第7章 热力学基础
7.16 一摩尔单原子理想气体从270C 开始加热至770C （1）容积保持不变；（2）压强保持不变；
问这两过程中各吸收了多少热量？增加了多少内能？对外做了多少功？(摩尔热容
C V , m =12. 46J ⋅mol -1K -1, C P , m =20. 78J ⋅mol -1K -1)
解（１）是等体过程，对外做功A ＝０。Q =∆U =C V , m ∆T =12. 46⨯(77-27) =623J （２）是等压过程，吸收的热量Q =C p , m ∆T =20. 78⨯(77-27) =1039J
∆U =C V , m ∆T =12. 46⨯(77-27) =623J
A =Q -∆U =1039-623=416J
7.17 一系统由如图所示的a 状态沿acb 到达状态b ，有334J 热量传入系统，而系统做功126J 。
（1）若沿adb 时系统做功42J ，问有多少热量传入系统？
（2）当系统由状态b 沿曲线ba 返回态a 时，外界对系统做功84J ，
试问系统是吸热还是放热？传递热量是多少？ （3）若态d 与态a 内能之差为167J ，试问沿ad 及db 各自吸收的热量是多少？ 7.17题示图
解：已知Q acb =334J . 增量为
A acb =126J 据热力学第一定律得内能
∆U ab =Q acb -A acb =334-126=208J
(1) 沿曲线adb 过程，系统吸收的热量
Q adb =∆U ab +A adb =208+42=250J
(2) 沿曲线ba
Q ba =∆U ba +A ba =-∆U ab +A ba =-208+(-84) =-292J , 即系统放热292J
(3) A db =0
A ad =A adb =42J Q ad =∆U ad +A ad =167+42=209J
Q db =∆U db +A db =∆U ab -∆U ad =208-167=41J ，即在db 过程中吸热41J.
7.18 8g 氧在温度为270C 时体积为4. 1⨯10-4m 3，试计算下列各情形中气体所做的功。
（1）气体绝热地膨胀到4. 1⨯10-3m 3； （2）气体等温地膨胀到4. 1⨯10-3m 3；
再等容地冷却到温度等于绝热膨胀最后所达到的温
度。已知氧的C V , m =5。 R
解：已知 T 0=27+273=300K , V 0=4. 1⨯10-4m 3, M =8g =8⨯10-3kg 由理想气体状态方程pV =
M
μ
RT 得
P 0=
M
μ
RT 0/V 0=
8300
⨯8. 31⨯=1. 52⨯106Pa -4324. 1⨯10
(1) 绝热膨胀到 V 1=4. 1⨯10-3m 3 ， 由绝热过程方程 PV γ=P 0V 0γ 得
P =P 0V 0γ
C p , m R +C V , m 1 而 γ===1. 4 γV C γ, m C V , m
则气体所做功
1-γ
1γV A 1=⎰PdV =⎰P 0V 0dV =P 0V 0
V 0V 0
V γ1-γ
V 1
V 1
γ
V 1
V 0
=
1
P 0V 0γ(V 11-γ-V 01-γ) 1-γ
=
1
⨯1. 52⨯106⨯(4. 1⨯10-4) 1. 4(4. 1⨯10-3) -0. 4-(4. 1⨯10-4) -0. 4=938J 1-1. 4
[]
（2）气体等温膨胀后等容的冷却到 V 2=4. 1⨯10-3m 3
V 214. 1⨯10-36-4
A 2=⎰PdV =⎰P 0V 0dV =P 0V 0ln =1. 52⨯10⨯4. 1⨯10ln =1435J
V 0V 0
V V 04. 1⨯10-4
V 2
V 2
7.19 为了测定气体的γ值，有时用下面的方法，一定量的气体，初始温度、压强和体积
