几何综合题
一图形与证明中要求：会用归纳和类比进行简单的推理。
图形的认识中要求：会运用几何图形的相关知识和方法（两点之间的距离，等腰三角形、等边三角形、直角三角形的知识，全等三角形的知识和方法，平行四边形的知识，矩形、菱形和正方形的知识，直角三角形的性质，圆的性质）解决有关问题；能运用三角函数解决与直角三角形相关的简单实际问题；能综合运用几何知识解决与圆周角有关的问题；能解决与切线有关的问题。
图形与变换中要求：能运用轴对称、平移、旋转的知识解决简单问题。 二. 基本图形及辅助线
解决几何综合题，是需要厚积而薄发，所谓的“几何感觉”，是建立在足够的知识积累的基础上的，熟悉基本图形及常用的辅助线，在遇到特定条件时能够及时联想到对应的模型，找到“新”问题与“旧”模型间的关联，明确努力方向，才能进一步综合应用数学知识来解决问题。在中档几何题目教学中注重对基本图形及辅助线的积累是非常必要的。 举例：
1、与相似及圆有关的基本图形
3、基本辅助线
（1）角平分线——过角平分线上的点向角的两边作垂线（角平分线的性质）、翻折；【参见(一)1；（二）1；西城中考总复习P57例6】*
（2）与中点相关——倍长中线（八字全等），中位线，直角三角形斜边中线；【参见(一)2、3、4、5】*
（3）共端点的等线段——旋转基本图形（60°，90°），构造圆；垂直平分线，角平分线——翻折； 转移线段——平移基本图形（线段）线段间有特殊关系时，翻折；【参见(一)6,7,8,9】 （4）特殊图形的辅助线及其迁移——梯形的辅助线（什么时候需要这样添加？）等【参见．．．．(一)7】
作双高——上底、下底、高、腰（等腰梯形）三推一；面积；锐角三角函数 平移腰——上下底之差；两底角有特殊关系（延长两腰）；梯形——三角形 平移对角线——上下底之和；对角线有特殊位置、数量关系。（P5——2006北京，25*）„„
注：在绘制辅助线时要注意同样辅助线的不同说法，可能会导致解题难度有较大差异。
三. 题目举例
在几何综合题解题教学中，建议可以分为以下三个阶段：
第一阶段：基本图形、辅助线等的积累——在讲授综合题目前，搭配方法类似的中档题，或者给有阅读材料（小问递进启发）的综合题目，给学生入手点的启发。注重提升学生的迁移能力，培养转化数学思想方法。
第二阶段：反思与总结——引导学生在解题遇到困难时，记录思维卡点，分析问题所在；注重一题多解，并注重各种解法的可迁移性；在解题后，能够抽离出题目的基本型，将题目的图形，方法进行归类整理。 第三阶段：综合能力的提升——学生在遇到综合问题时能够联想到之前的经验，形成所谓的“几何感觉”。此时练习可以综合性较强的题目为主，要注重书写过程时抓住要点，简明有条理性。
(一) 基本图形与辅助线的添加 #角平分线（【类】P5——2006北京，23；西城中考总复习P57-例6） 1、（2010宣武一模，23）已知： AC 平分∠MAN
（1）在图1中，若∠MAN =120︒，∠ABC =∠ADC =90︒，AB +AD ___AC 。（填写“>”或“
（2）在图2中，若∠MAN =120︒，∠ABC +∠ADC =180︒，则（1）中结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由； （3）在图3中：
①若∠MAN =60︒，∠ABC +∠ADC =180︒，判断AB +AD 与AC 的数量关系，并说明理由；
∠ABC +∠ADC =180︒，②若∠MAN =α(0︒
含α的三角函数表示，直接写出结果，不必证明）
AD =_____AC （用
23. 解：(1) AB＋．--------------------------------------------------------------------------1分 (2) 仍然成立．
证明：如图2过C 作CE ⊥AM 于E ，CF ⊥AN 于F ， 则∠CEA=∠CFA=90°．
∵ AC平分∠MAN ，∠MAN=120°， ∴ ∠MAC=∠NAC=60°．
又∵ AC=AC， ∴ △AEC ≌△AFC ， ∴ AE=AF，CE=CF．
∵ 在Rt △CEA 中，∠EAC=60°， ∴ ∠ECA=30°， ∴ AC=2AE．
∴ AE+AF=2AE=AC． ∴ ED+DA+AF=AC． ∵ ∠ABC ＋∠AD C ＝180°，∠CDE+∠ADC=180°， ∴ ∠CDE=∠CBF ．
又∵ CE=CF，∠CED=∠CFB ， ∴ △CED ≌△CFB ． ∴ ED=FB， ∴ FB+DA+AF=AC．
∴ AB+AD=AC．----------------------------------------- 4分 (3)①AB+AD=AC ．
证明：如图3，方法同(2)可证△AGC ≌△AHC ． ∴AG=AH．
∵∠MAN=60°， ∴∠GAC=∠HAC=30°． ∴AG=AH=3AC ．∴AG+AH=AC ．
2∴GD+DA+AH=3AC ． 方法同(2)可证△GDC ≌△HBC ． ∴GD=HB， ∴ HB+DA+AH=AC ．
∴AD+AB=AC ．-------------------------------------------------------------------------------------6分 ②AB ＋AD ＝2cos α·AC ．-------------------------------------------------------------------7分
2
A
中位线/中线*2、（2010海淀一模，25）已知：△AOB 中，AB =OB =2，△COD 中，
CD =OC =3, ∠ABO =∠DCO . 连接AD 、BC ，点M 、N 、P 分别为OA 、OD 、BC 的中点.
(1) 如图1，若A 、O 、C 三点在同一直线上，且∠ABO =60，则△PMN 的形状是
AD
________________，此时=________；
BC (2) 如图2，若A 、O 、C 三点在同一直线上，且∠ABO =2α，证明△PMN ∽△BAO ，并计算
AD
的值（用含α的式子表示）； BC
(3) 在图2中，固定△AOB ，将△COD 绕点O 旋转，直接写出PM 的最大值.
#直角三角形斜边中线3、（2011海淀一模，25）在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，tan ∠BAC=点D 在边AC 上（不与A ，C 重合），连结BD ，F 为BD 中点.
（1）若过点D 作DE ⊥AB 于E ，连结CF 、EF 、CE ，如图1． 设CF kEF ，则k = ； （2）若将图1中的△ADE 绕点A 旋转，使得D 、E 、B 三点共线，点F 仍为BD 中点，如图2所示．求证：BE-DE=2CF；
（3）若BC=6，点D 在边AC 的三等分点处，将线段AD 绕点A 旋转，点F 始终为BD 中点，
求线段CF 长度的最大值．
1. 2
A A
D
E
E
D
C
B
图1
C
B
图
2
C
B
备图
25． 解：（1）k =1； ………….……………………………2分
（2）如图2，过点C 作CE 的垂线交BD 于点G ，设BD 与AC 的交点为Q .
由题意，tan ∠BAC =
1BC DE 1
，∴ ==. 2AC AE 2
A
∵ D 、E 、B 三点共线，∴ AE ⊥DB .
∵ ∠BQC =∠AQD ，∠ACB =90°, ∴ ∠QBC =∠EAQ. ∵ ∠ECA+∠ACG =90°，∠BCG+∠ACG =90°， ∴ ∠ECA =∠BCG . ∴ △BCG ∽△ACE . ∴
D E
Q
C
BC GB 1
==. ∴ GB =DE. AC AE 2
B
图2
∵ F 是BD 中点， ∴ F 是EG 中点. 在Rt △ECG 中，CF =
（3）情况1：如图，当AD =
1
EG , ∴ BE -DE =EG =2CF . 2
……………………5分
1
AC 时，取AB 的中点M ，连结MF 和CM ， 3
1∵∠ACB =90°， tan ∠BAC =，且BC = 6, 2
∴AC =12，AB
=.
∵M 为AB 中点，∴CM
=1
AC ， 3∴AD =4.
∵AD =
∵M 为AB 中点，F 为BD 中点， ∴FM =
1
AD = 2. 2
∴当且仅当M 、F 、C 三点共线且M 在线段CF 上时CF 最大，此时CF =CM +FM
=2+分
2
情况2：如图，当AD =AC 时，取AB 的中点M ，
3
连结MF 和CM ，
类似于情况1，可知CF
的最大值为4+ …7分 综合情况1与情况2，可知当点D 在靠近点C 的
三等分点时，线段CF
的长度取得最大值为4+分
#直角三角形斜边中线+四点共圆（【类】西城中考总复习P61-17）*4、已知：在△ABC 中，∠ABC =90︒, 点E 在直线AB 上, ED 与直线AC 垂直, 垂足为D ，且点M 为EC 中点, 连接BM , DM .
