第33卷第12期 2010年12月
自然科学版)
JO U RN AL O F H EFEI U N IV ERSIT Y OF T ECH N OL O GY
合肥工业大学学报(
V ol. 33No. 12 Dec. 2010
Doi:10. 3969/j. issn. 1003 5060. 2010. 12. 035
求解随机微分方程PL 方法和RS 方法的稳定性
徐道叁, 朱晓临
(合肥工业大学数学学院, 安徽合肥 230009)
摘 要:文章给出了随机微分方程的二阶Rung e Kutta 方法的算法格式, 研究了P L 方法和RS 方法用于求解线性检验方程的均方稳定、指数稳定和T 稳定的条件, 并证明了对于St ratonov ich 型随机微分方程的一种特殊形式 线性检验方程, 均方稳定和指数稳定的等价性。
关键词:随机微分方程; Rung e Kutta 方法; P L 方法; RS 方法; 均方稳定性; 指数稳定性; T 稳定性; 线性检验方程
中图分类号:O 211 63 文献标志码:A 文章编号:1003 5060(2010) 12 1912 04
Stability of PL method and RS method for solving
stochastic differential equations
XU Dao san, ZH U Xiao lin
(Sch ool of M athematics, H efei U niver sity of T echnology, H efei 230009, China)
Abstract:The algo rithm pattern of tw o step Rung e Kutta m ethod for so lving stochastic differential e quations is presented. T he co nditions o f the m ean square stability, the exponential stability and T sta bility o f PL metho d and RS method fo r so lving linear test equations are discussed. The equivalence be tw een the mean square stability and the ex po nential stability for linear test equation, w hich is a special case of Str atonov ich stochastic differential equation, is also provided.
Key words:stochastic differential equation; Runge Kutta method; PL method; RS method; m ean square stability; ex ponential stability ; T stability; linear test equatio n
年的事情。自文献[5]把随机Rung e Kutta 方法用于求解随机微分方程以来, 文献[6-8]讨论了随机微分方程的这种稳定性; 文献[9-12]构造了多种求解随机微分方程的Runge Kutta 方法并讨论了它们的稳定性, 但研究随机微分方程的稳定性时主要是针对均方稳定性。
本文讨论了二阶显式随机Runge Kutta 方法中的另外2种方法 PL 方法和RS 方法, 并给出此方法的均方稳定性的条件, 进一步证明了2种方法求解随机微分方程时均方稳定和指数稳定是等价的, 同时给出了2种方法求解随机微分方程T 稳定性的充要条件。
0 引 言
随机微分方程在描述客观现象中起着越来越重要的作用, 但在解决实际问题时存在与常微分方程同样的问题, 即其解析解不易求得, 因此构造合理的数值方法就显得十分重要, 所构造的数值方法的合理性取决于方法本身的收敛性和稳定性。近年来, 关于求解随机微分方程数值方法的收敛性和稳定性的文章主要集中在Euler 方法、Milstein 法和Rung e Kutta 方法[1-4]。用Rung e Kutta 方法求解常微分方程是经典的问题, 但用随机Rung e Kutta 方法求解随机微分方程则是近
收稿日期:2009 10 22; 修回日期:2010 08 11
基金项目:教育部科学技术研究重大基金资助项目(309017)
作者简介:徐道叁(1979-) , 男, 安徽庐江人, 合肥工业大学硕士生;
朱晓临(1964-) , 男, 安徽池州人, 博士, 合肥工业大学教授, 硕士生导师.