分别为T 0、P 0和V 0，用通有电流的铂丝加热。设两次加热相等，第一次使体积V 0不变，而T 0、P 0分别变为T 1、P 1；第二次使压强P 0不变，而T 0、V 0分别变至T 2、V 2，试证明
γ=
(P 1-P 0) V 0 (V 2-V 0) P 0
证明：Q 1=νC V , m (T 1-T 0), Q 2=νC P , m (T 2-T 0) 由题知Q 1=Q 2
∴有C V , m (T 1-T 0) =C P , m (T 2-T 0)
则 γ=
C P , m C V , m
=
T V T 1-T 0 又T 1P 1（等体）， 2=2 （等压）。 =
T 2P 2T 0V 0T 2-T 0
∴有γ=(
(P -P ) V P V 1
T 0-T 0) /(2T 0-T 0) =100 P 0V 0(V 2-V 0) P 0
7.20 如图表示理想气体的某一过程曲线，当气体自态1过渡到态2时气体的P 、T 如何
随V 变化？在此过程中气体的摩尔热容C m 怎样计算？
解：由图知，P =kV (k 是常数, 此过程也是n =-1的多方过程) 由理想气体状态方程可得
7.20题示图
T =
PV k
=V 2 （1摩尔气体） R R
k k
dQ m =C m dT =C m 2VdV ， dU =C V , m dT =C V , m 2VdV
R R
dA =PdV =kVdV 由热力学第一定律得：
C m
k
2VdV =C V , m R
2
C V , m +1
k R 2VdV +kVdV 由此得 C m ==C V , m + R 2/R 2
7.21一用绝热壁做成的圆柱形容器，在容器中间放置一无摩擦的绝热可动活塞，活塞两
侧各有ν摩尔理想气体，开始状态均为P 0、V 0、T 0，今将一通电线圈放到活塞左侧气体中，对气体缓慢加热，左侧气体膨胀，同时右侧气体被压缩，最后使右方气体的压强增加为
27
P 0。8
设气体的定容摩尔热容C v ，m 为常数，γ=1.5。求
（1）对活塞右侧气体做了多少功；（2）右侧气体的终温是多少；（3）左侧气体的终温是多少；（4）左侧气体吸收了多少热量。
27
解：两边压强相等为P 1=P 2=P 0
8
（1）右侧是一绝热压缩过程，满足PV γ=P 0V 0γ
-(+1) P 0γ1γ
由此得V =() V 0 ，dV =-P 0V 0P γdP
P γ
1
11
∴ 对活塞右侧气体所做的功 A =-⎰PdV =
=V 0
1
1
γ
P 0V 0⎰
γ
P 2
P 0
1-1
P dP =P 0V 0P γ
γ1-1/γ-
11
γγ
1
1P 2P 0
11/γ⎡271-1/γ1⎡271-1/γ⎤⎤P 0⎢(P 0) -P 01-1/γ⎥=P 0V 0() -1⎥=P 0V 0 ⎢γ-1γ-1⎣8⎣8⎦⎦
（2）由绝热过程方程T 2γP 21-γ=T 0γP 01-γ 得 右侧气体的终温 T 2=(
P 0(1-γ) /γ8
) T 0=() (1-1. 5) /1. 5T 0=1. 5T 0 P 227
⎛P 0⎫⎛8⎫
⎪= V = ⎪0 P ⎪
⎝27⎭⎝2⎭
1/γ
1/1. 5
P 1/1. 5
（3）由（1）中V =(0) V 0 得右侧终态体积为 V 2
P
4V 0=V 0
9
则左侧终态体积 V 1=V 0+(V 0-V 2) =2V 0-V 2=由理想气体状态方程
14V 0 9
P V P 0V 0P 1V 1
得 T 1=11T 0=27⨯14T 0=21T 0 =
P 0V 0894T 0T 1
（4）由（1）知 A =P 0V 0
∆U =νC V , m (T 1-T 0) =
17
νC V , m T 0 4
由热力学第一定律得左侧气体所吸收的热量
Q =∆U +A =
1717
νC V , m T 0+P 0V 0=νC V , m T 0+νRT 0 44
