中考数学压轴题及答案
1. 如图:抛物线经过A (-3,0)、B (0,4)、C (4,0)三点.
(1) 求抛物线的解析式.
(2)已知AD = AB(D 在线段AC 上),有一动点P 从点A 沿线段AC 以每秒1个单位长度的速度移动;同时另一个动点Q 以某一速度从点B 沿线段BC 移动,经过t 秒的移动,线段PQ 被BD 垂直平分,求t 的值;
(3)在(2)的情况下,抛物线的对称轴上是否存在一点M ,使MQ+MC的值最小?若存在,请求出点M 的坐标;若不存在,请说明理由。
(注:抛物线y =ax 2+bx +c 的对称轴为x =-b ) 2a
解:设抛物线的解析式为y =ax 2+bx +c (a ≠0) ,
1⎧a =-⎪⎧9a -3b +4=0⎪3依题意得:c=4且⎨ 解得⎨ 116a +4b +4=0⎩⎪b =⎪3⎩
11 所以 所求的抛物线的解析式为y =-x 2+x +4 33
(2)连接DQ ,在Rt △AOB
中,AB ===5
所以AD=AB= 5,AC=AD+CD=3 + 4 = 7,CD = AC - AD = 7 – 5 = 2
因为BD 垂直平分PQ ,所以PD=QD,PQ ⊥BD ,所以∠PDB=∠QDB
因为AD=AB,所以∠ABD=∠ADB ,∠ABD=∠QDB ,所以DQ ∥AB
所以∠CQD=∠CBA 。∠CDQ=∠CAB ,所以△CDQ ∽ △CAB
DQ CD DQ 210==, DQ = 即AB CA 577
所以AP=AD – DP = AD – DQ=5 –
所以t 的值是25 710252525÷1== ,t = 7777
(3)答对称轴上存在一点M ,使MQ+MC的值最小 理由:因为抛物线的对称轴为x =-
连接AQ 交直线x =1b 1=所以A (- 3,0),C (4,0)两点关于直线x =对称22a 21于点M ,则MQ+MC的值最小过点Q 作QE ⊥x 轴,于E ,所以∠QED=∠BOA=90 2
10
QE DQ DE QE DE ==DQ ∥AB ,∠ BAO=∠QDE , △DQE ∽△ABO 即 所以==BO AB AO 453
86620208QE=,DE=,所以OE = OD + DE=2+=,所以Q (,) 777777
8⎧20⎪k +m =设直线AQ 的解析式为y =kx +m (k ≠0) 则⎨77 由此得
⎪⎩-3k +m =0
1⎧x =⎪824⎪2所以直线AQ 的解析式为y =x + 联立⎨ 4141⎪y =8x +24
⎪⎩4141
1⎧x =由此得⎪ ⎪2⎨⎪y =8x +24
⎪⎩41418⎧k =⎪⎪41 ⎨24⎪m =⎪⎩41 所以M (128128, ) 则:在对称轴上存在点M (, ) ,使MQ+MC的值最小。 241241
2. 如图9,在平面直角坐标系中,二次函数y =ax 2+bx +c (a >0) 的图象的顶点为D 点,与y 轴交于C 点,与x 轴交于A 、B 两点, A点在原点的左侧,B 点的坐标为(3,0),
1OB =OC ,tan∠ACO=. 3
(1)求这个二次函数的表达式.
(2)经过C 、D 两点的直线,与x 轴交于点E ,在该抛物线上是否存在这样的点F ,使以点A 、C 、E 、F 为顶点的四边形为平行四边形?若存在,请求出点F 的坐标;若不存在,请说明理由.
(3)如图10,若点G (2,y )是该抛物线上一点,点P 是直线AG 下方的抛物线上一动点,当点P 运动到什么位置时,△APG 的面积最大?求出此时P 点的坐标和△APG 的最大面积.
(1)由已知得:C (0,-3),A (-1,0) …1分
⎧a -b +c =0⎪将A 、B 、C 三点的坐标代入得⎨9a +3b +c =0 ……………………2分
⎪c =-3⎩
⎧a =1⎪解得:⎨b =-2 ……………………3分
⎪c =-3⎩
所以这个二次函数的表达式为:y =x 2-2x -3 ……………………3分
(2)存在,F 点的坐标为(2,-3) ……………………4分
理由:易得D (1,-4),所以直线CD 的解析式为:y =-x -3
∴E 点的坐标为(-3,0) ……………………4分
由A 、C 、E 、F 四点的坐标得:AE =CF =2,AE ∥CF
∴以A 、C 、E 、F 为顶点的四边形为平行四边形
∴存在点F ,坐标为(2,-3) ……………………5分
(3)过点P 作y 轴的平行线与AG 交于点Q ,
易得G (2,-3),直线AG 为y =-x -1.……………8分
设P (x ,x 2-2x -3),则Q (x ,-x -1),PQ =-x 2+x +2.
