函数知识点及常见题型总结
函数在初中数学中考中分值大约有20~25分，一次函数、二次函数和反比例函数都会考查，其中一次函数和反比例函数分值共约占其中的50%，二次函数约占另一半。
函数的题型以下归纳总结了11种，当然这并不包括所有可能出现的情况，仅仅只是较为常见的。函数有时是以下题型组合起来构成的较为复杂的题型，因此，我们必须掌握住以下题型才能寻求突破。换句话说，我们掌握住以下题型，复杂的题型分解开来，我们也能各个突破，最终解决掉。
一、核心知识点总结
1、函数的表达式
1）一次函数：y=kx+b(k , b 是常数，k ≠0) 2）反比例函数：函数y =
k
（k 是常数，k ≠0）叫做反比例函数。注意：x ≠0 x
3）二次函数：y =ax 2+bx +c (a , b , c 是常数，a ≠0) ， 2、点的坐标与函数的关系
1）点的坐标用(a , b )表示，横坐标在前，纵坐标在后，中间有“，”分开。平面内点的坐标是有序实数对，当a ≠b 时，(a , b )和(b , a )是两个不同点的坐标。 2）点的坐标：从点向x 轴和y 轴引垂线，横纵坐标的绝对值对应相对应线段的长度。
3）若某一点在某一函数图像上，则该点的坐标可代入函数的表达式中，要将函数图像上的点与坐标一一联系起来。 3、函数的图像 1）一次函数
一次函数y =kx +b 的图像是经过点（0，b ）的直线；正比例函数y =kx 的图像是经过原点（0，0）的直线。
2）反比例函数
3）二次函数
4、函数图像的平移
k )； ① 将抛物线解析式转化成顶点式y =a (x -h )+k ，确定其顶点坐标(h ，k )处，具体平移方法如② 保持抛物线y =ax 2的形状不变，将其顶点平移到(h ，
2
下：
向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位
【或左(h
③平移规律在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”．概括成八个字“左加右减，上加下减”．
二、常见题型：
1、 求函数的表达式
常见求函数表达式的方法是待定系数法，假设出函数解析式，将函数上的点的坐标代入函数，求出未知系数。在函数大题中，第一小问基本都是采用待定系数法求函数的表达式。
注意：二次函数的解析式常根据具体情况选择采用以下方式求解： 1. 已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；
2. 已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式； 3. 已知抛物线与x 轴的两个交点的横坐标，一般选用两点式； 4. 已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式．
【例1】（2015•武汉）已知一次函数y=kx+3的图象经过点（1，4）． （1）求这个一次函数的解析式；
（2）求关于x 的不等式kx+3≤6的解集．
【例2】（2015•海南）如图，二次函数y=ax2+bx+3的图象与x 轴相交于点A （﹣3，0）、B （1，0），与y 轴相交于点C ，点G 是二次函数图象的顶点，直 线GC 交x 轴于点H （3，0），AD 平行GC 交y 轴于点D ． 求该二次函数的表达式。
2、将函数的知识与几何知识联系起来的复合题
此类题目是在函数图像中有几何图形，一般情况是通过点的坐标可得出相对应的线段的长度，最终求得线段的长度或是图形的面积与周长等。 【例3】（2015•黄冈中学自主招生）如图所示，已知直线
与x 、y 轴
交于B 、C 两点，A （0，0），在△ABC 内依次作等边三角形，使一边在x 轴上，
另一个顶点在BC 边上，作出的等边三角形分别是第1个△AA 1B 1，第2个△B 1A 2B 2，第3个△B 2A 3B 3，…则第n 个等边三角形的边长等于（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
【例4】（2015•德阳）如图，在一次函数y=﹣x+6的图象上取一点P ，作PA ⊥x 轴于点A ，PB ⊥y 轴于点B ，且矩形PBOA 的面积为5，则在x 轴的上方满足上述条件的点P 的个数共有（ ）
