直线方程复习题
一．选择题（共8小题，每小题5分）
1．直线xsin α﹣y +1=0的倾斜角的变化范围是（ ） A ．（0，
）
B ．（0，π） C ．[﹣
，
] D．[0，
]∪[
，π）
2．已知点（﹣1，2）和（（ ） A ．（
，
） B ．（0，
，0）在直线l ：ax ﹣y +1=0（a ≠0）的同侧，则直线l 倾斜角的取值范围是
）∪（，π） C ．（，） D ．（，）
3．若直线l 的一个法向量=（3，1），则直线l 的一个方向向量和倾斜角α分别为（ ）
A ．=（1，3）；α=arctan（﹣3） B ．=（1，﹣3）；α=arctan（﹣3）
C ．=（1，3）；α=π﹣arctan3 D ．=（1，﹣3）；α=π﹣arctan3
4．已知点P 在直线x +3y ﹣2=0上，点Q 在直线x +3y +6=0上，线段PQ 的中点为M （x 0，y 0），且y 0＜x 0+2，则
的取值范围是（ ）
A ．[﹣，0） B ．（﹣，0） C ．（﹣，+∞） D ．（﹣∞，﹣）∪（0，+∞）
5．已知直线l 的方程为ax +2y ﹣3=0，且a ∈[﹣5，4]，则直线l 的斜率不小于1的概率为（ ） A ．
B ．
C ． D ．
2
2
6．若点P （a ，b ）在函数y=﹣x +3lnx 的图象上，点Q （c ，d ）在函数y=x+2的图象上，则（a ﹣c ）+（b
2
﹣d ）的最小值为（ ） A ． B ．2 C ．2 D ．8 7．在直角坐标平面上，已知点A （0，2），B （0，1），D （t ，0）（t ＞0），M 为线段AD 上的动点，若|AM |≤2|BM |恒成立，则实数t 的取值范围为（ ） A ．
22
8．在平面直角坐标系xoy 中，已知直线l ：x +y +a=0与点A （0，2），若直线l 上存在点M 满足|MA |+|MO |=10（O 为坐标原点），则实数a 的取值范围是（ ） A ．（﹣﹣1，﹣1） B ．[﹣﹣1，﹣1] C ．（﹣2﹣1，2﹣1） D ．[﹣2﹣1，2﹣1] 二．填空题（共4小题，每小题5分） 9．若直线ax +y +2=0与连接两点P （2，﹣3），Q （3，2）的线段相交，则实数a 的取值范围 ．
10．在平面直角坐标系中，定义两点A （x A ，y A ），B （x B ，y B ）间的“L ﹣距离”为d （A ﹣B ）=|x A ﹣x B |+|y A ﹣y B |．现将边长为1的正三角形按如图所示方式放置，其中顶点A 与坐标原点重合，记边AB 所在的直线斜率为k （0≤k ≤），则d （B ﹣C ）取得最大值时，边AB 所在直线的斜率为 ．
B ． C ． D ．
11．设M （x 1，y 1），N （x 2，y 2）为两个不同的点，直线l ：ax +by +c=0，δ=①不论δ为何值，点N 都不在直线l 上； ②若直线l 垂直平分线段MN ，则δ=1；
③若δ=﹣1，则直线l 经过线段MN 的中点；
④若δ＞1，则点M 、N 在直线l 的同侧且l 与线段MN 的延长线相交． 其中正确命题的序号是 （写出所有正确命题的序号）．
．有下列命题：
12．在平面直角坐标系xOy 中，点A （0，1），B （0，4）．若直线2x ﹣y +m=0上存在点P ，使得PA=PB ，则实数m 的取值范围是 ．
三．解答题（共4小题，每小题10分）
13．已知过A （﹣1，2）点的一条入射光线l 经x 轴反射后，经过点B （2，1）． （1）求直线l 的方程；
（2）设直线l 与x 轴交于点C ，求△ABC 的面积．
14．某沿海城市的海边有两条相互垂直的直线型公路l 1、l 2，海岸边界MPN 近似地看成一条曲线段．为开发旅游资源，需修建一条连接两条公路的直线型观光大道AB ，且直线AB 与曲线MPN 有且仅有一个公共点P （即直线与曲线相切），如图所示．若曲线段MPN 是函数
图象的一
段，点M 到l 1、l 2的距离分别为8千米和1千米，点N 到l 2的距离为10千米，以l 1、l 2分别为x 、y 轴建立如图所示的平面直角坐标系xOy ，设点P 的横坐标为p ．
（1）求曲线段MPN 的函数关系式，并指出其定义域；
（2）若某人从点O 沿公路至点P 观景，要使得沿折线OAP 比沿折线OBP 的路程更近，求p 的取值范围．
15．△ABC 中A （3，﹣1），AB 边上的中线CM 所在直线方程为6x +10y ﹣59=0，∠B 的平分线方程BT 为x ﹣4y +10=0．
（1）求顶点B 的坐标； （2）求直线BC 的方程．
16．已知点A （2，3），B （4，1），△ABC 是以AB 为底边的等腰三角形，点C 在直线l ：x ﹣2y +2=0上． （1）求点C 的坐标及S △ABC ；
（2）若直线l' 过点C 且与x 轴、y 轴正半轴分别交于P 、Q 两点，则： ①求S △POQ 的最小值及此时l' 的方程；
②求|PC |•|QC |的最小值及此时l' 的方程．
直线方程复习试题
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题） 1．（2016•曲靖校级模拟）直线xsin α﹣y +1=0的倾斜角的变化范围是（ ） A ．（0，
）
B ．（0，π） C ．[﹣
，
] D．[0，
]∪[
，π）
【分析】由已知直线方程求出直线斜率的范围，再由斜率为直线倾斜角的正切值得答案． 【解答】解：由xsin α﹣y +1=0，得此直线的斜率为sin α∈[﹣1，1]． 设其倾斜角为θ（0≤θ＜π）， 则tan θ∈[﹣1，1]． ∴θ∈[0，
]∪[
，π）．
故选：D ．
【点评】本题考查直线的倾斜角，考查了直线的倾斜角与斜率的关系，是基础题．
2．（2016•衡阳三模）已知点（﹣1，2）和（斜角的取值范围是（ ） A ．（
，
） B ．（0，
）∪（
，π） C ．（
，
）
D ．（
，
）
，0）在直线l ：ax ﹣y +1=0（a ≠0）的同侧，则直线l 倾
【分析】由点（﹣1，2），（【解答】解：点（﹣1，2），（（﹣a ﹣2+1）（解不等式可得，﹣∴
a +1）＞0
，0）在直线ax ﹣y +1=0的同侧，得（﹣a ﹣2+1）（，0）在直线ax ﹣y +1=0的同侧，
a +1）＞0，解出即可．
＜a ＜﹣1
，
故选：D ．