C P , m =νC V , m =1. 5C V , m C P , m -C V , m =0. 5C V , m =R ∴C V , m =2R
∴Q =
1719
νRT 0+νRT 0=νRT 0 22
7.22题示图
7.22 如图所示的是一理想气体循环过程图，其中
a →b 和c →d 为绝热过程，b →c 为等压过程，d →a 为等容过
程，已知T a 、T b 、T c 和T d 及气体的热容比γ，求循环过程的效率。
解：在该理想气体循环过程的ab 和cd 分过程是绝热过程，与外界不交换热量，而在bc 过程中放热Q 2=νC P , m (T b -T c ) 在da 过程吸热 Q 1=νC V , m (T a -T d ) 则此循环过程的效率为
νC P , m (T b -T c ) T -T c Q 2A Q 1-Q 2
η===1-=1-=1-γb
Q 1Q 1Q 1νC V , m (T a -T d ) T a -T d
7.23设有以理想气体为工质的热机，其循环如图所示，试证明其效率。
η=1-γ
⎛V 1⎫⎛P ⎫1
⎪ -1⎪/-1⎪ ⎪
⎝V 2⎭⎝P 2⎭
证明：在等体过程ab 中，从外界吸收热量
1
Q 1=∆U =νC V , m (T b -T a ) =C V , m (P 1V 2-P 2V 2)
R
在绝热过程bc 中与外界不交换热量。在等压过程ca 中放出热量
7.23题示图
Q 2=νC P , m (T c -T a ) =C P , m
1
P 2(V 1-V 2)
R
1
P 2C P , m (V 1-V 2)
P (V -V 2) V P 则效率 η=1-Q 2=1-=1-γ21=1-γ(1-1) /(1-1)
1Q 1V 2(P 1-P 2) V 2P 2C V , m V 2(P 1-P 2) R
7.24理想气体做卡诺循环，设热源温度为1000C ，冷却器温度为０0C 时，每一循环做净功8kJ ，今维持冷凝器温度不变，提高热源温度，使净功增为10kJ ，若两个循环都工作于相同的两条绝热线之间，求（１）此时热源温度应为多少？（２）这时效率为多少？
解：（1）在两个等温线间的绝热过程做功大小相等，故在卡诺循环过程中系统对外所做的功等于两等温过程系统对外所做的功即：
A =νR (T 1ln
V V 2
-T 2ln 3) V 1V 4
V 2V 3V
∴A =νR (T 1-T 2) ln 3 =
V 4V 1V 4
由绝热过程方程可得
T 1' -T 21010
由题知 = T 1' -T 2=⨯(T 1-T 2) =125K
8T 1-T 28∴T 1' =T 2+125=275+125=398K
（2） η=1-
Q 2T 2273
=1-=1-=31. 4% ' '
398Q 1T 1
7.25从锅炉进入蒸汽机的蒸气温度t 1=2100C ，冷却器温度t 2=400C ，问消耗4.18kJ 的热以产生蒸气，可得到的最大功为多少？
解：在相同的高温热源的低温热源间的所有热机以卡诺热机的效率最大为
η=1-
T 2313=1-=35. 2% T 1483
则 A ≤ηQ 1=35. 2%⨯4. 18=1. 47kJ 。即得到的最大功为1.47kJ
7.26（１）在夏季为使室内保持凉爽，须将热量以2000J /s 的散热率排至室外，此冷却
用致冷机完成，设室温为270C ，室外为370C ，求致冷机所需要的最小功率。
（２）冬天将上述致冷机用做热泵，使它从室外取热传至室内，而保持室内温度。设冬天室外温度为-30C ，室内温度保持270C ，仍用（１）中所给的功率，则每秒传给室内的最大热量是多少？
解：（1）卡诺致冷机的致冷系数 ε=
T 2300
==30
T 1-T 2310-300
则每秒至少需做功为 A =
Q 2
ε
=
2000
=66. 7J 。即致冷机所需要的最小功率为66.7W 30
（2）将上述致冷机用做热泵时，上述致冷机的致冷系数为
