简单分式不等式的解法

简单分式不等式的解法

解简单的分式不等式的方法：对简单分式不等式进行等价转化，转化为整式不等式，应当注意分母不为零.

3．含有字母系数的一元一次不等式

一元一次不等式最终可以化为axb 的形式．

b； a

b[2]当a0时，不等式的解为：x； a

[3]当a0时，不等式化为：0xb；

① 若b0，则不等式的解是全体实数；② 若b0，则不等式无解． [1]当a0时，不等式的解为：x

【例题选讲】

例1 解下列不等式：(1) x2x60 (2)

(x1)(x2)(x2)(2x1)

x30x30⑴解法一：原不等式可以化为：(x3)(x2)0，于是：或x20x20

x3x3x3或x2所以，原不等式的解是x3或x2． 或x2x2

2解法二：解相应的方程xx60得：x13,x22，所以原不等式的解是

x3或x2．

22(2) 解法一：原不等式可化为：x4x0，即x4x0x(x4)0于是：

x0x0或x0或x4，所以原不等式的解是x0或x4． x40x40

22x24x0，解法二：原不等式可化为：即x4x0，解相应方程x4x0，

得x10,x24，所以原不等式的解是x0或x4．

说明：解一元二次不等式，实际就是先解相应的一元二次方程，然后再根据二次函数的图象判断出不等式的解．

2例2 解下列不等式：(1) x2x80 2(2) x4x40 (3)

x2x20

例3 已知对于任意实数x，kx22xk恒为正数，求实数k的取值范围．

例4 解下列不等式： (1)

例5 求关于x的不等式m2x22mxm的解．

解：原不等式可化为：m(m2)xm2

(1) 当m20即m2时，mx1，不等式的解为x

(2) 当m20即m2时，mx1．

① 0m2时，不等式的解为x

② m0时，不等式的解为x2x30 x1 (2) 13 x21； m1； m1； m

③ m0时，不等式的解为全体实数．

(3) 当m20即m2时，不等式无解．

综上所述：当m0或m2时，不等式的解为x1；当0m2时，不等式的解为m

x1；当m0时，不等式的解为全体实数；当m2时，不等式无解． m

【巩固练习】

1．解下列不等式：

2(1) 2xx0 2(2) x3x180

(3) x2x3x1 (4) x(x9)3(x3)

2．解下列不等式：

x10 (1) x1 2x2x13x122 (3) 1 (4) 0 (2) x2x12x1

3．解下列不等式：

4．解关于x的不等式(m2)x1m．

25．已知关于x的不等式mxxm0的解是一切实数，求m的取值范围． 22(1) x2x2x2 (2) 1211xx0 235

6．若不等式

x2x312的解是x3，求k的值． kk

7．a取何值时，代数式(a1)22(a2)2的值不小于0？

简单分式不等式的解法

解简单的分式不等式的方法：对简单分式不等式进行等价转化，转化为整式不等式，应当注意分母不为零.

3．含有字母系数的一元一次不等式

一元一次不等式最终可以化为axb 的形式．

b； a

b[2]当a0时，不等式的解为：x； a

[3]当a0时，不等式化为：0xb；

① 若b0，则不等式的解是全体实数；② 若b0，则不等式无解． [1]当a0时，不等式的解为：x

【例题选讲】

例1 解下列不等式：(1) x2x60 (2)

(x1)(x2)(x2)(2x1)

x30x30⑴解法一：原不等式可以化为：(x3)(x2)0，于是：或x20x20

x3x3x3或x2所以，原不等式的解是x3或x2． 或x2x2

2解法二：解相应的方程xx60得：x13,x22，所以原不等式的解是

x3或x2．

22(2) 解法一：原不等式可化为：x4x0，即x4x0x(x4)0于是：

x0x0或x0或x4，所以原不等式的解是x0或x4． x40x40

22x24x0，解法二：原不等式可化为：即x4x0，解相应方程x4x0，

得x10,x24，所以原不等式的解是x0或x4．

说明：解一元二次不等式，实际就是先解相应的一元二次方程，然后再根据二次函数的图象判断出不等式的解．

2例2 解下列不等式：(1) x2x80 2(2) x4x40 (3)

x2x20

例3 已知对于任意实数x，kx22xk恒为正数，求实数k的取值范围．

例4 解下列不等式： (1)

例5 求关于x的不等式m2x22mxm的解．

解：原不等式可化为：m(m2)xm2

(1) 当m20即m2时，mx1，不等式的解为x

(2) 当m20即m2时，mx1．

① 0m2时，不等式的解为x

② m0时，不等式的解为x2x30 x1 (2) 13 x21； m1； m1； m

③ m0时，不等式的解为全体实数．

(3) 当m20即m2时，不等式无解．

综上所述：当m0或m2时，不等式的解为x1；当0m2时，不等式的解为m

x1；当m0时，不等式的解为全体实数；当m2时，不等式无解． m

【巩固练习】

1．解下列不等式：

2(1) 2xx0 2(2) x3x180

(3) x2x3x1 (4) x(x9)3(x3)

2．解下列不等式：

x10 (1) x1 2x2x13x122 (3) 1 (4) 0 (2) x2x12x1

3．解下列不等式：

4．解关于x的不等式(m2)x1m．

25．已知关于x的不等式mxxm0的解是一切实数，求m的取值范围． 22(1) x2x2x2 (2) 1211xx0 235

6．若不等式

x2x312的解是x3，求k的值． kk

7．a取何值时，代数式(a1)22(a2)2的值不小于0？