２０１４年８月第１４卷第４期
廊坊师范学院学报（自然科学版）
ＪｏｕｒｎａｌｏｆＬａｎｇｆａｎｇＴｅａｃｈｅｒｓＣｏｌｌｅｇｅ（ＮａｔｕｒａｌＳｃｉｅｎｃｅＥｄｉｔｉｏｎ）
Ａｕｇ．２０１４Ｖ０１．１４Ｎｏ．４
关于不定积分的分部积分法运算技巧
上宏昌
（西安职业技术学院，陕西西安７１００７７）
【摘要】分部积分法是不定积分的一种重要的积分方法，其关键是要合理地选取ｌ‘和ｄ”。根据多年的教学实
践，归纳总结出了ｕ和ｄ”的选取规律和技巧，指出了分部积分法的适用范围和应注意的问题，降低了分部积分法的难度，旨在提高学生分部积分法的运算效率。
【关键词】高等数学；不定积分；分部积分法；技巧
ＯｎｔｈｅＩｎｄｅｆｉｎｉｔｅＩｎｔｅｇｒａｌＳｕｂｓｅｃｔｉｏｎＩｎｔｅｇｒａｌＯｐｅｒａｔｉｏｎＳｋｉｌｌｓ
ＳＨＡＮＧＨｏｎｇ－ｃｈａｎｇ
【Ａｂｓｔｒｔｌｄ】Ｔｈｅ
ｕ＆ｄｖ．Ｂａｓｅｄ
ｓｃｏｐｅ
ｏｎ
ｉｎｔｅｇｒａｔｉｏｎｂｙｐａｒｔｓｉｓ
ｙｅａｒｓ
ａｎ
ｉｍｐｏｒｔａｎｔｉｎｔｅｇｒａｌｍｅｔｈｏｄｏｆｉｎｄｅｆｉｎｉｔｅｉｎｔｅｇｒａｌ，ｔｈｅｋｅｙｉｓｔｏｓｅｌｅｃｔｒｅａｓｏｎａｂｌｅ
ｏｆｔｅａｃｈｉｎｇｐｒａｃｔｉｃｅ，ｔｈｅｐａｐｅｒ
ｓｕｍｍａｇｉＴ捌ｔｈｅｓｅｌｅｃｔｉｏｎ
ｒｕｌｅｓａｎｄｓｋｉｌｌｓｏｆｕ＆ｄｖ，ｐｏｉｎｔｓｏｕｔｔｈｅ
ｏｆｉｎｔｅｇｒａｔｉｏｎｂｙｐａｒｔｓ
ａｎｄ
ｔｈｅｐｒｏｂｌｅｍｓｔｈａｔｓｈｏｕｌｄｂｅｐａｉｄａｔｔｅｎｔｉｏｎｔｏ，ｒｅｄｕｃｅｓｔｈｅｄｉｆｆｉｃｕｌｔｙｏｆｔｈｅｓｕｂｓｅｃｔｉｏｎｉｎ—
ｔｅｇｒａｌｍｅｔｈｏｄ．ｉｎｏｒｄｅｒｔｏｉｍｐｒｏｖｅｔｈｅｓｔｕｄｅｎｔｓ’ｅｆｆｉｃｉｅｎｃｙｏｆｏｐｅｒａｔｉｎｇｉｎｔｅｇｒａｌ
【Ｋｅｙ栅】ｈｉｇｈｅｒ
ｍｅｔｈｏｄ．
ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ；ｉｎｄｅｆｉｎｉｔｅｉｎｔｅｇｒａｌ；ｉｎｔｅｇｒａｌｍｅｔｈｏｄ；ｓｋｉｌｌｓ
（中图分类号）０１７２．２（文献标识码）Ａ
【文章编号）１６７４—３２２９（２０１４）０４—００１９—０４
在不定积分的运算方法中，分部积分法是一种重要的积分方法，也是较有难度的一种积分方法。学生在学习这种方法的过程中，由于不能正确把握Ｍ和ｄ影的选择规律，导致对分部积分的运算感到茫然，当然也就谈不上熟练掌握和应用技巧。因此，在分部积分法的教学实践中，要让学生掌握１，ｔ和ｄｔ，的选择规律，加深对分部积分公式的理解，通过针对性的习题提高分部积分法的运算技巧和运算能力。
１
分部积分公式把积分Ｉｕｄｖ分成两部分：一部
Ｊ
分为１１，１），另一部分为Ｉｖｄｕ，其目的是为了把难以求
Ｊ
出的积分Ｉｕｄｖ经过分部转化为容易求出的积分
Ｊ
ｌｖｄｕ来运算。因此，在进行分部积分运算时如何把
Ｊ
ｌｆ（石）ｄｘ转化成ｌ
ｕｄｖ的积分形式就显得尤为重
ｕｄｖ的关键是从被积
不定积分的分部积分公式
由于不定积分与微分互为逆运算，而分部积分
要，而积分Ｉｆ（戈）ｄｘ转化成Ｉ
表达式厂（戈）ｄ戈中选择ｕ和ｄｔ，，只有合理地选取１２，
法是与积的微分法则相对应的积分方法，其公式的推导过程如下：设”，掣都是可微函数，则ｄ（Ⅱ秽）：
和ｄｖ，才能使Ｉｕｄｖ经分部转化成易积的Ｉ
而达到求出ｌｆ（ｘ）ｄｘ积分结果的目的。
ｖｄｕ，从
ｖｄｕ＋ｕｄｖ，两端同时求积分可得Ｉｄ（ｕｔＪ）＝Ｉ＋ｌｕｄｖ，整理后即为分部积分公式Ｉ
ｖｄｕ
ｕｄｖ＝ｕ移一
２分部积分法中配和ｄ钐的选择
在分部积分法的教学实践中，要教会学生选取ｕ和ｄ移的方法，总结选取规律。
．卜ｄ址。
【收稿日期】２０１４—０６一叭