ε=
T 2270
==9
T 1-T 2300-270
若仍用（１）中所给的功率，则 A =66. 7J ，Q 2=εA =9⨯66. 7=600J
Q 1=A +Q 2=66. 7+600=666. 7J ，即每秒传给室内的最大热量为666.7J 。
7.27 有一动力暖气装置如图所示，热机从温度为t 1的锅炉内吸热，对外做功带动一致冷机，致冷机自温度为t 3的水池中吸热传给供暖系统t 2，此暖气系统也是热机的冷却器。若
t 1=2100C , t 2=600C , t 3=150C ，煤的燃烧值为H =2. 09⨯104kJ /kg ，问AA 锅炉每燃
烧1kg 的煤，暖气中的水得到的热量Ｑ是多少？（设两部机器都做可逆卡诺循环）。
解：T 1=t 1+273=483k ，T 2=t 2+273=333k ，T 3=t 3+273=288k
H =2. 09⨯104kJ /kg =2. 09⨯107J /kg ，Q 1=mH =1⨯2. 09⨯107=2. 09⨯107J
η=1-
T 2Q 333
=1-=0. 31=1-2 T 1483Q 1
锅炉
∴Q 2=(1-η) Q 1=(1-0. 31) ⨯2. 09⨯107=1. 44⨯107J
' ' '
T Q Q Q 2883222又ε= ==6. 4=' ==T 2-T 3333-288A Q 1-Q 2A
暖
气系统水池
' ∴Q 2=ε(Q 1-Q 2) =6. 4⨯(2. 09-1. 44) ⨯107=4. 16⨯107J
7.27题示图
则锅炉煤燃烧1kg 煤，暖气中水得到的热量为
'
Q =Q 2+Q 2=1. 44⨯107+4. 16⨯107=5. 6⨯107J
7.28如图所示为某理想气体的两条熵线S 1和S 2，若气体从状态
１沿等温线（温度为Ｔ）准静态地膨胀到状态２，则气体对外做了多少功？
解：沿等温线从状态1到状态2的熵变为
dQ 1Q
S 2
-S 1=⎰=⎰dQ =
T T T
7.28题示图
所以在此过程中吸热为 Q =T (S 2-S 1)
在等温过程中，内能不变，利用热力学第一定律便得过程所做的功
A =Q =T (S 2-S 1)
7.29 有一块质量为1kg 、温度为-100C 的冰块，将其放入温度为150C 的湖水中，达到热平衡时，整个系统的熵变为多少（冰的熔解热为334kJ/kg，比热为2. 09kJ ⋅kg -1） 解：由于湖水的质量可看成是无限大。则将1kg 冰放入其内达平衡时的温度仍保持原湖水的温度150C 。可将冰块吸热和湖水放热看成可逆等压准静态过程。冰吸热的熵变
∆S 1=mC 冰⎰
T 0
T 1
T 2dT Q dT
+C 水⎰+溶
T 0T T T 0
273288334⨯1033
=2. 09⨯10ln +4. 18⨯10ln +=78+224+1223=1525Jk -1
263273273
3
湖水放热的熵变
∆S 2=-
C m (T 0-T 1) +C 水m (T 2-T 0) +Q 溶Q
=-冰
T 0T 2
2. 09⨯103(273-263) +4. 18⨯103(288-273) +334⨯103
=-1450Jk -1 =-
288
所以系统的熔变为∆S =∆S 1+∆S 2=1525-1450=75Jk -1
7.30 有一体积为2. 0⨯10m 的绝热容器，用一隔板将其分为两部分，开始时左边一侧充有1mol 理想气体（体积为V 1=5. 0⨯10-3m 3），右边一侧为真空。现抽掉隔板让气体自由膨胀充满整个容器，求熵变。
解：自由膨胀可看成等温膨胀（即选从态1→态2的可逆等温过程来计算）
V 2dV dQ 等温PdV V
S 2-S 1=⎰−−−→⎰=R ⎰=R ln 2=8. 31⨯ln 4=11. 52Jk -1
V 1V T T V 1
-23
第7章 热力学基础
