反比例函数考点及典型例题
考点l. 反比例函数的概念
一般地，如果两个变量x 、y 之间的关系可以表示成y =的形式，那么称y 是x 的反比例函数。 反比例函数的概念需注意以下几点： （1）k 是常数，且k 不为零； （2）
k -1
或y=kx（k 为常数，k ≠0）x
2k
中分母x 的指数为1，如，y =2就不是反比例函数。
x x
（3）自变量x 的取值范围是x ≠0的一切实数. （4）自变量y 的取值范围是y ≠0的一切实数。 例1、如果函数y =(m -1) x m
2
-2
为反比例函数，则m 的值是 （ ）
A 、-1 B、0 C 、1 D、1
2
练习当n 取什么值时，y ＝（n +2n）x 考点2. 反比例函数的图象及性质 反比例函数y =
2
是反比例函数?
k
的图象是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、三象限x
或第二、四象限。它们关于原点对称、反比例函数的图象与x 轴、y 轴都没有交点，即双曲线的两个分支无限接近坐标轴，但永远不与坐标轴相交。
反比例函数的性质
y =
k
(k ≠0) 的变形形式为xy =k （常数）所以： x
（1）其图象的位置是：
当k >0时，x 、y 同号，图象在第一、三象限； 当k
（2）若点(m,n)在反比例函数y =函数的图象关于原点对称。
k
的图象上，则点（-m,-n ）也在此图象上，故反比例x
（3）当k >0时，在每个象限内，y 随x 的增大而减小； 当k
k
与y ＝-kx+1（k≠0）在同一坐标系内的图像大致为（）
x
例2当n 取什么值时，y ＝（n +2n）x 个象限内，y 随x 的增大而增大或是减小?
练习1已知点A （x 1，y 1）、B （x 2，y 2）是反比例函数y =
若x 1
B．y 2
2
是反比例函数? 它的图像在第几象限内? 在每
k
（k >0）图象上的两点， x
2矩形面积为4，它的长y 与宽x 之间的函数关系用图象大致可表示为（ ）
3．根据物理学家波义耳1662年的研究结果：在温度不变的情况下，气球内气体的压强p (p a ) 与它的体积v (m ) 的乘积是一个常数k ，即pv ＝k (k 为常数，k ＞0) ，下列图象能正确反映p 与v 之间函数关系的是（ ）。
A
B
C
DD
3
4已知反比例函数y =
k
(k
y 1-y 2的值是 （ ）
A 、正数 B、 负数 C 、非正数 D 、不能确定
5．已知三点
P ，y 1) ，P 2(x 2，y 2) ，P 3(1，-2) 都在反比例函数1(x 1
y =
k
x
x 2>0，则下列式子正确的是（ ）
A ．C ．
y 1y 2>0
D ．
y 1>0>y 2
考点3. 反比例函数解析式的确定。
用待定系数法求反比例函数关系式的一般步骤是： ①设所求的反比例函数为：y =
k
（k ≠0）； x
②根据已知条件，列出含k 的方程； ③解出待定系数k 的值； ④把k 值代入函数关系式y =
k
中。 x
例 反比例函数的图象经过A （1，-2），求反比例函数的关系式
练习．
已知点(是反比例函数图象上的一点，则此反比例函数图象的解析式是____________________________． 考点4. 用反比例函数解决实际问题 反比例函数的应用须注意以下几点：
①反比例函数在现实世界中普遍存在，在应用反比例函数知识解决实际问题时，要注意将实际问题转化为数学问题。
②针对一系列相关数据探究函数自变量与因变量近似满足的函数关系。 ③列出函数关系式后，要注意自变量的取值范围。
例 某商场出售一批进价为2元的贺卡，在市场营销中发现此商品的日销售单价x 元与
日销售量y 之间有如下关系：
（1） 根据表中的数据，在平面直角坐标系中描出实数对（x ，y ）的对应点；
（2） 猜测并确定y 与x 之间的函数关系式，并画出图象； （3）设经营此卡的销售利润为w 元，试求出w 与x 之间的函数关系式，若物价局规定此卡的售价最高不超过10元/个，请求出当日销售单价定为多少元时，才能获得最大销售利润？ 练习
某气球内充满了一定质量的气球, 当温度不变时, 气球内气球的压力p(千帕) 是气球的体积V(米) 的反比例函数, 其图象如图所示(千帕是一种压强单位) （1）写出这个函数的解析式；
（2）当气球的体积为0.8立方米时, 气球内的气压是多少千帕？
（3）当气球内的气压大于144千帕时, 气球将爆炸, 为了安全起见
, 气球的体积应不小于多少立方米？ 知识点5. 反比例函数综合
例：如图，反比例函数y =点．
2
k
，3) ，B (n ，-1) 两的图象与一次函数y =mx +b 的图象交于A (1
x
（1）求反比例函数与一次函数的解析式；
（2）根据图象回答：当x 取何值时，反比例函数的值大于一次函数的值
，3) 在y =解题思路：(1)由A (1-1) 也在y = 由B (n ，
k 的图象上，则k=3，反比例函数关系式为y =x 3
，3) 的图象上，则n=-3,所以B （-3，-1）。把A (1
x
B（-3，-1）代入 y =mx +b 中，由待定系数法可求得m 和b.
