知识要点梳理 知识点一：命题
1. 定义：
一般地，我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的语句叫做命题. （1）命题由题设和结论两部分构成. 命题通常用小写英文字母表示，如p,q,r,m,n 等.
（2）命题有真假之分，正确的命题叫做真命题，错误的命题叫做假命题. 数学中的定义、公理、定理等都是真命题 （3）命题“① 若要判断命题“判断。如：
”的真假判定方式：
”是一个真命题，需要严格的逻辑推理；有时在推导时加上语气词“一定”能帮助
一定推出.
”是一个假命题，只需要找到一个反例即可.
② 若要判断命题“ 注意：“
不一定等于3”不能判定真假，它不是命题.
2. 逻辑联结词：
“或”、“且”、“非”这些词叫做逻辑联结词.
（1）不含逻辑联结词的命题叫简单命题，由简单命题与逻辑联结词构成的命题叫复合命题. （2）复合命题的构成形式：
①p 或q ；②p 且q ；③非p （即命题p 的否定）. （3
①当p 、q 同时为假时，“p 或q ”为假，其它情况时为真，可简称为“一真必真”； ②当p 、q 同时为真时，“p 且q ”为真，其它情况时为假，可简称为“一假必假”。 ③“非p ”与p 的真假相反. 注意：
（1）逻辑连结词“或”的理解是难点，“或”有三层含义，以“p 或q ”为例：一是p 成立
且q 不成立，二是p 不成立但q 成立，三是p 成立且q 也成立。可以类比于集合中“（2）“或”、“且”联结的命题的否定形式：
“p 或q ”的否定是“
p 且
q ”； “p 且q ” 的否定是“
p 或
q ”.
或
”.
（3）对命题的否定只是否定命题的结论；否命题，既否定题设，又否定结论。
知识点二：四种命题
1. 四种命题的形式：
p 和
q 分别表示p 和q 的否定，则四种命题的形式为：
用p 和q 分别表示原命题的条件和结论，用
原命题：若p 则q ； 逆命题：若q 则p ； 否命题：若
p 则
q ； 逆否命题：若
q 则
p.
2. 四种命题的关系
①原命题 ②逆命题
逆否命题. 它们具有相同的真假性，是命题转化的依据和途径之一.
否命题，它们之间互为逆否关系，具有相同的真假性，是命题转化的另一依据和途径.
除①、②之外，四种命题中其它两个命题的真伪无必然联系.
命题与集合之间可以建立对应关系，在这样的对应下，逻辑联结词和集合的运算具有一致性，命题的“且”、“或”、“非”恰好分别对应集合的“交”、“并”、“补”，因此，我们就可以从集合的角度进一步认识有关这些逻辑联结词的规定。
知识点三：充分条件与必要条件
1. 定义：
对于“若p 则q ”形式的命题： ①若p ②若p
q ，则p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件； q ，但q
p ，则p 是q 的充分不必要条件，q 是p 的必要不充分条件；
p ，记作p
q ，则p 是q 的充分必要条件（充要条件）.
③若既有p 2. 理解认知：
q ，又有q
（1）在判断充分条件与必要条件时，首先要分清哪是条件，哪是结论；然后用条件推结论，
再用结论 推条件，最后进行判断.
（2）充要条件即等价条件，也是完成命题转化的理论依据. “当且仅当”. “有且仅有”. “必须且只须”. “等价于”“„反过来也成立”等均为充要条件的同义词语. 3. 判断命题充要条件的三种方法 （1）定义法：
（2）等价法：由于原命题与它的逆否命题等价，否命题与逆命题等价，因此，如果原
命题与逆命题真假不好判断时，还可以转化为逆否命题与否命题来判断．即利用
与
；
与
；
与
的等价关系，对于
条件或结论是不等关系（或否定式）的命题，一般运用等价法.
(3) 利用集合间的包含关系判断，比如A
B
A ，即A
B.