【点评】要求a 的范围，关键是要根据题意建立关于a 的不等式的范围，而根据不等式表示平面区域的知识可得在直线同一侧的点的坐标代入直线方程的左侧的值的符合一致，两侧的值的符合相反．
3．（2016•上海模拟）若直线l 的一个法向量A ．=（1，3）；α=arctan（﹣3）
=（3，1），则直线l 的一个方向向量
和倾斜角α分别为（ ）
B ．=（1，﹣3）；α=arctan（﹣3）
C ．=（1，3）；α=π﹣arctan3 D ．=（1，﹣3）；α=π﹣arctan3
【分析】先根据直线的法向量，求出直线的一个方向向量，由此求出直线的斜率，进而求得直线l 的倾斜角．
【解答】解：∵直线l 的一个法向量为
=（3，1），
∴直线l 的一个方向向量为（1，﹣3）， 设直线l 的倾斜角为α，则有tan α=
=﹣3，
又0≤α＜π，∴α=π﹣arctan3， 故选：D ．
【点评】本题考查直线的倾斜角和斜率的关系，倾斜角的取值范围，已知三角函数值求角的大小，直线的法向量和方向向量的定义．
4．（2016•南昌一模）已知点P 在直线x +3y ﹣2=0上，点Q 在直线x +3y +6=0上，线段PQ 的中点为M （x 0，y 0），且y 0＜x 0+2，则A ．[﹣，0）
的取值范围是（ ）
B ．（﹣，0） C ．（﹣，+∞） D ．（﹣∞，﹣）∪（0，+∞）
【分析】由题意可得，线段PQ 的中点为M （x 0，y 0
）到两直线的距离相等，利用
，可得x 0+3y 0+2=0．
又y 0＜x 0+2，设=kOM ，分类讨论：当点位于线段AB （不包括端点）时，当点位于射线BM （不包括端
点B ）时，即可得出．
【解答】解：∵点P 在直线x +3y ﹣2=0上，点Q 在直线x +3y +6=0上，线段PQ 的中点为M （x 0，y 0），
∴
又y 0＜x 0+2， 设
=kOM ，
，化为x 0+3y 0+2=0．
当点位于线段AB （不包括端点）时，则k OM ＞0，当点位于射线BM （不包括端点B ）时，k OM ＜﹣．
∴的取值范围是（﹣∞，﹣）∪（0，+∞）．
故选：D ．
【点评】本题考查了平行线的性质、点到直线的距离公式、线性规划的知识、斜率的意义及其应用，考查了数形结合的思想方法、计算能力，属于中档题． 5．（2016•山东模拟）已知直线l 的方程为ax +2y ﹣3=0，且a ∈[﹣5，4]，则直线l 的斜率不小于1的概率为（ ） A ．
B ．
C ．
D ．
【分析】先求出直线的斜率的范围，再根据几何概型的概率公式计算即可．
【解答】解：由ax +2y ﹣3=0得到y=﹣x +，故直线的斜率为﹣， ∵直线l 的斜率不小于1， ∴﹣≥1，即a ≤﹣2， ∵且a ∈[﹣5，4]， ∴﹣5≤a ≤﹣2，
∴直线l 的斜率不小于1的概率为
=，
故选：C ．
【点评】本题考查了几何概型的问题，以及直线的斜率问题，属于基础题．
6．（2016•银川二模）若点P （a ，b ）在函数y=﹣x +3lnx 的图象上，点Q （c ，d ）在函数y=x+2的图象上，
22
则（a ﹣c ）+（b ﹣d ）的最小值为（ ） A ． B ．2 C ．2 D ．8
2
【分析】先求出与直线y=x+2平行且与曲线y=﹣x +3lnx 相切的直线y=x+m ．再求出此两条平行线之间的距离（的平方）即可得出．
2
【解答】解：设直线y=x+m 与曲线y=﹣x +3lnx 相切于P （x 0，y 0）， 由函数y=﹣x +3lnx ，∴令
2
2
，
，又x 0＞0，解得x 0=1．
∴y 0=﹣1+3ln1=﹣1， 可得切点P （1，﹣1）．
代入﹣1=1+m ，解得m=﹣2．
可得与直线y=x+2平行且与曲线y=﹣x +3lnx 相切的直线y=x﹣2． 而两条平行线y=x+2与y=x﹣2的距离d=∴（a ﹣c ）+（b ﹣d ）的最小值=
2
2
2
=2
=8．
．
故选：D ．
【点评】本题考查了导数的几何意义、切线的方程、两条平行线之间的距离、最小值的转化问题等基础知识与基本技能方法，属于中档题． 7．（2016•揭阳一模）在直角坐标平面上，已知点A （0，2），B （0，1），D （t ，0）（t ＞0），M 为线段AD 上的动点，若|AM |≤2|BM |恒成立，则实数t 的取值范围为（ ） A ．
B ．
C ．
2
2
D ．
2
2
，问题转化为：
【分析】结合|AM |≤2|BM |恒成立可得x +（y ﹣2）≤4[x +（y ﹣1）]，代入y=（3t +12）x ﹣16tx +4t ≥0恒成立，根据二次函数的性质求出t 的最小值即可． 【解答】解：设M （x ，y ），则由A 、M 、D 三点共线可得
整理可得
y=
，
2
2
2
=，
由两点间的距离公式，结合|AM |≤2|BM |恒成立可得x +（y ﹣2）≤4[x +（y ﹣1）]， 整理可得3x +3y ﹣4y ≥0，代入
y=
2
2
2
2
2
2222
，
化简可得（3t +12）x ﹣16tx +4t ≥0恒成立，
2222
∵3t +12＞0，由二次函数的性质可得△=（﹣16t ）﹣4（3t +12）•4t ≤0， 整理可得3t ﹣4t ≥0，即t2≥，解得t ≥故正实数t 的最小值是：
，
4
2
，或t ≤﹣（因为t ＞0，故舍去）
故选：A ．
【点评】本题考查了三点共线问题，考查两点间的距离公式，考查二次函数的性质是，是一道中档题． 8．（2016•兰州模拟）在平面直角坐标系xoy 中，已知直线l ：x +y +a=0与点A （0，2），若直线l 上存在点M 满足|MA |+|MO |=10（O 为坐标原点），则实数a 的取值范围是（ ） A ．（﹣﹣1，﹣1） B ．[﹣﹣1，﹣1] C ．（﹣2﹣1，2﹣1） D ．[﹣2﹣1，2﹣1]
2222
【分析】设M （x ，﹣x ﹣a ），由已知条件利用两点间距离公式得x +（﹣x ﹣a ）+x +（﹣x ﹣a ﹣2）=10，由此利用根的判别式能求出实数a 的取值范围． 【解答】解：设M （x ，﹣x ﹣a ），
22
∵直线l ：x +y +a=0，点A （0，2），直线l 上存在点M ，满足|MA |+|MO |=10，
2222
∴x +（x +a ）+x +（﹣x ﹣a ﹣2）=10，
222
整理，得4x +2（2a +2）x +a +（a +2）﹣10=0①，
22