第12期徐道叁, 等:求解随机微分方程PL 方法和RS 方法的稳定性
1913
1 预备知识
按照不同的随机积分的定义, 随机微分方程可以分别表示为(1) 式或(2) 式的形式:
d y =f (y (t) ) d t +g(y (t) ) d w (t) , t [t 0, T], y (t 0) =y 0, y R
(1)
其中, f (y (t) ) 、g(y (t) ) 为[t 0, T]上的连续可测函数, 分别称为漂移系数和扩散系数, 且E |y 0|2 ; w (t) 为标准的Winner 过程, 其增量 w (t)=w (t +h) -w (t) 服从正态分布N (0, h) , 且有如下性质:
g (y (t) ) d w (t) ]=0, ∀
E[|g (y (t) ) d w (t) |]=
∀
E [|g(y (t) ) |]d t 。∀E[
a b
2
a b
2
a b
用于随机微分方程得到其数值解{y n }n ! =0。对∀n #0, 如果存在2个正常数m 和N , 使得:
E |y n |
2
∃NE |y 0|e
2-mnh
,
那么, 称此数值方法对于随机微分方程在均方意义下是指数稳定的[12]。
n
定义3 令R T (h, a, b) =
=1
%R (h, a, b, J ) , J
= w i =w (t i +1) -w (t i ) ~N (0, h) , 若|R T (h, a, b) |
定义4 PL 方法[15]:
Y =y n +h f (y n ) +J 1g(y n ) ,
y n+1=y n +h f (y n ) /2+J 1[g(y n ) +g(Y ) ]/2,
其中, J 1~N (0, h) 。
定义5 RS 方法[8]:
Y =y n +4h f (y n ) /9+2J 1g(y n ) /3, y n +1=y n +h[f (y n ) +f (Y) ]/2+ J 1[g(y n ) +3g(Y) ]/4, 其中, J 1~N (0, h) 。
此方程有2种较为特殊的情形:一种是当g(y (t) ) 关于y 为线性时, 称为乘性(m ultiplica tive) 噪音; 另一种是当g(y (t) ) 为常量时, 称为加性(additiv e ) 噪音。
d y = f (y (t) ) d t +g(y (t) ) d w (t) , t [t 0, T], y (t 0) =y 0, y R (2)
其中, f (y (t) ) =f (y (t) ) -g(y (t) ) (y (t) ) ;
2f (y (t) ) 是漂移系数; g(y (t) ) 是扩散系数且二阶可微; w (t ) 为标准的Winner 过程, 其增量
w (t) =w (t +h) -w (t) 服从正态分布N (0, h) 。(1) 式为It 型随机微分方程, (2) 式的特殊形式为Str atonovich 型随机微分方程。
在不同的积分规则下, 2种形式的方程具有相同的解, 因此只需对其中一种形式求解即可, 本文只针对Stratonovich 型随机微分方程(2) 式的特殊形式进行讨论。
d y =ay d t+by d w (t)
1
2 数值算法P L 方法
定理1 PL 方法用于解线性检验方程时, 其均方稳定的充要条件是:
R 1=(1+p /2) +
(p 2/4+3p /2+2) q 2+3q 4/4
证明 将PL 方法用于解线性检验方程(4) 式, 得
Y 1=y n ,
Y 2=y n +hf (Y 1) +J 1g(Y 1) =y n +ahy n +bJ 1y n , y n+1=y n +hf (Y 1) /2+J 1(g(Y 1) +g(Y 2) ) /2=
2
1+ah/2+
y n+1=
abh/2+b J 1+b 2J 21/y n 。
1
212
p q/2+q J 11+q (J 1) /y n
(3)
设p =ah, q =b J 1=J 1/h ~N (0, 1) , 则
1+p /2+
其中, a, b C ; w (t) 是标准Winner 过程, 方程
(3) 式也称为线性检验方程。
设对随机微分方程(3) 应用Runge Kutta 方法, 得到迭代式为:
y n +1=R (h, a, b, J ) y n
(4)
其中, J = w n =w (t n +1) -w (t n ) ~N (0, h) ; h 是步长。
定义1 称R 1(h, a, b) =E(R 2(h, a, b, J ) ) 是数值方法(4) 式的均方稳定函数; 如果给定步长h, |R 1(h, a, b) |
[13]
(5)
对(5) 式两端求模方, 因为J 11与y n 独立, 且J 11~N (0, 1) , 所以得:|y n +1|=
4
1
4
2
2
1+p /1
2
2
2
+pq /2+q (J 1) +pq /2+q J 1+
1
3
1
212
q (J 1) /4+21+p /2
q 1+p /2(J 1) +q p q /2+q (J 1) 将此式两端取期望得:
E(|y n+1|2) =
1+p /2
2
|y n |。
2
+p 2/4+3p /2+2q 2+