S ∆APG =S ∆APQ +S ∆GPQ =1(-x 2+x +2) ⨯3 ……………………9分 2
当x =1时,△APG 的面积最大 2
27⎛115⎫此时P 点的坐标为 , -⎪,S ∆APG 的最大值为. ……………………10分 8⎝24⎭
3. 如图,已知抛物线与x 轴交于A (-1,0)、B (3,0)两点,与y 轴交于点C (0,3)。 ⑴求抛物线的解析式;
⑵设抛物线的顶点为D ,在其对称轴的右侧的抛物线上是否存在点P ,使得△PDC 是等腰三角形?若存在,求出符合条件的点P 的坐标; 若不存在,请说明理由;
⑶若点M 是抛物线上一点,以B 、C 、D 、M 为顶点的四边形是直角梯形,试求出点M 的坐标。
⑴∵抛物线与y 轴交于点C (0,3),
∴设抛物线解析式为y =ax 2+bx +3(a ≠0) ………1分
⎧a -b +3=0, ⎧a =-1, 根据题意,得⎨,解得⎨ ⎩9a +3b +3=0, ⎩b =2.
∴抛物线的解析式为y =-x 2+2x +3………………………………………2分
⑵存在。…………………………………………………………………………3分
由y =-x 2+2x +3得,D 点坐标为(1,4),对称轴为x =1。…………4分
①若以CD 为底边,则PD =PC ,设P 点坐标为(x,y),根据勾股定理,
得x 2+(3-y ) 2=(x -1) 2+(4-y ) 2,即y =4-x 。…………………………5分
又P 点(x,y)在抛物线上,∴4-x =-x 2+2x +3,即x 2-3x +1=0…………6分 解得x =3±53-53+
∴y =4-x =⎛3+5-5⎫5-5⎪。……………………8分 , ,即点P 坐标为 2⎪2⎝2⎭
②若以CD 为一腰,因为点P 在对称轴右侧的抛物线上,由抛物线对称性知,点P 与点C 关于直线x =1对称,此时点P 坐标为(2,3)。
⎛3+55-⎫⎪∴符合条件的点P 坐标为 2, 2⎪或(2,3)。……………………9分
⎝⎭
⑶由B (3,0),C (0,3),D (1,4),根据勾股定理,
得CB =32,CD =2,BD =25, ………………………………………………10分
∴CB 2+CD 2=BD 2=20,
∴∠BCD =90°, ………………………………………………………………………11分
设对称轴交x 轴于点E ,过C 作CM ⊥DE ,交抛物线于点M ,垂足为F ,在Rt △DCF 中,
∵CF =DF =1,
∴∠CDF =45°,
由抛物线对称性可知,∠CDM =2×45°=90°, 点坐标M 为(2,3),
∴DM ∥BC,
∴四边形BCDM 为直角梯形, ………………12分
由∠BCD =90°及题意可知,
以BC 为一底时,顶点M 在抛物线上的直角梯形只有上述一种情况;
以CD 为一底或以BD 为一底,且顶点M 在抛物线上的直角梯形均不存在。
综上所述,符合条件的点M 的坐标为(2,3)。……………13分
4. 已知:抛物线y =ax 2+bx +c 与x 轴交于A 、B 两点,与y 轴交于点C ,其中点B 在x 轴的正半轴上,点C 在y 轴的正半轴上,线段OB 、OC 的长(OB
(1)求A 、B 、C 三点的坐标;
(2)求此抛物线的表达式;
(3)求△ABC 的面积;
(4)若点E 是线段AB 上的一个动点(与点A 、点B 不重合),过点E 作EF ∥AC 交BC 于点F ,连接CE ,设AE 的长为m ,△CEF 的面积为S ,求S 与m 之间的函数关系式,并写出自变量m 的取值范围;
(5)在(4)的基础上试说明S 是否存在最大值,若存在,请求出S 的最大值,并求出此时点E 的坐标,判断此时△BCE 的形状;若不存在,请说明理由.
