3-3. 60Co 是重要的医用放射性同位素，半衰期为5.26年，试问1g 60Co
的放射性强度？100mCi 的钴源中有多少质量60Co ？
解：放射性强度公式为：
A =-
dN 0.693m
=λN 0e -λt =λN , 其中N =N 0e -λt ，λ=，N =N A ，T 为半衰期，dt T M
∴A =-
dN 0.693m
=λN 0e -λt =λN =⨯N A dt T M 0.6931
=⨯6.0221367⨯1023 5.26⨯365⨯24⨯360059.9338≈4.19778⨯1013次/秒≈1.135⨯103Ci
其中C i =3.7⨯1010次核衰变/秒，
100mC i =3.7⨯1010⨯100⨯10-3=3.7⨯109次核衰变/秒，利用公式
dN 0.693m
=λN 0e -λt =λN =N A ，可知dt T M 0.693m 0.693m A =N A =⨯6.0221367⨯1023=3.7⨯109
T M 5.26⨯365⨯24⨯360059.9338A =-
解可得，m =8.814⨯10-5g =88.14μg
3-5用氘轰击55Mn 可生成β-放射性核素56Mn ，56Mn 的产生率为
5⨯108/s ，已知56Mn 的半衰期2.579h, 试计算轰击10小时后，所生成的
56
Mn 的放射性强度。
解：利用放射性强度公式
A =λN =P (1-e -λt ) =P (1-2-t /T ), 其中P 为核素的产生率。
56
可知生成的Mn 的放射性强度为：
A =P (1-2-t /T ) =5⨯108⨯(1-2-10/2.579) ≈4.66⨯108次核衰变/秒=4.66⨯108Bq 。
3-6已知镭的半衰期为1620a , 从沥青油矿和其他矿物中的放射性核素数目N (226Ra ) 与N (238U ) 的比值为3.51⨯10-7，试求238U 的半衰期。
N (226Ra ) -7
Ra U =3.51⨯10∴子核半衰期238解：和为铀系放射性元素，N (U )
226
238
远小于母核的半衰期，子核衰变快得多。因此满足公式：λB N B =λA N A ，
∴
0.6930.693N B =N A , T B T A
N A 1620a
T B =≈4.62⨯109a -7N B 3.51⨯10
即，238U 的半衰期约为4.62⨯109a
∴T A =
3-7（1）从（3.1.9）N B =N A 0
λA λB -λA
(e -λA t -e -λB t ) 出发，讨论当
λA
子体N B (t ) 在什么时候达极大值（假定N B (0)=0）？ 解：对N B =N A 0
λA λB -λA
(e -λA t -e -λB t ) 求导并令其等于零，可知
dN B λA =N A 0(-λA e -λA t +λB e -λB t ) =0，得出 dt λB -λA
λB e -λt （λ∴=-λt =e λA e
A B
B -λA
λ) λ) t A
，从而可知在, 等式两边取对数可得t=
λB -λA
ln(
t=
λ1N (t ) ln(B ) 时候B 达到最大值。
λB -λA λA
（2）已知钼锝母牛有如下衰变规律：
99
βγ99m 99
M o −−−→T −−−→T c ，临床中利用同质异能素c 66.02h 6.02h
99m
T c ，
所放的γ(141keV ) ，作为人体器官的诊断扫描。试问在一次淋洗后，再经过多少时间淋洗
99m
T c 时，可得到最大量的子体99m T c 。
解：由题意可知：子核衰变得多，满足上面（1）题求出的N B (t ) T A >T B ，达到最大值时的条件，
∴t=
1λT T T 66.02⨯6.0266.02
ln() =ln() =ln() ≈22.89h
λB -λA λA 0.693(T A -T B ) T B 0.693⨯(66.02-6.02) 6.02