（1）如图1，若点E 在线段AB 上，探究线段BM 与DM 及∠BMD 与∠BCD 所满足
的数量关系, 并直接写出你得到的结论； （2）如图2，若点E 在BA 延长线上，你在（1）中得到的结论是否发生变化？写出 你的猜想并加以证明;
（3）若点E 在AB 延长线上，请你根据条件画出相应的图形，并直接写出线段BM
与DM 及∠BMD 与∠BCD 所满足的数量关系. B
M
D D E E
A 图1 图2
#倍长过中点的线段5、（2008年北京，25）请阅读下列材料：
P 是线段DF 问题：如图1，在菱形ABCD 和菱形BEFG 中，点A ，B ，E 在同一条直线上，
的中点，连结PG ，PC ．若∠ABC =∠BEF =60，探究PG 与PC 的位置关系及值．
小聪同学的思路是：延长GP 交DC 于点H ，构造全等三角形，经过推理使问题得到解决．
C D
P F
F A
E B
图2 图1
请你参考小聪同学的思路，探究并解决下列问题：
PG
的PC
PG
的值； PC
（2）将图1中的菱形BEFG 绕点B 顺时针旋转，使菱形BEFG 的对角线BF 恰好与菱形ABCD 的边AB 在同一条直线上，原问题中的其他条件不变（如图2）．你在（1）中得到
（1）写出上面问题中线段PG 与PC 的位置关系及的两个结论是否发生变化？写出你的猜想并加以证明．
（3）若图1中∠ABC =∠BEF =2α(0
PG
的值（用含α的式子表示）． PC PG
解：（1）线段PG 与PC 的位置关系是 ；=
PC
意角度，原问题中的其他条件不变，请你直接写出
25．解：(1)线段PG 与PC 的位置关系是PG ⊥PC ；
PG
=3． PC
(2)猜想：(1)中的结论没有发生变化．
证明：如图，延长GP ，交AD 于点H ，连结CH 、CG ． ∵P 是线段DF 的中点， ∴FP ＝DP ．
由题意可知AD ∥FG ． ∴∠GFP ＝∠HDP ． 又∵∠GPF ＝∠HPD ， ∴△GFP ≌△HDP ． ∴GP ＝HP ，GF ＝HD ． ∵四边形ABCD 是菱形，
∴CD ＝CB ，∠HDC ＝∠ABC ＝60°．
由∠ABC ＝∠BEF ＝60°，且菱形BEFG 的对角线BF 恰好与菱形ABCD 的边AB 在同一条直线上，可得∠GBC ＝60°．
∴∠HDC ＝∠GBC ．∵四边形BEFG 是菱形， ∴GF ＝GB ．∴HD ＝GB ．∴△HDC ≌△GBC ． ∴CH ＝CG ，∠DCH ＝∠BCG ．
∴∠DCH ＋∠HCB ＝∠BCG ＋∠HCB ＝120°．
即∠HCG ＝120°．∵CH ＝CG ，PH ＝PG ，∴PG ⊥PC ，∠GCP ＝∠HCP ＝60°．
∴
PG
=． PC PG
=tan(90 -α) ．
(3)PC
第25题答图
#共端点的等线段，旋转6、（2010西城一模，24）如图1，在□ABCD 中，AE ⊥BC 于E ，E 恰为BC 的中点，tan B =2.
（1）求证：AD =AE ；
（2）如图2，点P 在BE 上，作EF ⊥DP 于点F ，连结AF .
求证：DF -EF =2AF ；
（3）请你在图3中画图探究：当P 为射线E C 上任意一点（P 不与点E 重合）时，作
EF ⊥DP 于点F ，连结AF ，线段DF 、EF 与AF 之间有怎样的数量关系？直接写
出你的结论.
D
A
A D
B
E
图1
C
B P
E
图2
C
B E
图3
C
24．证明：（1）在Rt △ABE 中，∠AEB=90°， ∴
tan B =
AE
=2 BE
D
∴AE =2BE ． ································································ 1分 ∵E 为BC 的中点，
∴BC =2BE ．
∴AE=BC. ∵ABCD 是平行四边形， B P E ∴AD=BC.
图8 ∴AE=AD. ·························································································································· 2分 （2）在DP 上截取DH =EF （如图8）．
∵四边形ABCD 是平行四边形，AE ⊥BC ， ∴∠EAD=90°． ∵EF ⊥PD ，∠1＝∠2， ∴∠ADH =∠AEF ． ∵AD =AE ，
∴△ADH ≌△AEF ． ······························ 4分 ∴∠HAD =∠F AE ，AH =AF ． ∴∠F AH ==90°．
在Rt △F AH 中， AH =AF ，∴FH =2AF ．
∴FH =FD -HD =FD -EF =2AF ． 即DF -EF =
H
B
E
2AF ．
F
5分
图9
（3）按题目要求所画图形见图9， 线段DF 、EF 、AF 之间的数量关系为：DF +EF =2AF ．
利用平移变换转移线段，类比梯形平移对角线7、（2006年北京，25）我们给出如下定义：若一个四边形的两条对角线相等，则称这个四边形为等对角线四边形。请解答下列问题：
（1）写出你所学过的特殊四边形中是等对角线四边形的两种图形的名称；
（2）探究：当等对角线四边形中两条对角线所夹锐角为60°时，这对60°角所对的两
边之和与其中一条对角线的大小关系，并证明你的结论。
25．解：（1）略．写对一种图形的名称给1分，最多给2分．
（2）结论：等对角线四边形中两条对角线所夹锐角为60时，这对60角所对的两边之和大于或等于一条对角线的长．
已知：四边形ABCD 中，对角线AC ，BD 交于点O ，AC =BD ，
且∠AOD =60．
求证：BC +AD ≥AC ．
证明：过点D 作DF ∥AC ，在DF 上截取DE ，使DE =AC ． 连结CE ，BE ．
故∠EDO =60，四边形ACED 是平行四边形．
所以△BDE 是等边三角形，CE =AD ． 所以DE =BE =AC ．
①当BC 与CE 不在同一条直线上时（如图1），
在△BCE 中，有BC +CE >BE ．所以BC +AD >AC ． ②当BC 与CE 在同一条直线上时（如图2）， 则BC +CE =BE ．因此BC +AD =AC ． 综合①、②，得BC +AD ≥AC ．
即等对角线四边形中两条对角线所夹角为60时，这对60角所对的两边之和大于或等于其中一条对角线的长．
利用平移变换转移线段+作图8、（2011西城一模，25）在Rt △ABC 中，∠C =90°，D ，E 分别为CB ，CA 延长线上的点，BE 与AD 的交点为P .
（1）若BD=AC，AE=CD，在图1中画出符合题意的图形，并直接写出∠APE 的度数； （2
）若AC
，CD =，求∠APE 的度数.
第11页（讲稿版）
25．解：（1）如图9，∠. „„„„„„„„2分
（2）解法一：如图AE 平移到DF ，连接BF ，EF 3分
则四边形AEFD 是平行四边形． ∴ AD ∥EF ，AD=EF． ∵
∴
AC =
，CD =，
AC CD CD
=，==． BD AE DF AC CD ∴ =
BD DF
∵ ∠C =90°， ∴
∠BDF =180︒-∠C =90︒．
∴ ∠C=∠BDF ．
∴ △ACD ∽△BDF ．„„„„„„5分
∴
AD AC
=1=∠2． BF BD EF AD ∴ =．
BF BF
∵ ∠1+∠3=90°， ∴ ∠2+∠3=90°． ∴ BF ⊥AD ．
∴ BF ⊥EF ．„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„6分 ∴ 在Rt △BEF 中，tan ∠BEF =
BF ． =
EF ∴ ∠APE =∠BEF =30°．„„„„„„„„„„„„„„„„7分
解法二：如图11，将CA 平移到DF ，连接AF ，BF ，EF ．„„„„„„3分
则四边形ACDF 是平行四边形． ∵ ∠C =90°，
∴ 四边形ACDF 是矩形，∠AFD =∠CAF = 90°，∠1+∠2=90°． ∵ 在Rt △AEF 中，tan ∠3=在Rt △BDF 中，tan ∠1=∴ ∠3=∠1=30︒．
∴ ∠3+∠2=∠1+∠2=90°，即∠EFB =90°． ∴ ∠AFD =∠EFB ． „„„„„„„4分
又∵
AE AE ==
AF CD BD BD ， ==
DF AC DF AF ==
BF EF 第12页（讲稿版）
∴ △ADF ∽△EBF ． „„„„„„„„„„„„„„„„„„5分 ∴ ∠4=∠5．„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„6分 ∵ ∠APE+∠4=∠3+∠5，
∴ ∠APE =∠3=30°．„„„„„„„„„„„„„„„„„„7分
翻折全等+等腰（与角平分线类比）9、（2007年北京，25）我们知道：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形．类似地，我们定义：至少有一组对边相等的四边形叫做等对边四边形． （1）请写出一个你学过的特殊四边形中是等对边四边形的图形的名称；
