概率论基础练习

一. 填空

1. 一袋中有白球2个，黑球4个，从中任取2个球，则取到两个黑球的概率

为 ,取到两种球各1个的概率为 。

2.设PA0.5,PAB0.3,则PBA

P(A)0.3,P(B)0.6。3.设A, B相互独立，则P(AB)P(AB)



4.设随机变量X

则a ,P{X21}_______________.

5.设随机变量X在区间(2,5)上服从均匀分布.现对X进行三次独立观测，则至少有两次观测值大于3的概率为 .

6.设随机变量X~N(1,4)，则

X1

~ . 2

7.已知X~N(0,2),且P{Xa}0.2,则P{|X|a}

8.设二维随机变量(X,Y)服从区域D:0x2,1y1上的均匀分布，则(X,Y)的联合密度函数f(x,y) ,X的边缘概率密度函数fX(x)

9.设二维随机向量(X,Y)的概率密度函数为

e(xy),0x,0y

f(x,y)

,其它0

则EX .

10.X~P(4)，由切比雪夫不等式有P(|X4|6)___.

11.设DX9,DY4,Cov(X,Y)2,则Cov(X1,2Y3) ,

D(X2Y1),X与Y的相关系数XY

12.设样本

1

n

2

X1,X2,,Xn取自总体

X,X~N(,2),则

1n

(Xi)~ , (Xi)2~ . 2n1i1i1

13.设总体X~N(,2),X1,X2,,Xn是来自XS2为样本方

差

.

若已知2，则的1

置信水平的置信区间

为 ;若未知2，则的1置信水平的置信区间为 。

14.在假设检验中，若拒绝原假设H0，则可能犯第类错误;若接受原假设

H0，则可能犯第类错误。

15.样本X1,X2,,Xn来自总体N(,2),2已知,检验H0:0,应采用统计量 .

二. 单选 1. 设BA，则下面正确的等式是 ( ).

A.P(AB)1P(A) B.P(AB)P(B) C.P(AB)P(A) D.P(AB)P(A)P(B)

2.当事件A和B同时发生时，必然导致事件C发生，则下列结论正确的是( ).

A.P(C)P(A)P(B)1P(C) B.P(C)P(A)P(B)1

C.P(C)P(AB) D.P(C)P(AB)

3.下列函数可作为概率密度的是 ( ).

1

,xR A.f(x)e|x|,xR B.f(x)2

(1x)

x

2,

C.f(x)0,

2

x0,x0;

1,|x|1,

D.f(x)

0,|x|1.

4.设随机变量X服从参数为的泊松分布，且满足2P{X1}P{X2},则的值为 ( ). A.1 B.2 C.4 D.8.

5.设X~B(10,

13

D(X)1

), 则 ( ). 3E(X)

2

3

10 3

A. B. C.1 D.

6.下式中错误的是 ( ).

A. D(XY)DXDY2Cov(X,Y)

B. Cov(X,Y)E(XY)EXEY

1

C. Cov(X,Y)[D(XY)DXDY]

2

D. D(2X3Y)4DX9DY6Cov(X,Y)

7.设X1, X2, …,Xn，…为独立同分布的随机变量序列，且都服从参数为的指数

1n

分布，则当n充分大时，随机变量Yn=Xi近似服从 ( ).

ni1

12

A.N(2，4) B.N(2，

114

) C.N(,) D.N(2n,4n) n24n

8.设X1，X2，...，Xn是来自总体X的一个样本，EX,DX2,为样本均值，

1n2

且未知，S(XiX)2,则E(Sn) （ ）

ni1

2n

A.2 B.

C.

n12

 n

n

2 D. n1

三.计算

1.某厂由甲, 乙, 丙三个车间生产同一种产品, 它们的产量之比为3:2:1, 各车间产品的不合格率依次为8%, 9%, 12%.现从该厂产品中任意抽取一件, 求:(1) 取到不合格产品的概率；(2) 若取到的是不合格品, 求它是由甲厂生产的概率.

2.罐中有2 个红球，3个白球，不放回地每次任取一球，直到取得红球为止。 (1)X表示抽取的次数，求X的分布律，并计算P1X3; (2)取到的白球个数Y的概率分布 .