3-8利用α势垒贯穿理论，估算226Th α衰变(E α=6.33Mev ) 的半衰期。【在计算中，α粒子在核内的动能E k 可近似取E α和势阱深度V 0(取35Mev) 之
和。】
解：α
衰变的半衰期计算公式为
T =
0.693
λ
1
0.693-223=≈2.4⨯10A X nP 1
3
13
,
其中E K =E α+V 0，R ≈1.2(A Y +A α) ，
A P 为母核质量数，Z Y 为子核的电荷数，A Y 为子核的质量数，A α为α粒子的质量数。
∴
226
222
Th α衰变226Th →9088Ra +
α的半衰期为
T =2.4⨯10-22⨯2261
3
≈127.31s
3.9P o 核从基态进行衰变，伴随发射出两组α粒子：一组α粒子能量为5.30Mev ，放出这组α粒子后，子核处于基态；另一组α粒子能量为4.50Mev ，放出这组α粒子后，子核处于激发态。计算子核由激发
210
态回到基态时放出的γ光子能量。
解：假设210P o 核基态发射出α粒子(能量为E α1) 子核处于基态的衰变能为E d 1, 发射出α粒子(能量为E α2) 子核处于激发态的衰变能为E d 2, 则激发态和基态的能级差为: ∆E =E 2-E 1=(E -E 1) -(E -E 2) =E d 1-E d 2 根据α衰变时衰变能和α粒子出射能分配的公式E α=
∆E =
M Y
E d 得 M X
M X A 210
(5.30-4.50) =⨯0.80≈0.82MeV (E α1-E α2)=
M Y A -4206
出射的γ光子能量为 h ν=∆E -E R
∆E 20.822
E R ≅=≈1.75eV
2Mc 22⨯206⨯931.49
因此出射的γ光子能量约为0.82MeV
3.10 47V 即可发生β+衰变，也可发生K 俘获，已知β+最大能量为1.89MeV ，试求K 俘获过程中放出的中微子能量E ν。
+
解：47V 发生β+衰变的过程可表示为：47V →472322Ti +e +νe ，其衰变能为2E 0(β+) =[M (47V ) -M (472322Ti ) -2m e ]c ， 47
-47V 发生K 俘获的过程可表示为：47V +e →23i 22Ti +νe ，其衰变能为
2E 0i =[M (47V ) -M (472322Ti )]c -W i ，W i 为i 层电子在原子中的结合能。 2由47V 发生β+衰变的衰变能E 0(β+) =[M (47V ) -M (472322Ti ) -2m e ]c 可知， 472+2
其[M (47V ) -M (Ti )]c =E (β) +2m c =1.89MeV +0.511⨯2MeV =2.912MeV ，23220e
中m e c 2≈0.511MeV ；
把中微子近似当作无质量粒子处理, 则K 俘获过程中子核反冲的能量
∆E 22.9122
=≈96.84eV 为 E R ≅
2Mc 22⨯47⨯931.49
故K 俘获过程中放出的中微子能量E ν为：
2472
E ν≈E 0i =[M (47V ) -M (47V ) -M (472322Ti )]c -W i ≈[M (2322Ti )]c ≈2.9MeV ,
(W i 数量级为KeV, 很小，反冲损失能量也很小)
3.11在黑火药中，硝酸钾（KNO 3）是主要成分。在天然钾中含0.0118%的40K ，它是β-放射性核素。因此通过β-放射性强度的测量，有可能对火药进行探测。试计算100克硝酸钾样品中40K 的β放射性强度。 解：单位时间内发生衰变的原子核数即为该物质的发射性强度。
KNO 3的分子量为101, 摩尔质量为101g/mol（利用39K 计算得出；而
40
K 含量少，故在此处可忽略不计）
故100g KNO 3的物质的量为n =
m 100g 100