解:(1)解方程x 2-10x +16=0得x 1=2,x 2=8
∵点B 在x 轴的正半轴上,点C 在y 轴的正半轴上,且OB <OC
∴点B 的坐标为(2,0),点C 的坐标为(0,8)
又∵抛物线y =ax 2+bx +c 的对称轴是直线x =-2
∴由抛物线的对称性可得点A 的坐标为(-6,0)
∴A 、B 、C 三点的坐标分别是A (-6,0)、B (2,0)、C (0,8)
(2)∵点C (0,8)在抛物线y =ax 2+bx +c 的图象上
∴c =8,将A (-6,0)、B (2,0)代入表达式y =ax 2+bx +8,得
⎧0=36a -6b +8⎨ 0=4a +2b +8⎩ 2a =-⎧⎪3解得⎨8b =-⎪⎩3
28∴所求抛物线的表达式为y =-32-3+8
(3)∵AB =8,OC =8
1∴S △ABC 28×8=32
(4)依题意,AE =m ,则BE =8-m ,
∵OA =6,OC =8, ∴AC =10
∵EF ∥AC ∴△BEF ∽△BAC
40-5m EF BE EF 8-m ∴AC =AB 即10=8 ∴EF =4
4过点F 作FG ⊥AB ,垂足为G ,则sin ∠FEG =sin ∠CAB =5FG 4440-5m ∴EF =5 ∴FG =5·4=8-m
11∴S =S △BCE -S △BFE =2(8-m )×8-2(8-m )(8-m )
111=2(8-m )(8-8+m )=2(8-m )m =-22+4m
自变量m 的取值范围是0<m <8
(5)存在. 理由:
111∵S =-m 2+4m =-(m -4)2+8 且-<0, 222
∴当m =4时,S 有最大值,S 最大值=8
∵m =4,∴点E 的坐标为(-2,0)
∴△BCE 为等腰三角形.
5. 已知抛物线y =-ax 2+2ax +b 与x 轴的一个交点为A(-1,0),与y 轴的正半轴交于点C .
⑴直接写出抛物线的对称轴,及抛物线与x 轴的另一个交点B 的坐标; ⑵当点C 在以AB 为直径的⊙P 上时,求抛物线的解析式;
⑶坐标平面内是否存在点M ,使得以点M 和⑵中抛物线上的三点A 、B 、C 为顶点的四边形是平行四边形?若存在,请求出点M 的坐标;若不存在,请说明理由.
解:⑴对称轴是直线:x =1,点B 的坐标是(3,0). ……2分
说明:每写对1个给1分,“直线”两字没写不扣分.
⑵如图,连接PC ,∵点A 、B 的坐标分别是A(-1,0)、B (3,0),
∴AB =4.∴PC =1AB =1⨯4=2. 22
在Rt △POC 中,∵OP =PA -OA =2-1=1, ∴OC =PC 2-PO 2=22-12=
∴b = ………………………………3分
当x =-1,y=0时,-a -2a +3=0, ∴a =. ………………………………4分 3
∴y =-3223 …………5分 x +x +333
⑶存在.……………………………6分
理由:如图,连接AC 、BC .设点M 的坐标为M (x , y ) .
①当以AC 或BC 为对角线时,点M 在x 轴上方,此时CM ∥AB ,且CM =AB . 由⑵知,AB =4,∴|x|=4,y =OC =3.
∴x =±4.∴点M 的坐标为M (4, 3) 或(-4, ) .…9分
说明:少求一个点的坐标扣1分.
②当以AB 为对角线时,点M 在x 轴下方.
过M 作MN ⊥AB 于N ,则∠MNB =∠AOC =90°.
∵四边形AMBC 是平行四边形,∴AC =MB ,且AC ∥MB .
∴∠CAO =∠MBN .∴△AOC ≌△BNM .∴BN =AO =1,MN =CO
∵OB =3,∴0N =3-1=2.
∴点M
的坐标为M (2,. ……………………………12分
说明:求点M 的坐标时,用解直角三角形的方法或用先求直线解析式,
然后求交点M 的坐标的方法均可,请参照给分.
综上所述,坐标平面内存在点M ,使得以点A 、B 、C 、M 为顶点的四边形是平行四边形.其
坐标为M 1M 2(-M 3(2,.