［作者简介］上宏昌（１９７１一），男，西安职业技术学院副教授，研究方向：高等数学。
・
１９・
万方数据
２０１４年８月
廊坊师范学院学报（自然科学版）
第１４卷・第４期
２．１选择原则
选择ｄ移时，要通过凑微分使ｔ７容易求出，这是
分部积分的前提；选取ｕ和ｄｖ时，要使Ｉｖｄｕ比
Ｊ
ｕｄｖ易积，这是分部积分的目的。在选取ｕ和ｄ秽
Ｊ
时，只有满足这两条原则，才能使积分由难变易，才能通过分部的方法求出积分结果。否则，非但求不出
积分结果，还会使ＩＪ
ｖｄｕ比｝ｕｄｖ变得更难求出积分
Ｊ
结果。
２．２
选择规律
分部积分法的难点在于“和ｄ”的选取，经过多年的教学实践，笔者总结出了Ⅱ的选择顺序为“反三角、对数、幂、三角、指数”型函数，也就是说，被积表达式中如果含有以上五类函数，按照“反对幂三指”的顺序，谁排位靠前，就选择谁为Ｉｔ，剩余部分选作ｄ彭，然后套用分部积分公式即可求出积分结果。可见，只要从被积表达式ｆ（鬈）ｄｘ中按照上述口诀选出了配，ｄｖ则随之产生。这样，就把选取１１，和ｄ秽的两个难题转化为选择Ⅱ的单一问题，从而极大地降低了分部积分法的难度。
３
分部积分法的适用范围
不定积分的方法有直接积分法、换元积分法、分
部积分法等常用方法，在进行积分运算时到底该选择哪种积分方法，往往是学生犯难的事情，如果能确定积分方法，计算过程就容易了许多。正如医生开方容易而诊断病情困难一样，只要确诊了病情就能对症下药。因此，积分运算重要的是甄别积分方法，而不是运算过程。积分运算要根据被积函数的特点来选择积分方法。如果被积函数是两个不同类型的函数乘积的形式并且不能用直接积分法和换元积分法进行运算，就要用分部积分法。这里所说的函数类型指常数、幂、指数、对数、三角、反三角型函数。学生只有根据被积函数的特点学会判别分部积分的方法，才算掌握了分部积分运算，才能提高分部积分的运算能力。
４
分部积分法的应用举例
例１
・２０・
万方数据
分析：被积函数为幂函数和对数函数的乘积，故把对数函数选作Ｍ，即ｕ＝ｌｎ戈，则ｄｖ：ｘｄｘ
解：设ｕ＝ｌｎ戈，ｄｖ＝ｘｄｘ，则ｄｕ＝ｌ－－ｄｘ，由
ｄ＂＝髫ｄ戈：ｄ号２，得口：专２。．・．－ｆ名－ｎ戈ｄ嚣：萼－ｎ戈一，专２喜ｄ菇＝专２，ｎ戈一，号ｄ菇：萼・ｎ戈一等＋ｃ。
例２求Ｉ
ｘｅ。ｄｘ。
分析：被积函数为幂函数和指数函数的乘积，故
解：设１１，＝戈，ｄｖ＝ｅ５ｄｘ，则ｄ“＝ｄｘ，由ｄｖ＝
．・．Ｊ．菇ｅ。ｄ石＝戈ｅ。一Ｊ．ｅ。ｄ菇＝（算一１）ｅ５＋ｃ。
ＯＪ
３＊Ｉａｒｃｓｉｎ戈ｄ戈。
分析：积分Ｊａｒｃｓｉｎ戈ｄ戈是个现成的Ｊｕｄ＂形式，
解：设ｕ＝ａｒｃｓｉｎｘ，ｄｖ＝ｄｘ，则ｄｕ＝
＝菇ａｒｃｓｉｎ戈＋￣／１一戈２＋ｃ。
可见，只要在被积表达式中按照“反对幂三指”广
例４求ｌ
ＸＣＯＳ
ｄｘ。
Ｊ
分析：被积函数为幂函数和三角函数的乘积，故解：Ｉｘｃｏｓｘｄｘ壅丝Ｉｘｄｓｉｎｘ佥蛊ｘｓｉｎｘ—
把幂函数选作ｕ，即Ｈ＝髫，则ｄ秽＝ｅ。ｄ戈。
ｅ３ｄｘ＝ｄｅ。，得口＝ｅ。ｏ
故选配＝ａｒｃｓｉｎｘ，ｄｖ＝ｄｘ。
．ｆ志虮并ａ蒯…封志ｄｃｌ－－Ｘ２）
的顺序选取“，把剩余部分看作ｄ口，就解决了分部积分法中ｕ和ｄ秽的选取难题，再套用公式就会使得分部积分的运算容易许多。当然，如果对分部积分的运算比较熟练之后，ｕ和ｄ＂的选取过程可以不写出来，而是将其默记在心里，使得分部积分运算的解题过程更加简单化，此时分部积分法的解题步骤可分为“凑微、分部、积分”三步。
万与∽秽＝∽’．．『ａｒｃｓｍｄ龙＝戈一ｉｎ石一
把幂函数选作ｕ，即ｕ＝戈，由ｄｖ＝ｃｏｓｘｄｘ＝ｄｓｉｎｘ，得移：ｓｉｎｘ，此时将／ｔ，ｄｖ，ｄｕ，口默记在心，直接套用公式。