==mol ，
M (KNH 3) 101g /mol 101
∴100g KNO 3中含40K 的原子个数为
N =n ⨯N A ⨯0.0118%==
m
⨯N A ⨯0.0118%
M (KNH 3)
100
mol ⨯6.02⨯1023个/mol ⨯0.0118%≈7.03⨯1019个101
已知40K 的半衰期为T =1280000000a =1.28⨯109a ，
∴100克硝酸钾样品中40K 的β放射性强度为
A =λN =
0.6930.693193
N =⨯7.03⨯10≈1.2⨯10次/秒 9
T 1.28⨯10⨯365⨯24⨯3600
3.13将下列β衰变按跃迁级次分类
(1)3H (1/2+) →He (1/2+) (2)17N (1/2-) →17O (5/2+) (3)137Cs (7/2+) →137Ba (3/2+) (4)115In (9/2+) →115Sn (1/2+) (5)76Br (1-) →76Se (0+) (6)36Cl (2+) →36Ar (0+) (7)87Rb (3/2-) →87Sr (9/2+)
解：
(1)3H (1/2+) →He (1/2+)
∆I =|I i -I f |=|1/2-1/2|=0, 只能是允许跃迁或更高级禁戒跃迁，∆π=ππ=1, l 为偶数∴允许跃迁
(2)17N (1/2-) →17O (5/2+)
∆I =|I i -I f |=|1/2-5/2|=2，只能为一级或更高级禁戒跃迁, ∆π=ππ=-1, l 为奇数, ∴一级禁戒跃迁
(3)137Cs (7/2+) →137Ba (3/2+)
∆I =|I i -I f |=|7/2-3/2|=2，只能为一级或更高级禁戒跃迁, ∆π=πi πf =1, l 为偶数，∴二级禁戒跃迁
i
f i
f
(4)115In (9/2+) →115Sn (1/2+)
∆I =|I i -I f |=|9/2-1/2|=4，只能为三级或更高级禁戒跃迁, ∆π=ππ=1, l 为偶数，∴四级禁戒跃迁(5)76Br (1-) →76Se (0+)
∆I =|I i -I f |=|1-0|=1，只能为允许或更高级禁戒跃迁, ∆π=ππ=-1, l 为奇数，∴一级禁戒跃迁(6)36Cl (2+) →36Ar (0+)
∆I =|I i -I f |=|2-0|=2， 只能为一级或更高级禁戒跃迁, ∆π=ππ=1, l 为偶数∴二级禁戒跃迁
i
f i
f i
f
(7)87Rb (3/2-) →87Sr (9/2+)
∆I =|I i -I f |=|3/2-9/2|=3，只能为二级或更高级禁戒跃迁, ∆π=ππ=-1, l 为奇数，∴三级禁戒跃迁
i
f
5656
3.1225Mn 核从基态进行β-衰变，发射三组β粒子到达子核26Fe 的激发
态，它们的最大动能分别为0.72、1.05和2.85MeV 。伴随着衰变所发射的γ射线能量有0.84、1.81、2.14、2.65和2.98MeV 。试计算并画出子核的能级图。
解：Mn 核进行β衰变：Mn →Fe +e +νe 若衰变到达子核基态，
,
5625
-
-
56255626
-
5656
则衰变能为E d =[M (25Mn ) -M (26Mn )]c 2=3.70MeV ，
β粒子最大能量与激发态能量之和为定值，即衰变释放总能量守恒，
由题意可知近似为3.70MeV. 从所发射的三组β粒子最大动能可知，到达三个激发态能级为2.98、2.65和0.84MeV 。
与测到的γ射线能量也完全符合，中间没有其它的激发态了。
56
26Fe
3.14原子核69Zn 处于能量为436KeV 的同质异能态时，试求放射γ光子
2.98MeV 2.65MeV
0.84MeV
后的反冲动能E R γ和放射内转换电子后的反冲动能E Re 。（已知K 层电子结合能为9.7KeV ），电子能量要求作相对论计算）