（2）如图，在△ABC 中，点D ，E 分别在AB ，AC 上，设CD ，BE 相交于点O ，若∠A =60°，
E
B C
∠DCB =∠EBC =
等对边四边形；
1
∠A ．请你写出图中一个与∠A 相等的角，并猜想图中哪个四边形是2
（3）在△ABC 中，如果∠A 是不等于60°的锐角，点D ，E 分别在AB ，AC 上，且
∠DCB =∠EBC =
你的结论．
1
．探究：满足上述条件的图形中是否存在等对边四边形，并证明∠A 2
25．解：（1）回答正确的给1分（如：平行四边形、等腰梯形等）。
（2）答：与∠A 相等的角是∠BOD （或∠COE ），四边形DBCE 是等对边四边形； （3）答：此时存在等对边四边形，是四边形DBCE 。
证法一：如图1，作CG ⊥BE 于G 点，作BF ⊥CD 交CD 延长线于F 点。 因为∠DCB=∠EBC=
12
∠A ，BC 为公共边，
所以△BCF ≌△CBG ， 所以BF=CG，
因为∠BDF=∠ABE+∠EBC+∠DCB ，∠BEC=∠ABE+∠A ， 所以∠BDF=∠BEC ， 可证△BDF ≌△CEG ， 所以BD=CE
所以四边形DBCE 是等边四边形。
证法二：如图2，以C 为顶点作∠FCB=∠DBC ，CF 交BE 于F 点。 因为∠DCB=∠EBC=
B
C
A D 12
∠A ，BC 为公共边，
E
所以△BDC ≌△CFB ，
所以BD=CF，∠BDC=∠CFB ， 所以∠ADC=∠CFE ，
因为∠ADC=∠DCB+∠EBC+∠ABE ，∠FEC=∠A+∠ABE ， 所以∠ADC=∠FEC ， 所以∠FEC=∠CFE ，
所以CF=CE， 所以BD=CE，
第13页（讲稿版）
B C
所以四边形DBCE 是等边四边形。
说明：当AB =AC 时，BD =CE 仍成立。只有此证法，只给1分。
(二) 从题目中获得方法的启发，类比解决问题（上述画#的题目都有涉及这点） 由角平分线启发翻折，垂线1、（2006年北京，23）如图①，OP 是∠MON 的平分线，请你利用该图形画一对以OP 所在直线为对称轴的全等三角形。请你参考这个作全等三角形的方法，解答下列问题：
（1）如图②，在△ABC 中，∠ACB 是直角，∠B =60°，AD 、CE 分别是∠BAC 、∠BCA
的平分线，AD 、CE 相交于点F 。请你判断并写出FE 与FD 之间的数量关系； （2）如图③，在△ABC 中，如果∠ACB 不是直角，而(1)中的其它条件不变，请问，你
在(1)中所得结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由。
23．解：图略（1）FE 与FD 之间的数量关系为FE ＝FD 。 （2）答：（1）中的结论FE ＝FD 仍然成立。 证法一：如下图，在AC 上截取AG ＝AE ，连结FG
因为∠1＝∠2，AF 为公共边 可证△AEF ≌△AGF 所以 ∠AFE ＝∠AFG ，FE ＝FG
由∠B ＝60°，AD 、CE 分别是∠BAC 、∠BCA 的平分线 可得∠2＋∠3＝60°
所以∠AFE ＝∠CFD ＝∠AFG ＝60°所以∠CFG ＝60°
由∠3＝∠4及FC 为公共边，可得△CFG ≌△CFD 所以FG ＝FD 所以FE ＝FD 证法二：如下图，过点F 分别作FG ⊥AB 于点G ，FH ⊥BC 于点H 因为∠B ＝60°，且AD 、CE 分别是∠BAC 、∠BCA 的平分线， 所以可得∠2＋∠3＝60°，F 是△ABC 的内心 所以 ∠GEF ＝60°＋∠1，FG ＝FH
又因为 ∠HDF ＝∠B ＋∠1 所以 ∠GEF ＝∠HDF 因此可证△EGF ≌△DHF 所以 FE ＝FD
启发利用重心分中线，中点相关内容2、（2010石景山一模，24）我们知道三角形三条中线的交点叫做三角形的重心．经过证明我们可得三角形重心具备下面的性质： 重心到顶点的距离与重心到该顶点对边中点的距离之比为2﹕1．请你用此性质解决下面的问题
.
第14页（讲稿版）
已知：如图，点O 为等腰直角三角形ABC 的重心，∠CAB =90 ，直线m 过点O , 过
A 、B 、C 三点分别作直线m 的垂线，垂足分别为点D 、E 、F .
(1)当直线m 与BC 平行时（如图1），请你猜想线段BE 、CF 和AD 三者之间的数量关系并证明；
(2) 当直线m 绕点O 旋转到与BC 不平行时，分别探究在图2、图3这两种情况下，上述结论是否还成立？若成立，请给予证明；若不成立，线段AD 、BE 、CF 三者之间 又有怎样的数量关系？请写出你的结论，不需证明．
24．（1）猜想：BE+CF=AD „„„„„„„„„„„„1分 证明：如图，延长AO 交BC 于M 点， ∵点O 为等腰直角三角形∴AO=2OM且AM ⊥BC
又∵EF ∥BC ∴AM ⊥EF ∵BE ⊥EF,CF ⊥EF ∴EB ∥OM ∥CF ∴EB=OM=CF
∴EB+CF=2OM=AD „„„„„„„„„3分
（2）图2结论：BE+CF=AD 证明：联结AO 并延长交BC 于点G , 过G 做GH ⊥
EF 于H 由重心性质可得AO=2OG
∵∠ADO=∠OHG=90°, ∠AOD=∠HOG
∴△AOD ∽△GOH ∴AD=2HG „„„„„„„„„„„„5分 ∵O 为重心 ∴G 为BC 中点
∵GH ⊥EF,BE ⊥EF,CF ⊥EF ∴EB ∥HG ∥CF ∴H 为EF 中点
A
ABC
的重心
B
M
图1
G
图2
B
1∴HG=
2
(EB+CF)
∴EB+CF=AD „„„„„„„„„„„„„„„„7分
第15页（讲稿版）
(3)CF－BE= AD „„„„„„„„„„„„„„„8分
由特殊形解题启发构造哪些相等的角3、（2011南京，27）如图①，P 为△ABC 内一点，连接P A 、PB 、PC ，在△P AB 、△PBC 和△P AC 中，如果存在一个三角形与△ABC 相似，那么就称P 为△ABC 的自相似点．
⑴ 图②，已知Rt △ABC 中，∠ACB =90°，∠ABC ＞∠A ，CD 是AB 上的中线，过
点B 作BE ⊥CD ，垂足为E ，试说明E 是△ABC 的自相似点． ⑵在△ABC 中，∠A ＜∠B ＜∠C ．
①如图③，利用尺规作出△ABC 的自相似点P （写出作法并保留作图痕迹）； ②若△ABC 的内心P 是该三角形的自相似点，求该三角形三个内角的度数．
B C B C B C ① ② ③
(三) 一题多解与题目的变式及类题
1、*（西城中考总复习P64例5）点M 为正方形ABCD 的边AB （或延长线
上）任一点（不与A ，B 重合），∠DMN =90︒，射线MN 与∠ABC 的外角平分线交于点N ，求证：DM=MN.
【变式】
A 、方法类比，改变图形
（1）等边三角形ABC 中，在BC 边上任取一点D （不与A ，B 重合）， 作 ∠ADE =60︒， DE 交∠C 的外角平分线于E ，判断△ADE 的形状，并证明。若D 是射线BC 上任一点，上述结论是否成立?
（2）(2008西城一模，25) 如图, 正六边形ABCDEF, 点M 在AB 边上，
∠FMH =120︒,MH 与六边形∠ABC 外角的平分线BQ 交于H 点.
①当点M 不与点A 、B 重合时，求证：∠AFM=∠BMH;
②当点M 在正六边形ABCDEF 一边AB 上运动(点M 不与点B 重合) 时, 猜想FM 与MH 的数量关系，并对猜想的结果加以证明. B 、改变背景
（3）（2011密云一模，24）如图，边长为5的正方形OABC 的顶点
F
E D
C
Q
A
B
y
C
B
G
O 在坐标原点处，点A 、C 分别在x 轴、y 轴的正半轴上，点E 是OA
边上的点（不与点A 重合），EF ⊥CE ，且与正方形外角平分线AC 交于点P .
（1）当点E 坐标为(3，0) 时，试证明CE =EP ；
F
P
O
E
A
（2）如果将上述条件“点E 坐标为（3，0）”改为“点E 坐标为（t ，0）（t >0）”，结论
CE =EP 是否仍然成立，请说明理由；
第16页（讲稿版）
（3）在y 轴上是否存在点M ，使得四边形BMEP 是平行四边形？若存在，请证明；若不
存在，请说明理由.
A D
2、如图，在正方形ABCD 中，E 、F 分别是BC 、CD 上的点，且∠EAF
＝45°，求证：EF ＝BE ＋FD ． 【变式】方法类比，特殊到一般 F 削弱题目条件（1）如图，在四边形ABCD 中，AB ＝
C AD ，∠B+∠D ＝180°，E 、F 分别是BC 、CD 上的B
E
D
点，且∠EAF 是∠BAD 的一半，那么结论EF ＝BE ＋F FD 是否仍然成立？若成立，请证明；请写出它们之间的数量关系，并证明.
改变图形（2）在四边形ABCD 中，AB ＝AD ，∠B+∠D ＝180°，延长BC
B E C
到点E ，延长CD 到点F ，使得∠EAF 仍然是∠BAD 的一半，则结论EF ＝BE
＋FD 是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明.
