行列式的计算及应用

行列式的计算及应用

摘 要 .................................................................................................... 错误！未定义书签。 Abstract ................................................................................................. 错误！未定义书签。 前 言 ...................................................................................................................................... 2 第1章 行列式的基本理论 .................................................................................................... 3 第1节 行列式的定义 ........................................................................................................ 3 第2节 行列式计算的相关性质 ........................................................................................ 4 第2章 行列式的计算方法 .................................................................. 错误！未定义书签。 第1节 化三角形法 .......................................................................... 错误！未定义书签。 第2节 按某一行(列)展开法 ............................................................ 错误！未定义书签。 第3节 递推法 .................................................................................. 错误！未定义书签。 第4节 升降法 .................................................................................. 错误！未定义书签。 第5节 提取因子法 .......................................................................... 错误！未定义书签。 第6节 分拆法 .................................................................................. 错误！未定义书签。 第7节 利用Vander Monde行列式 ................................................. 错误！未定义书签。 第3章 行列式的应用 .......................................................................... 错误！未定义书签。 第1节 行列式性质的举例应用 ...................................................... 错误！未定义书签。 第2节 行列式在证明微分中值定理中的应用 .............................. 错误！未定义书签。 第3节 行列式在多项式理论中的应用 .......................................... 错误！未定义书签。 第4节 在线性变换理论中的应用 .................................................. 错误！未定义书签。 第5节 行列式在解析几何中的几个应用 ...................................... 错误！未定义书签。 结 论 .................................................................................................... 错误！未定义书签。 参考文献 ................................................................................................ 错误！未定义书签。 致 谢 .................................................................................................... 错误！未定义书签。

前 言

行列式是解决线性代数的工具，它最初的产生和应用都在解线性方程组中，应用范围十分广泛，成为数学、物理以及工科许多课程的重要工具．行列式自从被发现以来迅速发展壮大，各个学科都应用其性质解决了一些难题．时至今天因其应用而成果斐然的实例更是多不胜数，并且在一些应用领域越来越具有一些不可替代的作用．行列式的计算问题非常重要，它是行列式理论的重要组成部分．特别是n阶行列式的计算（例如范德蒙行列式），在学习过程中，普遍存在很多困难，难以掌握，为此该论题将在理论的完善上和风格上有所突破，以期望达到浅显易懂效果．

行列式定义是一个学习难点，郭时光曾给出行列式的一个矩阵式定义，并且证明了这个定义与传统的行列式定义是等价的．许多教材中系统介绍了行列式的各种性质以及其证明过程．很多文章在行列式的计算与应用方面都进行了深入探讨，并给出了不同行列式的计算技巧及其在不同领域的应用．

本文主要针对行列式的特点，应用行列式的性质，提供了7种计算行列式的常用方法，例如：根据性质直接计算行列式，化成三角形行列式法，按一行（列）展开以及分拆法，升降法，递推法等7种方法，但这几种方法之间并不是相互独立的，而是相互联系的，一个行列式可能有很多种解法，这就要求我们在掌握了行列式的解法之后，能够灵活的运用，找到一种最简便的方法，最适合的方法，使复杂问题简单化，有时几种方法结合着用效果更好．

第1章 行列式的基本理论

第1节 行列式的定义

行列式实际上是在解决实际问题中被创建的，它有着自身的特点及性质，对于行列式计算的掌握是应用行列式解决其它问题的基础，而行列式的计算方法并不是唯一的．行列式在数学中，是由解线性方程组产生的一种算式．其定义域为

nn的矩阵A，取值为一个标量，写作det(A)或A．行列式可以看做是有向面积或体积的概念在一般的欧几里得空间中的推广．或者说，在n维欧几里得空间中，行列式描述的是一个线性变换对“体积”所造成的影响．无论是在线性代数、多项式理论，还是在微积分学中（比如说换元积分法中），行列式作为基本的数学工具，都有着重要的应用．行列式概念最早出现在解线性方程组的过程中．十七世纪晚期，关孝和与莱布尼茨的著作中已经使用行列式来确定线性方程组解的个数以及形式．十八世纪开始，行列式开始作为独立的数学概念被研究．十九世纪以后，行列式理论进一步得到发展和完善．矩阵概念的引入使得更多有关行列式的性质被发现，行列式在许多领域都逐渐显现出重要的意义和作用，出现了线性自同态和向量组的行列式的定义．