（2）由图象可知：当x=-3或1时反比例函数的值等于一次函数的值，再结合图象回答。
例2 反比例函数y =
k
的图象如图所示，点M 是该函数图象上一点，MN x
垂直于x 轴，垂足是点N ，如果S △MON＝2，求k 的值
分析：设M （x,y ）又根据△MON 的面积与点M 的关系可得： S △MON=
11
xy =k =2所以k=±4, 又函数图象在第二、四象限，则k=-4 22
20练习1．如图，矩形AOCB 的两边OC ，OA 分别位于x 轴，y 轴上，点B 的坐标为B （－3，
5），D 是AB 边上的一点，将△ADO 沿直线OD 翻折，使A 点恰好落在对角线OB 上的点E 处，若点E 在一反比例函数的图像上，那么该函数的解析式是______．
2反比例函数y =
k
（k >0）在第一象限内的图象，P 为该图象上任一点，PQ ⊥x 轴，设x
△POQ 的面积为S ，则S 与k 之间的关系是（ ）
k k
B．S = C．S =k D．S >k 42
4
3 设P 是函数p =在第一象限的图像上任意一点，点P 关于原
x
A．S =
点的对称点为P’，过P 作PA 平行于y 轴，过P’作P’A平行于x 轴，PA 与P’A交于A 点，则△PAP '的面积（ ）
A ．等于2 B．等于4 C ．等于8 D．随P 点的变化而变化 4. 两个反比例函数y=
k 1k
和y=在第一象限内的图像如图3所示，•点P 在y=的图像上，x x x
11
的图像于点A ，PD ⊥y 轴于点D ，交y=的图像于点B ，•当点P x x
PC ⊥x 轴于点C ，交y=
在y=
k
的图像上运动时，以下结论： x
①△ODB 与△OCA 的面积相等； ②四边形PAOB 的面积不会发生变化； ③PA 与PB 始终相等
④当点A 是PC 的中点时，点B 一定是PD 的中点．
其中一定正确的是_______（把你认为正确结论的序号都填上，•少填或错填不给分）．
反比例函数考点及典型例题
考点l. 反比例函数的概念
一般地，如果两个变量x 、y 之间的关系可以表示成y =的形式，那么称y 是x 的反比例函数。 反比例函数的概念需注意以下几点： （1）k 是常数，且k 不为零； （2）
k -1
或y=kx（k 为常数，k ≠0）x
2k
中分母x 的指数为1，如，y =2就不是反比例函数。
x x
（3）自变量x 的取值范围是x ≠0的一切实数. （4）自变量y 的取值范围是y ≠0的一切实数。 例1、如果函数y =(m -1) x m
2
-2
为反比例函数，则m 的值是 （ ）
A 、-1 B、0 C 、1 D、1
2
练习当n 取什么值时，y ＝（n +2n）x 考点2. 反比例函数的图象及性质 反比例函数y =
2
是反比例函数?
k
的图象是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、三象限x
或第二、四象限。它们关于原点对称、反比例函数的图象与x 轴、y 轴都没有交点，即双曲线的两个分支无限接近坐标轴，但永远不与坐标轴相交。
反比例函数的性质
y =
k
(k ≠0) 的变形形式为xy =k （常数）所以： x
（1）其图象的位置是：
当k >0时，x 、y 同号，图象在第一、三象限； 当k
（2）若点(m,n)在反比例函数y =函数的图象关于原点对称。
k
的图象上，则点（-m,-n ）也在此图象上，故反比例x
（3）当k >0时，在每个象限内，y 随x 的增大而减小； 当k
k
与y ＝-kx+1（k≠0）在同一坐标系内的图像大致为（）
x
例2当n 取什么值时，y ＝（n +2n）x 个象限内，y 随x 的增大而增大或是减小?