3、旋转特殊角度转移线段，比较线段大小（求最值）（2011房山一模，25）已知：等边三角形ABC
（1） 如图1，P 为等边△ABC 外一点，且∠BPC=120°．试猜想线段BP 、PC 、AP 之间
的数量关系, 并证明你的猜想；
（2）如图2，P 为等边△ABC 内一点，且∠APD=120°．求证：PA+PD+PC＞BD
B
B
C
【类题】1、（2011丰台一模，25）已知:在△ABC 中，BC=a ，AC=b，以AB 为边作等边三角形ABD. 探究下列问题:
（1）如图1，当点D 与点C 位于直线AB 的两侧时，a=b=3，且∠ACB=60°，则CD= ； （2）如图2，当点D 与点C 位于直线AB 的同侧时，a=b=6，且∠ACB=90°，则CD= ； （3）如图3，当∠ACB 变化, 且点D 与点C 位于直线AB 的两侧时，求 CD的最大值及相应的
∠ACB 的度数.
D C
A
A B
B A
图1 图2 图3
第17页（讲稿版）
25．解：（1）3
3；„„„„„„„„„„„„„„„„1’ （2）6-32； „„„„„„„„„„„„„„„„2’
（3）以点D 为中心，将△DBC 逆时针旋转60°，则点B 落在点A ，点C 落在点E. 联结AE,CE ，
∴CD=ED，∠CDE=60°，AE=CB= a， ∴△CDE 为等边三角形，
∴CE=CD. „„„„„„„„„„„„„„„„4’
当点E 、A 、C 不在一条直线上时，有CD=CE
当点E 、A 、C 在一条直线上时， CD有最大值，CD=CE=a +b ；
此时∠CED=∠BCD=∠ECD=60°，∴∠ACB=120°，„„„„„„„„7’ 因此当∠ACB=120°时，CD 有最大值是a +b .
启发构造三角形转移线段2、（2009西城一模，25
）已知：PA =，PB =4，以AB 为一边作正方形ABCD ，使P 、D 两点落在直线AB 的两侧. （1）如图，当∠APB=45°时，求AB 及PD 的长； （2）当∠APB 变化，且其它条件不变时，求PD 的 最大值，及相应∠APB 的大小.
3、*（学探诊P42-15）如图1，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠C=90°，点E 为CD 的中点，点F 在底边BC 上，且∠FAE=∠DAE ．
（1）请你通过观察、测量、猜想，得出∠AEF 的度数；（1）的方法多样（垂线段，倍长，中位线）但是其中有的不好迁移到后面，需要在多种方法中选取
（2） 若梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠C 不是直角，点F 在底边BC 或其延长线上，如图2、图
3，其他条件不变，你在（1）中得出的结论是否仍然成立，若都成立，请在图2、图3中选择其中一图进行证明；若不都成立，请说明理由．
图1 图2 图3
【类题】（2011平谷一模，24）已知点A ，B 分别是两条平行线m ，n 上任意两点，C 是直线n 上一点，且∠ABC=90°，点E 在AC 的延长线上, BC ＝k AB (k ≠0).
（1）当k ＝1时，在图（1）中，作∠BEF ＝∠ABC ，EF 交直线m 于点F . ，写出线段EF
与EB 的数量关系，并加以证明；
第18页（讲稿版）
（2）若k ≠1，如图(2)，∠BEF ＝∠ABC ，其它条件不变，探究线段EF 与EB 的数量关系，并说明理由．
（1） （2）
(四) 方法的综合应用
1、（2007北京，23）如图，已知△ABC ．
（1）请你在BC 边上分别取两点D ，E （BC 的中点除外），连结AD ，AE ，写出使此图中只存在两对面积相等的三角形的相应条件，并．．．．．表示出面积相等的三角形；
（2）请你根据使（1）成立的相应条件，证明AB +AC >AD +AE ．
2、（2010年北京，25）问题：已知△ABC 中，∠BAC =2∠ACB ，点D 是△ABC 内的一点，且AD =CD ，BD =BA 。探究∠DBC 与∠ABC 度数的比值。 请你完成下列探究过程：
先将图形特殊化，得出猜想，再对一般情况进行分析并加以证明。 (1) 当∠BAC =90︒时，依问题中的条件补全右图。 观察图形，AB 与AC 的数量关系为
当推出∠DAC =15︒时，可进一步推出∠DBC 的度数为 可得到∠DBC 与∠ABC 度数的比值为； C
(2) 当∠BAC ≠90︒时，请你画出图形，研究∠DBC 与∠ABC 度数的比值是否与(1)中的结论相同，写出你的猜想并加以证明。
3、（2010西城二模，24）在△ABC 中，点P 为BC 的中点．
（1）如图1，求证：AP ＜
1
（AB
2
（2）延长AB 到D ，使得BD=ACAC 到E ，使得CE=AB，连结DE ．
①如图2，连结BE ，若∠BAC=60°，请你探究线段BE 与线段AP
之间的数量关系．写出你的结论，并加以证明；
第19页（讲稿版）
②请在图3中证明：BC ≥
1
DE ． 2
4、（2011北京中考，24）在□ABCD 中，∠BAD 的平分线交直线BC 于点E ，交直线DC 于点F 。
（1）在图1中证明CE =CF ；
（2）若∠ABC =90︒，G 是EF 的中点（如图2），直接写出∠BDG 的度数； （3）若∠ABC =120︒，FG ∥CE ，FG =CE ，分别连结DB 、DG （如图3），求∠BDG 的度数。
(五) 动点问题与分类讨论 不确定性引发分类讨论 (1)等腰三角形顶角顶点； (2)相似三角形对应点；
(3)已知两点（三点）+限制条件定平行四边形（特殊梯形）； 注意：分类不重不漏；动点问题定界点。
由位置的不确定引发的分类讨论1、（2011上海，25）在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，BC =30，AB =50．点P 是AB 边上任意一点，直线PE ⊥AB ，与边AC 或BC 相交于E ．点M 在线段AP 上，点N 在线段BP 上，EM =EN ，sin ∠EMP =
12． 13
（1）如图1，当点E 与点C 重合时，求CM 的长；
（2）如图2，当点E 在边AC 上时，点E 不与点A 、C 重合，设AP =x ，BN =y ，求y 关
于x 的函数关系式，并写出函数的定义域；
（3）若△AME ∽△ENB （△AME 的顶点A 、M 、E 分别与△ENB 的顶点E 、N 、B 对应），求AP 的长．
图1 图2 备用图
由图形的不确定引发的分类讨论，相似2、（2010密云一模，25）如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AD =3，
DC =5，BC =10，梯形的高为4．动点M 从B 点出发
第20页（讲稿版）
沿线段BC 以每秒2个单位长度的速度向终点C 运动；动点N 同时从C 点出发沿线段CD 以每秒1个单位长度的速度向终点D 运动．设运动的时间为t （秒）．
（1）当MN ∥AB 时，求t 的值；
（2）试探究：t 为何值时，△MNC 为等腰三角形．
与面积有关的动点问题3、（2011东城一模，24）等边△ABC 边长为6，P 为BC 边上一点，∠MPN =60°，且PM 、PN 分别于边AB 、AC 交于点E 、F .
（1）如图1，当点P 为BC 的三等分点，且PE ⊥AB 时，判断△EPF 的形状；
（2）如图2，若点P 在BC 边上运动，且保持PE ⊥AB ，设BP =x ，四边形AEPF 面积的y ，
求y 与x 的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；
（3）如图3，若点P 在BC 边上运动，且∠MPN 绕点P 旋转，当CF =AE =2时，求PE 的
长.
图1 图2 图3
4、（2009年北京，24）在□ABCD 中，过点C 作CE ⊥CD 交AD 于点E ，将线段EC 绕点E 逆时针旋转90°得到线段EF （如图1）.
（1）在图1中画图探究：
①当P 1为射线CD 上任意一点（P 1不与C 点重合）时，连结EP 1，将线段EP 1绕点E 逆
时针旋转90°得到线段EG 1. 判断直线FG 1与直线CD 的位置关系并加以证明；
②当P 2点为线段DC 的延长线上任意一点时，连结EP 2，将线段EP 2绕点E 逆时针旋转
90°得到线段EG 2. 判断直线G 1G 2与直线CD 的位置关系，画出图形并直接写出你的结论.
（2）若AD =6，tan B =4， AE =1，在①的条件下，设CP 1=x ，S ∆P 1FG 1 =y ，求y 与x 之间的3
函数关系式，并写出自变量x 的取值范围.
