对称问题
一. 中心对称问题 1. 点关于点的对称问题
(1)点(x , y )关于定点（0,0）的对称点为（-x,-y ） (2)点(x , y )关于定点(a , b )的对称点为(2a -x ,2b -y ) 例：
2. 直线关于点的对称直线问题
例1：求直线L:3x-y-4=O关于点P(2，-1) 对称的直线的方程．
二. 轴对称问题：
1、点关于直线的对称点问题
（1. ）点P (a , b )关于x 轴的对称点的坐标为 ； 关于y 轴的对称点的坐标为 ； 关于y =x 的对称点的坐标为 ； 关于y =-x 的对称点的坐标为 .
（2. ）点P (a , b )关于直线ax +by +c =0的对称点的坐标的求法： 解：设所求的对称点P ' 的坐标为(x 0, y 0)，
则PP ' 的中点⎛
a +x 0b +y 0⎫
, ⎪一定在直线ax +by +c =0上. 2⎭⎝2
直线PP ' 与直线ax +by +c =0的斜率互为负倒数，即
y 0-b ⎛a ⎫
⋅ -⎪=-1 x 0-a ⎝b ⎭
例2:（1）求点A (1, 2) 关于直线x +y +2=0的对称点 （2）求A (3, 4) 关于直线y =2x +3的对称点
（3）一张坐标纸，对折后，点A(0，4) 与点B （8，0）重叠，若
点C(6，8) 与D （m ，n ）重叠，求m+n；
例3：光线由点A(2，3) 射到直线x +y +1=0反射，反射光线经过点B （1，1）求反射光线所在直线方程。
例4：已知：P (a , b )与Q (b -1, a +1)，(a ≠b -1)是对称的两点，求对称轴的方程
2、直线关于直线的对称直线问题
直线a 1x +b 1y +c 1=0关于直线ax +by +c =0的对称直线方程的求法：
（到角公式法）
① 在已知直线上去两点（其中一点可以是交点，若相交）求这两点关于对称轴的对称点，再求过这两点的直线方程； ② 轨迹法(相关点法) ；
③ 待定系数法，利用对称轴所在直线上任一点到两对称直线的距离相等，… 例5：试求直线l 1:x +y -1=0关于直线l 2:3x -y -3=0对称的直线l 的方程。
解法1：（动点转移法） 解法2：（到角公式法） 解法3：（取特殊点法） 解法4：（两点对称法）
例6：（1）已知A (1, 2), B (-2, 0) ，在直线y =x -1上找一点P ，使|PA |+|PB |最小，并求最小值；
（2）已知A (1, 2), B (4, -2) ，在直线y =x -1上找一点P ，使||PA |-|PB ||最大，并求最大值；
练习：
1. 求直线y =3x +4关于点A （1，2）对称的直线方程；
2. 求直线3x +4y -5=0关于直线x=3对称的直线方程；
3. 求直线3x +4y -5=0关于直线2x +2y -3=0对称的直线方程；
4. 光线从A (-1, 2) 射出，被x 轴反射后经过点B （3，2），求入射光线所在直线方程；
5. 光线沿直线l 1：x -2y +5=0射入，遇到直线l 2：3x -2y +7=0反射，求反射光线所在的直线l 3的方程
6. 已知点A (-3,5)，B (2,15)，试在直线l ：3x -4y +4=0上找一点P ，
使PA +PB 最小，并求出最小值.
7. 直线l 关于直线x =2的对称直线方程是3x -2y +1=0，求直线l 的倾斜角；
8. 直线2x -y +3=0和直线2x +y -1=0关于直线l 对称，求直线l 的方程；
9. 一张坐标纸对折后，点A(0，2) 与点B （4，0）重叠，若点C(2，3) 与D （m ，n ）重叠，求m+n；
10. 求直线2x +y -2=0关于点A （2，3）对车的直线方程
11. l 1:x +y -2=0与l 2:7x -y +4=0关于直线l 对称，求直线l 的方程；
直线系方程：
(1)直线y =kx +b （k 为常数，b 参数；k 为参数，b 位常数）. (2)过定点M (x 0, y 0)的直线系方程为y -y 0=k (x -x 0)及x =x 0
(3)与直线Ax +By +C =0平行的直线系方程为Ax +By +C 1=0（C ≠C 1）
(4)与直线Ax +By +C =0垂直的直线系方程为Bx -Ay +m =0
(5)过直线l 1：a 1x +b 1y +c 1=0和l 2：a 2x +b 2y +c 2=0的交点的直线系的
方程为：(a 1x +b 1y +c 1)+λ(a 2x +b 2y +c 2)=0（不含l 2）
1. 方程(1+4k )x -(2-3k )y +(2-14k )=0表示的直线必经过点
⎛3422⎫
A . (2,2) B . (-2,2) C . (-6,2) D . , ⎪
⎝55⎭
2. 已知直线kx -y +1-3k =0，当k 变化时所得的直线都经过的定点为
3. 求证：不论m 取何实数，直线(m -1)x +(2m -1)y =m -5总通过一定点
6．根据下列条件，求直线的直线方程
(1)求通过两条直线x +3y -10=0和3x -y =0的交点，且到原点距离为1；
(2)经过点A (3,2)，且与直线4x +y -2=0平行；
(3)经过点B (3,0)，且与直线2x +y -5=0垂直.
7．(1)已知方程x =kx +1有一正根而没有负根，求实数k 的范围
求k 的(2)若直线l 1：y =kx +k +2与l 2：y =-2x +4的交点在第一象限，取值范围.
