如何巧妙地进行分式通分
栏目：交流拓展 期别：初三复习版 姓名：黄春菊 程金海
地址：山东省青州市益都街道东高初级中学 E-mail:[email protected] 联系电话:[1**********]
通分是分式加减运算的主要环节，其方法灵活，技巧性大，综合性强。在进行加减运算时，若不加分析的采用一次性通分，往往运算比较麻烦；但若根据分式的分子、分母的结构特点，灵活巧妙地采取相应的通分方法和解题技巧，则可化繁为简，化难为易，达到事半功倍的效果。下面总结如下:
一、 整体通分。
将一个多项式视为一个整体，再与分式进行通分。 例1:计算a+2-解：a+2-42-a
42-a
-42-a
=
a +21
2001
=
2-a -42-a
22
=-
a
2
2-a
=
a
2
a -2
例2：计算：解：原式=二、 逐步通分
a a
a a
667
-1
-a 667-a 1334-1
667
2001
667
-1
-
a +a 1
1334
+1
=
a
2001
-(a a
667
2001
-1)
-1
=
1a
667
-1
当分式的各分母按一定的规律分布且存在某种递进关系，一次通分难度较大时，可以采取逐步通分。 例、化简：
==
21-a 20481-a
2
11-a +
-
11+a
2
+
11+a 1
4
2
+
11+a 1
8
4
+
11+a
8
+...... +
-
10241+a 20481-a
1024
-
20481-a
2048
1
1+a 1+a
2048
++
1+a
+...... +
10241+a
1024
2048
2048
-
1-a
2048
=0
三、分组通分。
一次性通分有困难时，可以把易于通分的分式组合在一起分组通分。 例题、化简：解:原式=(==
3ab a -b
3
3
1a +b
+
1a -b
-2
a -b a
2
2
1
+
a -b a -3ab
3
3
-
a -b
2
+ab +b
+ab +b a -ab +b 1a +b
-2)+() 2
a +b a -ab +b
-
a +b
2
2
a +b
6ab
6
46
a -b
四、提取公因式后通分
例1、化简：解：原式=
===
m -c (m-a)(m-b) m -c
+
b -c (a-b)(m-b)
+
b -c (b-a)(m-a)
(m-a)(m-b)
m -c (m-a)(m-b)
m -b (m-a)(m-b)
1m -a
+-
b -c a -b
.(
1m -b
-
1m -a
)
b -c (m-a)(m-b)
a
2000
1000
例2、化简：解：原式=
==
a
2000
-6a
a
2000
+8
++
a a
2000
1000
1000
-3a
a
+2
1000
1000
(aa
1000
-2)(a
1000
-4)
2000
(a
1000
-2)(a -1)
1000
a
1000
-2(a
2000
.
a
1000
-4
1000
-4)(a -1)
a (a
1000
+2a
1000
-4)(a
1000
-1)
五、局部通分。 例、化简：2001+
解：原式=2001+
a -2(2a
7
7
7
-3)(a -1)
a -2(a
7
77
+
3a -1(2a -3)(a 3a -1a +2
777
7+2
7
)
-7
2a +1(a
7
7
-1)(a +2)
7
1(2a
7
-3)
（
-1)
+) -
2a +1(a -1)(a +2) 2a +1
77
7
=2001+
1(2a
7
-3)
7
.
(2a +1)(2a -3) (a -1)(a +2)
2a +1
7
7
7
7
-
(a -1)(a +2)
77
=2001+
2a +1(a
7
-1)(a +2)
7
-
(a -1)(a +2)
77
=2001
六、分离整式后通分。
用多项式除法将各分式的分子降次，把分式化为整式和最简真分式的和，然后通分。
例题1、化简：
a +2a +1
-
a +4a +3
-
a +3a +2
+
a +5a +4
解：原式=
a +1+1a +3+1a +2+1a +1
11a +1
-
a +3
-
a +2
+
a +4+1a +41a +2
1a +4
=（1+=（=
a +1
）-（1+
1a +4
1a +3
1
）-（1++
1
）+（1+）
+）-（
a +3a +2
）
2a +5(a +1)(a +4)
-
2a +5(a +3)(a +2)
2
=（2a+5）.