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
3、根据函数图像判定系数的正负性或取值范围
【例5】（2015•魏县二模）若直线y=mx+2m﹣3经过二、三、四象限，则m 的取值范围是（ ）
A ．m ＜ B ．m ＞0 C ．m ＞ D ．m ＜0
【例6】（2015•咸宁）如图是二次函数y=ax2+bx+c的图象，下列结论： ①二次三项式ax 2+bx+c的最大值为4； ②4a+2b+c＜0；
③一元二次方程ax 2+bx+c=1的两根之和为﹣1； ④使y ≤3成立的x 的取值范围是x ≥0． 其中正确的个数有（ ）
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
4、根据系数的范围判定函数图像在坐标系中的位置
【例7】（2015•枣庄）已知直线y=kx+b，若k+b=﹣5，kb=5，那该直线不经过的象限是（ ） A ．第一象限
B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限
【例8】（2015•杭州模拟）已知直线y=kx+b，若k+b＜0，kb ＞0，那么该直线不经过（ ） A ．第一象限 5、函数值域
【例8】（2015•天津）己知反比例函数y=，当1＜x ＜3时，y 的取值范围是（ ）
A ．0＜y ＜l B ．1＜y ＜2 6、函数图像单调性的判定
C ．2＜y ＜6
D ．y ＞6
B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限
【例9】（2015•营口）如图，在平面直角坐标系中，A （﹣3，1），以点O 为顶点作等腰直角三角形AOB ，双曲线y 1=
在第一象限内的图象经过点B ．设直
线AB 的解析式为y 2=k2x+b，当y 1＞y 2时，x 的取值范围是（ ）
A ．﹣5＜x ＜1 B ．0＜x ＜1或x ＜﹣5 C．﹣6＜x ＜1 D ．0＜x ＜1或x ＜﹣6 【例10】（2015•上海模拟）已知正比例函数y=kx（k ≠0）的图象经过点（﹣4，2），那么函数值y 随自变量x 的值的增大而 ．（填“增大”或“减小”）
【例11】（2015•钦州）对于函数y=，下列说法错误的是（ ） A ．这个函数的图象位于第一、第三象限
B ．这个函数的图象既是轴对称图形又是中心对称图形 C ．当x ＞0时，y 随x 的增大而增大 D ．当x ＜0时，y 随x 的增大而减小 7、点的纵坐标大小比较与最值
【例12】（2015•富顺县一模）若A （﹣3，y 1），B （﹣2，y 2），C （﹣1，y 3）三点都在y=﹣的图象上，则y 1，y 2，y 3
的大小关系是 ． 【例13】（2015•湖北校级自主招生）已知a ≥4，当1≤x ≤3时，函数y=2x2﹣3ax+4的最小值是﹣23，则a= ．
8、函数图像的平移
在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”．概括成八个字“左加右减，上加下减”
【例14】（2015•闸北区模拟）将一次函数y=x+3的图象沿着y 轴向下平移5个单位，那么平移后所得图象的函数解析式为
． 9、利用函数解实际问题
很据实际问题建立函数模型，最终求解。
【例15】（2015•武汉校级模拟）甲、乙两车从A 城出发前往B 城，在整个行程中，汽车离开A 城的距离y 与时刻t 的对应关系如图所示，则当乙车到达B 城时，甲车离B 城的距离为 km ．
【例16】（2015•盘锦）盘锦红海滩景区门票价格80元/人，景区为吸引游客，对门票价格进行动态管理，非节假日打a 折，节假日期间，10人以下（包括10人）不打折，10人以上超过10人的部分打b 折，设游客为x 人，门票费用为y 元，非节假日门票费用y 1（元）及节假日门票费用y 2（元）与游客x （人）之间的函数关系如图所示．
（1）a= ，b= ； （2）直接写出y 1、y 2与x 之间的函数关系式；
（3）导游小王6月10日（非节假日）带A 旅游团，6月20日（端午节）带B 旅游团到红海滩景区旅游，两团共计50人，两次共付门票费用3040元，求A 、B 两个旅游团各多少人？