∵直线l 上存在点M ，满足|MA |+|MO |=10， ∴方程①有解，
222
∴△=4（2a +2）﹣16[a +（a +2）﹣10]≥0， 解得：﹣2﹣1≤a ≤2﹣1， 故选：D ．
【点评】本题考查实数的取值范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意两点间距离公式和一元二次方程式根的判别式的合理运用．
二．填空题（共4小题） 9．（2016•平度市模拟）若直线ax +y +2=0与连接两点P （2，﹣3），Q （3，2）的线段相交，则实数a 的取值范围
．
2
2
【分析】直线ax +y +2=0经过定点M （0，﹣2），利用斜率计算公式可得：k MP ，k MQ ．由于直线ax +y +2=0与连接两点P （2，﹣3），Q （3，2）的线段相交，利用斜率的关系即可得出． 【解答】解：直线ax +y +2=0经过定点M （0，﹣2）， k MP =
=﹣，k MQ =
=．
∵直线ax +y +2=0与连接两点P （2，﹣3），Q （3，2）的线段相交， ∴解得
﹣a ≤， ≤a
．
则实数a 的取值范围故答案为：
．
．
【点评】本题考查了直线系、斜率计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
10．（2016•安徽模拟）在平面直角坐标系中，定义两点A （x A ，y A ），B （x B ，y B ）间的“L ﹣距离”为d （A ﹣B ）=|x A ﹣x B |+|y A ﹣y B |．现将边长为1的正三角形按如图所示方式放置，其中顶点A 与坐标原点重合，记边AB 所在的直线斜率为k （0≤k ≤），则d （B ﹣C ）取得最大值时，边AB 所在直线的斜率为 2
﹣
【分析】由题意设B （cos θ，sin θ），则C （cos （θ+（θ+
），sin （θ+
）），则BC |=|cos （θ+
）﹣cos θ|+|sin
）﹣sin θ|，由角的范围化简|BC |，然后利用辅助角公式化积，再利用三角函数求最值得答案．
），sin （θ+
）），
【解答】解：设B （cos θ，sin θ），则C （cos （θ+∴|BC |=|cos （θ+∵0≤θ≤∴
≤θ+
， ≤
＜π，即0≤θ＜θ+
＜π， ）．
）﹣cos θ|+|sin （θ+
）﹣sin θ|，
∴|cos （θ+∵0≤θ≤∴|sin （θ+
）﹣cos θ|=cosθ﹣cos （θ+，
≤θ+
≤
，
）﹣sin θ|=sin（θ+
）+sin （θ+
）﹣sin θ， ）﹣sin θ +cos θsin
﹣sin θ
|BC |=cosθ﹣cos （θ+=cosθ﹣cos θcos ==
sin θ+
+sin θsin cos θ
+sin θcos
sin （θ+φ）（tan φ=2+），
2k π，k ∈Z ，
由θ+φ=2k π，k ∈Z ，得θ=﹣φ+
∴tan θ=tan（﹣φ+﹣C ）取得最大值，
2k π）=，即边AB 所在直线的斜率为时，则d （B
故答案为．
【点评】本题主要考查三角函数的定义、两角和与差的三角函数公式，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，综合性强，属于中档题．
11．（2016•绵阳校级模拟）设M （x 1，y 1），N （x 2，y 2）为两个不同的点，直线l ：ax +by +c=0，δ=
．有
下列命题：
①不论δ为何值，点N 都不在直线l 上； ②若直线l 垂直平分线段MN ，则δ=1；
③若δ=﹣1，则直线l 经过线段MN 的中点；
④若δ＞1，则点M 、N 在直线l 的同侧且l 与线段MN 的延长线相交． 其中正确命题的序号是 ①③④ （写出所有正确命题的序号）． 【分析】（1）根据δ中的分母不为0，即可判断点N 不在直线l 上；
（2）δ=1时，分b 不等于0和等于0两种情况考虑，当b 不为0时，根据δ=1，化简后得到直线MN 的斜率与直线l 的斜率相等，且点N 不在直线l 上，进而得到两直线平行；当b 为0时，根据δ=1推出直线l 与直线MN 的斜率都不存在，进而得到两直线平行；
（3）当δ=﹣1时，化简后得到线段MN 的中点满足直线l 的解析式，进而得到MN 的中点在直线l 上； （4）根据δ大于1，得到ax 1+by 1+c 与ax 2+by 2+c 同号且|ax 1+by 1+c |大于|ax 2+by 2+c |，进而得到点M 、N 在直线l 的同侧且直线l 与线段MN 的延长线相交，综合可得答案． 【解答】解：①因为δ=
中，ax 2+by 2+c ≠0，所以点N （x 2，y 2）不在直线l 上，本选项正确；
②当b ≠0时，根据δ=1，得到δ==1，化简得：=﹣，即直线MN 的斜率为﹣，
又直线l 的斜率为﹣，①知点N 不在直线l 上，得到直线MN 与直线l 平行；
当b=0时，根据δ=1，得到δ==1，
化简得：x 1=x2，直线MN 与直线l 的斜率不存在，都与y 轴平行，
由①）知点N 不在直线l 上，得到直线MN 与直线l 平行， 综上，当δ=1，直线MN 与直线l 平行，本选项错误； ③当δ=﹣1时，得到δ=
=﹣1，
化简得：a +b +c=0，而线段MN 的中点坐标为（， ），
所以直线l 经过MN 的中点，本选项正确；
④当δ＞1时，得到 δ=＞1，
即（ax 1+by 1+c ）（ax 2+by 2+c ）＞0，所以点M 、N 在直线l 的同侧，
且|ax 1+by 1+c |＞|ax 2+by 2+c |，得到点M 与点N 到直线l 的距离不等，所以延长线与直线l 相交，本选项正确．
所以命题中正确的序号为：①③④． 故答案为：①③④
【点评】此题考查学生掌握一点是否在已知直线上的判别方法，掌握两直线平行时满足的条件，是一道中档题． 12．（2016•绵阳模拟）在平面直角坐标系xOy 中，点A （0，1），B （0，4）．若直线2x ﹣y +m=0上存在点P ，使得PA=PB ，则实数m
2
2
2
【分析】根据题意，设出点P （x ，2x +m ），代入PA=PB 化简得5x +4mx +m ﹣4=0，由△=16m﹣4×5（m ﹣4）≥0，求出实数m 的取值范围． 【解答】解：设P （x ，2x +m ）， ∵PA=PB ，
∴4|PA |=|PB |，