B 可判断为A B ；A=B可判断为A B ，且
如图： “ “
”
”
“
“
，且
”
是
”
是
的充分不必要条件.
的充分必要条件.
知识点四：全称量词与存在量词
1. 全称量词与存在量词
全称量词及表示：表示全体的量词称为全称量词。表示形式为“所有”、“任意”、“每一个”等，通常用符号“
”表示，读作“对任意”。含有全称量词的命题，叫做全称命题。全称命题“对M 中任意一个x ，有p(x)
”，其中M 为给定的集合，p(x)是关于x 的命题.
成立”可表示为“
（II ）存在量词及表示：表示部分的量称为存在量词。表示形式为“有一个”，“存在一个”, “至少有一个”，“有点”, “有些”等，通常用符号“”表示，读作“存在”。含有 存在量词的命题，叫做特称命题 特称命题“存在M 中的一个x ，使p(x)成立”可表示 为“
”，其中M 为给定的集合，p(x)是关于x 的命题.
2. 对含有一个量词的命题进行否定
（I ）对含有一个量词的全称命题的否定 全称命题p ：
，他的否定
：
全称命题的否定是特称命题。
（II ）对含有一个量词的特称命题的否定 特称命题p ：注意：
（1）命题的否定与命题的否命题是不同的. 命题的否定只对命题的结论进行否定（否定一
次），而命题的否命题则需要对命题的条件和结论同时进行否定（否定二次）。 （2
，他的否定： 特称命题的否定是全称命题。
总结升华：
1. 判断复合命题的真假的步骤： ①确定复合命题的构成形式； ②判断其中简单命题p 和q 的真假；
③根据规定（或真假表）判断复合命题的真假. 2. 条件“
或
”是“或”的关系，否定时要注意.
【典例精析】 1. 四种命题的关系
关于逆命题、否命题、逆否命题，也可以有如下表述： 第一：交换原命题的条件和结论，所得的命题为逆命题； 第二：同时否定原命题的条件和结论，所得的命题为否命题；
第三：交换原命题的条件和结论，并且同时否定，所得的命题为逆否命题；
例1（2009重庆卷文）命题“若一个数是负数，则它的平方是正数”的逆命题是（ ） A ．“若一个数是负数，则它的平方不是正数” B ．“若一个数的平方是正数，则它是负数” C ．“若一个数不是负数，则它的平方不是正数” D ．“若一个数的平方不是正数，则它不是负数” 答案 B
解析 因为一个命题的逆命题是将原命题的条件与结论进行交换，因此逆命题为“若一个数的平方是正数，则它是负数”
例2(07重庆) 命题：“若x 21，或x 1 D.若x ≥1，或x ≤-1，则x 2≥1 答案:D.
例3（2005年江苏卷）命题“若a >b ，则2a >2b -1”的否命题为__________. 答案 若a ≤b ，则2a ≤2b -1
点评: 否命题不同于命题否定: 对命题的否定只是否定命题的结论，而否命题既否定题设又否定结论. 2命题真假的判断
例4(08广东理) 已知命题p :所有有理数都是实数，命题q :正数的对数都是负数，则下列命题中为真命题的是（ D ）
A ．(⌝p ) ∨q
B ．p ∧q
C ．(⌝p ) ∧(⌝q )
D ．(⌝p ) ∨(⌝q )
【解析】不难判断命题p 为真命题，命题q 为假命题，从而上述叙述中只有(⌝p ) ∨(⌝q ) 为真命题.