10、函数与几何综合题
此类题型一般是利用函数图像上点的坐标，确定线段的长度，最后再利用几何知识解题，这类题有一定难度。做这类题的关键是将函数的知识与几何知识联系起来。
【例17】（2015•锦州）如图，在平面直角坐标系中，边长不等的正方形依次排列，每个正方形都有一个顶点落在函数y=x 的图象上，从左向右第3个正方形中的一个顶点A 的坐标为（6，2），阴影三角形部分的面积从左向右依次记为S 1、S 2、S 3、…、S n ，则第4
个正方形的边长是
，S 3的值为 ．
【例18】（2015•丽水）如图，反比例函数y=的图象经过点（﹣1，﹣2），点A 是该图象第一象限分支上的动点，连结AO 并延长交另一分支于点B ，以AB 为斜边作等腰直角三角形ABC ，顶点C 在第四象限，AC 与x 轴交于点P ，连结BP ．
（1）k 的值为 ．
（2）在点A 运动过程中，当BP 平分∠ABC 时，点C 的坐标是 ．
11、压轴题中的二次函数题
此类题一般第一问是求函数的解析式，第二、三问是与几何知识联系起来的求两个量之间的函数关系，求最值，求特殊点等题型。
常用公式有：
1） 两点间距离公式
点A 坐标为（x 1，y 1）点B 坐标为（x 2，y 2）
则AB 间的距离，即线段AB 的长度为
2）勾股定理
在直角三角形中，斜边长的平方等与两直角边的平方和。
【例19】（2015•威海）已知：抛物线l 1：y=﹣x 2+bx+3交x 轴于点A ，B ，（点A 在点B 的左侧），交y 轴于点C ，其对称轴为x=1，抛物线l 2经过点A ，与x 轴的另一个交点为E （5，0），交y 轴于点D
（0，﹣）． x 1-x 22+y 1-y 22
（1）求抛物线l 2的函数表达式；
（2）P 为直线x=1上一动点，连接PA ，PC ，当PA=PC时，求点P 的坐标；
（3）M 为抛物线l 2上一动点，过点M 作直线MN ∥y 轴，交抛物线l 1于点N ，求点M 自点A 运动至点E 的过程中，线段MN 长度的最大值．
三、总结
我们要将以上题型认真体会，能够举一反三，这样我们在解决函数相关题目的时候就能得心应手。
函数知识点及常见题型总结
函数在初中数学中考中分值大约有20~25分，一次函数、二次函数和反比例函数都会考查，其中一次函数和反比例函数分值共约占其中的50%，二次函数约占另一半。
函数的题型以下归纳总结了11种，当然这并不包括所有可能出现的情况，仅仅只是较为常见的。函数有时是以下题型组合起来构成的较为复杂的题型，因此，我们必须掌握住以下题型才能寻求突破。换句话说，我们掌握住以下题型，复杂的题型分解开来，我们也能各个突破，最终解决掉。
一、核心知识点总结
1、函数的表达式
1）一次函数：y=kx+b(k , b 是常数，k ≠0) 2）反比例函数：函数y =
k
（k 是常数，k ≠0）叫做反比例函数。注意：x ≠0 x
3）二次函数：y =ax 2+bx +c (a , b , c 是常数，a ≠0) ， 2、点的坐标与函数的关系
1）点的坐标用(a , b )表示，横坐标在前，纵坐标在后，中间有“，”分开。平面内点的坐标是有序实数对，当a ≠b 时，(a , b )和(b , a )是两个不同点的坐标。 2）点的坐标：从点向x 轴和y 轴引垂线，横纵坐标的绝对值对应相对应线段的长度。
3）若某一点在某一函数图像上，则该点的坐标可代入函数的表达式中，要将函数图像上的点与坐标一一联系起来。 3、函数的图像 1）一次函数
一次函数y =kx +b 的图像是经过点（0，b ）的直线；正比例函数y =kx 的图像是经过原点（0，0）的直线。
2）反比例函数
3）二次函数
4、函数图像的平移
k )； ① 将抛物线解析式转化成顶点式y =a (x -h )+k ，确定其顶点坐标(h ，k )处，具体平移方法如② 保持抛物线y =ax 2的形状不变，将其顶点平移到(h ，
2
下：
向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位
【或左(h
③平移规律在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”．概括成八个字“左加右减，上加下减”．
二、常见题型：
1、 求函数的表达式