行列式起源于1757年马拉普斯研究解含两个和三个未知量的线性方程组而创建的，然而它的应用早已超出了代数的范围，成为解析几何、数学分析、微分方程、概率统计等数学分支的基本工具，由n2个元素（数）aij(i,j1,2,,n)排成n行n列并写成

a11

a12

a1n



a21an1

a22a2nan2ann

的形式．

定义1 n2个数（或称元素）依次排成n行、n列[1]

a11a21an1

a12

a1n



a22a2nan2ann

，

称为n阶行列式．

定义2 设A是如上式所示的行列式，若n1，即A只含有一个元素a11．假定对n1阶行列式的值已定义好，那么对任意的i,j的第i,j元素aij的余子式

Mij

的值已

i1

经定义

n1

，则定义

Aa11M11a21M21...1ai1Mi1...1

an1Mn1为行列式的值．

定义3 设A是n阶行列式，它的第(i,j)个元素是aij，定义A的值为

(1)

N(k1,k2,...,kn)

ak11ak22...aknn，其中N(k1,...,kn)表示排列(k1,...,kn)的逆序数．

第2节 行列式计算的相关性质

性质1 行列式转置后的值不变[2]，即

a11a21an1

a12

a1n



a11a12a1n

a21an1a22an2



a2nann

．

a22a2nan2ann

性质2 以某个常数c乘以行列式的某一行（或某一列），所得到的行列式的值等于原行列式得值的c倍，即

a11cai1an1

a12cai2an2



a1nann

a11an1

a12ai2an2

a1n

ain．

ann

caincai1

性质3 行列式的两行（或两列）对换，行列式的值改变符号．

a11ai1ak1an1

a12ai2

a1n

ain

a11ak1ai1an1

a12ai2

a1n

． ain



ak2akn



ak2aknan2ann

an2ann

性质4 如果一个行列式的某两行（或某两列）成比例，则行列式的值等于零，即

a11ai1kai1an1

a12ai2an2



a1nainann

a11ai1k

ai1an1

a12ai2ai2

a1n

ain

0． ain



kai2kain

an2ann

性质5 若行列式的某一行（或某一列）元素aijbijcij，则该行列式可分解为两个行列式之和，其中一个行列式的相应行（或列）的元素为bij，另一个行列式的相应行（或列）的元素为cij，用式子来表示就是

行列式的计算及应用

摘 要 .................................................................................................... 错误！未定义书签。 Abstract ................................................................................................. 错误！未定义书签。 前 言 ...................................................................................................................................... 2 第1章 行列式的基本理论 .................................................................................................... 3 第1节 行列式的定义 ........................................................................................................ 3 第2节 行列式计算的相关性质 ........................................................................................ 4 第2章 行列式的计算方法 .................................................................. 错误！未定义书签。 第1节 化三角形法 .......................................................................... 错误！未定义书签。 第2节 按某一行(列)展开法 ............................................................ 错误！未定义书签。 第3节 递推法 .................................................................................. 错误！未定义书签。 第4节 升降法 .................................................................................. 错误！未定义书签。 第5节 提取因子法 .......................................................................... 错误！未定义书签。 第6节 分拆法 .................................................................................. 错误！未定义书签。 第7节 利用Vander Monde行列式 ................................................. 错误！未定义书签。 第3章 行列式的应用 .......................................................................... 错误！未定义书签。 第1节 行列式性质的举例应用 ...................................................... 错误！未定义书签。 第2节 行列式在证明微分中值定理中的应用 .............................. 错误！未定义书签。 第3节 行列式在多项式理论中的应用 .......................................... 错误！未定义书签。 第4节 在线性变换理论中的应用 .................................................. 错误！未定义书签。 第5节 行列式在解析几何中的几个应用 ...................................... 错误！未定义书签。 结 论 .................................................................................................... 错误！未定义书签。 参考文献 ................................................................................................ 错误！未定义书签。 致 谢 .................................................................................................... 错误！未定义书签。