(a +1)(a +4)(a +3)(a +2）
=
4a +10
(a +1)(a +2)(a +3)(a +4）
3
2
3
3
2
例题2、化简：
a -a -4a +1a -3a +2
-3
2
-
4a -16a -152a -3a -2]-[2a+3+
32a +1
2
+
6a +7a +3a -7
6a +a -1
]+[a+1+
2
3a -6
解：原式=[a+2+ =({ =
=
3a -1
3a -3-
-33a -1
3a -2
-3a -9(2a+1)(a -2)
3
-
33a -1
(a-1)(a -2)
3a -2
-
(2a+1)(3a -1)
]
) +() +(
2a +1
)
6a (a-1)(3a -1)
七、引进辅助字母后通分。 例、化简:
1a
2
+a -1
-
2a +a +1
2
+
1a +a +3
2
解：设k=a 2+a+1,则： 原式=
=
1k -2
-2k +
1k +2
k (k +2) -2(k -2)(k +2) +k (k -2)
k(k-2)(k +2) 8
k(k-2)(k +2)
=
8
=
(a
2
+a -1)(a +a +1)(a +a +3)
22
八、提出符号后通分。
例、化简：
（x +b) (x +c ) (a -b )(a -c )
+
(x +c )(x +a ) (b -c )(b -a )
+
(x +a )(x +b ) (c -a )(c -b )
解：原式=
（x +b) (x +c ) -(a -b )(c -a )
+
(x +c )(x +a ) -(b -c )(a -b )
+
(x +a )(x +b ) -(c -a )(b -c )
=
（x +b) (x +c （) b -c ) +(x +c )(x +a )(c -a ) +(x +a )(x +b )((a -b )
-(a -b )(c -a )(b -c )
2
2
2
2
2
2
2
=
（b -c +c -a +a -b ) x +(b -c +c +a -a -b ) x +bc (b -c ) +ca (c -a ) +ab (a -b )
-(a -b )(c -a )(b -c )
=
（b -c )(a -b )(a -c ) -(a -b )(c -a )(b -c )
=-1
九、化简后通分。
观察各分式的分子、分母的特征，把分子、分母分解因式，约分化简为最简分式后再
通分。
例、化简：
m +m n -m n -mn m n +mn
2
43222
33
+2m n
-
22
-
m -n -3m n +3mn
m n -n
2
2
3322
34
.
m +m n +mn m +n -2mn
2
322
22
解： =
m(m+n) (m -n ) mn (m +n +2mn ) m -n n
-m n
2
2
(m -n )
2
n (m -n )(m +mn +n )
.
m (m +mn +n )
(m -n )
2
2
=1
总而言之，究竟选用哪一种方法进行通分，要根据式子的结构特点，灵活的进行运用。
如何巧妙地进行分式通分
栏目：交流拓展 期别：初三复习版 姓名：黄春菊 程金海
地址：山东省青州市益都街道东高初级中学 E-mail:[email protected] 联系电话:[1**********]
通分是分式加减运算的主要环节，其方法灵活，技巧性大，综合性强。在进行加减运算时，若不加分析的采用一次性通分，往往运算比较麻烦；但若根据分式的分子、分母的结构特点，灵活巧妙地采取相应的通分方法和解题技巧，则可化繁为简，化难为易，达到事半功倍的效果。下面总结如下:
一、 整体通分。
将一个多项式视为一个整体，再与分式进行通分。 例1:计算a+2-解：a+2-42-a
42-a
-42-a
=
a +21
2001
=
2-a -42-a
22
=-
a
2
2-a
=
a
2
a -2
例2：计算：解：原式=二、 逐步通分
a a
a a
667
-1
-a 667-a 1334-1
667
2001
667
-1
-
a +a 1
1334
+1
=
a
2001
-(a a
667
2001
-1)
-1
=
1a
667
-1
当分式的各分母按一定的规律分布且存在某种递进关系，一次通分难度较大时，可以采取逐步通分。 例、化简：
==
21-a 20481-a
2
11-a +
-
11+a
2
+
11+a 1
4
2
+
11+a 1
8
4
+
11+a
8
+...... +
-
10241+a 20481-a
1024
-
20481-a
2048
1
1+a 1+a
2048
++
1+a
+...... +
10241+a
1024
2048
2048
-
1-a
2048
=0
三、分组通分。
一次性通分有困难时，可以把易于通分的分式组合在一起分组通分。 例题、化简：解:原式=(==
3ab a -b
3
3
1a +b
+
1a -b
-2
a -b a
2
2
1
+
a -b a -3ab
3
3
-
a -b
2
+ab +b
+ab +b a -ab +b 1a +b
-2)+() 2
a +b a -ab +b
-
a +b
2
2
a +b
6ab
6
46
a -b
四、提取公因式后通分
例1、化简：解：原式=
===
m -c (m-a)(m-b) m -c
+
b -c (a-b)(m-b)
+
b -c (b-a)(m-a)
(m-a)(m-b)
m -c (m-a)(m-b)
m -b (m-a)(m-b)
1m -a
+-
b -c a -b
.(
1m -b
-
1m -a
)
b -c (m-a)(m-b)
a
2000
1000
例2、化简：解：原式=
==
a
2000
-6a
a
2000
+8
++
a a
2000
1000
1000
-3a
a
+2
1000
1000
(aa
1000
-2)(a
1000
-4)
2000
(a
1000
-2)(a -1)
1000
a
1000
-2(a
2000
.