解：由于原子核处于能量为436KeV 的同质异能态，故69Zn 向基态跃迁释放能量E γ=h ν=E u -E l 为436KeV ，其中E u 为上能级，E l 为下能级。 由于母核处于静止状态，则由动量守恒定律可知：子核的动量P 等于放出的γ光子的动量，即：P =m 核v 核=Pγ=
∴放射γ光子后的反冲动能E R γ为：E R γ
2
E γ2/c 2P 2（436KeV ）
===≈1.48eV,
2m 核2m 核2⨯69⨯931.49⨯1000KeV
E γc
=
h ν， c
其中u c 2≈931.49MeV
放射内转换电子的能量为E e =E u -E l -W k ，其中E u 为上能级，E l 为下能级。衰变能E 0=E u -E l =E e +W k +E Re =436KeV , 考虑原子核的反冲能E Re ,
令 T e =E e +E Re =436KeV -W k =436KeV -9.7KeV =426.3KeV
2
假设核跃迁前处于静止状态，则由动量守恒定律可知：P e 2=P Re ；
考虑相对论效应, 且(E e +m e c 2)=P e 2c 2+m e 2c 4, 同样对反冲核有
2
24
c (E R +m R c 2)=P R 2c 2+m R
2
, 联立得到
2
(E +m c )-(T
22
R
R 22424
e -E R +m e c )=m R c -m e c
, 即
2⎫1⎧c 4-m e c 24⎪m R ⎪22
E R =⎨-(m c -m c -T ) ⎬R e e 22
2⎪m c +m c +T e e ⎪⎩R ⎭3232⎧⎫69⨯931.49⨯10-0.511⨯10()()⎪1⎪⎪⎪33
=⎨69⨯931.49⨯10+0.511⨯10+(436-9.7) ⎬ 2⎪⎪33
⎡⎤-69⨯931.49⨯10-0.511⨯10-(436-9.7) ⎪⎦⎪⎩⎣⎭≈0.00480KeV ≈4.8eV
[注:如果不考虑相对论效应,
E R =
m e 0.511
T e =(436-9.7) ≈0.00339KeV ≈3.39eV ] m R +m e 69⨯931.49+0.511
3.15试求放射性强度为1毫居的59F e 制剂在1秒钟内发射的内转换电子数目。59F e 核的β衰变图如下所示。各γ射线的内转换系数分别等于
1.8⨯10-4(γ1) 、1.4⨯10-4(γ2) 和7⨯10-3(γ3) 。发射γ2和γ3的几率之比为1:15.
59
Fe
解：由内转换系数定义，α=
N e
，故内转换电子数目N e =α⨯N γ N γ
1毫居（mCi ）=3.7⨯107次核衰变/秒
∴放射性强度为1毫居的
为：
59
F e 制剂在1秒钟内发射的内转换电子数目
N e =∑αi ⨯N γ=∑αi ⨯(A -N e )≈∑αi ⨯A
i
=3.7⨯107⨯[(0.54+0.46⨯≈1.18⨯105
15115
) ⨯1.8⨯10-4+0.46⨯(⨯1.4⨯10-4+⨯7⨯10-3)] 161616
[注: 因为内转换系数一般小百分之一, ∴A >>N e ]
191
1. 求γ跃迁类型
2. 考虑核反冲后，共振吸收所需γ射线（γin ）能量？ 3. 第一激发态寿命τ∽10
191
-7
s ，估算该能级宽度？
4. 以此为例说明为什么Ir 自由原子不能观察到共振吸收？ 5. 穆斯堡尔效应的物理实质？
解： 1. γ跃迁：
∆I =|I i -I f |=|3/2-5/2|=1, ∆π=πi πf =1∴M 1或E2跃迁
2. 考虑核反冲，出射γ射线的能量为E out
E 02
=E 0-
2Mc 2
,
E 02(0.129MeV ) 2-2
E R ==≈5⨯10eV 2
2Mc 2⨯191⨯931.5MeV
2E
考虑核反冲，共振吸收所需γ射线（γin ）能量E in =E 0+2.