p 或q ：同假为假，一真为真； p且q ：同真为真，一点评: 真假判断（真值表）可概括为: 假为假；非p ： 真假相反，真假假真 例5（2009江西卷文）下列命题是真命题的为 A．若
11
=, 则x =y x y
B ．若x 2=1, 则x =1
C ．若x =y ,
= D．若x
11
=得x =y , 而由x 2=1得x =±1, 由x =
y , 而 x y
x
2. 全称命题和特称命题的否定
全称命题的否定是特称命题, 特称命题的否定是特称命题. 但同一个特称或全称命题由于语言环境的不同, 可有不同的表述方法, 在实际应用中要灵活选择. 例6（2009天津卷理）命题“存在x 0∈R ，2x 0≤0”的否定是 A. 不存在x 0∈R, 2x 0>0 B. 存在x 0∈R, 2x 0≥0 C. 对任意的x ∈R, 2x ≤0 D. 对任意的x ∈R, 2x >0 【考点定位】本小考查四种命题的改写，基础题
解析：由题否定即“不存在x 0∈R ，使2x 0≤0”，故选择D 。 例7（07宁夏）已知命题p ：∀x ∈R , sin x ≤1，则（ ） A. ⌝p :∃x ∈R , sin x ≥1 B. ⌝p :∀x ∈R , sin x ≥1 C. ⌝p :∃x ∈R , sin x >1 D. ⌝p :∀x ∈R , sin x >1
答案:C.
例8(07山东) 命题“对任意的x ∈R , x 3-x 2+1≤0”的否定是（ ） A. 不存在x ∈R , x 3-x 2+1≤0 B.存在x ∈R , x 3-x 2+1≥0 C. 存在x ∈R , x 3-x 2+1>0 D. 对任意的x ∈R , x 3-x 2+1>0 答案:C.
3 充要条件的判断
例9（2009安徽4）下列选项中，p 是q 的必要不充分条件的是
（A ）p:a +c ＞b+d , q:a ＞b 且c ＞d
（B ）p:a＞1,b>1 q:f (x ) =a x -b (a >0，且a ≠1) 的图像不过第二象限 （C ）p: x=1, q:x 2=x
（D ）p:a＞1, q: f (x ) =log a x (a >0，且a ≠1) 在(0,+∞) 上为增函数 例10．（2009北京5）“α=
π
6
+2k π(k ∈Z ) ”是“cos 2α=
1
”的（ ） 2
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【解析】本题主要考查三角函数的基本概念、简易逻辑中充要条件的判断. 属于基础知识、基本运算的考查. 当α=
π
π⎫π1⎛
+2k π(k ∈Z ) 时，cos 2α=cos 4k π+⎪=cos =， 63⎭32⎝
1ππ
时，有2α=2k π+⇒α=k π+(k ∈Z )， 236
反之，当cos 2α=
或2α=2k π-
π
3
⇒α=k π-
π
6
(k ∈Z )，故应选A.
例11(湖南文) “x -
A ．充分不必要条件 B.必要不充分条件 C ．充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 【答案】A
【解析】由x -
点评:不等式解集问题可类比集合间的包含关系判断, 大范围推出小范围. [专题训练]
1. 知真假性求参数
例已知p ：x 2+mx +1=0有两个不等的负根，q ：4x 2+4(m -2) x +1=0无实根．若p 或q 为真，p 且q 为假，求m 的取值范围．
分析：由p 或q 为真，知p 、q 必有其一为真，由p 且q 为假，知p 、q 必有一个为假，所以，“p 假且q 真”或“p 真且q 假”.可先求出命题p 及命题q 为真的条件，再分类讨论． 解：p ：x 2+mx +1=0有两个不等的负根．
⎧⎪∆=m 2-4>0⇔⎨1⇔m >2 ⎪-m
q ：4x 2+4(m -2) x +1=0无实根．
⇔∆2=16(m -2) 2-16
p 或q 为真，p 且q 为假，所以p 与q 的真值相反．
(ⅰ) 当p 真且q 假时，有⎨(ⅱ) 当p 假且q 真时，有⎨
m >2⎧