图1
第21页（讲稿版）
图2（备用）
5、（2011西城二模，24）如图1，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝9cm ，BC ＝12cm ．在Rt △DEF 中，∠DFE ＝90°，EF ＝6cm ，DF ＝8cm ．E ，F 两点在BC 边上，DE ，DF 两边分别与AB 边交于G ，H 两点．现固定△ABC 不动，△DEF 从点F 与点B 重合的位置出发，沿BC 以1cm/s的速度向点C 运动，点P 从点F 出发，在折线FD —DE 上以2cm/s的速度向点E 运动．△DEF 与点P 同时出发，当点E 到达点C 时，△DEF 和点P 同时停止运动．设运动的时间是t （单位：s ），t ＞0．
（1）当t ＝2时，PH= cm ，DG = cm ；
（2）t 为多少秒时△PDE 为等腰三角形？请说明理由；
（3）t 为多少秒时点P 与点G 重合？写出计算过程；
（4）求tan ∠PBF 的值（可用含t 的代数式表示）．
第22页（讲稿版）
几何综合题
一图形与证明中要求：会用归纳和类比进行简单的推理。
图形的认识中要求：会运用几何图形的相关知识和方法（两点之间的距离，等腰三角形、等边三角形、直角三角形的知识，全等三角形的知识和方法，平行四边形的知识，矩形、菱形和正方形的知识，直角三角形的性质，圆的性质）解决有关问题；能运用三角函数解决与直角三角形相关的简单实际问题；能综合运用几何知识解决与圆周角有关的问题；能解决与切线有关的问题。
图形与变换中要求：能运用轴对称、平移、旋转的知识解决简单问题。 二. 基本图形及辅助线
解决几何综合题，是需要厚积而薄发，所谓的“几何感觉”，是建立在足够的知识积累的基础上的，熟悉基本图形及常用的辅助线，在遇到特定条件时能够及时联想到对应的模型，找到“新”问题与“旧”模型间的关联，明确努力方向，才能进一步综合应用数学知识来解决问题。在中档几何题目教学中注重对基本图形及辅助线的积累是非常必要的。 举例：
1、与相似及圆有关的基本图形
3、基本辅助线
（1）角平分线——过角平分线上的点向角的两边作垂线（角平分线的性质）、翻折；【参见(一)1；（二）1；西城中考总复习P57例6】*
（2）与中点相关——倍长中线（八字全等），中位线，直角三角形斜边中线；【参见(一)2、3、4、5】*
（3）共端点的等线段——旋转基本图形（60°，90°），构造圆；垂直平分线，角平分线——翻折； 转移线段——平移基本图形（线段）线段间有特殊关系时，翻折；【参见(一)6,7,8,9】 （4）特殊图形的辅助线及其迁移——梯形的辅助线（什么时候需要这样添加？）等【参见．．．．(一)7】
作双高——上底、下底、高、腰（等腰梯形）三推一；面积；锐角三角函数 平移腰——上下底之差；两底角有特殊关系（延长两腰）；梯形——三角形 平移对角线——上下底之和；对角线有特殊位置、数量关系。（P5——2006北京，25*）„„
注：在绘制辅助线时要注意同样辅助线的不同说法，可能会导致解题难度有较大差异。
三. 题目举例
在几何综合题解题教学中，建议可以分为以下三个阶段：
第一阶段：基本图形、辅助线等的积累——在讲授综合题目前，搭配方法类似的中档题，或者给有阅读材料（小问递进启发）的综合题目，给学生入手点的启发。注重提升学生的迁移能力，培养转化数学思想方法。
第二阶段：反思与总结——引导学生在解题遇到困难时，记录思维卡点，分析问题所在；注重一题多解，并注重各种解法的可迁移性；在解题后，能够抽离出题目的基本型，将题目的图形，方法进行归类整理。 第三阶段：综合能力的提升——学生在遇到综合问题时能够联想到之前的经验，形成所谓的“几何感觉”。此时练习可以综合性较强的题目为主，要注重书写过程时抓住要点，简明有条理性。
(一) 基本图形与辅助线的添加 #角平分线（【类】P5——2006北京，23；西城中考总复习P57-例6） 1、（2010宣武一模，23）已知： AC 平分∠MAN
（1）在图1中，若∠MAN =120︒，∠ABC =∠ADC =90︒，AB +AD ___AC 。（填写“>”或“
（2）在图2中，若∠MAN =120︒，∠ABC +∠ADC =180︒，则（1）中结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由； （3）在图3中：
①若∠MAN =60︒，∠ABC +∠ADC =180︒，判断AB +AD 与AC 的数量关系，并说明理由；
∠ABC +∠ADC =180︒，②若∠MAN =α(0︒
含α的三角函数表示，直接写出结果，不必证明）
AD =_____AC （用
23. 解：(1) AB＋．--------------------------------------------------------------------------1分 (2) 仍然成立．
证明：如图2过C 作CE ⊥AM 于E ，CF ⊥AN 于F ， 则∠CEA=∠CFA=90°．
∵ AC平分∠MAN ，∠MAN=120°， ∴ ∠MAC=∠NAC=60°．
又∵ AC=AC， ∴ △AEC ≌△AFC ， ∴ AE=AF，CE=CF．
∵ 在Rt △CEA 中，∠EAC=60°， ∴ ∠ECA=30°， ∴ AC=2AE．
∴ AE+AF=2AE=AC． ∴ ED+DA+AF=AC． ∵ ∠ABC ＋∠AD C ＝180°，∠CDE+∠ADC=180°， ∴ ∠CDE=∠CBF ．
又∵ CE=CF，∠CED=∠CFB ， ∴ △CED ≌△CFB ． ∴ ED=FB， ∴ FB+DA+AF=AC．
∴ AB+AD=AC．----------------------------------------- 4分 (3)①AB+AD=AC ．
证明：如图3，方法同(2)可证△AGC ≌△AHC ． ∴AG=AH．
∵∠MAN=60°， ∴∠GAC=∠HAC=30°． ∴AG=AH=3AC ．∴AG+AH=AC ．
2∴GD+DA+AH=3AC ． 方法同(2)可证△GDC ≌△HBC ． ∴GD=HB， ∴ HB+DA+AH=AC ．
∴AD+AB=AC ．-------------------------------------------------------------------------------------6分 ②AB ＋AD ＝2cos α·AC ．-------------------------------------------------------------------7分
2
A
中位线/中线*2、（2010海淀一模，25）已知：△AOB 中，AB =OB =2，△COD 中，
CD =OC =3, ∠ABO =∠DCO . 连接AD 、BC ，点M 、N 、P 分别为OA 、OD 、BC 的中点.
(1) 如图1，若A 、O 、C 三点在同一直线上，且∠ABO =60，则△PMN 的形状是
AD
________________，此时=________；
BC (2) 如图2，若A 、O 、C 三点在同一直线上，且∠ABO =2α，证明△PMN ∽△BAO ，并计算
AD
的值（用含α的式子表示）； BC
(3) 在图2中，固定△AOB ，将△COD 绕点O 旋转，直接写出PM 的最大值.
#直角三角形斜边中线3、（2011海淀一模，25）在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，tan ∠BAC=点D 在边AC 上（不与A ，C 重合），连结BD ，F 为BD 中点.
（1）若过点D 作DE ⊥AB 于E ，连结CF 、EF 、CE ，如图1． 设CF kEF ，则k = ； （2）若将图1中的△ADE 绕点A 旋转，使得D 、E 、B 三点共线，点F 仍为BD 中点，如图2所示．求证：BE-DE=2CF；
（3）若BC=6，点D 在边AC 的三等分点处，将线段AD 绕点A 旋转，点F 始终为BD 中点，
求线段CF 长度的最大值．
1. 2
A A
D
E
E
D
C
B
图1
C
B
图
2
C
B
备图
25． 解：（1）k =1； ………….……………………………2分
（2）如图2，过点C 作CE 的垂线交BD 于点G ，设BD 与AC 的交点为Q .
由题意，tan ∠BAC =
1BC DE 1
，∴ ==. 2AC AE 2
A
∵ D 、E 、B 三点共线，∴ AE ⊥DB .
∵ ∠BQC =∠AQD ，∠ACB =90°, ∴ ∠QBC =∠EAQ. ∵ ∠ECA+∠ACG =90°，∠BCG+∠ACG =90°， ∴ ∠ECA =∠BCG . ∴ △BCG ∽△ACE . ∴
D E
Q
C
BC GB 1
==. ∴ GB =DE. AC AE 2
B
图2
∵ F 是BD 中点， ∴ F 是EG 中点. 在Rt △ECG 中，CF =
（3）情况1：如图，当AD =
1
EG , ∴ BE -DE =EG =2CF . 2
……………………5分
1
AC 时，取AB 的中点M ，连结MF 和CM ， 3
1∵∠ACB =90°， tan ∠BAC =，且BC = 6, 2
∴AC =12，AB
=.
∵M 为AB 中点，∴CM
=1
AC ， 3∴AD =4.
∵AD =
∵M 为AB 中点，F 为BD 中点， ∴FM =
1
AD = 2. 2
∴当且仅当M 、F 、C 三点共线且M 在线段CF 上时CF 最大，此时CF =CM +FM
=2+分
2
情况2：如图，当AD =AC 时，取AB 的中点M ，
3
连结MF 和CM ，
类似于情况1，可知CF
的最大值为4+ …7分 综合情况1与情况2，可知当点D 在靠近点C 的
三等分点时，线段CF
的长度取得最大值为4+分
#直角三角形斜边中线+四点共圆（【类】西城中考总复习P61-17）*4、已知：在△ABC 中，∠ABC =90︒, 点E 在直线AB 上, ED 与直线AC 垂直, 垂足为D ，且点M 为EC 中点, 连接BM , DM .