中考数学压轴题及答案
1. 如图:抛物线经过A (-3,0)、B (0,4)、C (4,0)三点.
(1) 求抛物线的解析式.
(2)已知AD = AB(D 在线段AC 上),有一动点P 从点A 沿线段AC 以每秒1个单位长度的速度移动;同时另一个动点Q 以某一速度从点B 沿线段BC 移动,经过t 秒的移动,线段PQ 被BD 垂直平分,求t 的值;
(3)在(2)的情况下,抛物线的对称轴上是否存在一点M ,使MQ+MC的值最小?若存在,请求出点M 的坐标;若不存在,请说明理由。
(注:抛物线y =ax 2+bx +c 的对称轴为x =-b ) 2a
解:设抛物线的解析式为y =ax 2+bx +c (a ≠0) ,
1⎧a =-⎪⎧9a -3b +4=0⎪3依题意得:c=4且⎨ 解得⎨ 116a +4b +4=0⎩⎪b =⎪3⎩
11 所以 所求的抛物线的解析式为y =-x 2+x +4 33
(2)连接DQ ,在Rt △AOB
中,AB ===5
所以AD=AB= 5,AC=AD+CD=3 + 4 = 7,CD = AC - AD = 7 – 5 = 2
因为BD 垂直平分PQ ,所以PD=QD,PQ ⊥BD ,所以∠PDB=∠QDB
因为AD=AB,所以∠ABD=∠ADB ,∠ABD=∠QDB ,所以DQ ∥AB
所以∠CQD=∠CBA 。∠CDQ=∠CAB ,所以△CDQ ∽ △CAB
DQ CD DQ 210==, DQ = 即AB CA 577
所以AP=AD – DP = AD – DQ=5 –
所以t 的值是25 710252525÷1== ,t = 7777
(3)答对称轴上存在一点M ,使MQ+MC的值最小 理由:因为抛物线的对称轴为x =-
连接AQ 交直线x =1b 1=所以A (- 3,0),C (4,0)两点关于直线x =对称22a 21于点M ,则MQ+MC的值最小过点Q 作QE ⊥x 轴,于E ,所以∠QED=∠BOA=90 2
10
QE DQ DE QE DE ==DQ ∥AB ,∠ BAO=∠QDE , △DQE ∽△ABO 即 所以==BO AB AO 453
86620208QE=,DE=,所以OE = OD + DE=2+=,所以Q (,) 777777
8⎧20⎪k +m =设直线AQ 的解析式为y =kx +m (k ≠0) 则⎨77 由此得
⎪⎩-3k +m =0
1⎧x =⎪824⎪2所以直线AQ 的解析式为y =x + 联立⎨ 4141⎪y =8x +24
⎪⎩4141
1⎧x =由此得⎪ ⎪2⎨⎪y =8x +24
⎪⎩41418⎧k =⎪⎪41 ⎨24⎪m =⎪⎩41 所以M (128128, ) 则:在对称轴上存在点M (, ) ,使MQ+MC的值最小。 241241
2. 如图9,在平面直角坐标系中,二次函数y =ax 2+bx +c (a >0) 的图象的顶点为D 点,与y 轴交于C 点,与x 轴交于A 、B 两点, A点在原点的左侧,B 点的坐标为(3,0),
1OB =OC ,tan∠ACO=. 3
(1)求这个二次函数的表达式.
(2)经过C 、D 两点的直线,与x 轴交于点E ,在该抛物线上是否存在这样的点F ,使以点A 、C 、E 、F 为顶点的四边形为平行四边形?若存在,请求出点F 的坐标;若不存在,请说明理由.
(3)如图10,若点G (2,y )是该抛物线上一点,点P 是直线AG 下方的抛物线上一动点,当点P 运动到什么位置时,△APG 的面积最大?求出此时P 点的坐标和△APG 的最大面积.
(1)由已知得:C (0,-3),A (-1,0) …1分
⎧a -b +c =0⎪将A 、B 、C 三点的坐标代入得⎨9a +3b +c =0 ……………………2分
⎪c =-3⎩
⎧a =1⎪解得:⎨b =-2 ……………………3分
⎪c =-3⎩
所以这个二次函数的表达式为:y =x 2-2x -3 ……………………3分
(2)存在,F 点的坐标为(2,-3) ……………………4分
理由:易得D (1,-4),所以直线CD 的解析式为:y =-x -3
∴E 点的坐标为(-3,0) ……………………4分
由A 、C 、E 、F 四点的坐标得:AE =CF =2,AE ∥CF
∴以A 、C 、E 、F 为顶点的四边形为平行四边形
∴存在点F ,坐标为(2,-3) ……………………5分
(3)过点P 作y 轴的平行线与AG 交于点Q ,
易得G (2,-3),直线AG 为y =-x -1.……………8分
设P (x ,x 2-2x -3),则Q (x ,-x -1),PQ =-x 2+x +2.