⇒m ≥3；
⎩m ≤1或m ≥3
⎧m ≤2
⇒1
综合，得m 的取值范围是{m
例1 已知抛物线C: y =-x 2+mx -1和点A （3，0），B(0,3).求证：抛物线C 与线段AB 有两个不同的交点的充要条件是3
由已知得，线段AB 的方程为y=-x+3（0≤x ≤3） 由于抛物线C 和线段AB 有两个不同的交点，
10
3
⎧y =-x 2+mx -1
所以方程组⎨（*）有两个不同的实数解
⎩y =-x +3(0≤x ≤3) 消元得：x 2-(m +1) x +4=0（0≤x ≤3） 设f (x ) =x 2-(m +1) x +4则有
⎧∆=(m +1) 2-4⨯4>0⎪
f (0)=4≥0⎪10⎪
3
3⎪
m +1⎪0
⎪⎩2
（2）充分性 当3
10时
3
x 1=>>
x 2=≤=3
∴方程x 2-(m +1) x +4=0有两个不等的实根x 1，x 2，且0
因此，抛物线y =-x 2+mx -1和线段AB 有两个不同交点的充要条件是3
例2.(08江苏) 若f 1(x )=3x -p 1，f 2(x )=23x -p 2，x ∈R , p 1, p 2为常数，
⎧⎪f (x ), f 1(x )≤f 2(x )且f (x )=⎨1
⎪⎩f 2(x ), f 1(x )>f 2(x )
10
3
（Ⅰ）求f (x )=f 1(x )对所有实数成立的充要条件（用p 1, p 2表示）；
【解析】本小题考查充要条件、指数函数与绝对值函数、不等式的综合运用． （Ⅰ）f (x )=f 1(x )恒成立⇔f 1(x )≤f 2(x )⇔3
x -p 1
≤23
x -p 2
⇔3
x -p 1-x -p 2
≤3log 32
⇔x -p 1-x -p 2≤log 32（*）
因为x -p 1-x -p 2≤(x -p 1)-(x -p 2)=p 1-p 2 所以，故只需p 1-p 2≤log 32（*）恒成立
综上所述，f (x )=f 1(x )对所有实数成立的充要条件是：p 1-p 2≤log 32
知识要点梳理 知识点一：命题
1. 定义：
一般地，我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的语句叫做命题. （1）命题由题设和结论两部分构成. 命题通常用小写英文字母表示，如p,q,r,m,n 等.
（2）命题有真假之分，正确的命题叫做真命题，错误的命题叫做假命题. 数学中的定义、公理、定理等都是真命题 （3）命题“① 若要判断命题“判断。如：
”的真假判定方式：
”是一个真命题，需要严格的逻辑推理；有时在推导时加上语气词“一定”能帮助
一定推出.
”是一个假命题，只需要找到一个反例即可.
② 若要判断命题“ 注意：“
不一定等于3”不能判定真假，它不是命题.
2. 逻辑联结词：
“或”、“且”、“非”这些词叫做逻辑联结词.
（1）不含逻辑联结词的命题叫简单命题，由简单命题与逻辑联结词构成的命题叫复合命题. （2）复合命题的构成形式：
①p 或q ；②p 且q ；③非p （即命题p 的否定）. （3
①当p 、q 同时为假时，“p 或q ”为假，其它情况时为真，可简称为“一真必真”； ②当p 、q 同时为真时，“p 且q ”为真，其它情况时为假，可简称为“一假必假”。 ③“非p ”与p 的真假相反. 注意：
（1）逻辑连结词“或”的理解是难点，“或”有三层含义，以“p 或q ”为例：一是p 成立
且q 不成立，二是p 不成立但q 成立，三是p 成立且q 也成立。可以类比于集合中“（2）“或”、“且”联结的命题的否定形式：
“p 或q ”的否定是“
p 且
q ”； “p 且q ” 的否定是“
p 或
q ”.
或
”.
（3）对命题的否定只是否定命题的结论；否命题，既否定题设，又否定结论。
知识点二：四种命题
1. 四种命题的形式：
p 和
q 分别表示p 和q 的否定，则四种命题的形式为：
用p 和q 分别表示原命题的条件和结论，用
原命题：若p 则q ； 逆命题：若q 则p ； 否命题：若
p 则
q ； 逆否命题：若
q 则
p.