2Mc
3. 由测不准关系∆t ⋅∆E ≥ 得出，该能级宽度Γ为
Γ~
τ
=
c 197.33fm ⋅MeV -9-15
≈6.6⨯10eV =≈6.578⨯10MeV -78
τc 10⨯3⨯10m
4. 由于E R >>Γ，发射谱和吸收谱之间没有重叠，发射谱高能端也达不到吸收谱低能端的能量要求, 因而不会发生共振吸收。 5. 穆斯堡尔效应的物理实质：
无反冲γ共振吸收。束缚在低温晶体内的原子核，在发射或吸收γ射
线时，遭受反冲的不是单个原子核，而是整块晶体。由于晶体具有很大质量，于是E R 趋于0，整个过程可视为无反冲过程，因而能够满足
共振条件。即 M →∞, ∆E →0
11 / 11
3-3. 60Co 是重要的医用放射性同位素，半衰期为5.26年，试问1g 60Co
的放射性强度？100mCi 的钴源中有多少质量60Co ？
解：放射性强度公式为：
A =-
dN 0.693m
=λN 0e -λt =λN , 其中N =N 0e -λt ，λ=，N =N A ，T 为半衰期，dt T M
∴A =-
dN 0.693m
=λN 0e -λt =λN =⨯N A dt T M 0.6931
=⨯6.0221367⨯1023 5.26⨯365⨯24⨯360059.9338≈4.19778⨯1013次/秒≈1.135⨯103Ci
其中C i =3.7⨯1010次核衰变/秒，
100mC i =3.7⨯1010⨯100⨯10-3=3.7⨯109次核衰变/秒，利用公式
dN 0.693m
=λN 0e -λt =λN =N A ，可知dt T M 0.693m 0.693m A =N A =⨯6.0221367⨯1023=3.7⨯109
T M 5.26⨯365⨯24⨯360059.9338A =-
解可得，m =8.814⨯10-5g =88.14μg
3-5用氘轰击55Mn 可生成β-放射性核素56Mn ，56Mn 的产生率为
5⨯108/s ，已知56Mn 的半衰期2.579h, 试计算轰击10小时后，所生成的
56
Mn 的放射性强度。
解：利用放射性强度公式
A =λN =P (1-e -λt ) =P (1-2-t /T ), 其中P 为核素的产生率。
56
可知生成的Mn 的放射性强度为：
A =P (1-2-t /T ) =5⨯108⨯(1-2-10/2.579) ≈4.66⨯108次核衰变/秒=4.66⨯108Bq 。
3-6已知镭的半衰期为1620a , 从沥青油矿和其他矿物中的放射性核素数目N (226Ra ) 与N (238U ) 的比值为3.51⨯10-7，试求238U 的半衰期。
N (226Ra ) -7
Ra U =3.51⨯10∴子核半衰期238解：和为铀系放射性元素，N (U )
226
238
远小于母核的半衰期，子核衰变快得多。因此满足公式：λB N B =λA N A ，
∴
0.6930.693N B =N A , T B T A
N A 1620a
T B =≈4.62⨯109a -7N B 3.51⨯10
即，238U 的半衰期约为4.62⨯109a
∴T A =
3-7（1）从（3.1.9）N B =N A 0
λA λB -λA
(e -λA t -e -λB t ) 出发，讨论当
λA
子体N B (t ) 在什么时候达极大值（假定N B (0)=0）？ 解：对N B =N A 0
λA λB -λA
(e -λA t -e -λB t ) 求导并令其等于零，可知
dN B λA =N A 0(-λA e -λA t +λB e -λB t ) =0，得出 dt λB -λA
λB e -λt （λ∴=-λt =e λA e
A B
B -λA
λ) λ) t A
，从而可知在, 等式两边取对数可得t=
λB -λA
ln(
t=
λ1N (t ) ln(B ) 时候B 达到最大值。
λB -λA λA
（2）已知钼锝母牛有如下衰变规律：
99
βγ99m 99
M o −−−→T −−−→T c ，临床中利用同质异能素c 66.02h 6.02h
99m
T c ，
所放的γ(141keV ) ，作为人体器官的诊断扫描。试问在一次淋洗后，再经过多少时间淋洗
99m
T c 时，可得到最大量的子体99m T c 。