（1）如图1，若点E 在线段AB 上，探究线段BM 与DM 及∠BMD 与∠BCD 所满足
的数量关系, 并直接写出你得到的结论； （2）如图2，若点E 在BA 延长线上，你在（1）中得到的结论是否发生变化？写出 你的猜想并加以证明;
（3）若点E 在AB 延长线上，请你根据条件画出相应的图形，并直接写出线段BM
与DM 及∠BMD 与∠BCD 所满足的数量关系. B
M
D D E E
A 图1 图2
#倍长过中点的线段5、（2008年北京，25）请阅读下列材料：
P 是线段DF 问题：如图1，在菱形ABCD 和菱形BEFG 中，点A ，B ，E 在同一条直线上，
的中点，连结PG ，PC ．若∠ABC =∠BEF =60，探究PG 与PC 的位置关系及值．
小聪同学的思路是：延长GP 交DC 于点H ，构造全等三角形，经过推理使问题得到解决．
C D
P F
F A
E B
图2 图1
请你参考小聪同学的思路，探究并解决下列问题：
PG
的PC
PG
的值； PC
（2）将图1中的菱形BEFG 绕点B 顺时针旋转，使菱形BEFG 的对角线BF 恰好与菱形ABCD 的边AB 在同一条直线上，原问题中的其他条件不变（如图2）．你在（1）中得到
（1）写出上面问题中线段PG 与PC 的位置关系及的两个结论是否发生变化？写出你的猜想并加以证明．
（3）若图1中∠ABC =∠BEF =2α(0
PG
的值（用含α的式子表示）． PC PG
解：（1）线段PG 与PC 的位置关系是 ；=
PC
意角度，原问题中的其他条件不变，请你直接写出
25．解：(1)线段PG 与PC 的位置关系是PG ⊥PC ；
PG
=3． PC
(2)猜想：(1)中的结论没有发生变化．
证明：如图，延长GP ，交AD 于点H ，连结CH 、CG ． ∵P 是线段DF 的中点， ∴FP ＝DP ．
由题意可知AD ∥FG ． ∴∠GFP ＝∠HDP ． 又∵∠GPF ＝∠HPD ， ∴△GFP ≌△HDP ． ∴GP ＝HP ，GF ＝HD ． ∵四边形ABCD 是菱形，
∴CD ＝CB ，∠HDC ＝∠ABC ＝60°．
由∠ABC ＝∠BEF ＝60°，且菱形BEFG 的对角线BF 恰好与菱形ABCD 的边AB 在同一条直线上，可得∠GBC ＝60°．
∴∠HDC ＝∠GBC ．∵四边形BEFG 是菱形， ∴GF ＝GB ．∴HD ＝GB ．∴△HDC ≌△GBC ． ∴CH ＝CG ，∠DCH ＝∠BCG ．
∴∠DCH ＋∠HCB ＝∠BCG ＋∠HCB ＝120°．
即∠HCG ＝120°．∵CH ＝CG ，PH ＝PG ，∴PG ⊥PC ，∠GCP ＝∠HCP ＝60°．
∴
PG
=． PC PG
=tan(90 -α) ．
(3)PC
第25题答图
#共端点的等线段，旋转6、（2010西城一模，24）如图1，在□ABCD 中，AE ⊥BC 于E ，E 恰为BC 的中点，tan B =2.
（1）求证：AD =AE ；
（2）如图2，点P 在BE 上，作EF ⊥DP 于点F ，连结AF .
求证：DF -EF =2AF ；
（3）请你在图3中画图探究：当P 为射线E C 上任意一点（P 不与点E 重合）时，作
EF ⊥DP 于点F ，连结AF ，线段DF 、EF 与AF 之间有怎样的数量关系？直接写
出你的结论.
D
A
A D
B
E
图1
C
B P
E
图2
C
B E
图3
C
24．证明：（1）在Rt △ABE 中，∠AEB=90°， ∴
tan B =
AE
=2 BE
D
∴AE =2BE ． ································································ 1分 ∵E 为BC 的中点，
∴BC =2BE ．
∴AE=BC. ∵ABCD 是平行四边形， B P E ∴AD=BC.
图8 ∴AE=AD. ·························································································································· 2分 （2）在DP 上截取DH =EF （如图8）．
∵四边形ABCD 是平行四边形，AE ⊥BC ， ∴∠EAD=90°． ∵EF ⊥PD ，∠1＝∠2， ∴∠ADH =∠AEF ． ∵AD =AE ，
∴△ADH ≌△AEF ． ······························ 4分 ∴∠HAD =∠F AE ，AH =AF ． ∴∠F AH ==90°．
在Rt △F AH 中， AH =AF ，∴FH =2AF ．
∴FH =FD -HD =FD -EF =2AF ． 即DF -EF =
H
B
E
2AF ．
F
5分
图9
（3）按题目要求所画图形见图9， 线段DF 、EF 、AF 之间的数量关系为：DF +EF =2AF ．
利用平移变换转移线段，类比梯形平移对角线7、（2006年北京，25）我们给出如下定义：若一个四边形的两条对角线相等，则称这个四边形为等对角线四边形。请解答下列问题：
（1）写出你所学过的特殊四边形中是等对角线四边形的两种图形的名称；
（2）探究：当等对角线四边形中两条对角线所夹锐角为60°时，这对60°角所对的两
边之和与其中一条对角线的大小关系，并证明你的结论。
25．解：（1）略．写对一种图形的名称给1分，最多给2分．
（2）结论：等对角线四边形中两条对角线所夹锐角为60时，这对60角所对的两边之和大于或等于一条对角线的长．
已知：四边形ABCD 中，对角线AC ，BD 交于点O ，AC =BD ，
且∠AOD =60．
求证：BC +AD ≥AC ．
证明：过点D 作DF ∥AC ，在DF 上截取DE ，使DE =AC ． 连结CE ，BE ．
故∠EDO =60，四边形ACED 是平行四边形．
所以△BDE 是等边三角形，CE =AD ． 所以DE =BE =AC ．
①当BC 与CE 不在同一条直线上时（如图1），
在△BCE 中，有BC +CE >BE ．所以BC +AD >AC ． ②当BC 与CE 在同一条直线上时（如图2）， 则BC +CE =BE ．因此BC +AD =AC ． 综合①、②，得BC +AD ≥AC ．
即等对角线四边形中两条对角线所夹角为60时，这对60角所对的两边之和大于或等于其中一条对角线的长．
利用平移变换转移线段+作图8、（2011西城一模，25）在Rt △ABC 中，∠C =90°，D ，E 分别为CB ，CA 延长线上的点，BE 与AD 的交点为P .
（1）若BD=AC，AE=CD，在图1中画出符合题意的图形，并直接写出∠APE 的度数； （2
）若AC
，CD =，求∠APE 的度数.
第11页（讲稿版）
25．解：（1）如图9，∠. „„„„„„„„2分
（2）解法一：如图AE 平移到DF ，连接BF ，EF 3分
则四边形AEFD 是平行四边形． ∴ AD ∥EF ，AD=EF． ∵
∴
AC =
，CD =，
AC CD CD
=，==． BD AE DF AC CD ∴ =
BD DF
∵ ∠C =90°， ∴
∠BDF =180︒-∠C =90︒．
∴ ∠C=∠BDF ．
∴ △ACD ∽△BDF ．„„„„„„5分
∴
AD AC
=1=∠2． BF BD EF AD ∴ =．
BF BF
∵ ∠1+∠3=90°， ∴ ∠2+∠3=90°． ∴ BF ⊥AD ．
∴ BF ⊥EF ．„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„6分 ∴ 在Rt △BEF 中，tan ∠BEF =
BF ． =
EF ∴ ∠APE =∠BEF =30°．„„„„„„„„„„„„„„„„7分
解法二：如图11，将CA 平移到DF ，连接AF ，BF ，EF ．„„„„„„3分
则四边形ACDF 是平行四边形． ∵ ∠C =90°，
∴ 四边形ACDF 是矩形，∠AFD =∠CAF = 90°，∠1+∠2=90°． ∵ 在Rt △AEF 中，tan ∠3=在Rt △BDF 中，tan ∠1=∴ ∠3=∠1=30︒．
∴ ∠3+∠2=∠1+∠2=90°，即∠EFB =90°． ∴ ∠AFD =∠EFB ． „„„„„„„4分
又∵
AE AE ==
AF CD BD BD ， ==
DF AC DF AF ==
BF EF 第12页（讲稿版）
∴ △ADF ∽△EBF ． „„„„„„„„„„„„„„„„„„5分 ∴ ∠4=∠5．„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„6分 ∵ ∠APE+∠4=∠3+∠5，
∴ ∠APE =∠3=30°．„„„„„„„„„„„„„„„„„„7分
翻折全等+等腰（与角平分线类比）9、（2007年北京，25）我们知道：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形．类似地，我们定义：至少有一组对边相等的四边形叫做等对边四边形． （1）请写出一个你学过的特殊四边形中是等对边四边形的图形的名称；