2222∴4x +4（2x +m ﹣1）=x+（2x +m ﹣4），
22
化简得5x +4mx +m ﹣4=0，
22
则△=16m﹣4×5（m ﹣4）≥0， 解得﹣2≤m ≤2，
即实数m 的取值范围是﹣2≤m ≤2．
故答案为：．
【点评】本题考查了直线方程的应用问题，也考查了两点间的距离公式的应用问题，是基础题目．
三．解答题（共4小题） 13．（2016春•石家庄期末）已知过A （﹣1，2）点的一条入射光线l 经x 轴反射后，经过点B （2，1）． （1）求直线l 的方程；
（2）设直线l 与x 轴交于点C ，求△ABC 的面积． 【分析】（1）求出B （2，1）关于x 轴的对称点，计算直线的斜率，即可求直线l 的方程；
（2）设直线l 与x 轴交于点C ，求出C 的坐标，可得|AC |，求出B 点到直线l 的距离．利用三角形的面积公式求△ABC 的面积． 【解答】解：（1）B （2，1）关于x 轴的对称点为B ’（2，﹣1）…（3分） ∴
，即直线L 的方程为x +y ﹣1=0．（6分）
2
2
2
（2）由（1）知点C （1，0），…（8分） ∴|AC |==， B 点到直线l 的距离为∴
（12分）
，…（10分）
【点评】本题考查直线方程，考查点到直线l 的距离公式，考查三角形面积的计算，属于中档题．
14．（2016•闵行区一模）某沿海城市的海边有两条相互垂直的直线型公路l 1、l 2，海岸边界MPN 近似地看成一条曲线段．为开发旅游资源，需修建一条连接两条公路的直线型观光大道AB ，且直线AB 与曲线MPN 有且仅有一个公共点P （即直线与曲线相切），如图所示．若曲线段MPN 是函数
图象的一段，点M
到l 1、l 2的距离分别为8千米和1千米，点N 到l 2的距离为10千米，以l 1、l 2分别为x 、y 轴建立如图所示的平面直角坐标系xOy ，设点P 的横坐标为p ．
（1）求曲线段MPN 的函数关系式，并指出其定义域；
（2）若某人从点O 沿公路至点P 观景，要使得沿折线OAP 比沿折线OBP 的路程更近，求p 的取值范围．
【分析】（1）由题意得M （1，8），则a=8，故曲线段MPN 的函数关系式为（2）围．
【解答】解：（1）由题意得M （1，8），则a=8，故曲线段MPN 的函数关系式为又得（2）
，所以定义域为[1，10]．…（6分） ，设
，（4分）
，设
与
，可得其定义域；
联立求出A ，B 的坐标，即可求出最短长度p 的取值范
由
2
2
得kpx +（8﹣kp ）x ﹣8p=0，
2
2
2
22
△=（8﹣kp ）+32kp =（kp +8）=0，…（8分） ∴kp +8=0，∴得
2
，得直线AB 方程为
，故点P 为AB 线段的中点，
，…（10分）
由即p ﹣8＞0…（12分）
2
得时，OA ＜OB ， 所以，当时，经点A 至P 路程最近．（14分）
【点评】本题考查利用数学知识解决实际问题，考查学生分析解决问题的能力，确定函数关系是关键．
15．（2016秋•宜城市校级期中）△ABC 中A （3，﹣1），AB 边上的中线CM 所在直线方程为6x +10y ﹣59=0，∠B 的平分线方程BT 为x ﹣4y +10=0．
（1）求顶点B 的坐标；
（2）求直线BC 的方程．
【分析】（1）设B （x 0，y 0），则AB 的中点M （，）在直线CM 上，从而3x 0+5y 0﹣55=0，又点B 在直线BT 上，则x 0﹣4y 0+10=0，由此能求出B 点的坐标．
（2）设点A （3，﹣1）关于直线BT 的对称点D 的坐标为（a ，b ），则点D 在直线BC 上，从而D （1，7），由此能求出直线BC 的方程．
【解答】解：（1）设B （x 0，y 0），则AB 的中点M （，）在直线CM 上．
∴，
∴3x 0+5y 0+4﹣59=0，
即3x 0+5y 0﹣55=0，①
又点B 在直线BT 上，则x 0﹣4y 0+10=0，②
由①②可得x 0=10，y 0=5，即B 点的坐标为（10，5）．（5分）
（2）设点A （3，﹣1）关于直线BT 的对称点D 的坐标为（a ，b ），
则点D 在直线BC 上． 由题知， 得，∴D （1，7）．（7分）
=﹣，（8分）
，即2x +9y ﹣65=0．（10分） k BC =kBD =∴直线BC 的方程为y ﹣5=
﹣
【点评】本题考查点的坐标的求法，考查直线方程的求法，解题时要认真审题，是中档题．
16．（2016秋•东坡区校级月考）已知点A （2，3），B （4，1），△ABC 是以AB 为底边的等腰三角形，点C 在直线l ：x ﹣2y +2=0上．
（1）求点C 的坐标及S △ABC ；
（2）若直线l' 过点C 且与x 轴、y 轴正半轴分别交于P 、Q 两点，则：
①求S △POQ 的最小值及此时l' 的方程；
②求|PC |•|QC |的最小值及此时l' 的方程．
【分析】（1）利用中点坐标公式、相互垂直的直线斜率之间的关系、点斜式即可得出；联立直线方程可得交点，利用直角三角形的面积计算公式即可得出．
（2）①设l' 的方程为+=1（a ＞0，b ＞0），则
程；
第11页（共12页）
=1≥2，即可求S △POQ 的最小值及此时l' 的方
②设直线的倾斜角为π﹣α，则|PC |•|QC |==，即可求|PC |•|QC |的最小值及此时l' 的方程．
【解答】解：（1）由题意可知，E 为AB 的中点，∴E （3，2），
∵k AB =﹣1，∴k CE =1，
∴CE ：y ﹣2=x﹣3，即x ﹣y ﹣1=0． 由得C （4，3），
∴|AC |=|BC |=2，AC ⊥BC ，
∴S △ABC ==2．
=1≥2， （2）①设l' 的方程为+=1（a ＞0，b ＞0），则
∴ab ≥48，∴S △POQ ≥24，即S △POQ 的最小值为24，此时a=8，b=6，
∴l' 的方程为=1；
=， ②设直线的倾斜角为π﹣α，则|PC |•|QC |=当且仅当α=45°时，|PC |•|QC |的最小值为24，此时l' 的方程为x +y ﹣7=0．
【点评】本题考查了中点坐标公式、相互垂直的直线斜率之间的关系、点斜式、直线的交点、直角三角形的面积计算公式，考查直线方程，考查了计算能力，属于中档题．
第12页（共12页）
直线方程复习题
一．选择题（共8小题，每小题5分）