7.16 一摩尔单原子理想气体从270C 开始加热至770C （1）容积保持不变；（2）压强保持不变；
问这两过程中各吸收了多少热量？增加了多少内能？对外做了多少功？(摩尔热容
C V , m =12. 46J ⋅mol -1K -1, C P , m =20. 78J ⋅mol -1K -1)
解（１）是等体过程，对外做功A ＝０。Q =∆U =C V , m ∆T =12. 46⨯(77-27) =623J （２）是等压过程，吸收的热量Q =C p , m ∆T =20. 78⨯(77-27) =1039J
∆U =C V , m ∆T =12. 46⨯(77-27) =623J
A =Q -∆U =1039-623=416J
7.17 一系统由如图所示的a 状态沿acb 到达状态b ，有334J 热量传入系统，而系统做功126J 。
（1）若沿adb 时系统做功42J ，问有多少热量传入系统？
（2）当系统由状态b 沿曲线ba 返回态a 时，外界对系统做功84J ，
试问系统是吸热还是放热？传递热量是多少？ （3）若态d 与态a 内能之差为167J ，试问沿ad 及db 各自吸收的热量是多少？ 7.17题示图
解：已知Q acb =334J . 增量为
A acb =126J 据热力学第一定律得内能
∆U ab =Q acb -A acb =334-126=208J
(1) 沿曲线adb 过程，系统吸收的热量
Q adb =∆U ab +A adb =208+42=250J
(2) 沿曲线ba
Q ba =∆U ba +A ba =-∆U ab +A ba =-208+(-84) =-292J , 即系统放热292J
(3) A db =0
A ad =A adb =42J Q ad =∆U ad +A ad =167+42=209J
Q db =∆U db +A db =∆U ab -∆U ad =208-167=41J ，即在db 过程中吸热41J.
7.18 8g 氧在温度为270C 时体积为4. 1⨯10-4m 3，试计算下列各情形中气体所做的功。
（1）气体绝热地膨胀到4. 1⨯10-3m 3； （2）气体等温地膨胀到4. 1⨯10-3m 3；
再等容地冷却到温度等于绝热膨胀最后所达到的温
度。已知氧的C V , m =5。 R
解：已知 T 0=27+273=300K , V 0=4. 1⨯10-4m 3, M =8g =8⨯10-3kg 由理想气体状态方程pV =
M
μ
RT 得
P 0=
M
μ
RT 0/V 0=
8300
⨯8. 31⨯=1. 52⨯106Pa -4324. 1⨯10
(1) 绝热膨胀到 V 1=4. 1⨯10-3m 3 ， 由绝热过程方程 PV γ=P 0V 0γ 得
P =P 0V 0γ
C p , m R +C V , m 1 而 γ===1. 4 γV C γ, m C V , m
则气体所做功
1-γ
1γV A 1=⎰PdV =⎰P 0V 0dV =P 0V 0
V 0V 0
V γ1-γ
V 1
V 1
γ
V 1
V 0
=
1
P 0V 0γ(V 11-γ-V 01-γ) 1-γ
=
1
⨯1. 52⨯106⨯(4. 1⨯10-4) 1. 4(4. 1⨯10-3) -0. 4-(4. 1⨯10-4) -0. 4=938J 1-1. 4
[]
（2）气体等温膨胀后等容的冷却到 V 2=4. 1⨯10-3m 3
V 214. 1⨯10-36-4
A 2=⎰PdV =⎰P 0V 0dV =P 0V 0ln =1. 52⨯10⨯4. 1⨯10ln =1435J
V 0V 0
V V 04. 1⨯10-4
V 2
V 2
7.19 为了测定气体的γ值，有时用下面的方法，一定量的气体，初始温度、压强和体积
分别为T 0、P 0和V 0，用通有电流的铂丝加热。设两次加热相等，第一次使体积V 0不变，而T 0、P 0分别变为T 1、P 1；第二次使压强P 0不变，而T 0、V 0分别变至T 2、V 2，试证明