（2）如图，在△ABC 中，点D ，E 分别在AB ，AC 上，设CD ，BE 相交于点O ，若∠A =60°，
E
B C
∠DCB =∠EBC =
等对边四边形；
1
∠A ．请你写出图中一个与∠A 相等的角，并猜想图中哪个四边形是2
（3）在△ABC 中，如果∠A 是不等于60°的锐角，点D ，E 分别在AB ，AC 上，且
∠DCB =∠EBC =
你的结论．
1
．探究：满足上述条件的图形中是否存在等对边四边形，并证明∠A 2
25．解：（1）回答正确的给1分（如：平行四边形、等腰梯形等）。
（2）答：与∠A 相等的角是∠BOD （或∠COE ），四边形DBCE 是等对边四边形； （3）答：此时存在等对边四边形，是四边形DBCE 。
证法一：如图1，作CG ⊥BE 于G 点，作BF ⊥CD 交CD 延长线于F 点。 因为∠DCB=∠EBC=
12
∠A ，BC 为公共边，
所以△BCF ≌△CBG ， 所以BF=CG，
因为∠BDF=∠ABE+∠EBC+∠DCB ，∠BEC=∠ABE+∠A ， 所以∠BDF=∠BEC ， 可证△BDF ≌△CEG ， 所以BD=CE
所以四边形DBCE 是等边四边形。
证法二：如图2，以C 为顶点作∠FCB=∠DBC ，CF 交BE 于F 点。 因为∠DCB=∠EBC=
B
C
A D 12
∠A ，BC 为公共边，
E
所以△BDC ≌△CFB ，
所以BD=CF，∠BDC=∠CFB ， 所以∠ADC=∠CFE ，
因为∠ADC=∠DCB+∠EBC+∠ABE ，∠FEC=∠A+∠ABE ， 所以∠ADC=∠FEC ， 所以∠FEC=∠CFE ，
所以CF=CE， 所以BD=CE，
第13页（讲稿版）
B C
所以四边形DBCE 是等边四边形。
说明：当AB =AC 时，BD =CE 仍成立。只有此证法，只给1分。
(二) 从题目中获得方法的启发，类比解决问题（上述画#的题目都有涉及这点） 由角平分线启发翻折，垂线1、（2006年北京，23）如图①，OP 是∠MON 的平分线，请你利用该图形画一对以OP 所在直线为对称轴的全等三角形。请你参考这个作全等三角形的方法，解答下列问题：
（1）如图②，在△ABC 中，∠ACB 是直角，∠B =60°，AD 、CE 分别是∠BAC 、∠BCA
的平分线，AD 、CE 相交于点F 。请你判断并写出FE 与FD 之间的数量关系； （2）如图③，在△ABC 中，如果∠ACB 不是直角，而(1)中的其它条件不变，请问，你
在(1)中所得结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由。
23．解：图略（1）FE 与FD 之间的数量关系为FE ＝FD 。 （2）答：（1）中的结论FE ＝FD 仍然成立。 证法一：如下图，在AC 上截取AG ＝AE ，连结FG
因为∠1＝∠2，AF 为公共边 可证△AEF ≌△AGF 所以 ∠AFE ＝∠AFG ，FE ＝FG
由∠B ＝60°，AD 、CE 分别是∠BAC 、∠BCA 的平分线 可得∠2＋∠3＝60°
所以∠AFE ＝∠CFD ＝∠AFG ＝60°所以∠CFG ＝60°
由∠3＝∠4及FC 为公共边，可得△CFG ≌△CFD 所以FG ＝FD 所以FE ＝FD 证法二：如下图，过点F 分别作FG ⊥AB 于点G ，FH ⊥BC 于点H 因为∠B ＝60°，且AD 、CE 分别是∠BAC 、∠BCA 的平分线， 所以可得∠2＋∠3＝60°，F 是△ABC 的内心 所以 ∠GEF ＝60°＋∠1，FG ＝FH
又因为 ∠HDF ＝∠B ＋∠1 所以 ∠GEF ＝∠HDF 因此可证△EGF ≌△DHF 所以 FE ＝FD
启发利用重心分中线，中点相关内容2、（2010石景山一模，24）我们知道三角形三条中线的交点叫做三角形的重心．经过证明我们可得三角形重心具备下面的性质： 重心到顶点的距离与重心到该顶点对边中点的距离之比为2﹕1．请你用此性质解决下面的问题
.
第14页（讲稿版）
已知：如图，点O 为等腰直角三角形ABC 的重心，∠CAB =90 ，直线m 过点O , 过
A 、B 、C 三点分别作直线m 的垂线，垂足分别为点D 、E 、F .
(1)当直线m 与BC 平行时（如图1），请你猜想线段BE 、CF 和AD 三者之间的数量关系并证明；
(2) 当直线m 绕点O 旋转到与BC 不平行时，分别探究在图2、图3这两种情况下，上述结论是否还成立？若成立，请给予证明；若不成立，线段AD 、BE 、CF 三者之间 又有怎样的数量关系？请写出你的结论，不需证明．
24．（1）猜想：BE+CF=AD „„„„„„„„„„„„1分 证明：如图，延长AO 交BC 于M 点， ∵点O 为等腰直角三角形∴AO=2OM且AM ⊥BC
又∵EF ∥BC ∴AM ⊥EF ∵BE ⊥EF,CF ⊥EF ∴EB ∥OM ∥CF ∴EB=OM=CF
∴EB+CF=2OM=AD „„„„„„„„„3分
（2）图2结论：BE+CF=AD 证明：联结AO 并延长交BC 于点G , 过G 做GH ⊥
EF 于H 由重心性质可得AO=2OG
∵∠ADO=∠OHG=90°, ∠AOD=∠HOG
∴△AOD ∽△GOH ∴AD=2HG „„„„„„„„„„„„5分 ∵O 为重心 ∴G 为BC 中点
∵GH ⊥EF,BE ⊥EF,CF ⊥EF ∴EB ∥HG ∥CF ∴H 为EF 中点
A
ABC
的重心
B
M
图1
G
图2
B
1∴HG=
2
(EB+CF)
∴EB+CF=AD „„„„„„„„„„„„„„„„7分
第15页（讲稿版）
(3)CF－BE= AD „„„„„„„„„„„„„„„8分
由特殊形解题启发构造哪些相等的角3、（2011南京，27）如图①，P 为△ABC 内一点，连接P A 、PB 、PC ，在△P AB 、△PBC 和△P AC 中，如果存在一个三角形与△ABC 相似，那么就称P 为△ABC 的自相似点．
⑴ 图②，已知Rt △ABC 中，∠ACB =90°，∠ABC ＞∠A ，CD 是AB 上的中线，过
点B 作BE ⊥CD ，垂足为E ，试说明E 是△ABC 的自相似点． ⑵在△ABC 中，∠A ＜∠B ＜∠C ．
①如图③，利用尺规作出△ABC 的自相似点P （写出作法并保留作图痕迹）； ②若△ABC 的内心P 是该三角形的自相似点，求该三角形三个内角的度数．
B C B C B C ① ② ③
(三) 一题多解与题目的变式及类题
1、*（西城中考总复习P64例5）点M 为正方形ABCD 的边AB （或延长线
上）任一点（不与A ，B 重合），∠DMN =90︒，射线MN 与∠ABC 的外角平分线交于点N ，求证：DM=MN.
【变式】
A 、方法类比，改变图形
（1）等边三角形ABC 中，在BC 边上任取一点D （不与A ，B 重合）， 作 ∠ADE =60︒， DE 交∠C 的外角平分线于E ，判断△ADE 的形状，并证明。若D 是射线BC 上任一点，上述结论是否成立?
（2）(2008西城一模，25) 如图, 正六边形ABCDEF, 点M 在AB 边上，
∠FMH =120︒,MH 与六边形∠ABC 外角的平分线BQ 交于H 点.
①当点M 不与点A 、B 重合时，求证：∠AFM=∠BMH;
②当点M 在正六边形ABCDEF 一边AB 上运动(点M 不与点B 重合) 时, 猜想FM 与MH 的数量关系，并对猜想的结果加以证明. B 、改变背景
（3）（2011密云一模，24）如图，边长为5的正方形OABC 的顶点
F
E D
C
Q
A
B
y
C
B
G
O 在坐标原点处，点A 、C 分别在x 轴、y 轴的正半轴上，点E 是OA
边上的点（不与点A 重合），EF ⊥CE ，且与正方形外角平分线AC 交于点P .
（1）当点E 坐标为(3，0) 时，试证明CE =EP ；
F
P
O
E
A
（2）如果将上述条件“点E 坐标为（3，0）”改为“点E 坐标为（t ，0）（t >0）”，结论
CE =EP 是否仍然成立，请说明理由；
第16页（讲稿版）
（3）在y 轴上是否存在点M ，使得四边形BMEP 是平行四边形？若存在，请证明；若不
存在，请说明理由.
A D
2、如图，在正方形ABCD 中，E 、F 分别是BC 、CD 上的点，且∠EAF
＝45°，求证：EF ＝BE ＋FD ． 【变式】方法类比，特殊到一般 F 削弱题目条件（1）如图，在四边形ABCD 中，AB ＝
C AD ，∠B+∠D ＝180°，E 、F 分别是BC 、CD 上的B
E
D
点，且∠EAF 是∠BAD 的一半，那么结论EF ＝BE ＋F FD 是否仍然成立？若成立，请证明；请写出它们之间的数量关系，并证明.
改变图形（2）在四边形ABCD 中，AB ＝AD ，∠B+∠D ＝180°，延长BC
B E C
到点E ，延长CD 到点F ，使得∠EAF 仍然是∠BAD 的一半，则结论EF ＝BE
＋FD 是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明.