π

acosx,x

3.设随机变量X的密度函数为fx=2, 求：(1)常数a；

0,其他π

(2)P0X; (3)X分布函数Fx.

4

4.设某顾客在银行窗口等待服务的时间X(单位：分钟)的密度函数为：

x

15

f(x)5e,若x0,

若x0.0,该顾客在窗口等待服务, 若超过10分钟, 他就离开.

(1)求他离开的概率；

(2)他每月需要去银行4次, 以Y表示一个月中他未等到服务而离开的次数, 求

EY,DY.

5..设二维连续型随机变量(X,Y)的概率密度为

2x4yCe

f(x,y)

0

x0,y0其它

求:(1)C; (2)P{YX}; (3)边缘密度fX(x),fY(y)，并讨论X与Y是否相互独立。

6.已知二维随机变量(X,Y)的联合分布为

求：(1) ZXY的概率分布；(2)DX,DY；(3)Cov(X,Y)。

7.设二维随机变量(X, Y)在以(0, 0), (0, 1), (1, 0)为顶点的三角形区域上服从均匀分布, 求Cov(X, Y), ρXY.

8.以X1,X100记100袋额定重量为25（kg）的袋装肥料的真实的净重，

E(Xi)25(kg),D(Xi)1,i1,2,100.X1,X100服从同一分布，且相互独立。1100

Xi，求P{24.7525.25}的近似值。 100i1

x1,0x19.设总体X概率密度为：fx，其中参数0且未知，

其他0,

设X1,X2,,Xn为总体的一个样本, x1,x2,,xn是样本值，求的极大似然估计值。

10今对某种疾病患者16人测其脉搏，算得平均脉搏为69.5,标准差为6，设患者的脉搏次数X服从正态分布N(,2).试在0.05下检验: (1)患者的平均脉搏是否为72次? (2)患者脉搏的标准差是否为5次? (t0.02(515)

2.13t105.,1.99,025(16)t2.1005

(t15)

1,1.45539;0.7075

(16)1.

22

0.025(15)27.488；120.025(15)6.262；0.025(16)28.845；120.025(16)6.908）

一. 填空

1. 一袋中有白球2个，黑球4个，从中任取2个球，则取到两个黑球的概率

为 ,取到两种球各1个的概率为 。

2.设PA0.5,PAB0.3,则PBA

P(A)0.3,P(B)0.6。3.设A, B相互独立，则P(AB)P(AB)



4.设随机变量X

则a ,P{X21}_______________.

5.设随机变量X在区间(2,5)上服从均匀分布.现对X进行三次独立观测，则至少有两次观测值大于3的概率为 .

6.设随机变量X~N(1,4)，则

X1

~ . 2

7.已知X~N(0,2),且P{Xa}0.2,则P{|X|a}

8.设二维随机变量(X,Y)服从区域D:0x2,1y1上的均匀分布，则(X,Y)的联合密度函数f(x,y) ,X的边缘概率密度函数fX(x)

9.设二维随机向量(X,Y)的概率密度函数为

e(xy),0x,0y

f(x,y)

,其它0

则EX .

10.X~P(4)，由切比雪夫不等式有P(|X4|6)___.

11.设DX9,DY4,Cov(X,Y)2,则Cov(X1,2Y3) ,

D(X2Y1),X与Y的相关系数XY

12.设样本

1

n

2

X1,X2,,Xn取自总体

X,X~N(,2),则

1n

(Xi)~ , (Xi)2~ . 2n1i1i1

13.设总体X~N(,2),X1,X2,,Xn是来自XS2为样本方

差

.

若已知2，则的1

置信水平的置信区间

为 ;若未知2，则的1置信水平的置信区间为 。

14.在假设检验中，若拒绝原假设H0，则可能犯第类错误;若接受原假设

H0，则可能犯第类错误。

15.样本X1,X2,,Xn来自总体N(,2),2已知,检验H0:0,应采用统计量 .

二. 单选 1. 设BA，则下面正确的等式是 ( ).

A.P(AB)1P(A) B.P(AB)P(B) C.P(AB)P(A) D.P(AB)P(A)P(B)

2.当事件A和B同时发生时，必然导致事件C发生，则下列结论正确的是( ).