第１４卷・第４期上宏昌：关于不定积分的分部积分法运算技巧２０１４年８月
ｌｓｉｎｘｄｘ积分ｘｓｉｎｘ＋ＣＯＳＸ＋ｃｏ
Ｊ
～
有些不定积分可以连续多次使用分部积分法，而且个别积分通过多次分部后又回归到原积分上去，这时要经过整理，用代数计算的方法求出积分结果，此时千万不要漏掉积分常量Ｃ。
ｒ
例５求Ｉ菇２ｅ５ｄ菇。
Ｊ
分析：被积函数为幂函数和指数函数的乘积，故把幂函数选作Ｍ，即Ｕ＝菇２，则ｄ移＝ｅ５ｄ石＝ｄｅ。。
解：Ｉ茗２ｅ。ｄｘ
菇２ｄｅ。
２￡
２
茗ｅ—Ｉｆ，ｌ
ｅａ茗２
Ｊ
ｘ２ｅｘ一２ｆｘｅｚｄ戈
２』础‘
茗２ｅｚ一２茗ｅ５＋
２Ｉｅｚｄｘ垂璺坌（菇２—２ｘ＋２）ｅ。＋ｃ。
例６求Ｉｃｏｓｘｅ。ｄｘ。
分析：被积函数为三角函数和指数函数的乘积，故把三角函数选作／Ｌ，即ｕ：ＣＯＳＸ，则ｄｖ：ｅ。ｄｘ：
ｄｅ。ｏ
解：，ｃＯＳｘｅｘｄ茹塑＿『ｃｏｓ础。缝ｃｏｓ∥一
ｐｄｃｏｓ菇＝ＣＯＳｘｅｚ＋ｆｓｉ…‰
Ｊ
ｆ。ｉｎｘ彬
ｓｉｎ茁）ｅ５一Ｊｅ５ｃ。ｓ菇ｄｘ（注意：两次凑微时，选作ｕ的
函数类型要一致，即都选三角函数为Ⅱ）。
整理得，＿ｆｃ。ｓ茹ｅ。ｄ茗＝丢（ｃ。ｓ筇＋ｓｉｎ菇）ｅ。＋
Ｃ（切记：此处不要漏掉积分常量Ｃ），在求
．ｆｃ。ｓ算ｅ５ｄ菇时，如果尝试着选指数函数作为Ⅱ，则．ｒｃ。ｓ菇ｅ５ｄ戈＝，ｅ５ｄｓｉｎ菇＝
ｅ‘ｓｉｎ髫一，ｓｉｎｚｄｅ。＝
ｅ‘ｓｉｎｚ一．ｒｓｉｎ石ｅ。ｄ菇＝ｅ２ｓｉｎ菇＋ｊ＇ｅ。ｄｃ。ｓ戈＝ｅ５（ｓｉｎ髫＋
ｃ。ｓ髫）
一
ｊ．ｃ。８菇ｄｅ。＝
ｅ。（ｓｉｎ舅＋
ｃ。ｓ石）
一
，ｃ。ｓ龙ｅ５ｄｘ，整理得，，ｃｏｓｘｅｚｄ石＝丢（ｃｏｓ菇＋ｓｉｎ茁）ｅ。
＋Ｃ。
可见，当被积极函数是指数函数与三角函数作
万方数据
积时，可以选三角函数为Ｍ，也可选指数函数为ｕ。
在教学实践中，学生根据上面的口诀和方法很容易就能选取ｕ和ｄ口，但有时候由ｄ移求移又有困
ｒ
难，如在Ｉａｒｃｓｉｎｘｌｎｘｄｘ中，显然应该选配＝
Ｊ
ａｒｃｓｉｎｘ，ｄｖ＝ｌｎｘｄｘ，而由ｄｖ＝Ｉｎｘｄｘ怎样求出秽这就涉及到凑微分运算，学生往往是很难直接凑出微分的。这里有一个小技巧：把由ｄｖ＝ｌｎｘｄｘ求口
ｒ
可以看作另一个新积分ｌＩｎｘｄｘ，对这个新积分用分
部积分法就能轻松求得，ｉｎ膏ｄ石
＝ｘｉｎｘ一菇＋Ｃ，
故可凑出微分ｄｖ＝ｌｎｘｄｘ＝ｄ（ｘｌｎｘ一算），达到求出ｔ，＝ｘｉｎｘ一茹的目的。
例７
ａｒｃｓｉｎｘｉｎｘｄｘ。
解：，ａｒｃｓｉｎ幽并ｄ菇＝－ｆａ商ｎ州山菇一戈）＝
ａｒｃｓｉｎｘ（ｘｉｎｘ一菇）一Ｉ（ｘｌｎｘ一石）ｄａｒｃｓｉｎ
＝
茗（１ｎ菇一１）ａｒｃｓｉｎ戈一Ｊ（１ｎ茗一１’了Ｆ亍与ｄ髫＝
ｘ（１ｎｘ一１）ａｒｃｓｉｎｘ＋Ｉ（１Ｉｌ髫一１）ｄ以Ｆ７：髫（１ｎ算一１）ａｒｃｓｉｎｘ＋（１ｎ算一１）ｖ厂ｉ＿＝＝＇—≯一Ｉ
ｖ厂ｒ了ｄ（１ｎ菇
一１）＝（１ｎｘ一１）（ｘａｒｃｓｉｎｘ＋￣／１一菇２）一
厂日
ｄｘ。
～／１菇－ｘ２ｄ菇可用换元积分法求出结果，过
程如下：
：府．．．ｆ业ｄ戈：ｆ掣ｄ８ｉｎｔ：
令算＝ｓｉｎｔ，ｔ∈［一号，ｏ），ｕ（ｏ，号］，则ｃ。ｓｔ
３
ｘ
３
ｓｉｎｔ
＋
Ｊ
Ｆ暑ｄｃ吲＝ｃｏｓｔ一封（『＝‰
ｌ１＋ｃｏｓｔ
）ｄｃ。ｓ￡＝ｃ。ｓｔ＋ｉ１ｌｎ（１一ｃ。ｓｔ）一１ｎ（１＋
・２１・
Ｊ．案ｄｔ＝一扣池吲：Ｊ．（・一ｃｓｃ２州咖ｔ：ｃｏｓｔ—Ｉｃ。ｓｔ）＋ｃ＝府＋丢一ｎ螺１＿√ｆ＇ｌ－－－Ｘ２＋ｃ。
２０１４年８月
廊坊师范学院学报（自然科学版）
第１４卷・第４期
．・．ＩａｒｃｓｉｎｘＩｎｘｄｘ＝（１ｎｘ一１）（ｘａｒｃｓｉｎｘ＋
府）一府一牲，－厢ｘＡ＋Ｃｏ
计算Ｉａｒｃｓｉｎｘｌｎｘｄｘ时，如果尝试着把对数函数选作为“，则由例３易得，ＩａｒｃｓｉｎｘＩｎｘｄｘ：