3、旋转特殊角度转移线段，比较线段大小（求最值）（2011房山一模，25）已知：等边三角形ABC
（1） 如图1，P 为等边△ABC 外一点，且∠BPC=120°．试猜想线段BP 、PC 、AP 之间
的数量关系, 并证明你的猜想；
（2）如图2，P 为等边△ABC 内一点，且∠APD=120°．求证：PA+PD+PC＞BD
B
B
C
【类题】1、（2011丰台一模，25）已知:在△ABC 中，BC=a ，AC=b，以AB 为边作等边三角形ABD. 探究下列问题:
（1）如图1，当点D 与点C 位于直线AB 的两侧时，a=b=3，且∠ACB=60°，则CD= ； （2）如图2，当点D 与点C 位于直线AB 的同侧时，a=b=6，且∠ACB=90°，则CD= ； （3）如图3，当∠ACB 变化, 且点D 与点C 位于直线AB 的两侧时，求 CD的最大值及相应的
∠ACB 的度数.
D C
A
A B
B A
图1 图2 图3
第17页（讲稿版）
25．解：（1）3
3；„„„„„„„„„„„„„„„„1’ （2）6-32； „„„„„„„„„„„„„„„„2’
（3）以点D 为中心，将△DBC 逆时针旋转60°，则点B 落在点A ，点C 落在点E. 联结AE,CE ，
∴CD=ED，∠CDE=60°，AE=CB= a， ∴△CDE 为等边三角形，
∴CE=CD. „„„„„„„„„„„„„„„„4’
当点E 、A 、C 不在一条直线上时，有CD=CE
当点E 、A 、C 在一条直线上时， CD有最大值，CD=CE=a +b ；
此时∠CED=∠BCD=∠ECD=60°，∴∠ACB=120°，„„„„„„„„7’ 因此当∠ACB=120°时，CD 有最大值是a +b .
启发构造三角形转移线段2、（2009西城一模，25
）已知：PA =，PB =4，以AB 为一边作正方形ABCD ，使P 、D 两点落在直线AB 的两侧. （1）如图，当∠APB=45°时，求AB 及PD 的长； （2）当∠APB 变化，且其它条件不变时，求PD 的 最大值，及相应∠APB 的大小.
3、*（学探诊P42-15）如图1，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠C=90°，点E 为CD 的中点，点F 在底边BC 上，且∠FAE=∠DAE ．
（1）请你通过观察、测量、猜想，得出∠AEF 的度数；（1）的方法多样（垂线段，倍长，中位线）但是其中有的不好迁移到后面，需要在多种方法中选取
（2） 若梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠C 不是直角，点F 在底边BC 或其延长线上，如图2、图
3，其他条件不变，你在（1）中得出的结论是否仍然成立，若都成立，请在图2、图3中选择其中一图进行证明；若不都成立，请说明理由．
图1 图2 图3
【类题】（2011平谷一模，24）已知点A ，B 分别是两条平行线m ，n 上任意两点，C 是直线n 上一点，且∠ABC=90°，点E 在AC 的延长线上, BC ＝k AB (k ≠0).
（1）当k ＝1时，在图（1）中，作∠BEF ＝∠ABC ，EF 交直线m 于点F . ，写出线段EF
与EB 的数量关系，并加以证明；
第18页（讲稿版）
（2）若k ≠1，如图(2)，∠BEF ＝∠ABC ，其它条件不变，探究线段EF 与EB 的数量关系，并说明理由．
（1） （2）
(四) 方法的综合应用
1、（2007北京，23）如图，已知△ABC ．
（1）请你在BC 边上分别取两点D ，E （BC 的中点除外），连结AD ，AE ，写出使此图中只存在两对面积相等的三角形的相应条件，并．．．．．表示出面积相等的三角形；
（2）请你根据使（1）成立的相应条件，证明AB +AC >AD +AE ．
2、（2010年北京，25）问题：已知△ABC 中，∠BAC =2∠ACB ，点D 是△ABC 内的一点，且AD =CD ，BD =BA 。探究∠DBC 与∠ABC 度数的比值。 请你完成下列探究过程：
先将图形特殊化，得出猜想，再对一般情况进行分析并加以证明。 (1) 当∠BAC =90︒时，依问题中的条件补全右图。 观察图形，AB 与AC 的数量关系为
当推出∠DAC =15︒时，可进一步推出∠DBC 的度数为 可得到∠DBC 与∠ABC 度数的比值为； C
(2) 当∠BAC ≠90︒时，请你画出图形，研究∠DBC 与∠ABC 度数的比值是否与(1)中的结论相同，写出你的猜想并加以证明。
3、（2010西城二模，24）在△ABC 中，点P 为BC 的中点．
（1）如图1，求证：AP ＜
1
（AB
2
（2）延长AB 到D ，使得BD=ACAC 到E ，使得CE=AB，连结DE ．
①如图2，连结BE ，若∠BAC=60°，请你探究线段BE 与线段AP
之间的数量关系．写出你的结论，并加以证明；
第19页（讲稿版）
②请在图3中证明：BC ≥
1
DE ． 2
4、（2011北京中考，24）在□ABCD 中，∠BAD 的平分线交直线BC 于点E ，交直线DC 于点F 。
（1）在图1中证明CE =CF ；
（2）若∠ABC =90︒，G 是EF 的中点（如图2），直接写出∠BDG 的度数； （3）若∠ABC =120︒，FG ∥CE ，FG =CE ，分别连结DB 、DG （如图3），求∠BDG 的度数。
(五) 动点问题与分类讨论 不确定性引发分类讨论 (1)等腰三角形顶角顶点； (2)相似三角形对应点；
(3)已知两点（三点）+限制条件定平行四边形（特殊梯形）； 注意：分类不重不漏；动点问题定界点。
由位置的不确定引发的分类讨论1、（2011上海，25）在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，BC =30，AB =50．点P 是AB 边上任意一点，直线PE ⊥AB ，与边AC 或BC 相交于E ．点M 在线段AP 上，点N 在线段BP 上，EM =EN ，sin ∠EMP =
12． 13
（1）如图1，当点E 与点C 重合时，求CM 的长；
（2）如图2，当点E 在边AC 上时，点E 不与点A 、C 重合，设AP =x ，BN =y ，求y 关
于x 的函数关系式，并写出函数的定义域；
（3）若△AME ∽△ENB （△AME 的顶点A 、M 、E 分别与△ENB 的顶点E 、N 、B 对应），求AP 的长．
图1 图2 备用图
由图形的不确定引发的分类讨论，相似2、（2010密云一模，25）如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AD =3，
DC =5，BC =10，梯形的高为4．动点M 从B 点出发
第20页（讲稿版）
沿线段BC 以每秒2个单位长度的速度向终点C 运动；动点N 同时从C 点出发沿线段CD 以每秒1个单位长度的速度向终点D 运动．设运动的时间为t （秒）．
（1）当MN ∥AB 时，求t 的值；
（2）试探究：t 为何值时，△MNC 为等腰三角形．
与面积有关的动点问题3、（2011东城一模，24）等边△ABC 边长为6，P 为BC 边上一点，∠MPN =60°，且PM 、PN 分别于边AB 、AC 交于点E 、F .
（1）如图1，当点P 为BC 的三等分点，且PE ⊥AB 时，判断△EPF 的形状；
（2）如图2，若点P 在BC 边上运动，且保持PE ⊥AB ，设BP =x ，四边形AEPF 面积的y ，
求y 与x 的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；
（3）如图3，若点P 在BC 边上运动，且∠MPN 绕点P 旋转，当CF =AE =2时，求PE 的
长.
图1 图2 图3
4、（2009年北京，24）在□ABCD 中，过点C 作CE ⊥CD 交AD 于点E ，将线段EC 绕点E 逆时针旋转90°得到线段EF （如图1）.
（1）在图1中画图探究：
①当P 1为射线CD 上任意一点（P 1不与C 点重合）时，连结EP 1，将线段EP 1绕点E 逆
时针旋转90°得到线段EG 1. 判断直线FG 1与直线CD 的位置关系并加以证明；
②当P 2点为线段DC 的延长线上任意一点时，连结EP 2，将线段EP 2绕点E 逆时针旋转
90°得到线段EG 2. 判断直线G 1G 2与直线CD 的位置关系，画出图形并直接写出你的结论.
（2）若AD =6，tan B =4， AE =1，在①的条件下，设CP 1=x ，S ∆P 1FG 1 =y ，求y 与x 之间的3
函数关系式，并写出自变量x 的取值范围.
图1
第21页（讲稿版）
图2（备用）
5、（2011西城二模，24）如图1，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝9cm ，BC ＝12cm ．在Rt △DEF 中，∠DFE ＝90°，EF ＝6cm ，DF ＝8cm ．E ，F 两点在BC 边上，DE ，DF 两边分别与AB 边交于G ，H 两点．现固定△ABC 不动，△DEF 从点F 与点B 重合的位置出发，沿BC 以1cm/s的速度向点C 运动，点P 从点F 出发，在折线FD —DE 上以2cm/s的速度向点E 运动．△DEF 与点P 同时出发，当点E 到达点C 时，△DEF 和点P 同时停止运动．设运动的时间是t （单位：s ），t ＞0．
（1）当t ＝2时，PH= cm ，DG = cm ；
（2）t 为多少秒时△PDE 为等腰三角形？请说明理由；
（3）t 为多少秒时点P 与点G 重合？写出计算过程；
（4）求tan ∠PBF 的值（可用含t 的代数式表示）．
第22页（讲稿版）