γ=
(P 1-P 0) V 0 (V 2-V 0) P 0
证明：Q 1=νC V , m (T 1-T 0), Q 2=νC P , m (T 2-T 0) 由题知Q 1=Q 2
∴有C V , m (T 1-T 0) =C P , m (T 2-T 0)
则 γ=
C P , m C V , m
=
T V T 1-T 0 又T 1P 1（等体）， 2=2 （等压）。 =
T 2P 2T 0V 0T 2-T 0
∴有γ=(
(P -P ) V P V 1
T 0-T 0) /(2T 0-T 0) =100 P 0V 0(V 2-V 0) P 0
7.20 如图表示理想气体的某一过程曲线，当气体自态1过渡到态2时气体的P 、T 如何
随V 变化？在此过程中气体的摩尔热容C m 怎样计算？
解：由图知，P =kV (k 是常数, 此过程也是n =-1的多方过程) 由理想气体状态方程可得
7.20题示图
T =
PV k
=V 2 （1摩尔气体） R R
k k
dQ m =C m dT =C m 2VdV ， dU =C V , m dT =C V , m 2VdV
R R
dA =PdV =kVdV 由热力学第一定律得：
C m
k
2VdV =C V , m R
2
C V , m +1
k R 2VdV +kVdV 由此得 C m ==C V , m + R 2/R 2
7.21一用绝热壁做成的圆柱形容器，在容器中间放置一无摩擦的绝热可动活塞，活塞两
侧各有ν摩尔理想气体，开始状态均为P 0、V 0、T 0，今将一通电线圈放到活塞左侧气体中，对气体缓慢加热，左侧气体膨胀，同时右侧气体被压缩，最后使右方气体的压强增加为
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P 0。8
设气体的定容摩尔热容C v ，m 为常数，γ=1.5。求
（1）对活塞右侧气体做了多少功；（2）右侧气体的终温是多少；（3）左侧气体的终温是多少；（4）左侧气体吸收了多少热量。
27
解：两边压强相等为P 1=P 2=P 0
8
（1）右侧是一绝热压缩过程，满足PV γ=P 0V 0γ
-(+1) P 0γ1γ
由此得V =() V 0 ，dV =-P 0V 0P γdP
P γ
1
11
∴ 对活塞右侧气体所做的功 A =-⎰PdV =
=V 0
1
1
γ
P 0V 0⎰
γ
P 2
P 0
1-1
P dP =P 0V 0P γ
γ1-1/γ-
11
γγ
1
1P 2P 0
11/γ⎡271-1/γ1⎡271-1/γ⎤⎤P 0⎢(P 0) -P 01-1/γ⎥=P 0V 0() -1⎥=P 0V 0 ⎢γ-1γ-1⎣8⎣8⎦⎦
（2）由绝热过程方程T 2γP 21-γ=T 0γP 01-γ 得 右侧气体的终温 T 2=(
P 0(1-γ) /γ8
) T 0=() (1-1. 5) /1. 5T 0=1. 5T 0 P 227
⎛P 0⎫⎛8⎫
⎪= V = ⎪0 P ⎪
⎝27⎭⎝2⎭
1/γ
1/1. 5
P 1/1. 5
（3）由（1）中V =(0) V 0 得右侧终态体积为 V 2
P
4V 0=V 0
9
则左侧终态体积 V 1=V 0+(V 0-V 2) =2V 0-V 2=由理想气体状态方程
14V 0 9
P V P 0V 0P 1V 1
得 T 1=11T 0=27⨯14T 0=21T 0 =
P 0V 0894T 0T 1
（4）由（1）知 A =P 0V 0
∆U =νC V , m (T 1-T 0) =
17
νC V , m T 0 4
由热力学第一定律得左侧气体所吸收的热量
Q =∆U +A =
1717
νC V , m T 0+P 0V 0=νC V , m T 0+νRT 0 44