练习1已知点A （x 1，y 1）、B （x 2，y 2）是反比例函数y =
若x 1
B．y 2
2
是反比例函数? 它的图像在第几象限内? 在每
k
（k >0）图象上的两点， x
2矩形面积为4，它的长y 与宽x 之间的函数关系用图象大致可表示为（ ）
3．根据物理学家波义耳1662年的研究结果：在温度不变的情况下，气球内气体的压强p (p a ) 与它的体积v (m ) 的乘积是一个常数k ，即pv ＝k (k 为常数，k ＞0) ，下列图象能正确反映p 与v 之间函数关系的是（ ）。
A
B
C
DD
3
4已知反比例函数y =
k
(k
y 1-y 2的值是 （ ）
A 、正数 B、 负数 C 、非正数 D 、不能确定
5．已知三点
P ，y 1) ，P 2(x 2，y 2) ，P 3(1，-2) 都在反比例函数1(x 1
y =
k
x
x 2>0，则下列式子正确的是（ ）
A ．C ．
y 1y 2>0
D ．
y 1>0>y 2
考点3. 反比例函数解析式的确定。
用待定系数法求反比例函数关系式的一般步骤是： ①设所求的反比例函数为：y =
k
（k ≠0）； x
②根据已知条件，列出含k 的方程； ③解出待定系数k 的值； ④把k 值代入函数关系式y =
k
中。 x
例 反比例函数的图象经过A （1，-2），求反比例函数的关系式
练习．
已知点(是反比例函数图象上的一点，则此反比例函数图象的解析式是____________________________． 考点4. 用反比例函数解决实际问题 反比例函数的应用须注意以下几点：
①反比例函数在现实世界中普遍存在，在应用反比例函数知识解决实际问题时，要注意将实际问题转化为数学问题。
②针对一系列相关数据探究函数自变量与因变量近似满足的函数关系。 ③列出函数关系式后，要注意自变量的取值范围。
例 某商场出售一批进价为2元的贺卡，在市场营销中发现此商品的日销售单价x 元与
日销售量y 之间有如下关系：
（1） 根据表中的数据，在平面直角坐标系中描出实数对（x ，y ）的对应点；
（2） 猜测并确定y 与x 之间的函数关系式，并画出图象； （3）设经营此卡的销售利润为w 元，试求出w 与x 之间的函数关系式，若物价局规定此卡的售价最高不超过10元/个，请求出当日销售单价定为多少元时，才能获得最大销售利润？ 练习
某气球内充满了一定质量的气球, 当温度不变时, 气球内气球的压力p(千帕) 是气球的体积V(米) 的反比例函数, 其图象如图所示(千帕是一种压强单位) （1）写出这个函数的解析式；
（2）当气球的体积为0.8立方米时, 气球内的气压是多少千帕？
（3）当气球内的气压大于144千帕时, 气球将爆炸, 为了安全起见
, 气球的体积应不小于多少立方米？ 知识点5. 反比例函数综合
例：如图，反比例函数y =点．
2
k
，3) ，B (n ，-1) 两的图象与一次函数y =mx +b 的图象交于A (1
x
（1）求反比例函数与一次函数的解析式；
（2）根据图象回答：当x 取何值时，反比例函数的值大于一次函数的值
，3) 在y =解题思路：(1)由A (1-1) 也在y = 由B (n ，
k 的图象上，则k=3，反比例函数关系式为y =x 3
，3) 的图象上，则n=-3,所以B （-3，-1）。把A (1
x
B（-3，-1）代入 y =mx +b 中，由待定系数法可求得m 和b.
（2）由图象可知：当x=-3或1时反比例函数的值等于一次函数的值，再结合图象回答。
例2 反比例函数y =
k
的图象如图所示，点M 是该函数图象上一点，MN x
垂直于x 轴，垂足是点N ，如果S △MON＝2，求k 的值
分析：设M （x,y ）又根据△MON 的面积与点M 的关系可得： S △MON=
11
xy =k =2所以k=±4, 又函数图象在第二、四象限，则k=-4 22
20练习1．如图，矩形AOCB 的两边OC ，OA 分别位于x 轴，y 轴上，点B 的坐标为B （－3，
5），D 是AB 边上的一点，将△ADO 沿直线OD 翻折，使A 点恰好落在对角线OB 上的点E 处，若点E 在一反比例函数的图像上，那么该函数的解析式是______．
2反比例函数y =
k
（k >0）在第一象限内的图象，P 为该图象上任一点，PQ ⊥x 轴，设x
△POQ 的面积为S ，则S 与k 之间的关系是（ ）
k k
B．S = C．S =k D．S >k 42
4
3 设P 是函数p =在第一象限的图像上任意一点，点P 关于原
x
A．S =
点的对称点为P’，过P 作PA 平行于y 轴，过P’作P’A平行于x 轴，PA 与P’A交于A 点，则△PAP '的面积（ ）
A ．等于2 B．等于4 C ．等于8 D．随P 点的变化而变化 4. 两个反比例函数y=
k 1k
和y=在第一象限内的图像如图3所示，•点P 在y=的图像上，x x x
11
的图像于点A ，PD ⊥y 轴于点D ，交y=的图像于点B ，•当点P x x
PC ⊥x 轴于点C ，交y=
在y=
k
的图像上运动时，以下结论： x
①△ODB 与△OCA 的面积相等； ②四边形PAOB 的面积不会发生变化； ③PA 与PB 始终相等
④当点A 是PC 的中点时，点B 一定是PD 的中点．
其中一定正确的是_______（把你认为正确结论的序号都填上，•少填或错填不给分）．