解：由题意可知：子核衰变得多，满足上面（1）题求出的N B (t ) T A >T B ，达到最大值时的条件，
∴t=
1λT T T 66.02⨯6.0266.02
ln() =ln() =ln() ≈22.89h
λB -λA λA 0.693(T A -T B ) T B 0.693⨯(66.02-6.02) 6.02
3-8利用α势垒贯穿理论，估算226Th α衰变(E α=6.33Mev ) 的半衰期。【在计算中，α粒子在核内的动能E k 可近似取E α和势阱深度V 0(取35Mev) 之
和。】
解：α
衰变的半衰期计算公式为
T =
0.693
λ
1
0.693-223=≈2.4⨯10A X nP 1
3
13
,
其中E K =E α+V 0，R ≈1.2(A Y +A α) ，
A P 为母核质量数，Z Y 为子核的电荷数，A Y 为子核的质量数，A α为α粒子的质量数。
∴
226
222
Th α衰变226Th →9088Ra +
α的半衰期为
T =2.4⨯10-22⨯2261
3
≈127.31s
3.9P o 核从基态进行衰变，伴随发射出两组α粒子：一组α粒子能量为5.30Mev ，放出这组α粒子后，子核处于基态；另一组α粒子能量为4.50Mev ，放出这组α粒子后，子核处于激发态。计算子核由激发
210
态回到基态时放出的γ光子能量。
解：假设210P o 核基态发射出α粒子(能量为E α1) 子核处于基态的衰变能为E d 1, 发射出α粒子(能量为E α2) 子核处于激发态的衰变能为E d 2, 则激发态和基态的能级差为: ∆E =E 2-E 1=(E -E 1) -(E -E 2) =E d 1-E d 2 根据α衰变时衰变能和α粒子出射能分配的公式E α=
∆E =
M Y
E d 得 M X
M X A 210
(5.30-4.50) =⨯0.80≈0.82MeV (E α1-E α2)=
M Y A -4206
出射的γ光子能量为 h ν=∆E -E R
∆E 20.822
E R ≅=≈1.75eV
2Mc 22⨯206⨯931.49
因此出射的γ光子能量约为0.82MeV
3.10 47V 即可发生β+衰变，也可发生K 俘获，已知β+最大能量为1.89MeV ，试求K 俘获过程中放出的中微子能量E ν。
+
解：47V 发生β+衰变的过程可表示为：47V →472322Ti +e +νe ，其衰变能为2E 0(β+) =[M (47V ) -M (472322Ti ) -2m e ]c ， 47
-47V 发生K 俘获的过程可表示为：47V +e →23i 22Ti +νe ，其衰变能为
2E 0i =[M (47V ) -M (472322Ti )]c -W i ，W i 为i 层电子在原子中的结合能。 2由47V 发生β+衰变的衰变能E 0(β+) =[M (47V ) -M (472322Ti ) -2m e ]c 可知， 472+2
其[M (47V ) -M (Ti )]c =E (β) +2m c =1.89MeV +0.511⨯2MeV =2.912MeV ，23220e
中m e c 2≈0.511MeV ；
把中微子近似当作无质量粒子处理, 则K 俘获过程中子核反冲的能量
∆E 22.9122
=≈96.84eV 为 E R ≅
2Mc 22⨯47⨯931.49
故K 俘获过程中放出的中微子能量E ν为：
2472
E ν≈E 0i =[M (47V ) -M (47V ) -M (472322Ti )]c -W i ≈[M (2322Ti )]c ≈2.9MeV ,
(W i 数量级为KeV, 很小，反冲损失能量也很小)
3.11在黑火药中，硝酸钾（KNO 3）是主要成分。在天然钾中含0.0118%的40K ，它是β-放射性核素。因此通过β-放射性强度的测量，有可能对火药进行探测。试计算100克硝酸钾样品中40K 的β放射性强度。 解：单位时间内发生衰变的原子核数即为该物质的发射性强度。
KNO 3的分子量为101, 摩尔质量为101g/mol（利用39K 计算得出；而
40
K 含量少，故在此处可忽略不计）
故100g KNO 3的物质的量为n =
m 100g 100
==mol ，
M (KNH 3) 101g /mol 101