。
2|2
19143q 4/4。
合肥工业大学学报(自然科学版)
所以, 当1+p /2+q 2/2
第33卷
关于(6) 式期望值的计算, 可用如下公式:
E(J 1) =0, E [(J 1) ]=1,
E[(J 1) ]=0, E[(J 1) ]=3。
因此由均方稳定的定义得, PL 方法用于解线性检验方程时, 均方稳定的充要条件是:
R 1=
2
1
3
1
4
1
1
2
E 1+p /2+则有:
1+p /2+也就是:
pq /2+q J 1+q (J 1) /
212
pq /2+q J 11+q (J 1) /2
1212
|R T (h, a, b) |
所以, PL 方法对(3) 式是T 稳定的。
1+p /2
2
2
+
4
p /4+3p /2+2q +3q /4
证毕。
由均方稳定性和指数稳定性的定义, 得到定理2。
定理2 PL 方法对于(3) 式是指数稳定的充要条件是PL 方法对于(3) 式是均方稳定的。
证明 先证必要性。由(6) 式迭代可得:
2
E (|y n |2) =R n 1E(|y 0|) ,
3 数值算法RS 方法
定理4 RS 方法用于(3) 式时, 均方稳定的充要条件是:
R 1=
1+p +2p 2/9
2
+
(8)
2p 2/9+5p /3+2q 2+3q 4/4
其中, p =ah; q =b h 。
证明 将RS 方法用于(3) 式, 得
Y 1=y n ,
Y 2=y n +
hf (Y 1) +J 1g(Y 1) =93
因为PL 方法是指数稳定的, 即存在正常数m 和
N , 使得:
E |y n |
2
∃NE |y 0|2e -m nh , ∀n #0
m nh
(7)
2
所以, R n 1E |y 0|∃N E |y 0|2e -, 也就是R n 1∃
N e -mnh 。又因为(7) 式是对任意n 都成立的, 故取n =
(ln N ) /(+1, 其中[a]表示不超过a R 1∃N e
n
=N e
N ex p (-mh ) =1。
m h
y n +ahy n +b J 1y n ,
93y n +1=y n +h[f (Y 1) +f (Y 2) ]+2
J 1[g(Y 1) +3g(Y 2) ]=4
1+ah +
222
a h +2
abh +b J 1+b 2J 21y n 。2
的最大整数, 则
-mnh
-m h
+1
因此可得R 1
式也是均方稳定的。
再证充分性。如果R 1
2
E (|y n |2) =R n 1E(|y 0|) ∃
设p =ah, q =b J 11=y n +1=
1
N (0, 1) , 则h
21+p +p ) +(pq +q J 11+
93212
q (J 1) y n (9) 2
1
N E (|y 0|2) e -mnh , n =1, 2, &。
由定义2知, PL 方法对于(3) 式是指数稳定的。证毕。
定理3 对于(3) 式, PL 方法是T 稳定的充要条件是1+p /2+q 2/2
证明 由(5) 式得:
R (h, a, b, J ) =所以有:
n
对(9) 式两端求模方, 由于J 1和y n 独立, 且J 1~N (0, 1) , 所以得:
|y n+1|=
2
1
1+p +p 2
9
2
+
pq +q 3
2
2
(J 11) +
q 4(J 1) 4+21+p +2p 2
1
4q 21+p +
2222
p (J 11) +q 9
2
pq +q J 11+|y n |2。
1+p /2+
23
pq +q (J 11) 3
212
pq /2+q J 11+q /2(J 1) /2,
将此式两端取期望得:
E(|y n +1|) =
2
1+p +2p /22
+
R T =1+p /2+又有:
E(R T ) =E
i=1
%R(h, a, b, J ) =
1
2
1
2
2p 2/9+5p /3+2q 2+3q 4/4∋E (|y n |2) =R 1E (|y n |2)
5p /3+2) q 2+3q 4/4。
, (10)
其中, R 1=(1+p +2p 2/9) 2+(2p 2/9+
p q/2+q J 1+q (J 1) /2, 1+p /2+
pq /2+q J 11+
221/+
第12期徐道叁, 等:求解随机微分方程PL 方法和RS 方法的稳定性
1915
性检验方程时, 均方稳定的充要条件是:
R 1=
2
E uler s cheme for a class of stochastic differential equations [J ]. In ternation al M athem atical Journ al, 2001, 1(1) :9-22.
[2] Liu M in gzhu, Cao Wanrong, Fan Zhen cheng. Convergence
and stability of the semi implicit Euler method for a lin ear stochastic differential delay equation [J ]. J Com p Appl M ath, 2004, 170:255-268.
