突破难点：绳末端速度分解问题及练习
1．如图所示，套在竖直细杆上的环A 由跨过定滑轮的不可伸长的轻绳与重物B 相连．由
于B 的质量较大，故在释放B 后，A 将沿杆上升，当A 环上升至定滑轮的连线处于水平位置时，其上升速度v 1≠0，若这时B 的速度为v 2，则 (
)
A ．v 2＝v 1
C ．v 2≠0
[答案] D
[解析] 环上升过程其速度v 1可分解为两个分速度v ∥和v ⊥，如图所示，v ∥＝v 2＝v 1·cos θ，
当θ＝90°时，cos θ＝0，v ∥＝v 2＝
0. B ．v 2>v 1 D ．v 2＝0
2．如图所示，A 、B 两物体系在跨过光滑定滑轮的一根轻绳的两端，当A 物体以速度v
向左运动时，系A ，B 的绳分别与水平方向成α、β角，此时B 物体的速度大小为________，方向________．
[答案] cos α 水平向右 cos β
[解析] 根据A ，B 两物体的运动情况，将两物体此时的速度v 和v B 分别分解为两个分
速度v 1(沿绳的分量) 和v 2(垂直绳的分量) 以及v B 1(沿绳的分量) 和v B 2(垂直绳的分量) ，如图，由于两物体沿绳的速度分量相等，v 1＝v B 1，v cos α＝v B cos β.
cos α则B 物体的速度方向水平向右，其大小为v B ＝v cos β
3．如图所示，点光源S 到平面镜M 的距离为d . 光屏AB 与平面镜的初始位置平行．当
平面镜M 绕垂直于纸面过中心O 的转轴以ω的角速度逆时针匀速转过30°时，垂直射向平
面镜的光线SO 在光屏上的光斑P 的即时速度大小为多大？
[答案] 8ωd
[解析] 当平面镜转过30°角时，反射光线转过60°角，反射光线转动的角速度为平面镜
转动角速度的2倍，即为2ω. 将P 点速度沿OP 方向和垂直于OP 的方向进行分解，可得：
v cos60°＝2ω·OP ＝4ωd，所以v ＝8ωd.
4. 如图6所示，用一根长杆和两个定滑轮的组合装置来提升重物M ，
长杆的一端放在地上通过铰链联结形成转轴，其端点恰好处于左侧滑轮
正下方O 点处，在杆的中点C 处拴一细绳，绕过两个滑轮后挂上重物
M . C 点与O 点距离为l . 现在杆的另一端用力．使其逆时针匀速转动，由 图6
竖直位置以角速度ω缓缓转至水平位置(转过了90°角) ，此过程中下述说法中正确的是
( )
A ．重物M 做匀速直线运动
B ．重物M 做匀变速直线运动
C ．重物M 的最大速度是ωl
D ．重物M 的速度先减小后增大
解析：由题知，C 点的速度大小为v C ＝ωl，设v C 与绳之间的夹角为θ，把v C 沿绳和垂
直绳方向分解可得，v 绳＝v C cos θ，在转动过程中θ先减小到零再反向增大，故v 绳先增大后减小，重物M 做变加速运动，其最大速度为ωl，C 正确．
5. 一辆车通过一根跨过定滑轮的轻绳子提升一个质量为m 的重
物，开始车在滑轮的正下方，绳子的端点离滑轮的距离是H . 车由静止
开始向左做匀加速运动，经过时间t 绳子与水平方向的夹角为θ，如
图9所示，试求：
(1)车向左运动的加速度的大小； 图9
(2)重物m 在t 时刻速度的大小．
解析：(1)汽车在时间t 内向左走的位移：x ＝
1又汽车匀加速运动x 2
2H ， tan θ
所以a ＝2x 2H t t ·tan θ
2H t ·tan θ(2)此时汽车的速度v 汽＝at ＝
由运动的分解知识可知，汽车速度v 汽沿绳的分速度与重物m 的速度相等，即v 物＝v 汽
cos θ
得v 物＝2H cos θ2H 2H cos θ. 答案：(1) t ·tan θt ·tan θt ·tan θ
6．如图4－1－3所示，物体A 和B 质量均为m ，且分别与轻绳连接
跨过光滑轻质定滑轮，B 放在水平面上，A 与悬绳竖直．用力F 拉B
沿水平面向左匀速运动过程中，绳对A 的拉力的大小是
( )
A. 一定大于mg B ．总等于mg
C ．一定小于mg D ．以上三项都不正确
解析：物体B 向左的速度vB 是合速度，
根据其效果，分解为如右图所示的两
个速度v 1和v 2，其中v 2＝vA ，又因为v 2
＝vB cos θ，所以当物体B 向左匀速运动
时，vB 大小不变，θ变小，cos θ变大，即A 向上做加速运动，由牛
顿第二定律得F T －mg ＝ma ，所以绳的拉力F T ＝mg ＋ma ＞mg . 故正
确答案为A.
7. 如图4－1－6所示，一个长直轻杆两端分别固定一个小球A 和B ，两球的质量均为m ，两球半径忽略不计，杆AB 的长度为l ，现将杆AB 竖直靠放在竖直墙上，
l 轻轻振动小球B ，使小球B 在水平地面上由静止向右运动，求当A 球沿墙下滑距离为时A 、2
B 两球的速度v A 和v B 的大小．(不计一切摩擦)
A 、B 两球速度的分解情况如图4－1－7所示，由题意知，θ＝30°，由运动的合成与分解得 v A sin θ＝v B cos θ
又A 、B 组成的系统机械能守恒，所以
mg l ＝1v 1A 2＋m v B 2222
由①②解得v 11
A ＝23gl ，v B ＝2gl .