2. 四种命题的关系
①原命题 ②逆命题
逆否命题. 它们具有相同的真假性，是命题转化的依据和途径之一.
否命题，它们之间互为逆否关系，具有相同的真假性，是命题转化的另一依据和途径.
除①、②之外，四种命题中其它两个命题的真伪无必然联系.
命题与集合之间可以建立对应关系，在这样的对应下，逻辑联结词和集合的运算具有一致性，命题的“且”、“或”、“非”恰好分别对应集合的“交”、“并”、“补”，因此，我们就可以从集合的角度进一步认识有关这些逻辑联结词的规定。
知识点三：充分条件与必要条件
1. 定义：
对于“若p 则q ”形式的命题： ①若p ②若p
q ，则p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件； q ，但q
p ，则p 是q 的充分不必要条件，q 是p 的必要不充分条件；
p ，记作p
q ，则p 是q 的充分必要条件（充要条件）.
③若既有p 2. 理解认知：
q ，又有q
（1）在判断充分条件与必要条件时，首先要分清哪是条件，哪是结论；然后用条件推结论，
再用结论 推条件，最后进行判断.
（2）充要条件即等价条件，也是完成命题转化的理论依据. “当且仅当”. “有且仅有”. “必须且只须”. “等价于”“„反过来也成立”等均为充要条件的同义词语. 3. 判断命题充要条件的三种方法 （1）定义法：
（2）等价法：由于原命题与它的逆否命题等价，否命题与逆命题等价，因此，如果原
命题与逆命题真假不好判断时，还可以转化为逆否命题与否命题来判断．即利用
与
；
与
；
与
的等价关系，对于
条件或结论是不等关系（或否定式）的命题，一般运用等价法.
(3) 利用集合间的包含关系判断，比如A
B
A ，即A
B.
B 可判断为A B ；A=B可判断为A B ，且
如图： “ “
”
”
“
“
，且
”
是
”
是
的充分不必要条件.
的充分必要条件.
知识点四：全称量词与存在量词
1. 全称量词与存在量词
全称量词及表示：表示全体的量词称为全称量词。表示形式为“所有”、“任意”、“每一个”等，通常用符号“
”表示，读作“对任意”。含有全称量词的命题，叫做全称命题。全称命题“对M 中任意一个x ，有p(x)
”，其中M 为给定的集合，p(x)是关于x 的命题.
成立”可表示为“
（II ）存在量词及表示：表示部分的量称为存在量词。表示形式为“有一个”，“存在一个”, “至少有一个”，“有点”, “有些”等，通常用符号“”表示，读作“存在”。含有 存在量词的命题，叫做特称命题 特称命题“存在M 中的一个x ，使p(x)成立”可表示 为“
”，其中M 为给定的集合，p(x)是关于x 的命题.
2. 对含有一个量词的命题进行否定
（I ）对含有一个量词的全称命题的否定 全称命题p ：
，他的否定
：
全称命题的否定是特称命题。
（II ）对含有一个量词的特称命题的否定 特称命题p ：注意：
（1）命题的否定与命题的否命题是不同的. 命题的否定只对命题的结论进行否定（否定一
次），而命题的否命题则需要对命题的条件和结论同时进行否定（否定二次）。 （2
，他的否定： 特称命题的否定是全称命题。
总结升华：
1. 判断复合命题的真假的步骤： ①确定复合命题的构成形式； ②判断其中简单命题p 和q 的真假；
③根据规定（或真假表）判断复合命题的真假. 2. 条件“
或
”是“或”的关系，否定时要注意.