[3] 朱 霞, 李建国, 李宏智, 等. 随机微分方程M ils tein 方法的
稳定性[J ]. 华中科技大学学报:自然科学版, 2003, 31(3) :111-113.
[4] 朱 霞, 阮立志. 求解随机微分方程的两种方法的稳定性分
析[J ]. 中南民族大学学报:自然科学版, 2006, 25(2) :98-100.
[5] Rumelin W. Nu merical treatmen t of stochastic differential
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[7] H igham D J. M ean square an d asymptotic stability of the
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[11] Burrage K, Burrage P M . High s tron g order explicit
Runge Ku tta methods for stochas tic ordinary differential
1+p +2p /2
4
22
+
2p /9+5p /3+2q +3q /4
由均方稳定性和指数稳定性的定义, 得到定理5。
定理5 RS 方法对于(3) 式是指数稳定的充分必要条件是RS 方法对于(3) 式是均方稳定的。
证明过程同定理2的证明。
定理6 对于(3) 式, RS 方法是T 稳定的充要条件是1+p /2+q /2
证明 由(9) 式得:
R(h, a, b, J ) =1+p +2p 2/9+
212
2pq /3+q J 11+q (J 1) /2,
2
所以有:
n
R T =又因为:
1
%R (h, a, b, J ) =
1
2
1+p +2p /9+
1
2
2
2pq /3+q J 1+q (J 1) /2。
E(R T ) =E
2
11
2
1+p +2p 2/9+
2
2pq /3+q J 11+
2
q (J ) /2=1+p +2p /9+q /2, 所以当1+p /2+q 2/2
E
1+p +2p 2/9+
1
1
2
11
2
2pq /3+q J +q (J ) /2
故
1+p +2p 2/9+
2pq /3+q J +q (J ) /2
也就是|R T (h, a, b) |
11
2
11
2
equation s [J]. Appl Numer M ath, 1996, 22:81-101.
[12] Burrage K, Burrage P M. Order conditions of stoch astic
Runge Ku tta m ethods by B s eries [J]. SIAM J Numer A nal, 2000, 38:1626-1646.
[13] 王鹏飞, 殷 凤, 蔺小林. 求解随机微分方程H eun 法的稳
定性[J ]. 江西师范大学学报:自然科学版, 2008, 32(1) :19-21.
[14] S aito Y, M itsui T. T stability of num erical sch eme for sto
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[15] 王 鹏, 吕显瑞, 张伸煦. 求解随机微分方程的三级半隐式
随机龙格库塔方法[J]. 吉林大学学报:理学版, 2008, 46(2) :219-223.
4 结束语
本文对PL 方法和RS 方法的显式随机Rung e Kutta 算法进行了讨论, 并将这2种算法
应用于线性检验方程, 分别讨论并证明了其解的均方稳定性、指数稳定性和T 稳定性。对于随机微分方程的其它类型二级显式随机Rung e Kutta 方法, 都可以得出相同的结论, 还可以推广到三级(四级和五级) 显式Runge Kutta 方法。
[参 考 文 献]
[1] M arion G, M ao Xuerong, Rensh aw E. C on vergence of the
(责任编辑 张秋娟)
第33卷第12期 2010年12月
自然科学版)
JO U RN AL O F H EFEI U N IV ERSIT Y OF T ECH N OL O GY
合肥工业大学学报(
V ol. 33No. 12 Dec. 2010
Doi:10. 3969/j. issn. 1003 5060. 2010. 12. 035
求解随机微分方程PL 方法和RS 方法的稳定性
徐道叁, 朱晓临
(合肥工业大学数学学院, 安徽合肥 230009)
摘 要:文章给出了随机微分方程的二阶Rung e Kutta 方法的算法格式, 研究了P L 方法和RS 方法用于求解线性检验方程的均方稳定、指数稳定和T 稳定的条件, 并证明了对于St ratonov ich 型随机微分方程的一种特殊形式 线性检验方程, 均方稳定和指数稳定的等价性。
关键词:随机微分方程; Rung e Kutta 方法; P L 方法; RS 方法; 均方稳定性; 指数稳定性; T 稳定性; 线性检验方程
中图分类号:O 211 63 文献标志码:A 文章编号:1003 5060(2010) 12 1912 04
Stability of PL method and RS method for solving
stochastic differential equations
XU Dao san, ZH U Xiao lin
(Sch ool of M athematics, H efei U niver sity of T echnology, H efei 230009, China)
Abstract:The algo rithm pattern of tw o step Rung e Kutta m ethod for so lving stochastic differential e quations is presented. T he co nditions o f the m ean square stability, the exponential stability and T sta bility o f PL metho d and RS method fo r so lving linear test equations are discussed. The equivalence be tw een the mean square stability and the ex po nential stability for linear test equation, w hich is a special case of Str atonov ich stochastic differential equation, is also provided.