C P , m =νC V , m =1. 5C V , m C P , m -C V , m =0. 5C V , m =R ∴C V , m =2R
∴Q =
1719
νRT 0+νRT 0=νRT 0 22
7.22题示图
7.22 如图所示的是一理想气体循环过程图，其中
a →b 和c →d 为绝热过程，b →c 为等压过程，d →a 为等容过
程，已知T a 、T b 、T c 和T d 及气体的热容比γ，求循环过程的效率。
解：在该理想气体循环过程的ab 和cd 分过程是绝热过程，与外界不交换热量，而在bc 过程中放热Q 2=νC P , m (T b -T c ) 在da 过程吸热 Q 1=νC V , m (T a -T d ) 则此循环过程的效率为
νC P , m (T b -T c ) T -T c Q 2A Q 1-Q 2
η===1-=1-=1-γb
Q 1Q 1Q 1νC V , m (T a -T d ) T a -T d
7.23设有以理想气体为工质的热机，其循环如图所示，试证明其效率。
η=1-γ
⎛V 1⎫⎛P ⎫1
⎪ -1⎪/-1⎪ ⎪
⎝V 2⎭⎝P 2⎭
证明：在等体过程ab 中，从外界吸收热量
1
Q 1=∆U =νC V , m (T b -T a ) =C V , m (P 1V 2-P 2V 2)
R
在绝热过程bc 中与外界不交换热量。在等压过程ca 中放出热量
7.23题示图
Q 2=νC P , m (T c -T a ) =C P , m
1
P 2(V 1-V 2)
R
1
P 2C P , m (V 1-V 2)
P (V -V 2) V P 则效率 η=1-Q 2=1-=1-γ21=1-γ(1-1) /(1-1)
1Q 1V 2(P 1-P 2) V 2P 2C V , m V 2(P 1-P 2) R
7.24理想气体做卡诺循环，设热源温度为1000C ，冷却器温度为０0C 时，每一循环做净功8kJ ，今维持冷凝器温度不变，提高热源温度，使净功增为10kJ ，若两个循环都工作于相同的两条绝热线之间，求（１）此时热源温度应为多少？（２）这时效率为多少？
解：（1）在两个等温线间的绝热过程做功大小相等，故在卡诺循环过程中系统对外所做的功等于两等温过程系统对外所做的功即：
A =νR (T 1ln
V V 2
-T 2ln 3) V 1V 4
V 2V 3V
∴A =νR (T 1-T 2) ln 3 =
V 4V 1V 4
由绝热过程方程可得
T 1' -T 21010
由题知 = T 1' -T 2=⨯(T 1-T 2) =125K
8T 1-T 28∴T 1' =T 2+125=275+125=398K
（2） η=1-
Q 2T 2273
=1-=1-=31. 4% ' '
398Q 1T 1
7.25从锅炉进入蒸汽机的蒸气温度t 1=2100C ，冷却器温度t 2=400C ，问消耗4.18kJ 的热以产生蒸气，可得到的最大功为多少？
解：在相同的高温热源的低温热源间的所有热机以卡诺热机的效率最大为
η=1-
T 2313=1-=35. 2% T 1483
则 A ≤ηQ 1=35. 2%⨯4. 18=1. 47kJ 。即得到的最大功为1.47kJ
7.26（１）在夏季为使室内保持凉爽，须将热量以2000J /s 的散热率排至室外，此冷却
用致冷机完成，设室温为270C ，室外为370C ，求致冷机所需要的最小功率。
（２）冬天将上述致冷机用做热泵，使它从室外取热传至室内，而保持室内温度。设冬天室外温度为-30C ，室内温度保持270C ，仍用（１）中所给的功率，则每秒传给室内的最大热量是多少？
解：（1）卡诺致冷机的致冷系数 ε=
T 2300
==30
T 1-T 2310-300
则每秒至少需做功为 A =
Q 2
ε
=
2000
=66. 7J 。即致冷机所需要的最小功率为66.7W 30