S ∆APG =S ∆APQ +S ∆GPQ =1(-x 2+x +2) ⨯3 ……………………9分 2
当x =1时,△APG 的面积最大 2
27⎛115⎫此时P 点的坐标为 , -⎪,S ∆APG 的最大值为. ……………………10分 8⎝24⎭
3. 如图,已知抛物线与x 轴交于A (-1,0)、B (3,0)两点,与y 轴交于点C (0,3)。 ⑴求抛物线的解析式;
⑵设抛物线的顶点为D ,在其对称轴的右侧的抛物线上是否存在点P ,使得△PDC 是等腰三角形?若存在,求出符合条件的点P 的坐标; 若不存在,请说明理由;
⑶若点M 是抛物线上一点,以B 、C 、D 、M 为顶点的四边形是直角梯形,试求出点M 的坐标。
⑴∵抛物线与y 轴交于点C (0,3),
∴设抛物线解析式为y =ax 2+bx +3(a ≠0) ………1分
⎧a -b +3=0, ⎧a =-1, 根据题意,得⎨,解得⎨ ⎩9a +3b +3=0, ⎩b =2.
∴抛物线的解析式为y =-x 2+2x +3………………………………………2分
⑵存在。…………………………………………………………………………3分
由y =-x 2+2x +3得,D 点坐标为(1,4),对称轴为x =1。…………4分
①若以CD 为底边,则PD =PC ,设P 点坐标为(x,y),根据勾股定理,
得x 2+(3-y ) 2=(x -1) 2+(4-y ) 2,即y =4-x 。…………………………5分
又P 点(x,y)在抛物线上,∴4-x =-x 2+2x +3,即x 2-3x +1=0…………6分 解得x =3±53-53+
∴y =4-x =⎛3+5-5⎫5-5⎪。……………………8分 , ,即点P 坐标为 2⎪2⎝2⎭
②若以CD 为一腰,因为点P 在对称轴右侧的抛物线上,由抛物线对称性知,点P 与点C 关于直线x =1对称,此时点P 坐标为(2,3)。
⎛3+55-⎫⎪∴符合条件的点P 坐标为 2, 2⎪或(2,3)。……………………9分
⎝⎭
⑶由B (3,0),C (0,3),D (1,4),根据勾股定理,
得CB =32,CD =2,BD =25, ………………………………………………10分
∴CB 2+CD 2=BD 2=20,
∴∠BCD =90°, ………………………………………………………………………11分
设对称轴交x 轴于点E ,过C 作CM ⊥DE ,交抛物线于点M ,垂足为F ,在Rt △DCF 中,
∵CF =DF =1,
∴∠CDF =45°,
由抛物线对称性可知,∠CDM =2×45°=90°, 点坐标M 为(2,3),
∴DM ∥BC,
∴四边形BCDM 为直角梯形, ………………12分
由∠BCD =90°及题意可知,
以BC 为一底时,顶点M 在抛物线上的直角梯形只有上述一种情况;
以CD 为一底或以BD 为一底,且顶点M 在抛物线上的直角梯形均不存在。
综上所述,符合条件的点M 的坐标为(2,3)。……………13分
4. 已知:抛物线y =ax 2+bx +c 与x 轴交于A 、B 两点,与y 轴交于点C ,其中点B 在x 轴的正半轴上,点C 在y 轴的正半轴上,线段OB 、OC 的长(OB
(1)求A 、B 、C 三点的坐标;
(2)求此抛物线的表达式;
(3)求△ABC 的面积;
(4)若点E 是线段AB 上的一个动点(与点A 、点B 不重合),过点E 作EF ∥AC 交BC 于点F ,连接CE ,设AE 的长为m ,△CEF 的面积为S ,求S 与m 之间的函数关系式,并写出自变量m 的取值范围;
(5)在(4)的基础上试说明S 是否存在最大值,若存在,请求出S 的最大值,并求出此时点E 的坐标,判断此时△BCE 的形状;若不存在,请说明理由.