A.P(C)P(A)P(B)1P(C) B.P(C)P(A)P(B)1

C.P(C)P(AB) D.P(C)P(AB)

3.下列函数可作为概率密度的是 ( ).

1

,xR A.f(x)e|x|,xR B.f(x)2

(1x)

x

2,

C.f(x)0,

2

x0,x0;

1,|x|1,

D.f(x)

0,|x|1.

4.设随机变量X服从参数为的泊松分布，且满足2P{X1}P{X2},则的值为 ( ). A.1 B.2 C.4 D.8.

5.设X~B(10,

13

D(X)1

), 则 ( ). 3E(X)

2

3

10 3

A. B. C.1 D.

6.下式中错误的是 ( ).

A. D(XY)DXDY2Cov(X,Y)

B. Cov(X,Y)E(XY)EXEY

1

C. Cov(X,Y)[D(XY)DXDY]

2

D. D(2X3Y)4DX9DY6Cov(X,Y)

7.设X1, X2, …,Xn，…为独立同分布的随机变量序列，且都服从参数为的指数

1n

分布，则当n充分大时，随机变量Yn=Xi近似服从 ( ).

ni1

12

A.N(2，4) B.N(2，

114

) C.N(,) D.N(2n,4n) n24n

8.设X1，X2，...，Xn是来自总体X的一个样本，EX,DX2,为样本均值，

1n2

且未知，S(XiX)2,则E(Sn) （ ）

ni1

2n

A.2 B.

C.

n12

 n

n

2 D. n1

三.计算

1.某厂由甲, 乙, 丙三个车间生产同一种产品, 它们的产量之比为3:2:1, 各车间产品的不合格率依次为8%, 9%, 12%.现从该厂产品中任意抽取一件, 求:(1) 取到不合格产品的概率；(2) 若取到的是不合格品, 求它是由甲厂生产的概率.

2.罐中有2 个红球，3个白球，不放回地每次任取一球，直到取得红球为止。 (1)X表示抽取的次数，求X的分布律，并计算P1X3; (2)取到的白球个数Y的概率分布 .

π

acosx,x

3.设随机变量X的密度函数为fx=2, 求：(1)常数a；

0,其他π

(2)P0X; (3)X分布函数Fx.

4

4.设某顾客在银行窗口等待服务的时间X(单位：分钟)的密度函数为：

x

15

f(x)5e,若x0,

若x0.0,该顾客在窗口等待服务, 若超过10分钟, 他就离开.

(1)求他离开的概率；

(2)他每月需要去银行4次, 以Y表示一个月中他未等到服务而离开的次数, 求

EY,DY.

5..设二维连续型随机变量(X,Y)的概率密度为

2x4yCe

f(x,y)

0

x0,y0其它

求:(1)C; (2)P{YX}; (3)边缘密度fX(x),fY(y)，并讨论X与Y是否相互独立。

6.已知二维随机变量(X,Y)的联合分布为

求：(1) ZXY的概率分布；(2)DX,DY；(3)Cov(X,Y)。

7.设二维随机变量(X, Y)在以(0, 0), (0, 1), (1, 0)为顶点的三角形区域上服从均匀分布, 求Cov(X, Y), ρXY.

8.以X1,X100记100袋额定重量为25（kg）的袋装肥料的真实的净重，

E(Xi)25(kg),D(Xi)1,i1,2,100.X1,X100服从同一分布，且相互独立。1100

Xi，求P{24.7525.25}的近似值。 100i1

x1,0x19.设总体X概率密度为：fx，其中参数0且未知，

其他0,

设X1,X2,,Xn为总体的一个样本, x1,x2,,xn是样本值，求的极大似然估计值。

10今对某种疾病患者16人测其脉搏，算得平均脉搏为69.5,标准差为6，设患者的脉搏次数X服从正态分布N(,2).试在0.05下检验: (1)患者的平均脉搏是否为72次? (2)患者脉搏的标准差是否为5次? (t0.02(515)

2.13t105.,1.99,025(16)t2.1005

(t15)

1,1.45539;0.7075

(16)1.

22

0.025(15)27.488；120.025(15)6.262；0.025(16)28.845；120.025(16)6.908）