常见求函数表达式的方法是待定系数法，假设出函数解析式，将函数上的点的坐标代入函数，求出未知系数。在函数大题中，第一小问基本都是采用待定系数法求函数的表达式。
注意：二次函数的解析式常根据具体情况选择采用以下方式求解： 1. 已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；
2. 已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式； 3. 已知抛物线与x 轴的两个交点的横坐标，一般选用两点式； 4. 已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式．
【例1】（2015•武汉）已知一次函数y=kx+3的图象经过点（1，4）． （1）求这个一次函数的解析式；
（2）求关于x 的不等式kx+3≤6的解集．
【例2】（2015•海南）如图，二次函数y=ax2+bx+3的图象与x 轴相交于点A （﹣3，0）、B （1，0），与y 轴相交于点C ，点G 是二次函数图象的顶点，直 线GC 交x 轴于点H （3，0），AD 平行GC 交y 轴于点D ． 求该二次函数的表达式。
2、将函数的知识与几何知识联系起来的复合题
此类题目是在函数图像中有几何图形，一般情况是通过点的坐标可得出相对应的线段的长度，最终求得线段的长度或是图形的面积与周长等。 【例3】（2015•黄冈中学自主招生）如图所示，已知直线
与x 、y 轴
交于B 、C 两点，A （0，0），在△ABC 内依次作等边三角形，使一边在x 轴上，
另一个顶点在BC 边上，作出的等边三角形分别是第1个△AA 1B 1，第2个△B 1A 2B 2，第3个△B 2A 3B 3，…则第n 个等边三角形的边长等于（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
【例4】（2015•德阳）如图，在一次函数y=﹣x+6的图象上取一点P ，作PA ⊥x 轴于点A ，PB ⊥y 轴于点B ，且矩形PBOA 的面积为5，则在x 轴的上方满足上述条件的点P 的个数共有（ ）
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
3、根据函数图像判定系数的正负性或取值范围
【例5】（2015•魏县二模）若直线y=mx+2m﹣3经过二、三、四象限，则m 的取值范围是（ ）
A ．m ＜ B ．m ＞0 C ．m ＞ D ．m ＜0
【例6】（2015•咸宁）如图是二次函数y=ax2+bx+c的图象，下列结论： ①二次三项式ax 2+bx+c的最大值为4； ②4a+2b+c＜0；
③一元二次方程ax 2+bx+c=1的两根之和为﹣1； ④使y ≤3成立的x 的取值范围是x ≥0． 其中正确的个数有（ ）
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
4、根据系数的范围判定函数图像在坐标系中的位置
【例7】（2015•枣庄）已知直线y=kx+b，若k+b=﹣5，kb=5，那该直线不经过的象限是（ ） A ．第一象限
B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限
【例8】（2015•杭州模拟）已知直线y=kx+b，若k+b＜0，kb ＞0，那么该直线不经过（ ） A ．第一象限 5、函数值域
【例8】（2015•天津）己知反比例函数y=，当1＜x ＜3时，y 的取值范围是（ ）
A ．0＜y ＜l B ．1＜y ＜2 6、函数图像单调性的判定
C ．2＜y ＜6
D ．y ＞6
B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限
【例9】（2015•营口）如图，在平面直角坐标系中，A （﹣3，1），以点O 为顶点作等腰直角三角形AOB ，双曲线y 1=
在第一象限内的图象经过点B ．设直
线AB 的解析式为y 2=k2x+b，当y 1＞y 2时，x 的取值范围是（ ）
A ．﹣5＜x ＜1 B ．0＜x ＜1或x ＜﹣5 C．﹣6＜x ＜1 D ．0＜x ＜1或x ＜﹣6 【例10】（2015•上海模拟）已知正比例函数y=kx（k ≠0）的图象经过点（﹣4，2），那么函数值y 随自变量x 的值的增大而 ．（填“增大”或“减小”）