解:(1)解方程x 2-10x +16=0得x 1=2,x 2=8
∵点B 在x 轴的正半轴上,点C 在y 轴的正半轴上,且OB <OC
∴点B 的坐标为(2,0),点C 的坐标为(0,8)
又∵抛物线y =ax 2+bx +c 的对称轴是直线x =-2
∴由抛物线的对称性可得点A 的坐标为(-6,0)
∴A 、B 、C 三点的坐标分别是A (-6,0)、B (2,0)、C (0,8)
(2)∵点C (0,8)在抛物线y =ax 2+bx +c 的图象上
∴c =8,将A (-6,0)、B (2,0)代入表达式y =ax 2+bx +8,得
⎧0=36a -6b +8⎨ 0=4a +2b +8⎩ 2a =-⎧⎪3解得⎨8b =-⎪⎩3
28∴所求抛物线的表达式为y =-32-3+8
(3)∵AB =8,OC =8
1∴S △ABC 28×8=32
(4)依题意,AE =m ,则BE =8-m ,
∵OA =6,OC =8, ∴AC =10
∵EF ∥AC ∴△BEF ∽△BAC
40-5m EF BE EF 8-m ∴AC =AB 即10=8 ∴EF =4
4过点F 作FG ⊥AB ,垂足为G ,则sin ∠FEG =sin ∠CAB =5FG 4440-5m ∴EF =5 ∴FG =5·4=8-m
11∴S =S △BCE -S △BFE =2(8-m )×8-2(8-m )(8-m )
111=2(8-m )(8-8+m )=2(8-m )m =-22+4m
自变量m 的取值范围是0<m <8
(5)存在. 理由:
111∵S =-m 2+4m =-(m -4)2+8 且-<0, 222
∴当m =4时,S 有最大值,S 最大值=8
∵m =4,∴点E 的坐标为(-2,0)
∴△BCE 为等腰三角形.
5. 已知抛物线y =-ax 2+2ax +b 与x 轴的一个交点为A(-1,0),与y 轴的正半轴交于点C .
⑴直接写出抛物线的对称轴,及抛物线与x 轴的另一个交点B 的坐标; ⑵当点C 在以AB 为直径的⊙P 上时,求抛物线的解析式;
⑶坐标平面内是否存在点M ,使得以点M 和⑵中抛物线上的三点A 、B 、C 为顶点的四边形是平行四边形?若存在,请求出点M 的坐标;若不存在,请说明理由.
解:⑴对称轴是直线:x =1,点B 的坐标是(3,0). ……2分
说明:每写对1个给1分,“直线”两字没写不扣分.
⑵如图,连接PC ,∵点A 、B 的坐标分别是A(-1,0)、B (3,0),
∴AB =4.∴PC =1AB =1⨯4=2. 22
在Rt △POC 中,∵OP =PA -OA =2-1=1, ∴OC =PC 2-PO 2=22-12=
∴b = ………………………………3分
当x =-1,y=0时,-a -2a +3=0, ∴a =. ………………………………4分 3
∴y =-3223 …………5分 x +x +333
⑶存在.……………………………6分
理由:如图,连接AC 、BC .设点M 的坐标为M (x , y ) .
①当以AC 或BC 为对角线时,点M 在x 轴上方,此时CM ∥AB ,且CM =AB . 由⑵知,AB =4,∴|x|=4,y =OC =3.
∴x =±4.∴点M 的坐标为M (4, 3) 或(-4, ) .…9分
说明:少求一个点的坐标扣1分.
②当以AB 为对角线时,点M 在x 轴下方.
过M 作MN ⊥AB 于N ,则∠MNB =∠AOC =90°.
∵四边形AMBC 是平行四边形,∴AC =MB ,且AC ∥MB .
∴∠CAO =∠MBN .∴△AOC ≌△BNM .∴BN =AO =1,MN =CO
∵OB =3,∴0N =3-1=2.
∴点M
的坐标为M (2,. ……………………………12分
说明:求点M 的坐标时,用解直角三角形的方法或用先求直线解析式,
然后求交点M 的坐标的方法均可,请参照给分.
综上所述,坐标平面内存在点M ,使得以点A 、B 、C 、M 为顶点的四边形是平行四边形.其
坐标为M 1M 2(-M 3(2,.