②
突破难点：绳末端速度分解问题及练习
1．如图所示，套在竖直细杆上的环A 由跨过定滑轮的不可伸长的轻绳与重物B 相连．由
于B 的质量较大，故在释放B 后，A 将沿杆上升，当A 环上升至定滑轮的连线处于水平位置时，其上升速度v 1≠0，若这时B 的速度为v 2，则 (
)
A ．v 2＝v 1
C ．v 2≠0
[答案] D
[解析] 环上升过程其速度v 1可分解为两个分速度v ∥和v ⊥，如图所示，v ∥＝v 2＝v 1·cos θ，
当θ＝90°时，cos θ＝0，v ∥＝v 2＝
0. B ．v 2>v 1 D ．v 2＝0
2．如图所示，A 、B 两物体系在跨过光滑定滑轮的一根轻绳的两端，当A 物体以速度v
向左运动时，系A ，B 的绳分别与水平方向成α、β角，此时B 物体的速度大小为________，方向________．
[答案] cos α 水平向右 cos β
[解析] 根据A ，B 两物体的运动情况，将两物体此时的速度v 和v B 分别分解为两个分
速度v 1(沿绳的分量) 和v 2(垂直绳的分量) 以及v B 1(沿绳的分量) 和v B 2(垂直绳的分量) ，如图，由于两物体沿绳的速度分量相等，v 1＝v B 1，v cos α＝v B cos β.
cos α则B 物体的速度方向水平向右，其大小为v B ＝v cos β
3．如图所示，点光源S 到平面镜M 的距离为d . 光屏AB 与平面镜的初始位置平行．当
平面镜M 绕垂直于纸面过中心O 的转轴以ω的角速度逆时针匀速转过30°时，垂直射向平
面镜的光线SO 在光屏上的光斑P 的即时速度大小为多大？
[答案] 8ωd
[解析] 当平面镜转过30°角时，反射光线转过60°角，反射光线转动的角速度为平面镜
转动角速度的2倍，即为2ω. 将P 点速度沿OP 方向和垂直于OP 的方向进行分解，可得：
v cos60°＝2ω·OP ＝4ωd，所以v ＝8ωd.
4. 如图6所示，用一根长杆和两个定滑轮的组合装置来提升重物M ，
长杆的一端放在地上通过铰链联结形成转轴，其端点恰好处于左侧滑轮
正下方O 点处，在杆的中点C 处拴一细绳，绕过两个滑轮后挂上重物
M . C 点与O 点距离为l . 现在杆的另一端用力．使其逆时针匀速转动，由 图6
竖直位置以角速度ω缓缓转至水平位置(转过了90°角) ，此过程中下述说法中正确的是
( )
A ．重物M 做匀速直线运动
B ．重物M 做匀变速直线运动
C ．重物M 的最大速度是ωl
D ．重物M 的速度先减小后增大
解析：由题知，C 点的速度大小为v C ＝ωl，设v C 与绳之间的夹角为θ，把v C 沿绳和垂
直绳方向分解可得，v 绳＝v C cos θ，在转动过程中θ先减小到零再反向增大，故v 绳先增大后减小，重物M 做变加速运动，其最大速度为ωl，C 正确．
5. 一辆车通过一根跨过定滑轮的轻绳子提升一个质量为m 的重
物，开始车在滑轮的正下方，绳子的端点离滑轮的距离是H . 车由静止
开始向左做匀加速运动，经过时间t 绳子与水平方向的夹角为θ，如
图9所示，试求：
(1)车向左运动的加速度的大小； 图9
(2)重物m 在t 时刻速度的大小．
解析：(1)汽车在时间t 内向左走的位移：x ＝
1又汽车匀加速运动x 2
2H ， tan θ
所以a ＝2x 2H t t ·tan θ
2H t ·tan θ(2)此时汽车的速度v 汽＝at ＝
由运动的分解知识可知，汽车速度v 汽沿绳的分速度与重物m 的速度相等，即v 物＝v 汽
cos θ
得v 物＝2H cos θ2H 2H cos θ. 答案：(1) t ·tan θt ·tan θt ·tan θ
6．如图4－1－3所示，物体A 和B 质量均为m ，且分别与轻绳连接
跨过光滑轻质定滑轮，B 放在水平面上，A 与悬绳竖直．用力F 拉B
沿水平面向左匀速运动过程中，绳对A 的拉力的大小是
( )
A. 一定大于mg B ．总等于mg
C ．一定小于mg D ．以上三项都不正确
解析：物体B 向左的速度vB 是合速度，
根据其效果，分解为如右图所示的两
个速度v 1和v 2，其中v 2＝vA ，又因为v 2
＝vB cos θ，所以当物体B 向左匀速运动
时，vB 大小不变，θ变小，cos θ变大，即A 向上做加速运动，由牛
顿第二定律得F T －mg ＝ma ，所以绳的拉力F T ＝mg ＋ma ＞mg . 故正
确答案为A.
7. 如图4－1－6所示，一个长直轻杆两端分别固定一个小球A 和B ，两球的质量均为m ，两球半径忽略不计，杆AB 的长度为l ，现将杆AB 竖直靠放在竖直墙上，
l 轻轻振动小球B ，使小球B 在水平地面上由静止向右运动，求当A 球沿墙下滑距离为时A 、2
B 两球的速度v A 和v B 的大小．(不计一切摩擦)
A 、B 两球速度的分解情况如图4－1－7所示，由题意知，θ＝30°，由运动的合成与分解得 v A sin θ＝v B cos θ
又A 、B 组成的系统机械能守恒，所以
mg l ＝1v 1A 2＋m v B 2222
由①②解得v 11
A ＝23gl ，v B ＝2gl .
②