Ｉｌｎｘｄ（ｘａｒｃｓｉｎｘ
＋
￣／１一戈２）
＝
（戈ａｒｃｓｉｎ戈
＋
以Ｆ７）ｌｎ算一Ｉ（算ａｒｃｓｉｎ戈＋以Ｆ≯）ｄｌｎ戈：
（ｘａｒｃｓｉｎｘ
＋
￣／１一戈２）ｌｎ戈
一
Ｉ（ａｒｃｓｉｎ茗
＋
／＇１－。Ｘ２）ｄ戈：（菇ａｒｃｓｉｎ石＋ｖ厂ｉ］）ｌｎ石一
，（ａｒｃｓｉｎ菇ｄ石一，Ｖ／－１－戈＿ｘ２ｄ菇：（ｘａｒｃｓｉｎ算＋
汀习）（１ａｘ－）一汀刁一ｌｌｎ而１－～／１－ｘ２
＋Ｃ。
有些不定积分，当被积极函数是对数函数与反三角函数作积时，可以选反三角函数为“，也可选对数函数为ｕ。所以，分部积分运算在选择ｕ时可以按照“反对幂三指”的顺序，也可以按照“对反幂指三”的顺序，但幂函数始终处在中间的位置，学生可以灵活掌握某一顺序。
５分部积分法应注意的问题
５．１合理选择ｕ和ｄｔ７
虽然分部积分法的关键是选择“和ｄ省，但只要从被积表达式中选出了”，ｄｖ就一目了然。因此，在选择ｕ和ｄ秽时应重点考虑Ｍ，当然ｕ可以按照“反对幂三指”、“反对幂指三”、“对反幂指三”或“对反幂三指”的任一顺序来选取，学生应熟练掌握其中之一，在同一个积分运算中，如果要连续使用分部积分法，最好按同一顺序来选取ｕ。
・２２・
万方数据
５．２
凑微分
在确定了“和ｄ勘以后，应用分部积分公式时一
方面要求出微分ｄ配，另一方面要通过ｄ口求移，即凑微分，这是学生学习分部积分的难点，如前所述，这个凑微的过程可以用一个新的积分运算完成。
５．３
积分运算的书写格式
在进行分部积分运算时，学生往往会把注意力
放在ｕ和ｄ秽的选取、凑微分、套用公式上，不经意间
ｒ
就有可能漏写积分号“Ｉ”、微分号“ｄｘ”或积分常量
Ｊ
“Ｃ”，这些细节在教学过程中要经常提醒学生注意。
５．４
灵活选择积分方法
有些分部积分运算并不只是单纯地使用分部积
分法，可能还会和直接积分法或换元积分法结合使函数的特点灵活选择积分方法，不能局限在分部积由于对不定积分采用的积分方法和积分公式不同，可能导致积分结果在表达形式上不唯一，因此，总之，在学习不定积分的分部积分法时，如果能［参考文献］
［１］华东师范大学数学系．数学分析（第３版）［Ｍ］．北京：高
等教育出版社，２００２。
［２］陈笑缘，于信．高等数学［Ｍ］．北京：中国财经经济出版
社。２００８．
［３］罗琼．不定积分的分部积分法教学浅谈［Ｊ］．商丘职业技
术学院学报。２０１２，１ｌ（５）：１５—１８．
用。因此，在分部积分运算的不同阶段，要根据被积分法中而执拗地分部到底，如例３、例７就先用分部积分法，再使用换元积分法。
５．５检验积分结果
一定要对积分结果进行检验。检验时除了检查积分过程和书写格式外，最重要的是判断积分结果的导数是否等于被积函数。
弄清分部积分法的使用范围，按照口诀选取ｕ和ｄ秽，再套用分部积分公式，练习时把握好每一个环节，就一定能提高分部积分法的运算能力和技巧。
关于不定积分的分部积分法运算技巧
作者：作者单位：刊名：英文刊名：年，卷(期)：
上宏昌， SHANG Hong-chang
西安职业技术学院,陕西西安,710077
廊坊师范学院学报（自然科学版）
Journal of Langfang Teachers University（Natural Science Edition）2014,14(4)
参考文献(3条)
1. 华东师范大学数学系 数学分析 20022. 陈笑缘;于信 高等数学 2008
3. 罗琼 不定积分的分部积分法教学浅谈 2012(05)
引用本文格式：上宏昌. SHANG Hong-chang 关于不定积分的分部积分法运算技巧[期刊论文]-廊坊师范学院学报（自然科学版）2014(4)