1．直线xsin α﹣y +1=0的倾斜角的变化范围是（ ） A ．（0，
）
B ．（0，π） C ．[﹣
，
] D．[0，
]∪[
，π）
2．已知点（﹣1，2）和（（ ） A ．（
，
） B ．（0，
，0）在直线l ：ax ﹣y +1=0（a ≠0）的同侧，则直线l 倾斜角的取值范围是
）∪（，π） C ．（，） D ．（，）
3．若直线l 的一个法向量=（3，1），则直线l 的一个方向向量和倾斜角α分别为（ ）
A ．=（1，3）；α=arctan（﹣3） B ．=（1，﹣3）；α=arctan（﹣3）
C ．=（1，3）；α=π﹣arctan3 D ．=（1，﹣3）；α=π﹣arctan3
4．已知点P 在直线x +3y ﹣2=0上，点Q 在直线x +3y +6=0上，线段PQ 的中点为M （x 0，y 0），且y 0＜x 0+2，则
的取值范围是（ ）
A ．[﹣，0） B ．（﹣，0） C ．（﹣，+∞） D ．（﹣∞，﹣）∪（0，+∞）
5．已知直线l 的方程为ax +2y ﹣3=0，且a ∈[﹣5，4]，则直线l 的斜率不小于1的概率为（ ） A ．
B ．
C ． D ．
2
2
6．若点P （a ，b ）在函数y=﹣x +3lnx 的图象上，点Q （c ，d ）在函数y=x+2的图象上，则（a ﹣c ）+（b
2
﹣d ）的最小值为（ ） A ． B ．2 C ．2 D ．8 7．在直角坐标平面上，已知点A （0，2），B （0，1），D （t ，0）（t ＞0），M 为线段AD 上的动点，若|AM |≤2|BM |恒成立，则实数t 的取值范围为（ ） A ．
22
8．在平面直角坐标系xoy 中，已知直线l ：x +y +a=0与点A （0，2），若直线l 上存在点M 满足|MA |+|MO |=10（O 为坐标原点），则实数a 的取值范围是（ ） A ．（﹣﹣1，﹣1） B ．[﹣﹣1，﹣1] C ．（﹣2﹣1，2﹣1） D ．[﹣2﹣1，2﹣1] 二．填空题（共4小题，每小题5分） 9．若直线ax +y +2=0与连接两点P （2，﹣3），Q （3，2）的线段相交，则实数a 的取值范围 ．
10．在平面直角坐标系中，定义两点A （x A ，y A ），B （x B ，y B ）间的“L ﹣距离”为d （A ﹣B ）=|x A ﹣x B |+|y A ﹣y B |．现将边长为1的正三角形按如图所示方式放置，其中顶点A 与坐标原点重合，记边AB 所在的直线斜率为k （0≤k ≤），则d （B ﹣C ）取得最大值时，边AB 所在直线的斜率为 ．
B ． C ． D ．
11．设M （x 1，y 1），N （x 2，y 2）为两个不同的点，直线l ：ax +by +c=0，δ=①不论δ为何值，点N 都不在直线l 上； ②若直线l 垂直平分线段MN ，则δ=1；
③若δ=﹣1，则直线l 经过线段MN 的中点；
④若δ＞1，则点M 、N 在直线l 的同侧且l 与线段MN 的延长线相交． 其中正确命题的序号是 （写出所有正确命题的序号）．
．有下列命题：
12．在平面直角坐标系xOy 中，点A （0，1），B （0，4）．若直线2x ﹣y +m=0上存在点P ，使得PA=PB ，则实数m 的取值范围是 ．
三．解答题（共4小题，每小题10分）
13．已知过A （﹣1，2）点的一条入射光线l 经x 轴反射后，经过点B （2，1）． （1）求直线l 的方程；
（2）设直线l 与x 轴交于点C ，求△ABC 的面积．
14．某沿海城市的海边有两条相互垂直的直线型公路l 1、l 2，海岸边界MPN 近似地看成一条曲线段．为开发旅游资源，需修建一条连接两条公路的直线型观光大道AB ，且直线AB 与曲线MPN 有且仅有一个公共点P （即直线与曲线相切），如图所示．若曲线段MPN 是函数
图象的一
段，点M 到l 1、l 2的距离分别为8千米和1千米，点N 到l 2的距离为10千米，以l 1、l 2分别为x 、y 轴建立如图所示的平面直角坐标系xOy ，设点P 的横坐标为p ．
（1）求曲线段MPN 的函数关系式，并指出其定义域；
（2）若某人从点O 沿公路至点P 观景，要使得沿折线OAP 比沿折线OBP 的路程更近，求p 的取值范围．
15．△ABC 中A （3，﹣1），AB 边上的中线CM 所在直线方程为6x +10y ﹣59=0，∠B 的平分线方程BT 为x ﹣4y +10=0．
（1）求顶点B 的坐标； （2）求直线BC 的方程．
16．已知点A （2，3），B （4，1），△ABC 是以AB 为底边的等腰三角形，点C 在直线l ：x ﹣2y +2=0上． （1）求点C 的坐标及S △ABC ；
（2）若直线l' 过点C 且与x 轴、y 轴正半轴分别交于P 、Q 两点，则： ①求S △POQ 的最小值及此时l' 的方程；
②求|PC |•|QC |的最小值及此时l' 的方程．
直线方程复习试题
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题） 1．（2016•曲靖校级模拟）直线xsin α﹣y +1=0的倾斜角的变化范围是（ ） A ．（0，
）
B ．（0，π） C ．[﹣
，
] D．[0，
]∪[
，π）
【分析】由已知直线方程求出直线斜率的范围，再由斜率为直线倾斜角的正切值得答案． 【解答】解：由xsin α﹣y +1=0，得此直线的斜率为sin α∈[﹣1，1]． 设其倾斜角为θ（0≤θ＜π）， 则tan θ∈[﹣1，1]． ∴θ∈[0，
]∪[
，π）．
故选：D ．
【点评】本题考查直线的倾斜角，考查了直线的倾斜角与斜率的关系，是基础题．
2．（2016•衡阳三模）已知点（﹣1，2）和（斜角的取值范围是（ ） A ．（
，
） B ．（0，
）∪（
，π） C ．（
，
）
D ．（
，
）
，0）在直线l ：ax ﹣y +1=0（a ≠0）的同侧，则直线l 倾
【分析】由点（﹣1，2），（【解答】解：点（﹣1，2），（（﹣a ﹣2+1）（解不等式可得，﹣∴
a +1）＞0
，0）在直线ax ﹣y +1=0的同侧，得（﹣a ﹣2+1）（，0）在直线ax ﹣y +1=0的同侧，
a +1）＞0，解出即可．
＜a ＜﹣1
，
故选：D ．
【点评】要求a 的范围，关键是要根据题意建立关于a 的不等式的范围，而根据不等式表示平面区域的知识可得在直线同一侧的点的坐标代入直线方程的左侧的值的符合一致，两侧的值的符合相反．