．
对称问题
一. 中心对称问题 1. 点关于点的对称问题
(1)点(x , y )关于定点（0,0）的对称点为（-x,-y ） (2)点(x , y )关于定点(a , b )的对称点为(2a -x ,2b -y ) 例：
2. 直线关于点的对称直线问题
例1：求直线L:3x-y-4=O关于点P(2，-1) 对称的直线的方程．
二. 轴对称问题：
1、点关于直线的对称点问题
（1. ）点P (a , b )关于x 轴的对称点的坐标为 ； 关于y 轴的对称点的坐标为 ； 关于y =x 的对称点的坐标为 ； 关于y =-x 的对称点的坐标为 .
（2. ）点P (a , b )关于直线ax +by +c =0的对称点的坐标的求法： 解：设所求的对称点P ' 的坐标为(x 0, y 0)，
则PP ' 的中点⎛
a +x 0b +y 0⎫
, ⎪一定在直线ax +by +c =0上. 2⎭⎝2
直线PP ' 与直线ax +by +c =0的斜率互为负倒数，即
y 0-b ⎛a ⎫
⋅ -⎪=-1 x 0-a ⎝b ⎭
例2:（1）求点A (1, 2) 关于直线x +y +2=0的对称点 （2）求A (3, 4) 关于直线y =2x +3的对称点
（3）一张坐标纸，对折后，点A(0，4) 与点B （8，0）重叠，若
点C(6，8) 与D （m ，n ）重叠，求m+n；
例3：光线由点A(2，3) 射到直线x +y +1=0反射，反射光线经过点B （1，1）求反射光线所在直线方程。
例4：已知：P (a , b )与Q (b -1, a +1)，(a ≠b -1)是对称的两点，求对称轴的方程
2、直线关于直线的对称直线问题
直线a 1x +b 1y +c 1=0关于直线ax +by +c =0的对称直线方程的求法：
（到角公式法）
① 在已知直线上去两点（其中一点可以是交点，若相交）求这两点关于对称轴的对称点，再求过这两点的直线方程； ② 轨迹法(相关点法) ；
③ 待定系数法，利用对称轴所在直线上任一点到两对称直线的距离相等，… 例5：试求直线l 1:x +y -1=0关于直线l 2:3x -y -3=0对称的直线l 的方程。
解法1：（动点转移法） 解法2：（到角公式法） 解法3：（取特殊点法） 解法4：（两点对称法）
例6：（1）已知A (1, 2), B (-2, 0) ，在直线y =x -1上找一点P ，使|PA |+|PB |最小，并求最小值；
（2）已知A (1, 2), B (4, -2) ，在直线y =x -1上找一点P ，使||PA |-|PB ||最大，并求最大值；
练习：
1. 求直线y =3x +4关于点A （1，2）对称的直线方程；
2. 求直线3x +4y -5=0关于直线x=3对称的直线方程；
3. 求直线3x +4y -5=0关于直线2x +2y -3=0对称的直线方程；
4. 光线从A (-1, 2) 射出，被x 轴反射后经过点B （3，2），求入射光线所在直线方程；
5. 光线沿直线l 1：x -2y +5=0射入，遇到直线l 2：3x -2y +7=0反射，求反射光线所在的直线l 3的方程
6. 已知点A (-3,5)，B (2,15)，试在直线l ：3x -4y +4=0上找一点P ，
使PA +PB 最小，并求出最小值.
7. 直线l 关于直线x =2的对称直线方程是3x -2y +1=0，求直线l 的倾斜角；
8. 直线2x -y +3=0和直线2x +y -1=0关于直线l 对称，求直线l 的方程；
9. 一张坐标纸对折后，点A(0，2) 与点B （4，0）重叠，若点C(2，3) 与D （m ，n ）重叠，求m+n；
10. 求直线2x +y -2=0关于点A （2，3）对车的直线方程
11. l 1:x +y -2=0与l 2:7x -y +4=0关于直线l 对称，求直线l 的方程；
直线系方程：
(1)直线y =kx +b （k 为常数，b 参数；k 为参数，b 位常数）. (2)过定点M (x 0, y 0)的直线系方程为y -y 0=k (x -x 0)及x =x 0
(3)与直线Ax +By +C =0平行的直线系方程为Ax +By +C 1=0（C ≠C 1）
(4)与直线Ax +By +C =0垂直的直线系方程为Bx -Ay +m =0
(5)过直线l 1：a 1x +b 1y +c 1=0和l 2：a 2x +b 2y +c 2=0的交点的直线系的
方程为：(a 1x +b 1y +c 1)+λ(a 2x +b 2y +c 2)=0（不含l 2）
1. 方程(1+4k )x -(2-3k )y +(2-14k )=0表示的直线必经过点
⎛3422⎫
A . (2,2) B . (-2,2) C . (-6,2) D . , ⎪
⎝55⎭
2. 已知直线kx -y +1-3k =0，当k 变化时所得的直线都经过的定点为
3. 求证：不论m 取何实数，直线(m -1)x +(2m -1)y =m -5总通过一定点
6．根据下列条件，求直线的直线方程
(1)求通过两条直线x +3y -10=0和3x -y =0的交点，且到原点距离为1；
(2)经过点A (3,2)，且与直线4x +y -2=0平行；
(3)经过点B (3,0)，且与直线2x +y -5=0垂直.
7．(1)已知方程x =kx +1有一正根而没有负根，求实数k 的范围
求k 的(2)若直线l 1：y =kx +k +2与l 2：y =-2x +4的交点在第一象限，取值范围.
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