２０１４年８月第１４卷第４期
廊坊师范学院学报（自然科学版）
ＪｏｕｒｎａｌｏｆＬａｎｇｆａｎｇＴｅａｃｈｅｒｓＣｏｌｌｅｇｅ（ＮａｔｕｒａｌＳｃｉｅｎｃｅＥｄｉｔｉｏｎ）
Ａｕｇ．２０１４Ｖ０１．１４Ｎｏ．４
关于不定积分的分部积分法运算技巧
上宏昌
（西安职业技术学院，陕西西安７１００７７）
【摘要】分部积分法是不定积分的一种重要的积分方法，其关键是要合理地选取ｌ‘和ｄ”。根据多年的教学实
践，归纳总结出了ｕ和ｄ”的选取规律和技巧，指出了分部积分法的适用范围和应注意的问题，降低了分部积分法的难度，旨在提高学生分部积分法的运算效率。
【关键词】高等数学；不定积分；分部积分法；技巧
ＯｎｔｈｅＩｎｄｅｆｉｎｉｔｅＩｎｔｅｇｒａｌＳｕｂｓｅｃｔｉｏｎＩｎｔｅｇｒａｌＯｐｅｒａｔｉｏｎＳｋｉｌｌｓ
ＳＨＡＮＧＨｏｎｇ－ｃｈａｎｇ
【Ａｂｓｔｒｔｌｄ】Ｔｈｅ
ｕ＆ｄｖ．Ｂａｓｅｄ
ｓｃｏｐｅ
ｏｎ
ｉｎｔｅｇｒａｔｉｏｎｂｙｐａｒｔｓｉｓ
ｙｅａｒｓ
ａｎ
ｉｍｐｏｒｔａｎｔｉｎｔｅｇｒａｌｍｅｔｈｏｄｏｆｉｎｄｅｆｉｎｉｔｅｉｎｔｅｇｒａｌ，ｔｈｅｋｅｙｉｓｔｏｓｅｌｅｃｔｒｅａｓｏｎａｂｌｅ
ｏｆｔｅａｃｈｉｎｇｐｒａｃｔｉｃｅ，ｔｈｅｐａｐｅｒ
ｓｕｍｍａｇｉＴ捌ｔｈｅｓｅｌｅｃｔｉｏｎ
ｒｕｌｅｓａｎｄｓｋｉｌｌｓｏｆｕ＆ｄｖ，ｐｏｉｎｔｓｏｕｔｔｈｅ
ｏｆｉｎｔｅｇｒａｔｉｏｎｂｙｐａｒｔｓ
ａｎｄ
ｔｈｅｐｒｏｂｌｅｍｓｔｈａｔｓｈｏｕｌｄｂｅｐａｉｄａｔｔｅｎｔｉｏｎｔｏ，ｒｅｄｕｃｅｓｔｈｅｄｉｆｆｉｃｕｌｔｙｏｆｔｈｅｓｕｂｓｅｃｔｉｏｎｉｎ—
ｔｅｇｒａｌｍｅｔｈｏｄ．ｉｎｏｒｄｅｒｔｏｉｍｐｒｏｖｅｔｈｅｓｔｕｄｅｎｔｓ’ｅｆｆｉｃｉｅｎｃｙｏｆｏｐｅｒａｔｉｎｇｉｎｔｅｇｒａｌ
【Ｋｅｙ栅】ｈｉｇｈｅｒ
ｍｅｔｈｏｄ．
ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ；ｉｎｄｅｆｉｎｉｔｅｉｎｔｅｇｒａｌ；ｉｎｔｅｇｒａｌｍｅｔｈｏｄ；ｓｋｉｌｌｓ
（中图分类号）０１７２．２（文献标识码）Ａ
【文章编号）１６７４—３２２９（２０１４）０４—００１９—０４
在不定积分的运算方法中，分部积分法是一种重要的积分方法，也是较有难度的一种积分方法。学生在学习这种方法的过程中，由于不能正确把握Ｍ和ｄ影的选择规律，导致对分部积分的运算感到茫然，当然也就谈不上熟练掌握和应用技巧。因此，在分部积分法的教学实践中，要让学生掌握１，ｔ和ｄｔ，的选择规律，加深对分部积分公式的理解，通过针对性的习题提高分部积分法的运算技巧和运算能力。
１
分部积分公式把积分Ｉｕｄｖ分成两部分：一部
Ｊ
分为１１，１），另一部分为Ｉｖｄｕ，其目的是为了把难以求
Ｊ
出的积分Ｉｕｄｖ经过分部转化为容易求出的积分
Ｊ
ｌｖｄｕ来运算。因此，在进行分部积分运算时如何把
Ｊ
ｌｆ（石）ｄｘ转化成ｌ
ｕｄｖ的积分形式就显得尤为重
ｕｄｖ的关键是从被积
不定积分的分部积分公式
由于不定积分与微分互为逆运算，而分部积分
要，而积分Ｉｆ（戈）ｄｘ转化成Ｉ
表达式厂（戈）ｄ戈中选择ｕ和ｄｔ，，只有合理地选取１２，
法是与积的微分法则相对应的积分方法，其公式的推导过程如下：设”，掣都是可微函数，则ｄ（Ⅱ秽）：
和ｄｖ，才能使Ｉｕｄｖ经分部转化成易积的Ｉ
而达到求出ｌｆ（ｘ）ｄｘ积分结果的目的。
ｖｄｕ，从
ｖｄｕ＋ｕｄｖ，两端同时求积分可得Ｉｄ（ｕｔＪ）＝Ｉ＋ｌｕｄｖ，整理后即为分部积分公式Ｉ
ｖｄｕ
ｕｄｖ＝ｕ移一
２分部积分法中配和ｄ钐的选择
在分部积分法的教学实践中，要教会学生选取ｕ和ｄ移的方法，总结选取规律。
．卜ｄ址。
【收稿日期】２０１４—０６一叭