Key words:stochastic differential equation; Runge Kutta method; PL method; RS method; m ean square stability; ex ponential stability ; T stability; linear test equatio n
年的事情。自文献[5]把随机Rung e Kutta 方法用于求解随机微分方程以来, 文献[6-8]讨论了随机微分方程的这种稳定性; 文献[9-12]构造了多种求解随机微分方程的Runge Kutta 方法并讨论了它们的稳定性, 但研究随机微分方程的稳定性时主要是针对均方稳定性。
本文讨论了二阶显式随机Runge Kutta 方法中的另外2种方法 PL 方法和RS 方法, 并给出此方法的均方稳定性的条件, 进一步证明了2种方法求解随机微分方程时均方稳定和指数稳定是等价的, 同时给出了2种方法求解随机微分方程T 稳定性的充要条件。
0 引 言
随机微分方程在描述客观现象中起着越来越重要的作用, 但在解决实际问题时存在与常微分方程同样的问题, 即其解析解不易求得, 因此构造合理的数值方法就显得十分重要, 所构造的数值方法的合理性取决于方法本身的收敛性和稳定性。近年来, 关于求解随机微分方程数值方法的收敛性和稳定性的文章主要集中在Euler 方法、Milstein 法和Rung e Kutta 方法[1-4]。用Rung e Kutta 方法求解常微分方程是经典的问题, 但用随机Rung e Kutta 方法求解随机微分方程则是近
收稿日期:2009 10 22; 修回日期:2010 08 11
基金项目:教育部科学技术研究重大基金资助项目(309017)
作者简介:徐道叁(1979-) , 男, 安徽庐江人, 合肥工业大学硕士生;
朱晓临(1964-) , 男, 安徽池州人, 博士, 合肥工业大学教授, 硕士生导师.
第12期徐道叁, 等:求解随机微分方程PL 方法和RS 方法的稳定性
1913
1 预备知识
按照不同的随机积分的定义, 随机微分方程可以分别表示为(1) 式或(2) 式的形式:
d y =f (y (t) ) d t +g(y (t) ) d w (t) , t [t 0, T], y (t 0) =y 0, y R
(1)
其中, f (y (t) ) 、g(y (t) ) 为[t 0, T]上的连续可测函数, 分别称为漂移系数和扩散系数, 且E |y 0|2 ; w (t) 为标准的Winner 过程, 其增量 w (t)=w (t +h) -w (t) 服从正态分布N (0, h) , 且有如下性质:
g (y (t) ) d w (t) ]=0, ∀
E[|g (y (t) ) d w (t) |]=
∀
E [|g(y (t) ) |]d t 。∀E[
a b
2
a b
2
a b
用于随机微分方程得到其数值解{y n }n ! =0。对∀n #0, 如果存在2个正常数m 和N , 使得:
E |y n |
2
∃NE |y 0|e
2-mnh
,
那么, 称此数值方法对于随机微分方程在均方意义下是指数稳定的[12]。
n
定义3 令R T (h, a, b) =
=1
%R (h, a, b, J ) , J
= w i =w (t i +1) -w (t i ) ~N (0, h) , 若|R T (h, a, b) |
定义4 PL 方法[15]:
Y =y n +h f (y n ) +J 1g(y n ) ,
y n+1=y n +h f (y n ) /2+J 1[g(y n ) +g(Y ) ]/2,
其中, J 1~N (0, h) 。
定义5 RS 方法[8]:
Y =y n +4h f (y n ) /9+2J 1g(y n ) /3, y n +1=y n +h[f (y n ) +f (Y) ]/2+ J 1[g(y n ) +3g(Y) ]/4, 其中, J 1~N (0, h) 。
此方程有2种较为特殊的情形:一种是当g(y (t) ) 关于y 为线性时, 称为乘性(m ultiplica tive) 噪音; 另一种是当g(y (t) ) 为常量时, 称为加性(additiv e ) 噪音。
d y = f (y (t) ) d t +g(y (t) ) d w (t) , t [t 0, T], y (t 0) =y 0, y R (2)
其中, f (y (t) ) =f (y (t) ) -g(y (t) ) (y (t) ) ;