∴100g KNO 3中含40K 的原子个数为
N =n ⨯N A ⨯0.0118%==
m
⨯N A ⨯0.0118%
M (KNH 3)
100
mol ⨯6.02⨯1023个/mol ⨯0.0118%≈7.03⨯1019个101
已知40K 的半衰期为T =1280000000a =1.28⨯109a ，
∴100克硝酸钾样品中40K 的β放射性强度为
A =λN =
0.6930.693193
N =⨯7.03⨯10≈1.2⨯10次/秒 9
T 1.28⨯10⨯365⨯24⨯3600
3.13将下列β衰变按跃迁级次分类
(1)3H (1/2+) →He (1/2+) (2)17N (1/2-) →17O (5/2+) (3)137Cs (7/2+) →137Ba (3/2+) (4)115In (9/2+) →115Sn (1/2+) (5)76Br (1-) →76Se (0+) (6)36Cl (2+) →36Ar (0+) (7)87Rb (3/2-) →87Sr (9/2+)
解：
(1)3H (1/2+) →He (1/2+)
∆I =|I i -I f |=|1/2-1/2|=0, 只能是允许跃迁或更高级禁戒跃迁，∆π=ππ=1, l 为偶数∴允许跃迁
(2)17N (1/2-) →17O (5/2+)
∆I =|I i -I f |=|1/2-5/2|=2，只能为一级或更高级禁戒跃迁, ∆π=ππ=-1, l 为奇数, ∴一级禁戒跃迁
(3)137Cs (7/2+) →137Ba (3/2+)
∆I =|I i -I f |=|7/2-3/2|=2，只能为一级或更高级禁戒跃迁, ∆π=πi πf =1, l 为偶数，∴二级禁戒跃迁
i
f i
f
(4)115In (9/2+) →115Sn (1/2+)
∆I =|I i -I f |=|9/2-1/2|=4，只能为三级或更高级禁戒跃迁, ∆π=ππ=1, l 为偶数，∴四级禁戒跃迁(5)76Br (1-) →76Se (0+)
∆I =|I i -I f |=|1-0|=1，只能为允许或更高级禁戒跃迁, ∆π=ππ=-1, l 为奇数，∴一级禁戒跃迁(6)36Cl (2+) →36Ar (0+)
∆I =|I i -I f |=|2-0|=2， 只能为一级或更高级禁戒跃迁, ∆π=ππ=1, l 为偶数∴二级禁戒跃迁
i
f i
f i
f
(7)87Rb (3/2-) →87Sr (9/2+)
∆I =|I i -I f |=|3/2-9/2|=3，只能为二级或更高级禁戒跃迁, ∆π=ππ=-1, l 为奇数，∴三级禁戒跃迁
i
f
5656
3.1225Mn 核从基态进行β-衰变，发射三组β粒子到达子核26Fe 的激发
态，它们的最大动能分别为0.72、1.05和2.85MeV 。伴随着衰变所发射的γ射线能量有0.84、1.81、2.14、2.65和2.98MeV 。试计算并画出子核的能级图。
解：Mn 核进行β衰变：Mn →Fe +e +νe 若衰变到达子核基态，
,
5625
-
-
56255626
-
5656
则衰变能为E d =[M (25Mn ) -M (26Mn )]c 2=3.70MeV ，
β粒子最大能量与激发态能量之和为定值，即衰变释放总能量守恒，
由题意可知近似为3.70MeV. 从所发射的三组β粒子最大动能可知，到达三个激发态能级为2.98、2.65和0.84MeV 。
与测到的γ射线能量也完全符合，中间没有其它的激发态了。
56
26Fe
3.14原子核69Zn 处于能量为436KeV 的同质异能态时，试求放射γ光子
2.98MeV 2.65MeV
0.84MeV
后的反冲动能E R γ和放射内转换电子后的反冲动能E Re 。（已知K 层电子结合能为9.7KeV ），电子能量要求作相对论计算）
解：由于原子核处于能量为436KeV 的同质异能态，故69Zn 向基态跃迁释放能量E γ=h ν=E u -E l 为436KeV ，其中E u 为上能级，E l 为下能级。 由于母核处于静止状态，则由动量守恒定律可知：子核的动量P 等于放出的γ光子的动量，即：P =m 核v 核=Pγ=
∴放射γ光子后的反冲动能E R γ为：E R γ
2