【典例精析】 1. 四种命题的关系
关于逆命题、否命题、逆否命题，也可以有如下表述： 第一：交换原命题的条件和结论，所得的命题为逆命题； 第二：同时否定原命题的条件和结论，所得的命题为否命题；
第三：交换原命题的条件和结论，并且同时否定，所得的命题为逆否命题；
例1（2009重庆卷文）命题“若一个数是负数，则它的平方是正数”的逆命题是（ ） A ．“若一个数是负数，则它的平方不是正数” B ．“若一个数的平方是正数，则它是负数” C ．“若一个数不是负数，则它的平方不是正数” D ．“若一个数的平方不是正数，则它不是负数” 答案 B
解析 因为一个命题的逆命题是将原命题的条件与结论进行交换，因此逆命题为“若一个数的平方是正数，则它是负数”
例2(07重庆) 命题：“若x 21，或x 1 D.若x ≥1，或x ≤-1，则x 2≥1 答案:D.
例3（2005年江苏卷）命题“若a >b ，则2a >2b -1”的否命题为__________. 答案 若a ≤b ，则2a ≤2b -1
点评: 否命题不同于命题否定: 对命题的否定只是否定命题的结论，而否命题既否定题设又否定结论. 2命题真假的判断
例4(08广东理) 已知命题p :所有有理数都是实数，命题q :正数的对数都是负数，则下列命题中为真命题的是（ D ）
A ．(⌝p ) ∨q
B ．p ∧q
C ．(⌝p ) ∧(⌝q )
D ．(⌝p ) ∨(⌝q )
【解析】不难判断命题p 为真命题，命题q 为假命题，从而上述叙述中只有(⌝p ) ∨(⌝q ) 为真命题.
p 或q ：同假为假，一真为真； p且q ：同真为真，一点评: 真假判断（真值表）可概括为: 假为假；非p ： 真假相反，真假假真 例5（2009江西卷文）下列命题是真命题的为 A．若
11
=, 则x =y x y
B ．若x 2=1, 则x =1
C ．若x =y ,
= D．若x
11
=得x =y , 而由x 2=1得x =±1, 由x =
y , 而 x y
x
2. 全称命题和特称命题的否定
全称命题的否定是特称命题, 特称命题的否定是特称命题. 但同一个特称或全称命题由于语言环境的不同, 可有不同的表述方法, 在实际应用中要灵活选择. 例6（2009天津卷理）命题“存在x 0∈R ，2x 0≤0”的否定是 A. 不存在x 0∈R, 2x 0>0 B. 存在x 0∈R, 2x 0≥0 C. 对任意的x ∈R, 2x ≤0 D. 对任意的x ∈R, 2x >0 【考点定位】本小考查四种命题的改写，基础题
解析：由题否定即“不存在x 0∈R ，使2x 0≤0”，故选择D 。 例7（07宁夏）已知命题p ：∀x ∈R , sin x ≤1，则（ ） A. ⌝p :∃x ∈R , sin x ≥1 B. ⌝p :∀x ∈R , sin x ≥1 C. ⌝p :∃x ∈R , sin x >1 D. ⌝p :∀x ∈R , sin x >1
答案:C.
例8(07山东) 命题“对任意的x ∈R , x 3-x 2+1≤0”的否定是（ ） A. 不存在x ∈R , x 3-x 2+1≤0 B.存在x ∈R , x 3-x 2+1≥0 C. 存在x ∈R , x 3-x 2+1>0 D. 对任意的x ∈R , x 3-x 2+1>0 答案:C.
3 充要条件的判断
例9（2009安徽4）下列选项中，p 是q 的必要不充分条件的是
（A ）p:a +c ＞b+d , q:a ＞b 且c ＞d
（B ）p:a＞1,b>1 q:f (x ) =a x -b (a >0，且a ≠1) 的图像不过第二象限 （C ）p: x=1, q:x 2=x
（D ）p:a＞1, q: f (x ) =log a x (a >0，且a ≠1) 在(0,+∞) 上为增函数 例10．（2009北京5）“α=
π
6
+2k π(k ∈Z ) ”是“cos 2α=
1
”的（ ） 2
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【解析】本题主要考查三角函数的基本概念、简易逻辑中充要条件的判断. 属于基础知识、基本运算的考查. 当α=
π
π⎫π1⎛
+2k π(k ∈Z ) 时，cos 2α=cos 4k π+⎪=cos =， 63⎭32⎝
1ππ
时，有2α=2k π+⇒α=k π+(k ∈Z )， 236
反之，当cos 2α=
或2α=2k π-
π
3
⇒α=k π-
π
6
(k ∈Z )，故应选A.
