｔｉｃｃｉｒｃｕｉｔｓｗｅｒｅａｎａｌｙｚｅｄｂｙｍｅａｎｓｏｆｔｈｅｅｋｃｔｒｏｍａｇｎｅｔｉｃｍｏｄｕｌｅｏｆｆｉｎｉｔｅｅｌｅｍｅｎｔａｎａｌｙｓｉｓｓｏｆｔｗａｒｅ，ｔｈｅＡＮＳＹＳ／Ｍｕｌｔｉｐｈｙｓｉｃｓ．Ｔｈｅｆｌｕｘｌｉｎｅｓａｎｄｔｈｅｍａｇｎｅｔｉｃｆｌｕｘｄｅｎｓｉｔｙｏｆｔｗｏｄａｍｐｅｒｓａｒｅｃｏｍｐａｒｅｄ．ＳｏｍｅｐｒｏｂｌｅｍｓｒｅｌａｔｅｄｔｏｔｈｅｄｅｓｉｇｎｏｆｓｈｅａｒｍｏｄｅＭＲＦｄａｍｐａｒｅａｒｅｍｅｎｔｉｏｎｅｄ．ＢａｓｅｄｏｎＢｉｎｇｈａｍｐｌａｓｔｉｃｍｏｄｅＩ，ｔｈｅｍａｔｈｅｍａｔｉｃａｌｍｏｄｅｌｏｆｔｈｅｄａｍｐｉｎｇｆｏｒｃｅｉｓｅｓｔａｂｌｉｓｈｅｄ，ａｎｄｔｈｅｒｅｌａｔｉｏｎｓｈｉｐｃｕｒｖｅｓｂｅｔｗｅｅｎｅｘｃｉｔｉｎｇｃｕｒｒｅｎｔａｎｄｍａｇｎｅｔｉｃｎｕｘｄｅｎｓｉｔｙａｒｅｓｅｔｕｐｗｉｔｈｔｈｅｒｅｆｅｒｅｎｃｅｔ０ｔｈｅｆｉｎｉｔｅｅｌｅｍｅｎｔａｎａｌｙｓｉｓｂｙｕｓｉｎｇＭＡＴＬＡＢｓｏｆｔｗａｒｅ．
Ｋｅｙｗｏｒｄｓ：ｅｌｅｃｔｒｏｍａｇｎｅｔｉｃｆｉｅｌｄ’ｓｆｉｎｉｔｅｅｌｅｍｅｎｔｔｈｅｏｒｙｌＭＲＦｄａｍｐｅｒｌｍａｇｎｅｔｉｃｃｉｒｃｕｉｔＩＢｉｎｇｈａｍｐｌａｓｔｉｃｍｏｄｅｌＩＡＮＳＹＳ