3．（2016•上海模拟）若直线l 的一个法向量A ．=（1，3）；α=arctan（﹣3）
=（3，1），则直线l 的一个方向向量
和倾斜角α分别为（ ）
B ．=（1，﹣3）；α=arctan（﹣3）
C ．=（1，3）；α=π﹣arctan3 D ．=（1，﹣3）；α=π﹣arctan3
【分析】先根据直线的法向量，求出直线的一个方向向量，由此求出直线的斜率，进而求得直线l 的倾斜角．
【解答】解：∵直线l 的一个法向量为
=（3，1），
∴直线l 的一个方向向量为（1，﹣3）， 设直线l 的倾斜角为α，则有tan α=
=﹣3，
又0≤α＜π，∴α=π﹣arctan3， 故选：D ．
【点评】本题考查直线的倾斜角和斜率的关系，倾斜角的取值范围，已知三角函数值求角的大小，直线的法向量和方向向量的定义．
4．（2016•南昌一模）已知点P 在直线x +3y ﹣2=0上，点Q 在直线x +3y +6=0上，线段PQ 的中点为M （x 0，y 0），且y 0＜x 0+2，则A ．[﹣，0）
的取值范围是（ ）
B ．（﹣，0） C ．（﹣，+∞） D ．（﹣∞，﹣）∪（0，+∞）
【分析】由题意可得，线段PQ 的中点为M （x 0，y 0
）到两直线的距离相等，利用
，可得x 0+3y 0+2=0．
又y 0＜x 0+2，设=kOM ，分类讨论：当点位于线段AB （不包括端点）时，当点位于射线BM （不包括端
点B ）时，即可得出．
【解答】解：∵点P 在直线x +3y ﹣2=0上，点Q 在直线x +3y +6=0上，线段PQ 的中点为M （x 0，y 0），
∴
又y 0＜x 0+2， 设
=kOM ，
，化为x 0+3y 0+2=0．
当点位于线段AB （不包括端点）时，则k OM ＞0，当点位于射线BM （不包括端点B ）时，k OM ＜﹣．
∴的取值范围是（﹣∞，﹣）∪（0，+∞）．
故选：D ．
【点评】本题考查了平行线的性质、点到直线的距离公式、线性规划的知识、斜率的意义及其应用，考查了数形结合的思想方法、计算能力，属于中档题． 5．（2016•山东模拟）已知直线l 的方程为ax +2y ﹣3=0，且a ∈[﹣5，4]，则直线l 的斜率不小于1的概率为（ ） A ．
B ．
C ．
D ．
【分析】先求出直线的斜率的范围，再根据几何概型的概率公式计算即可．
【解答】解：由ax +2y ﹣3=0得到y=﹣x +，故直线的斜率为﹣， ∵直线l 的斜率不小于1， ∴﹣≥1，即a ≤﹣2， ∵且a ∈[﹣5，4]， ∴﹣5≤a ≤﹣2，
∴直线l 的斜率不小于1的概率为
=，
故选：C ．
【点评】本题考查了几何概型的问题，以及直线的斜率问题，属于基础题．
6．（2016•银川二模）若点P （a ，b ）在函数y=﹣x +3lnx 的图象上，点Q （c ，d ）在函数y=x+2的图象上，
22
则（a ﹣c ）+（b ﹣d ）的最小值为（ ） A ． B ．2 C ．2 D ．8
2
【分析】先求出与直线y=x+2平行且与曲线y=﹣x +3lnx 相切的直线y=x+m ．再求出此两条平行线之间的距离（的平方）即可得出．
2
【解答】解：设直线y=x+m 与曲线y=﹣x +3lnx 相切于P （x 0，y 0）， 由函数y=﹣x +3lnx ，∴令
2
2
，
，又x 0＞0，解得x 0=1．
∴y 0=﹣1+3ln1=﹣1， 可得切点P （1，﹣1）．
代入﹣1=1+m ，解得m=﹣2．
可得与直线y=x+2平行且与曲线y=﹣x +3lnx 相切的直线y=x﹣2． 而两条平行线y=x+2与y=x﹣2的距离d=∴（a ﹣c ）+（b ﹣d ）的最小值=
2
2
2
=2
=8．
．
故选：D ．
【点评】本题考查了导数的几何意义、切线的方程、两条平行线之间的距离、最小值的转化问题等基础知识与基本技能方法，属于中档题． 7．（2016•揭阳一模）在直角坐标平面上，已知点A （0，2），B （0，1），D （t ，0）（t ＞0），M 为线段AD 上的动点，若|AM |≤2|BM |恒成立，则实数t 的取值范围为（ ） A ．
B ．
C ．
2
2
D ．
2
2
，问题转化为：
【分析】结合|AM |≤2|BM |恒成立可得x +（y ﹣2）≤4[x +（y ﹣1）]，代入y=（3t +12）x ﹣16tx +4t ≥0恒成立，根据二次函数的性质求出t 的最小值即可． 【解答】解：设M （x ，y ），则由A 、M 、D 三点共线可得
整理可得
y=
，
2
2
2
=，
由两点间的距离公式，结合|AM |≤2|BM |恒成立可得x +（y ﹣2）≤4[x +（y ﹣1）]， 整理可得3x +3y ﹣4y ≥0，代入
y=
2
2
2
2
2
2222
，
化简可得（3t +12）x ﹣16tx +4t ≥0恒成立，
2222
∵3t +12＞0，由二次函数的性质可得△=（﹣16t ）﹣4（3t +12）•4t ≤0， 整理可得3t ﹣4t ≥0，即t2≥，解得t ≥故正实数t 的最小值是：
，
4
2
，或t ≤﹣（因为t ＞0，故舍去）
故选：A ．
【点评】本题考查了三点共线问题，考查两点间的距离公式，考查二次函数的性质是，是一道中档题． 8．（2016•兰州模拟）在平面直角坐标系xoy 中，已知直线l ：x +y +a=0与点A （0，2），若直线l 上存在点M 满足|MA |+|MO |=10（O 为坐标原点），则实数a 的取值范围是（ ） A ．（﹣﹣1，﹣1） B ．[﹣﹣1，﹣1] C ．（﹣2﹣1，2﹣1） D ．[﹣2﹣1，2﹣1]
2222
【分析】设M （x ，﹣x ﹣a ），由已知条件利用两点间距离公式得x +（﹣x ﹣a ）+x +（﹣x ﹣a ﹣2）=10，由此利用根的判别式能求出实数a 的取值范围． 【解答】解：设M （x ，﹣x ﹣a ），
22
∵直线l ：x +y +a=0，点A （0，2），直线l 上存在点M ，满足|MA |+|MO |=10，
2222
∴x +（x +a ）+x +（﹣x ﹣a ﹣2）=10，
222
整理，得4x +2（2a +2）x +a +（a +2）﹣10=0①，
22
∵直线l 上存在点M ，满足|MA |+|MO |=10， ∴方程①有解，
222