例11(湖南文) “x -
A ．充分不必要条件 B.必要不充分条件 C ．充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 【答案】A
【解析】由x -
点评:不等式解集问题可类比集合间的包含关系判断, 大范围推出小范围. [专题训练]
1. 知真假性求参数
例已知p ：x 2+mx +1=0有两个不等的负根，q ：4x 2+4(m -2) x +1=0无实根．若p 或q 为真，p 且q 为假，求m 的取值范围．
分析：由p 或q 为真，知p 、q 必有其一为真，由p 且q 为假，知p 、q 必有一个为假，所以，“p 假且q 真”或“p 真且q 假”.可先求出命题p 及命题q 为真的条件，再分类讨论． 解：p ：x 2+mx +1=0有两个不等的负根．
⎧⎪∆=m 2-4>0⇔⎨1⇔m >2 ⎪-m
q ：4x 2+4(m -2) x +1=0无实根．
⇔∆2=16(m -2) 2-16
p 或q 为真，p 且q 为假，所以p 与q 的真值相反．
(ⅰ) 当p 真且q 假时，有⎨(ⅱ) 当p 假且q 真时，有⎨
m >2⎧
⇒m ≥3；
⎩m ≤1或m ≥3
⎧m ≤2
⇒1
综合，得m 的取值范围是{m
例1 已知抛物线C: y =-x 2+mx -1和点A （3，0），B(0,3).求证：抛物线C 与线段AB 有两个不同的交点的充要条件是3
由已知得，线段AB 的方程为y=-x+3（0≤x ≤3） 由于抛物线C 和线段AB 有两个不同的交点，
10
3
⎧y =-x 2+mx -1
所以方程组⎨（*）有两个不同的实数解
⎩y =-x +3(0≤x ≤3) 消元得：x 2-(m +1) x +4=0（0≤x ≤3） 设f (x ) =x 2-(m +1) x +4则有
⎧∆=(m +1) 2-4⨯4>0⎪
f (0)=4≥0⎪10⎪
3
3⎪
m +1⎪0
⎪⎩2
（2）充分性 当3
10时
3
x 1=>>
x 2=≤=3
∴方程x 2-(m +1) x +4=0有两个不等的实根x 1，x 2，且0
因此，抛物线y =-x 2+mx -1和线段AB 有两个不同交点的充要条件是3
例2.(08江苏) 若f 1(x )=3x -p 1，f 2(x )=23x -p 2，x ∈R , p 1, p 2为常数，
⎧⎪f (x ), f 1(x )≤f 2(x )且f (x )=⎨1
⎪⎩f 2(x ), f 1(x )>f 2(x )
10
3
（Ⅰ）求f (x )=f 1(x )对所有实数成立的充要条件（用p 1, p 2表示）；
【解析】本小题考查充要条件、指数函数与绝对值函数、不等式的综合运用． （Ⅰ）f (x )=f 1(x )恒成立⇔f 1(x )≤f 2(x )⇔3
x -p 1
≤23
x -p 2
⇔3
x -p 1-x -p 2
≤3log 32
⇔x -p 1-x -p 2≤log 32（*）
因为x -p 1-x -p 2≤(x -p 1)-(x -p 2)=p 1-p 2 所以，故只需p 1-p 2≤log 32（*）恒成立
综上所述，f (x )=f 1(x )对所有实数成立的充要条件是：p 1-p 2≤log 32