E γ2/c 2P 2（436KeV ）
===≈1.48eV,
2m 核2m 核2⨯69⨯931.49⨯1000KeV
E γc
=
h ν， c
其中u c 2≈931.49MeV
放射内转换电子的能量为E e =E u -E l -W k ，其中E u 为上能级，E l 为下能级。衰变能E 0=E u -E l =E e +W k +E Re =436KeV , 考虑原子核的反冲能E Re ,
令 T e =E e +E Re =436KeV -W k =436KeV -9.7KeV =426.3KeV
2
假设核跃迁前处于静止状态，则由动量守恒定律可知：P e 2=P Re ；
考虑相对论效应, 且(E e +m e c 2)=P e 2c 2+m e 2c 4, 同样对反冲核有
2
24
c (E R +m R c 2)=P R 2c 2+m R
2
, 联立得到
2
(E +m c )-(T
22
R
R 22424
e -E R +m e c )=m R c -m e c
, 即
2⎫1⎧c 4-m e c 24⎪m R ⎪22
E R =⎨-(m c -m c -T ) ⎬R e e 22
2⎪m c +m c +T e e ⎪⎩R ⎭3232⎧⎫69⨯931.49⨯10-0.511⨯10()()⎪1⎪⎪⎪33
=⎨69⨯931.49⨯10+0.511⨯10+(436-9.7) ⎬ 2⎪⎪33
⎡⎤-69⨯931.49⨯10-0.511⨯10-(436-9.7) ⎪⎦⎪⎩⎣⎭≈0.00480KeV ≈4.8eV
[注:如果不考虑相对论效应,
E R =
m e 0.511
T e =(436-9.7) ≈0.00339KeV ≈3.39eV ] m R +m e 69⨯931.49+0.511
3.15试求放射性强度为1毫居的59F e 制剂在1秒钟内发射的内转换电子数目。59F e 核的β衰变图如下所示。各γ射线的内转换系数分别等于
1.8⨯10-4(γ1) 、1.4⨯10-4(γ2) 和7⨯10-3(γ3) 。发射γ2和γ3的几率之比为1:15.
59
Fe
解：由内转换系数定义，α=
N e
，故内转换电子数目N e =α⨯N γ N γ
1毫居（mCi ）=3.7⨯107次核衰变/秒
∴放射性强度为1毫居的
为：
59
F e 制剂在1秒钟内发射的内转换电子数目
N e =∑αi ⨯N γ=∑αi ⨯(A -N e )≈∑αi ⨯A
i
=3.7⨯107⨯[(0.54+0.46⨯≈1.18⨯105
15115
) ⨯1.8⨯10-4+0.46⨯(⨯1.4⨯10-4+⨯7⨯10-3)] 161616
[注: 因为内转换系数一般小百分之一, ∴A >>N e ]
191
1. 求γ跃迁类型
2. 考虑核反冲后，共振吸收所需γ射线（γin ）能量？ 3. 第一激发态寿命τ∽10
191
-7
s ，估算该能级宽度？
4. 以此为例说明为什么Ir 自由原子不能观察到共振吸收？ 5. 穆斯堡尔效应的物理实质？
解： 1. γ跃迁：
∆I =|I i -I f |=|3/2-5/2|=1, ∆π=πi πf =1∴M 1或E2跃迁
2. 考虑核反冲，出射γ射线的能量为E out
E 02
=E 0-
2Mc 2
,
E 02(0.129MeV ) 2-2
E R ==≈5⨯10eV 2
2Mc 2⨯191⨯931.5MeV
2E
考虑核反冲，共振吸收所需γ射线（γin ）能量E in =E 0+2.
2Mc
3. 由测不准关系∆t ⋅∆E ≥ 得出，该能级宽度Γ为
Γ~
τ
=
c 197.33fm ⋅MeV -9-15
≈6.6⨯10eV =≈6.578⨯10MeV -78
τc 10⨯3⨯10m
4. 由于E R >>Γ，发射谱和吸收谱之间没有重叠，发射谱高能端也达不到吸收谱低能端的能量要求, 因而不会发生共振吸收。 5. 穆斯堡尔效应的物理实质：
无反冲γ共振吸收。束缚在低温晶体内的原子核，在发射或吸收γ射
线时，遭受反冲的不是单个原子核，而是整块晶体。由于晶体具有很大质量，于是E R 趋于0，整个过程可视为无反冲过程，因而能够满足
共振条件。即 M →∞, ∆E →0
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