∴△=4（2a +2）﹣16[a +（a +2）﹣10]≥0， 解得：﹣2﹣1≤a ≤2﹣1， 故选：D ．
【点评】本题考查实数的取值范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意两点间距离公式和一元二次方程式根的判别式的合理运用．
二．填空题（共4小题） 9．（2016•平度市模拟）若直线ax +y +2=0与连接两点P （2，﹣3），Q （3，2）的线段相交，则实数a 的取值范围
．
2
2
【分析】直线ax +y +2=0经过定点M （0，﹣2），利用斜率计算公式可得：k MP ，k MQ ．由于直线ax +y +2=0与连接两点P （2，﹣3），Q （3，2）的线段相交，利用斜率的关系即可得出． 【解答】解：直线ax +y +2=0经过定点M （0，﹣2）， k MP =
=﹣，k MQ =
=．
∵直线ax +y +2=0与连接两点P （2，﹣3），Q （3，2）的线段相交， ∴解得
﹣a ≤， ≤a
．
则实数a 的取值范围故答案为：
．
．
【点评】本题考查了直线系、斜率计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
10．（2016•安徽模拟）在平面直角坐标系中，定义两点A （x A ，y A ），B （x B ，y B ）间的“L ﹣距离”为d （A ﹣B ）=|x A ﹣x B |+|y A ﹣y B |．现将边长为1的正三角形按如图所示方式放置，其中顶点A 与坐标原点重合，记边AB 所在的直线斜率为k （0≤k ≤），则d （B ﹣C ）取得最大值时，边AB 所在直线的斜率为 2
﹣
【分析】由题意设B （cos θ，sin θ），则C （cos （θ+（θ+
），sin （θ+
）），则BC |=|cos （θ+
）﹣cos θ|+|sin
）﹣sin θ|，由角的范围化简|BC |，然后利用辅助角公式化积，再利用三角函数求最值得答案．
），sin （θ+
）），
【解答】解：设B （cos θ，sin θ），则C （cos （θ+∴|BC |=|cos （θ+∵0≤θ≤∴
≤θ+
， ≤
＜π，即0≤θ＜θ+
＜π， ）．
）﹣cos θ|+|sin （θ+
）﹣sin θ|，
∴|cos （θ+∵0≤θ≤∴|sin （θ+
）﹣cos θ|=cosθ﹣cos （θ+，
≤θ+
≤
，
）﹣sin θ|=sin（θ+
）+sin （θ+
）﹣sin θ， ）﹣sin θ +cos θsin
﹣sin θ
|BC |=cosθ﹣cos （θ+=cosθ﹣cos θcos ==
sin θ+
+sin θsin cos θ
+sin θcos
sin （θ+φ）（tan φ=2+），
2k π，k ∈Z ，
由θ+φ=2k π，k ∈Z ，得θ=﹣φ+
∴tan θ=tan（﹣φ+﹣C ）取得最大值，
2k π）=，即边AB 所在直线的斜率为时，则d （B
故答案为．
【点评】本题主要考查三角函数的定义、两角和与差的三角函数公式，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，综合性强，属于中档题．
11．（2016•绵阳校级模拟）设M （x 1，y 1），N （x 2，y 2）为两个不同的点，直线l ：ax +by +c=0，δ=
．有
下列命题：
①不论δ为何值，点N 都不在直线l 上； ②若直线l 垂直平分线段MN ，则δ=1；
③若δ=﹣1，则直线l 经过线段MN 的中点；
④若δ＞1，则点M 、N 在直线l 的同侧且l 与线段MN 的延长线相交． 其中正确命题的序号是 ①③④ （写出所有正确命题的序号）． 【分析】（1）根据δ中的分母不为0，即可判断点N 不在直线l 上；
（2）δ=1时，分b 不等于0和等于0两种情况考虑，当b 不为0时，根据δ=1，化简后得到直线MN 的斜率与直线l 的斜率相等，且点N 不在直线l 上，进而得到两直线平行；当b 为0时，根据δ=1推出直线l 与直线MN 的斜率都不存在，进而得到两直线平行；
（3）当δ=﹣1时，化简后得到线段MN 的中点满足直线l 的解析式，进而得到MN 的中点在直线l 上； （4）根据δ大于1，得到ax 1+by 1+c 与ax 2+by 2+c 同号且|ax 1+by 1+c |大于|ax 2+by 2+c |，进而得到点M 、N 在直线l 的同侧且直线l 与线段MN 的延长线相交，综合可得答案． 【解答】解：①因为δ=
中，ax 2+by 2+c ≠0，所以点N （x 2，y 2）不在直线l 上，本选项正确；
②当b ≠0时，根据δ=1，得到δ==1，化简得：=﹣，即直线MN 的斜率为﹣，
又直线l 的斜率为﹣，①知点N 不在直线l 上，得到直线MN 与直线l 平行；
当b=0时，根据δ=1，得到δ==1，
化简得：x 1=x2，直线MN 与直线l 的斜率不存在，都与y 轴平行，
由①）知点N 不在直线l 上，得到直线MN 与直线l 平行， 综上，当δ=1，直线MN 与直线l 平行，本选项错误； ③当δ=﹣1时，得到δ=
=﹣1，
化简得：a +b +c=0，而线段MN 的中点坐标为（， ），
所以直线l 经过MN 的中点，本选项正确；
④当δ＞1时，得到 δ=＞1，
即（ax 1+by 1+c ）（ax 2+by 2+c ）＞0，所以点M 、N 在直线l 的同侧，
且|ax 1+by 1+c |＞|ax 2+by 2+c |，得到点M 与点N 到直线l 的距离不等，所以延长线与直线l 相交，本选项正确．
所以命题中正确的序号为：①③④． 故答案为：①③④
【点评】此题考查学生掌握一点是否在已知直线上的判别方法，掌握两直线平行时满足的条件，是一道中档题． 12．（2016•绵阳模拟）在平面直角坐标系xOy 中，点A （0，1），B （0，4）．若直线2x ﹣y +m=0上存在点P ，使得PA=PB ，则实数m
2
2
2
【分析】根据题意，设出点P （x ，2x +m ），代入PA=PB 化简得5x +4mx +m ﹣4=0，由△=16m﹣4×5（m ﹣4）≥0，求出实数m 的取值范围． 【解答】解：设P （x ，2x +m ）， ∵PA=PB ，
∴4|PA |=|PB |，
2222∴4x +4（2x +m ﹣1）=x+（2x +m ﹣4），
22