［作者简介］上宏昌（１９７１一），男，西安职业技术学院副教授，研究方向：高等数学。
・
１９・
万方数据
２０１４年８月
廊坊师范学院学报（自然科学版）
第１４卷・第４期
２．１选择原则
选择ｄ移时，要通过凑微分使ｔ７容易求出，这是
分部积分的前提；选取ｕ和ｄｖ时，要使Ｉｖｄｕ比
Ｊ
ｕｄｖ易积，这是分部积分的目的。在选取ｕ和ｄ秽
Ｊ
时，只有满足这两条原则，才能使积分由难变易，才能通过分部的方法求出积分结果。否则，非但求不出
积分结果，还会使ＩＪ
ｖｄｕ比｝ｕｄｖ变得更难求出积分
Ｊ
结果。
２．２
选择规律
分部积分法的难点在于“和ｄ”的选取，经过多年的教学实践，笔者总结出了Ⅱ的选择顺序为“反三角、对数、幂、三角、指数”型函数，也就是说，被积表达式中如果含有以上五类函数，按照“反对幂三指”的顺序，谁排位靠前，就选择谁为Ｉｔ，剩余部分选作ｄ彭，然后套用分部积分公式即可求出积分结果。可见，只要从被积表达式ｆ（鬈）ｄｘ中按照上述口诀选出了配，ｄｖ则随之产生。这样，就把选取１１，和ｄ秽的两个难题转化为选择Ⅱ的单一问题，从而极大地降低了分部积分法的难度。
３
分部积分法的适用范围
不定积分的方法有直接积分法、换元积分法、分
部积分法等常用方法，在进行积分运算时到底该选择哪种积分方法，往往是学生犯难的事情，如果能确定积分方法，计算过程就容易了许多。正如医生开方容易而诊断病情困难一样，只要确诊了病情就能对症下药。因此，积分运算重要的是甄别积分方法，而不是运算过程。积分运算要根据被积函数的特点来选择积分方法。如果被积函数是两个不同类型的函数乘积的形式并且不能用直接积分法和换元积分法进行运算，就要用分部积分法。这里所说的函数类型指常数、幂、指数、对数、三角、反三角型函数。学生只有根据被积函数的特点学会判别分部积分的方法，才算掌握了分部积分运算，才能提高分部积分的运算能力。
４
分部积分法的应用举例
例１
・２０・
万方数据
分析：被积函数为幂函数和对数函数的乘积，故把对数函数选作Ｍ，即ｕ＝ｌｎ戈，则ｄｖ：ｘｄｘ
解：设ｕ＝ｌｎ戈，ｄｖ＝ｘｄｘ，则ｄｕ＝ｌ－－ｄｘ，由
ｄ＂＝髫ｄ戈：ｄ号２，得口：专２。．・．－ｆ名－ｎ戈ｄ嚣：萼－ｎ戈一，专２喜ｄ菇＝专２，ｎ戈一，号ｄ菇：萼・ｎ戈一等＋ｃ。
例２求Ｉ
ｘｅ。ｄｘ。
分析：被积函数为幂函数和指数函数的乘积，故
解：设１１，＝戈，ｄｖ＝ｅ５ｄｘ，则ｄ“＝ｄｘ，由ｄｖ＝
．・．Ｊ．菇ｅ。ｄ石＝戈ｅ。一Ｊ．ｅ。ｄ菇＝（算一１）ｅ５＋ｃ。
ＯＪ
３＊Ｉａｒｃｓｉｎ戈ｄ戈。
分析：积分Ｊａｒｃｓｉｎ戈ｄ戈是个现成的Ｊｕｄ＂形式，
解：设ｕ＝ａｒｃｓｉｎｘ，ｄｖ＝ｄｘ，则ｄｕ＝
＝菇ａｒｃｓｉｎ戈＋￣／１一戈２＋ｃ。
可见，只要在被积表达式中按照“反对幂三指”广
例４求ｌ
ＸＣＯＳ
ｄｘ。
Ｊ
分析：被积函数为幂函数和三角函数的乘积，故解：Ｉｘｃｏｓｘｄｘ壅丝Ｉｘｄｓｉｎｘ佥蛊ｘｓｉｎｘ—
把幂函数选作ｕ，即Ｈ＝髫，则ｄ秽＝ｅ。ｄ戈。
ｅ３ｄｘ＝ｄｅ。，得口＝ｅ。ｏ
故选配＝ａｒｃｓｉｎｘ，ｄｖ＝ｄｘ。
．ｆ志虮并ａ蒯…封志ｄｃｌ－－Ｘ２）
的顺序选取“，把剩余部分看作ｄ口，就解决了分部积分法中ｕ和ｄ秽的选取难题，再套用公式就会使得分部积分的运算容易许多。当然，如果对分部积分的运算比较熟练之后，ｕ和ｄ＂的选取过程可以不写出来，而是将其默记在心里，使得分部积分运算的解题过程更加简单化，此时分部积分法的解题步骤可分为“凑微、分部、积分”三步。
万与∽秽＝∽’．．『ａｒｃｓｍｄ龙＝戈一ｉｎ石一
把幂函数选作ｕ，即ｕ＝戈，由ｄｖ＝ｃｏｓｘｄｘ＝ｄｓｉｎｘ，得移：ｓｉｎｘ，此时将／ｔ，ｄｖ，ｄｕ，口默记在心，直接套用公式。