（2）将上述致冷机用做热泵时，上述致冷机的致冷系数为
ε=
T 2270
==9
T 1-T 2300-270
若仍用（１）中所给的功率，则 A =66. 7J ，Q 2=εA =9⨯66. 7=600J
Q 1=A +Q 2=66. 7+600=666. 7J ，即每秒传给室内的最大热量为666.7J 。
7.27 有一动力暖气装置如图所示，热机从温度为t 1的锅炉内吸热，对外做功带动一致冷机，致冷机自温度为t 3的水池中吸热传给供暖系统t 2，此暖气系统也是热机的冷却器。若
t 1=2100C , t 2=600C , t 3=150C ，煤的燃烧值为H =2. 09⨯104kJ /kg ，问AA 锅炉每燃
烧1kg 的煤，暖气中的水得到的热量Ｑ是多少？（设两部机器都做可逆卡诺循环）。
解：T 1=t 1+273=483k ，T 2=t 2+273=333k ，T 3=t 3+273=288k
H =2. 09⨯104kJ /kg =2. 09⨯107J /kg ，Q 1=mH =1⨯2. 09⨯107=2. 09⨯107J
η=1-
T 2Q 333
=1-=0. 31=1-2 T 1483Q 1
锅炉
∴Q 2=(1-η) Q 1=(1-0. 31) ⨯2. 09⨯107=1. 44⨯107J
' ' '
T Q Q Q 2883222又ε= ==6. 4=' ==T 2-T 3333-288A Q 1-Q 2A
暖
气系统水池
' ∴Q 2=ε(Q 1-Q 2) =6. 4⨯(2. 09-1. 44) ⨯107=4. 16⨯107J
7.27题示图
则锅炉煤燃烧1kg 煤，暖气中水得到的热量为
'
Q =Q 2+Q 2=1. 44⨯107+4. 16⨯107=5. 6⨯107J
7.28如图所示为某理想气体的两条熵线S 1和S 2，若气体从状态
１沿等温线（温度为Ｔ）准静态地膨胀到状态２，则气体对外做了多少功？
解：沿等温线从状态1到状态2的熵变为
dQ 1Q
S 2
-S 1=⎰=⎰dQ =
T T T
7.28题示图
所以在此过程中吸热为 Q =T (S 2-S 1)
在等温过程中，内能不变，利用热力学第一定律便得过程所做的功
A =Q =T (S 2-S 1)
7.29 有一块质量为1kg 、温度为-100C 的冰块，将其放入温度为150C 的湖水中，达到热平衡时，整个系统的熵变为多少（冰的熔解热为334kJ/kg，比热为2. 09kJ ⋅kg -1） 解：由于湖水的质量可看成是无限大。则将1kg 冰放入其内达平衡时的温度仍保持原湖水的温度150C 。可将冰块吸热和湖水放热看成可逆等压准静态过程。冰吸热的熵变
∆S 1=mC 冰⎰
T 0
T 1
T 2dT Q dT
+C 水⎰+溶
T 0T T T 0
273288334⨯1033
=2. 09⨯10ln +4. 18⨯10ln +=78+224+1223=1525Jk -1
263273273
3
湖水放热的熵变
∆S 2=-
C m (T 0-T 1) +C 水m (T 2-T 0) +Q 溶Q
=-冰
T 0T 2
2. 09⨯103(273-263) +4. 18⨯103(288-273) +334⨯103
=-1450Jk -1 =-
288
所以系统的熔变为∆S =∆S 1+∆S 2=1525-1450=75Jk -1
7.30 有一体积为2. 0⨯10m 的绝热容器，用一隔板将其分为两部分，开始时左边一侧充有1mol 理想气体（体积为V 1=5. 0⨯10-3m 3），右边一侧为真空。现抽掉隔板让气体自由膨胀充满整个容器，求熵变。
解：自由膨胀可看成等温膨胀（即选从态1→态2的可逆等温过程来计算）
V 2dV dQ 等温PdV V
S 2-S 1=⎰−−−→⎰=R ⎰=R ln 2=8. 31⨯ln 4=11. 52Jk -1
V 1V T T V 1
-23