2f (y (t) ) 是漂移系数; g(y (t) ) 是扩散系数且二阶可微; w (t ) 为标准的Winner 过程, 其增量
w (t) =w (t +h) -w (t) 服从正态分布N (0, h) 。(1) 式为It 型随机微分方程, (2) 式的特殊形式为Str atonovich 型随机微分方程。
在不同的积分规则下, 2种形式的方程具有相同的解, 因此只需对其中一种形式求解即可, 本文只针对Stratonovich 型随机微分方程(2) 式的特殊形式进行讨论。
d y =ay d t+by d w (t)
1
2 数值算法P L 方法
定理1 PL 方法用于解线性检验方程时, 其均方稳定的充要条件是:
R 1=(1+p /2) +
(p 2/4+3p /2+2) q 2+3q 4/4
证明 将PL 方法用于解线性检验方程(4) 式, 得
Y 1=y n ,
Y 2=y n +hf (Y 1) +J 1g(Y 1) =y n +ahy n +bJ 1y n , y n+1=y n +hf (Y 1) /2+J 1(g(Y 1) +g(Y 2) ) /2=
2
1+ah/2+
y n+1=
abh/2+b J 1+b 2J 21/y n 。
1
212
p q/2+q J 11+q (J 1) /y n
(3)
设p =ah, q =b J 1=J 1/h ~N (0, 1) , 则
1+p /2+
其中, a, b C ; w (t) 是标准Winner 过程, 方程
(3) 式也称为线性检验方程。
设对随机微分方程(3) 应用Runge Kutta 方法, 得到迭代式为:
y n +1=R (h, a, b, J ) y n
(4)
其中, J = w n =w (t n +1) -w (t n ) ~N (0, h) ; h 是步长。
定义1 称R 1(h, a, b) =E(R 2(h, a, b, J ) ) 是数值方法(4) 式的均方稳定函数; 如果给定步长h, |R 1(h, a, b) |
[13]
(5)
对(5) 式两端求模方, 因为J 11与y n 独立, 且J 11~N (0, 1) , 所以得:|y n +1|=
4
1
4
2
2
1+p /1
2
2
2
+pq /2+q (J 1) +pq /2+q J 1+
1
3
1
212
q (J 1) /4+21+p /2
q 1+p /2(J 1) +q p q /2+q (J 1) 将此式两端取期望得:
E(|y n+1|2) =
1+p /2
2
|y n |。
2
+p 2/4+3p /2+2q 2+
。
2|2
19143q 4/4。
合肥工业大学学报(自然科学版)
所以, 当1+p /2+q 2/2
第33卷
关于(6) 式期望值的计算, 可用如下公式:
E(J 1) =0, E [(J 1) ]=1,
E[(J 1) ]=0, E[(J 1) ]=3。
因此由均方稳定的定义得, PL 方法用于解线性检验方程时, 均方稳定的充要条件是:
R 1=
2
1
3
1
4
1
1
2
E 1+p /2+则有:
1+p /2+也就是:
pq /2+q J 1+q (J 1) /
212
pq /2+q J 11+q (J 1) /2
1212
|R T (h, a, b) |
所以, PL 方法对(3) 式是T 稳定的。
1+p /2
2
2
+
4
p /4+3p /2+2q +3q /4
证毕。
由均方稳定性和指数稳定性的定义, 得到定理2。
定理2 PL 方法对于(3) 式是指数稳定的充要条件是PL 方法对于(3) 式是均方稳定的。
证明 先证必要性。由(6) 式迭代可得:
2
E (|y n |2) =R n 1E(|y 0|) ,
3 数值算法RS 方法
定理4 RS 方法用于(3) 式时, 均方稳定的充要条件是:
R 1=
1+p +2p 2/9
2
+
(8)
2p 2/9+5p /3+2q 2+3q 4/4
其中, p =ah; q =b h 。
证明 将RS 方法用于(3) 式, 得
Y 1=y n ,
Y 2=y n +
hf (Y 1) +J 1g(Y 1) =93
因为PL 方法是指数稳定的, 即存在正常数m 和
N , 使得:
E |y n |
2
∃NE |y 0|2e -m nh , ∀n #0
m nh
(7)
2
所以, R n 1E |y 0|∃N E |y 0|2e -, 也就是R n 1∃
N e -mnh 。又因为(7) 式是对任意n 都成立的, 故取n =