第１４卷・第４期上宏昌：关于不定积分的分部积分法运算技巧２０１４年８月
ｌｓｉｎｘｄｘ积分ｘｓｉｎｘ＋ＣＯＳＸ＋ｃｏ
Ｊ
～
有些不定积分可以连续多次使用分部积分法，而且个别积分通过多次分部后又回归到原积分上去，这时要经过整理，用代数计算的方法求出积分结果，此时千万不要漏掉积分常量Ｃ。
ｒ
例５求Ｉ菇２ｅ５ｄ菇。
Ｊ
分析：被积函数为幂函数和指数函数的乘积，故把幂函数选作Ｍ，即Ｕ＝菇２，则ｄ移＝ｅ５ｄ石＝ｄｅ。。
解：Ｉ茗２ｅ。ｄｘ
菇２ｄｅ。
２￡
２
茗ｅ—Ｉｆ，ｌ
ｅａ茗２
Ｊ
ｘ２ｅｘ一２ｆｘｅｚｄ戈
２』础‘
茗２ｅｚ一２茗ｅ５＋
２Ｉｅｚｄｘ垂璺坌（菇２—２ｘ＋２）ｅ。＋ｃ。
例６求Ｉｃｏｓｘｅ。ｄｘ。
分析：被积函数为三角函数和指数函数的乘积，故把三角函数选作／Ｌ，即ｕ：ＣＯＳＸ，则ｄｖ：ｅ。ｄｘ：
ｄｅ。ｏ
解：，ｃＯＳｘｅｘｄ茹塑＿『ｃｏｓ础。缝ｃｏｓ∥一
ｐｄｃｏｓ菇＝ＣＯＳｘｅｚ＋ｆｓｉ…‰
Ｊ
ｆ。ｉｎｘ彬
ｓｉｎ茁）ｅ５一Ｊｅ５ｃ。ｓ菇ｄｘ（注意：两次凑微时，选作ｕ的
函数类型要一致，即都选三角函数为Ⅱ）。
整理得，＿ｆｃ。ｓ茹ｅ。ｄ茗＝丢（ｃ。ｓ筇＋ｓｉｎ菇）ｅ。＋
Ｃ（切记：此处不要漏掉积分常量Ｃ），在求
．ｆｃ。ｓ算ｅ５ｄ菇时，如果尝试着选指数函数作为Ⅱ，则．ｒｃ。ｓ菇ｅ５ｄ戈＝，ｅ５ｄｓｉｎ菇＝
ｅ‘ｓｉｎ髫一，ｓｉｎｚｄｅ。＝
ｅ‘ｓｉｎｚ一．ｒｓｉｎ石ｅ。ｄ菇＝ｅ２ｓｉｎ菇＋ｊ＇ｅ。ｄｃ。ｓ戈＝ｅ５（ｓｉｎ髫＋
ｃ。ｓ髫）
一
ｊ．ｃ。８菇ｄｅ。＝
ｅ。（ｓｉｎ舅＋
ｃ。ｓ石）
一
，ｃ。ｓ龙ｅ５ｄｘ，整理得，，ｃｏｓｘｅｚｄ石＝丢（ｃｏｓ菇＋ｓｉｎ茁）ｅ。
＋Ｃ。
可见，当被积极函数是指数函数与三角函数作
万方数据
积时，可以选三角函数为Ｍ，也可选指数函数为ｕ。
在教学实践中，学生根据上面的口诀和方法很容易就能选取ｕ和ｄ口，但有时候由ｄ移求移又有困
ｒ
难，如在Ｉａｒｃｓｉｎｘｌｎｘｄｘ中，显然应该选配＝
Ｊ
ａｒｃｓｉｎｘ，ｄｖ＝ｌｎｘｄｘ，而由ｄｖ＝Ｉｎｘｄｘ怎样求出秽这就涉及到凑微分运算，学生往往是很难直接凑出微分的。这里有一个小技巧：把由ｄｖ＝ｌｎｘｄｘ求口
ｒ
可以看作另一个新积分ｌＩｎｘｄｘ，对这个新积分用分
部积分法就能轻松求得，ｉｎ膏ｄ石
＝ｘｉｎｘ一菇＋Ｃ，
故可凑出微分ｄｖ＝ｌｎｘｄｘ＝ｄ（ｘｌｎｘ一算），达到求出ｔ，＝ｘｉｎｘ一茹的目的。
例７
ａｒｃｓｉｎｘｉｎｘｄｘ。
解：，ａｒｃｓｉｎ幽并ｄ菇＝－ｆａ商ｎ州山菇一戈）＝
ａｒｃｓｉｎｘ（ｘｉｎｘ一菇）一Ｉ（ｘｌｎｘ一石）ｄａｒｃｓｉｎ
＝
茗（１ｎ菇一１）ａｒｃｓｉｎ戈一Ｊ（１ｎ茗一１’了Ｆ亍与ｄ髫＝
ｘ（１ｎｘ一１）ａｒｃｓｉｎｘ＋Ｉ（１Ｉｌ髫一１）ｄ以Ｆ７：髫（１ｎ算一１）ａｒｃｓｉｎｘ＋（１ｎ算一１）ｖ厂ｉ＿＝＝＇—≯一Ｉ
ｖ厂ｒ了ｄ（１ｎ菇
一１）＝（１ｎｘ一１）（ｘａｒｃｓｉｎｘ＋￣／１一菇２）一
厂日
ｄｘ。
～／１菇－ｘ２ｄ菇可用换元积分法求出结果，过
程如下：
：府．．．ｆ业ｄ戈：ｆ掣ｄ８ｉｎｔ：
令算＝ｓｉｎｔ，ｔ∈［一号，ｏ），ｕ（ｏ，号］，则ｃ。ｓｔ
３
ｘ
３
ｓｉｎｔ
＋
Ｊ
Ｆ暑ｄｃ吲＝ｃｏｓｔ一封（『＝‰
ｌ１＋ｃｏｓｔ
）ｄｃ。ｓ￡＝ｃ。ｓｔ＋ｉ１ｌｎ（１一ｃ。ｓｔ）一１ｎ（１＋
・２１・
Ｊ．案ｄｔ＝一扣池吲：Ｊ．（・一ｃｓｃ２州咖ｔ：ｃｏｓｔ—Ｉｃ。ｓｔ）＋ｃ＝府＋丢一ｎ螺１＿√ｆ＇ｌ－－－Ｘ２＋ｃ。
２０１４年８月
廊坊师范学院学报（自然科学版）
第１４卷・第４期
．・．ＩａｒｃｓｉｎｘＩｎｘｄｘ＝（１ｎｘ一１）（ｘａｒｃｓｉｎｘ＋
府）一府一牲，－厢ｘＡ＋Ｃｏ
计算Ｉａｒｃｓｉｎｘｌｎｘｄｘ时，如果尝试着把对数函数选作为“，则由例３易得，ＩａｒｃｓｉｎｘＩｎｘｄｘ：