【例11】（2015•钦州）对于函数y=，下列说法错误的是（ ） A ．这个函数的图象位于第一、第三象限
B ．这个函数的图象既是轴对称图形又是中心对称图形 C ．当x ＞0时，y 随x 的增大而增大 D ．当x ＜0时，y 随x 的增大而减小 7、点的纵坐标大小比较与最值
【例12】（2015•富顺县一模）若A （﹣3，y 1），B （﹣2，y 2），C （﹣1，y 3）三点都在y=﹣的图象上，则y 1，y 2，y 3
的大小关系是 ． 【例13】（2015•湖北校级自主招生）已知a ≥4，当1≤x ≤3时，函数y=2x2﹣3ax+4的最小值是﹣23，则a= ．
8、函数图像的平移
在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”．概括成八个字“左加右减，上加下减”
【例14】（2015•闸北区模拟）将一次函数y=x+3的图象沿着y 轴向下平移5个单位，那么平移后所得图象的函数解析式为
． 9、利用函数解实际问题
很据实际问题建立函数模型，最终求解。
【例15】（2015•武汉校级模拟）甲、乙两车从A 城出发前往B 城，在整个行程中，汽车离开A 城的距离y 与时刻t 的对应关系如图所示，则当乙车到达B 城时，甲车离B 城的距离为 km ．
【例16】（2015•盘锦）盘锦红海滩景区门票价格80元/人，景区为吸引游客，对门票价格进行动态管理，非节假日打a 折，节假日期间，10人以下（包括10人）不打折，10人以上超过10人的部分打b 折，设游客为x 人，门票费用为y 元，非节假日门票费用y 1（元）及节假日门票费用y 2（元）与游客x （人）之间的函数关系如图所示．
（1）a= ，b= ； （2）直接写出y 1、y 2与x 之间的函数关系式；
（3）导游小王6月10日（非节假日）带A 旅游团，6月20日（端午节）带B 旅游团到红海滩景区旅游，两团共计50人，两次共付门票费用3040元，求A 、B 两个旅游团各多少人？
10、函数与几何综合题
此类题型一般是利用函数图像上点的坐标，确定线段的长度，最后再利用几何知识解题，这类题有一定难度。做这类题的关键是将函数的知识与几何知识联系起来。
【例17】（2015•锦州）如图，在平面直角坐标系中，边长不等的正方形依次排列，每个正方形都有一个顶点落在函数y=x 的图象上，从左向右第3个正方形中的一个顶点A 的坐标为（6，2），阴影三角形部分的面积从左向右依次记为S 1、S 2、S 3、…、S n ，则第4
个正方形的边长是
，S 3的值为 ．
【例18】（2015•丽水）如图，反比例函数y=的图象经过点（﹣1，﹣2），点A 是该图象第一象限分支上的动点，连结AO 并延长交另一分支于点B ，以AB 为斜边作等腰直角三角形ABC ，顶点C 在第四象限，AC 与x 轴交于点P ，连结BP ．
（1）k 的值为 ．
（2）在点A 运动过程中，当BP 平分∠ABC 时，点C 的坐标是 ．
11、压轴题中的二次函数题
此类题一般第一问是求函数的解析式，第二、三问是与几何知识联系起来的求两个量之间的函数关系，求最值，求特殊点等题型。
常用公式有：
1） 两点间距离公式
点A 坐标为（x 1，y 1）点B 坐标为（x 2，y 2）
则AB 间的距离，即线段AB 的长度为
2）勾股定理
在直角三角形中，斜边长的平方等与两直角边的平方和。
【例19】（2015•威海）已知：抛物线l 1：y=﹣x 2+bx+3交x 轴于点A ，B ，（点A 在点B 的左侧），交y 轴于点C ，其对称轴为x=1，抛物线l 2经过点A ，与x 轴的另一个交点为E （5，0），交y 轴于点D
（0，﹣）． x 1-x 22+y 1-y 22
（1）求抛物线l 2的函数表达式；
（2）P 为直线x=1上一动点，连接PA ，PC ，当PA=PC时，求点P 的坐标；
（3）M 为抛物线l 2上一动点，过点M 作直线MN ∥y 轴，交抛物线l 1于点N ，求点M 自点A 运动至点E 的过程中，线段MN 长度的最大值．
三、总结
我们要将以上题型认真体会，能够举一反三，这样我们在解决函数相关题目的时候就能得心应手。