(ln N ) /(+1, 其中[a]表示不超过a R 1∃N e
n
=N e
N ex p (-mh ) =1。
m h
y n +ahy n +b J 1y n ,
93y n +1=y n +h[f (Y 1) +f (Y 2) ]+2
J 1[g(Y 1) +3g(Y 2) ]=4
1+ah +
222
a h +2
abh +b J 1+b 2J 21y n 。2
的最大整数, 则
-mnh
-m h
+1
因此可得R 1
式也是均方稳定的。
再证充分性。如果R 1
2
E (|y n |2) =R n 1E(|y 0|) ∃
设p =ah, q =b J 11=y n +1=
1
N (0, 1) , 则h
21+p +p ) +(pq +q J 11+
93212
q (J 1) y n (9) 2
1
N E (|y 0|2) e -mnh , n =1, 2, &。
由定义2知, PL 方法对于(3) 式是指数稳定的。证毕。
定理3 对于(3) 式, PL 方法是T 稳定的充要条件是1+p /2+q 2/2
证明 由(5) 式得:
R (h, a, b, J ) =所以有:
n
对(9) 式两端求模方, 由于J 1和y n 独立, 且J 1~N (0, 1) , 所以得:
|y n+1|=
2
1
1+p +p 2
9
2
+
pq +q 3
2
2
(J 11) +
q 4(J 1) 4+21+p +2p 2
1
4q 21+p +
2222
p (J 11) +q 9
2
pq +q J 11+|y n |2。
1+p /2+
23
pq +q (J 11) 3
212
pq /2+q J 11+q /2(J 1) /2,
将此式两端取期望得:
E(|y n +1|) =
2
1+p +2p /22
+
R T =1+p /2+又有:
E(R T ) =E
i=1
%R(h, a, b, J ) =
1
2
1
2
2p 2/9+5p /3+2q 2+3q 4/4∋E (|y n |2) =R 1E (|y n |2)
5p /3+2) q 2+3q 4/4。
, (10)
其中, R 1=(1+p +2p 2/9) 2+(2p 2/9+
p q/2+q J 1+q (J 1) /2, 1+p /2+
pq /2+q J 11+
221/+
第12期徐道叁, 等:求解随机微分方程PL 方法和RS 方法的稳定性
1915
性检验方程时, 均方稳定的充要条件是:
R 1=
2
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1+p +2p /2
4
22
+
2p /9+5p /3+2q +3q /4
由均方稳定性和指数稳定性的定义, 得到定理5。
定理5 RS 方法对于(3) 式是指数稳定的充分必要条件是RS 方法对于(3) 式是均方稳定的。
证明过程同定理2的证明。
定理6 对于(3) 式, RS 方法是T 稳定的充要条件是1+p /2+q /2
证明 由(9) 式得:
R(h, a, b, J ) =1+p +2p 2/9+
212
2pq /3+q J 11+q (J 1) /2,
2
所以有:
n
R T =又因为:
1
%R (h, a, b, J ) =
1
2
1+p +2p /9+
1
2
2
2pq /3+q J 1+q (J 1) /2。
E(R T ) =E
2
11
2
1+p +2p 2/9+
2
2pq /3+q J 11+
2
q (J ) /2=1+p +2p /9+q /2, 所以当1+p /2+q 2/2
E
1+p +2p 2/9+
1
1
2
11
2
2pq /3+q J +q (J ) /2
故
1+p +2p 2/9+
2pq /3+q J +q (J ) /2
也就是|R T (h, a, b) |
11
2
11
2
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4 结束语
本文对PL 方法和RS 方法的显式随机Rung e Kutta 算法进行了讨论, 并将这2种算法
应用于线性检验方程, 分别讨论并证明了其解的均方稳定性、指数稳定性和T 稳定性。对于随机微分方程的其它类型二级显式随机Rung e Kutta 方法, 都可以得出相同的结论, 还可以推广到三级(四级和五级) 显式Runge Kutta 方法。
[参 考 文 献]
[1] M arion G, M ao Xuerong, Rensh aw E. C on vergence of the
(责任编辑 张秋娟)