Ｉｌｎｘｄ（ｘａｒｃｓｉｎｘ
＋
￣／１一戈２）
＝
（戈ａｒｃｓｉｎ戈
＋
以Ｆ７）ｌｎ算一Ｉ（算ａｒｃｓｉｎ戈＋以Ｆ≯）ｄｌｎ戈：
（ｘａｒｃｓｉｎｘ
＋
￣／１一戈２）ｌｎ戈
一
Ｉ（ａｒｃｓｉｎ茗
＋
／＇１－。Ｘ２）ｄ戈：（菇ａｒｃｓｉｎ石＋ｖ厂ｉ］）ｌｎ石一
，（ａｒｃｓｉｎ菇ｄ石一，Ｖ／－１－戈＿ｘ２ｄ菇：（ｘａｒｃｓｉｎ算＋
汀习）（１ａｘ－）一汀刁一ｌｌｎ而１－～／１－ｘ２
＋Ｃ。
有些不定积分，当被积极函数是对数函数与反三角函数作积时，可以选反三角函数为“，也可选对数函数为ｕ。所以，分部积分运算在选择ｕ时可以按照“反对幂三指”的顺序，也可以按照“对反幂指三”的顺序，但幂函数始终处在中间的位置，学生可以灵活掌握某一顺序。
５分部积分法应注意的问题
５．１合理选择ｕ和ｄｔ７
虽然分部积分法的关键是选择“和ｄ省，但只要从被积表达式中选出了”，ｄｖ就一目了然。因此，在选择ｕ和ｄ秽时应重点考虑Ｍ，当然ｕ可以按照“反对幂三指”、“反对幂指三”、“对反幂指三”或“对反幂三指”的任一顺序来选取，学生应熟练掌握其中之一，在同一个积分运算中，如果要连续使用分部积分法，最好按同一顺序来选取ｕ。
・２２・
万方数据
５．２
凑微分
在确定了“和ｄ勘以后，应用分部积分公式时一
方面要求出微分ｄ配，另一方面要通过ｄ口求移，即凑微分，这是学生学习分部积分的难点，如前所述，这个凑微的过程可以用一个新的积分运算完成。
５．３
积分运算的书写格式
在进行分部积分运算时，学生往往会把注意力
放在ｕ和ｄ秽的选取、凑微分、套用公式上，不经意间
ｒ
就有可能漏写积分号“Ｉ”、微分号“ｄｘ”或积分常量
Ｊ
“Ｃ”，这些细节在教学过程中要经常提醒学生注意。
５．４
灵活选择积分方法
有些分部积分运算并不只是单纯地使用分部积
分法，可能还会和直接积分法或换元积分法结合使函数的特点灵活选择积分方法，不能局限在分部积由于对不定积分采用的积分方法和积分公式不同，可能导致积分结果在表达形式上不唯一，因此，总之，在学习不定积分的分部积分法时，如果能［参考文献］
［１］华东师范大学数学系．数学分析（第３版）［Ｍ］．北京：高
等教育出版社，２００２。
［２］陈笑缘，于信．高等数学［Ｍ］．北京：中国财经经济出版
社。２００８．
［３］罗琼．不定积分的分部积分法教学浅谈［Ｊ］．商丘职业技
术学院学报。２０１２，１ｌ（５）：１５—１８．
用。因此，在分部积分运算的不同阶段，要根据被积分法中而执拗地分部到底，如例３、例７就先用分部积分法，再使用换元积分法。
５．５检验积分结果
一定要对积分结果进行检验。检验时除了检查积分过程和书写格式外，最重要的是判断积分结果的导数是否等于被积函数。
弄清分部积分法的使用范围，按照口诀选取ｕ和ｄ秽，再套用分部积分公式，练习时把握好每一个环节，就一定能提高分部积分法的运算能力和技巧。
关于不定积分的分部积分法运算技巧
作者：作者单位：刊名：英文刊名：年，卷(期)：
上宏昌， SHANG Hong-chang
西安职业技术学院,陕西西安,710077
廊坊师范学院学报（自然科学版）
Journal of Langfang Teachers University（Natural Science Edition）2014,14(4)
参考文献(3条)
1. 华东师范大学数学系 数学分析 20022. 陈笑缘;于信 高等数学 2008
3. 罗琼 不定积分的分部积分法教学浅谈 2012(05)
引用本文格式：上宏昌. SHANG Hong-chang 关于不定积分的分部积分法运算技巧[期刊论文]-廊坊师范学院学报（自然科学版）2014(4)