化简得5x +4mx +m ﹣4=0，
22
则△=16m﹣4×5（m ﹣4）≥0， 解得﹣2≤m ≤2，
即实数m 的取值范围是﹣2≤m ≤2．
故答案为：．
【点评】本题考查了直线方程的应用问题，也考查了两点间的距离公式的应用问题，是基础题目．
三．解答题（共4小题） 13．（2016春•石家庄期末）已知过A （﹣1，2）点的一条入射光线l 经x 轴反射后，经过点B （2，1）． （1）求直线l 的方程；
（2）设直线l 与x 轴交于点C ，求△ABC 的面积． 【分析】（1）求出B （2，1）关于x 轴的对称点，计算直线的斜率，即可求直线l 的方程；
（2）设直线l 与x 轴交于点C ，求出C 的坐标，可得|AC |，求出B 点到直线l 的距离．利用三角形的面积公式求△ABC 的面积． 【解答】解：（1）B （2，1）关于x 轴的对称点为B ’（2，﹣1）…（3分） ∴
，即直线L 的方程为x +y ﹣1=0．（6分）
2
2
2
（2）由（1）知点C （1，0），…（8分） ∴|AC |==， B 点到直线l 的距离为∴
（12分）
，…（10分）
【点评】本题考查直线方程，考查点到直线l 的距离公式，考查三角形面积的计算，属于中档题．
14．（2016•闵行区一模）某沿海城市的海边有两条相互垂直的直线型公路l 1、l 2，海岸边界MPN 近似地看成一条曲线段．为开发旅游资源，需修建一条连接两条公路的直线型观光大道AB ，且直线AB 与曲线MPN 有且仅有一个公共点P （即直线与曲线相切），如图所示．若曲线段MPN 是函数
图象的一段，点M
到l 1、l 2的距离分别为8千米和1千米，点N 到l 2的距离为10千米，以l 1、l 2分别为x 、y 轴建立如图所示的平面直角坐标系xOy ，设点P 的横坐标为p ．
（1）求曲线段MPN 的函数关系式，并指出其定义域；
（2）若某人从点O 沿公路至点P 观景，要使得沿折线OAP 比沿折线OBP 的路程更近，求p 的取值范围．
【分析】（1）由题意得M （1，8），则a=8，故曲线段MPN 的函数关系式为（2）围．
【解答】解：（1）由题意得M （1，8），则a=8，故曲线段MPN 的函数关系式为又得（2）
，所以定义域为[1，10]．…（6分） ，设
，（4分）
，设
与
，可得其定义域；
联立求出A ，B 的坐标，即可求出最短长度p 的取值范
由
2
2
得kpx +（8﹣kp ）x ﹣8p=0，
2
2
2
22
△=（8﹣kp ）+32kp =（kp +8）=0，…（8分） ∴kp +8=0，∴得
2
，得直线AB 方程为
，故点P 为AB 线段的中点，
，…（10分）
由即p ﹣8＞0…（12分）
2
得时，OA ＜OB ， 所以，当时，经点A 至P 路程最近．（14分）
【点评】本题考查利用数学知识解决实际问题，考查学生分析解决问题的能力，确定函数关系是关键．
15．（2016秋•宜城市校级期中）△ABC 中A （3，﹣1），AB 边上的中线CM 所在直线方程为6x +10y ﹣59=0，∠B 的平分线方程BT 为x ﹣4y +10=0．
（1）求顶点B 的坐标；
（2）求直线BC 的方程．
【分析】（1）设B （x 0，y 0），则AB 的中点M （，）在直线CM 上，从而3x 0+5y 0﹣55=0，又点B 在直线BT 上，则x 0﹣4y 0+10=0，由此能求出B 点的坐标．
（2）设点A （3，﹣1）关于直线BT 的对称点D 的坐标为（a ，b ），则点D 在直线BC 上，从而D （1，7），由此能求出直线BC 的方程．
【解答】解：（1）设B （x 0，y 0），则AB 的中点M （，）在直线CM 上．
∴，
∴3x 0+5y 0+4﹣59=0，
即3x 0+5y 0﹣55=0，①
又点B 在直线BT 上，则x 0﹣4y 0+10=0，②
由①②可得x 0=10，y 0=5，即B 点的坐标为（10，5）．（5分）
（2）设点A （3，﹣1）关于直线BT 的对称点D 的坐标为（a ，b ），
则点D 在直线BC 上． 由题知， 得，∴D （1，7）．（7分）
=﹣，（8分）
，即2x +9y ﹣65=0．（10分） k BC =kBD =∴直线BC 的方程为y ﹣5=
﹣
【点评】本题考查点的坐标的求法，考查直线方程的求法，解题时要认真审题，是中档题．
16．（2016秋•东坡区校级月考）已知点A （2，3），B （4，1），△ABC 是以AB 为底边的等腰三角形，点C 在直线l ：x ﹣2y +2=0上．
（1）求点C 的坐标及S △ABC ；
（2）若直线l' 过点C 且与x 轴、y 轴正半轴分别交于P 、Q 两点，则：
①求S △POQ 的最小值及此时l' 的方程；
②求|PC |•|QC |的最小值及此时l' 的方程．
【分析】（1）利用中点坐标公式、相互垂直的直线斜率之间的关系、点斜式即可得出；联立直线方程可得交点，利用直角三角形的面积计算公式即可得出．
（2）①设l' 的方程为+=1（a ＞0，b ＞0），则
程；
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=1≥2，即可求S △POQ 的最小值及此时l' 的方
②设直线的倾斜角为π﹣α，则|PC |•|QC |==，即可求|PC |•|QC |的最小值及此时l' 的方程．
【解答】解：（1）由题意可知，E 为AB 的中点，∴E （3，2），
∵k AB =﹣1，∴k CE =1，
∴CE ：y ﹣2=x﹣3，即x ﹣y ﹣1=0． 由得C （4，3），
∴|AC |=|BC |=2，AC ⊥BC ，
∴S △ABC ==2．
=1≥2， （2）①设l' 的方程为+=1（a ＞0，b ＞0），则
∴ab ≥48，∴S △POQ ≥24，即S △POQ 的最小值为24，此时a=8，b=6，
∴l' 的方程为=1；
=， ②设直线的倾斜角为π﹣α，则|PC |•|QC |=当且仅当α=45°时，|PC |•|QC |的最小值为24，此时l' 的方程为x +y ﹣7=0．
【点评】本题考查了中点坐标公式、相互垂直的直线斜率之间的关系、点斜式、直线的交点、直角三角形的面积计算公式，考查直线方程，考查了计算能力，属于中档题．
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