a
1000
-4
1000
-4)(a -1)
a (a
1000
+2a
1000
-4)(a
1000
-1)
五、局部通分。 例、化简：2001+
解：原式=2001+
a -2(2a
7
7
7
-3)(a -1)
a -2(a
7
77
+
3a -1(2a -3)(a 3a -1a +2
777
7+2
7
)
-7
2a +1(a
7
7
-1)(a +2)
7
1(2a
7
-3)
（
-1)
+) -
2a +1(a -1)(a +2) 2a +1
77
7
=2001+
1(2a
7
-3)
7
.
(2a +1)(2a -3) (a -1)(a +2)
2a +1
7
7
7
7
-
(a -1)(a +2)
77
=2001+
2a +1(a
7
-1)(a +2)
7
-
(a -1)(a +2)
77
=2001
六、分离整式后通分。
用多项式除法将各分式的分子降次，把分式化为整式和最简真分式的和，然后通分。
例题1、化简：
a +2a +1
-
a +4a +3
-
a +3a +2
+
a +5a +4
解：原式=
a +1+1a +3+1a +2+1a +1
11a +1
-
a +3
-
a +2
+
a +4+1a +41a +2
1a +4
=（1+=（=
a +1
）-（1+
1a +4
1a +3
1
）-（1++
1
）+（1+）
+）-（
a +3a +2
）
2a +5(a +1)(a +4)
-
2a +5(a +3)(a +2)
2
=（2a+5）.
(a +1)(a +4)(a +3)(a +2）
=
4a +10
(a +1)(a +2)(a +3)(a +4）
3
2
3
3
2
例题2、化简：
a -a -4a +1a -3a +2
-3
2
-
4a -16a -152a -3a -2]-[2a+3+
32a +1
2
+
6a +7a +3a -7
6a +a -1
]+[a+1+
2
3a -6
解：原式=[a+2+ =({ =
=
3a -1
3a -3-
-33a -1
3a -2
-3a -9(2a+1)(a -2)
3
-
33a -1
(a-1)(a -2)
3a -2
-
(2a+1)(3a -1)
]
) +() +(
2a +1
)
6a (a-1)(3a -1)
七、引进辅助字母后通分。 例、化简:
1a
2
+a -1
-
2a +a +1
2
+
1a +a +3
2
解：设k=a 2+a+1,则： 原式=
=
1k -2
-2k +
1k +2
k (k +2) -2(k -2)(k +2) +k (k -2)
k(k-2)(k +2) 8
k(k-2)(k +2)
=
8
=
(a
2
+a -1)(a +a +1)(a +a +3)
22
八、提出符号后通分。
例、化简：
（x +b) (x +c ) (a -b )(a -c )
+
(x +c )(x +a ) (b -c )(b -a )
+
(x +a )(x +b ) (c -a )(c -b )
解：原式=
（x +b) (x +c ) -(a -b )(c -a )
+
(x +c )(x +a ) -(b -c )(a -b )
+
(x +a )(x +b ) -(c -a )(b -c )
=
（x +b) (x +c （) b -c ) +(x +c )(x +a )(c -a ) +(x +a )(x +b )((a -b )
-(a -b )(c -a )(b -c )
2
2
2
2
2
2
2
=
（b -c +c -a +a -b ) x +(b -c +c +a -a -b ) x +bc (b -c ) +ca (c -a ) +ab (a -b )
-(a -b )(c -a )(b -c )
=
（b -c )(a -b )(a -c ) -(a -b )(c -a )(b -c )
=-1
九、化简后通分。
观察各分式的分子、分母的特征，把分子、分母分解因式，约分化简为最简分式后再
通分。
例、化简：
m +m n -m n -mn m n +mn
2
43222
33
+2m n
-
22
-
m -n -3m n +3mn
m n -n
2
2
3322
34
.
m +m n +mn m +n -2mn
2
322
22
解： =
m(m+n) (m -n ) mn (m +n +2mn ) m -n n
-m n
2
2
(m -n )
2
n (m -n )(m +mn +n )
.
m (m +mn +n )
(m -n )
2
2
=1
总而言之，究竟选用哪一种方法进行通分，要根据式子的结构特点，灵活的进行运用。