前 言

行列式是解决线性代数的工具，它最初的产生和应用都在解线性方程组中，应用范围十分广泛，成为数学、物理以及工科许多课程的重要工具．行列式自从被发现以来迅速发展壮大，各个学科都应用其性质解决了一些难题．时至今天因其应用而成果斐然的实例更是多不胜数，并且在一些应用领域越来越具有一些不可替代的作用．行列式的计算问题非常重要，它是行列式理论的重要组成部分．特别是n阶行列式的计算（例如范德蒙行列式），在学习过程中，普遍存在很多困难，难以掌握，为此该论题将在理论的完善上和风格上有所突破，以期望达到浅显易懂效果．

行列式定义是一个学习难点，郭时光曾给出行列式的一个矩阵式定义，并且证明了这个定义与传统的行列式定义是等价的．许多教材中系统介绍了行列式的各种性质以及其证明过程．很多文章在行列式的计算与应用方面都进行了深入探讨，并给出了不同行列式的计算技巧及其在不同领域的应用．

本文主要针对行列式的特点，应用行列式的性质，提供了7种计算行列式的常用方法，例如：根据性质直接计算行列式，化成三角形行列式法，按一行（列）展开以及分拆法，升降法，递推法等7种方法，但这几种方法之间并不是相互独立的，而是相互联系的，一个行列式可能有很多种解法，这就要求我们在掌握了行列式的解法之后，能够灵活的运用，找到一种最简便的方法，最适合的方法，使复杂问题简单化，有时几种方法结合着用效果更好．

第1章 行列式的基本理论

第1节 行列式的定义

行列式实际上是在解决实际问题中被创建的，它有着自身的特点及性质，对于行列式计算的掌握是应用行列式解决其它问题的基础，而行列式的计算方法并不是唯一的．行列式在数学中，是由解线性方程组产生的一种算式．其定义域为

nn的矩阵A，取值为一个标量，写作det(A)或A．行列式可以看做是有向面积或体积的概念在一般的欧几里得空间中的推广．或者说，在n维欧几里得空间中，行列式描述的是一个线性变换对“体积”所造成的影响．无论是在线性代数、多项式理论，还是在微积分学中（比如说换元积分法中），行列式作为基本的数学工具，都有着重要的应用．行列式概念最早出现在解线性方程组的过程中．十七世纪晚期，关孝和与莱布尼茨的著作中已经使用行列式来确定线性方程组解的个数以及形式．十八世纪开始，行列式开始作为独立的数学概念被研究．十九世纪以后，行列式理论进一步得到发展和完善．矩阵概念的引入使得更多有关行列式的性质被发现，行列式在许多领域都逐渐显现出重要的意义和作用，出现了线性自同态和向量组的行列式的定义．

行列式起源于1757年马拉普斯研究解含两个和三个未知量的线性方程组而创建的，然而它的应用早已超出了代数的范围，成为解析几何、数学分析、微分方程、概率统计等数学分支的基本工具，由n2个元素（数）aij(i,j1,2,,n)排成n行n列并写成

a11

a12

a1n



a21an1

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的形式．

定义1 n2个数（或称元素）依次排成n行、n列[1]

a11a21an1

a12

a1n



a22a2nan2ann

，

称为n阶行列式．

定义2 设A是如上式所示的行列式，若n1，即A只含有一个元素a11．假定对n1阶行列式的值已定义好，那么对任意的i,j的第i,j元素aij的余子式

Mij

的值已

i1

经定义

n1

，则定义

Aa11M11a21M21...1ai1Mi1...1

an1Mn1为行列式的值．

定义3 设A是n阶行列式，它的第(i,j)个元素是aij，定义A的值为

(1)

N(k1,k2,...,kn)

ak11ak22...aknn，其中N(k1,...,kn)表示排列(k1,...,kn)的逆序数．

第2节 行列式计算的相关性质

性质1 行列式转置后的值不变[2]，即

a11a21an1

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

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性质2 以某个常数c乘以行列式的某一行（或某一列），所得到的行列式的值等于原行列式得值的c倍，即

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性质3 行列式的两行（或两列）对换，行列式的值改变符号．

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性质4 如果一个行列式的某两行（或某两列）成比例，则行列式的值等于零，即

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性质5 若行列式的某一行（或某一列）元素aijbijcij，则该行列式可分解为两个行列式之和，其中一个行列式的相应行（或列）的元素为bij，另一个行列式的相应行（或列）的元素为cij，用式子来表示就是