机械振动
主审：熊涛
【知识梳理】
知识点一 机械振动
1．定义：物体(或物体的一部分) 在平衡位置附近的 运动．
2．回复力：使振动的物体返回 的力叫做回复力，回复力总指向平衡位置，是以
命名的力，它是振动物体在 方向上的合外力．
3．平衡位置：物体原来静止的位置．物体振动经过平衡位置时 处于平衡状态，
如单摆．
4．简谐运动如果物体所受回复力的大小与位移大小成 ，并且总是指向平衡位
置，则物体的运动叫简谐运动．
知识点二 描述简谐运动的物理量
1．位移：振动物体的位移是物体相对于 的位移，它总是以平衡位置为始点，方
向由 指向物体所在的位置，位移的大小等于这两个位置之间的距离．物体经
平衡位置时位移方向改变．
2．速度：简谐运动是变加速运动．物体经平衡位置时速度 ，物体在最大位移处时速度
为 ，且物体的速度在最大位移处改变方向．
3．加速度：根据牛顿第二定律，做简谐运动的物体指向平衡位置的，加速度的大小跟位移大
小成正比，其方向与位移方向总是相反．
4．回复力
(1)是振动物体所受的沿振动方向所有力的合力．
(2)效果：产生振动加速度，改变速度的大小，使物体回到平衡位置．
(3)举例：①水平弹簧振子；②单摆
(4)F ＝－kx 中“－”号表示回复力与位移x 反向．
5．振幅、周期(频率)
(1)振幅：反映振动质点振动强弱的物理量，它是标量．
(2)周期和频率：描述振动快慢的物理量，其大小由振动系统本身来决定，与振幅无关．也
叫做固有周期和固有频率．
知识点三 简谐运动的规律
1．简谐运动的表达式
(1)动力学表达式：F ＝－kx 其中“－”表示回复力与位移的方向相反．
(2)运动学表达式：x ＝A sin(ωt )
2．简谐运动的对称性(1)瞬时量的对称性(2)过程量的对称性
3．简谐运动的图象
(1)从平衡位置开始计时，函数表达式为x ＝A sin ωt ，图象如左图
(2)从最大位移处开始计时，函数表达式x ＝A cos ωt ，图象如右图
针对训练
1．有一个简谐运动，振幅为2 cm，周期都是4 s，当t ＝0时位移为2 cm，请写出它的振动
方程．
2．如图所示为一单摆及其振动图象，由图回答：
(1)若摆球从E 指向G 为正方向，α为最大摆角，则图
象中O 、A 、B 、C 点分别对应单摆中的________点. 一周期内
加速度为正且减小，并与速度同方向的时间范围是________，
势能增加且速度为正的时间范围是________．
知识点四 受迫振动和共振
1. 受迫振动：是物体在周期性外力作用下的振动，其振动频
率和固有频率无关，等于驱动力的频率．
2. 共振：驱动力的频率接近物体的固有频率时，受迫振动的振幅增大，
这种现象称为共振．
(1)产生共振的条件：驱动力频率等于物体固有频率．
(2)共振的应用：共振筛，共振测速．
(3)共振曲线
针对训练
3. 如图所示是一个单摆做受迫振动时的共振曲线，表示振幅A 与驱动
力的频率f 的关系，下列说法正确的是( )
A．摆长约为10 cm
B．摆长约为1 m
C．若增大摆长，共振曲线的“峰”将向右移动
D．若增大摆长，共振曲线的“峰”将向左移动
典型例题：
例．有一弹簧振子在水平方向上的BC 之间做简谐运动，已知BC 间的距离为20 cm ，振子在2 s内完成了10次全振动．若从某时刻振子经过平衡位置时开始计时(t ＝0) ，经
过1/4周期振子有正向最大加速度．
(1)求振子的振幅和周期；
(2)在图中作出该振子的位移—时间图象；
(3)写出振子的振动方程。
针对训练
1.
2. (1)E、G 、E 、F 1.5～2.0 s 0～0.5 s 3. BD
例题
解析：(1)振幅A ＝10 cm，T ＝0.2 s.
(2)四分之一周期时具有正的最大加速度，故有负
向最大位移．如右图所示
(3)设振动方程为y ＝A sin(ωt ＋φ)
当t ＝0时，y ＝0，则sin φ＝0
得φ＝0，或φ＝π，当再过较短时间，y 为负值，
所以φ＝π
所以振动方程为y ＝10sin(10πt ＋π) cm
答案：(1)10 cm 0.2 s (2)如解析图
(3)y ＝10sin (10πt ＋π) cm
张甸中学高三物理能力训练作业
课题：课题：11.1 机械振动 主备：王昭民 审核：于正华 2012.2.5 姓名___________
1.(1)将一个电动传感器接到计算机上，就可以测量快速变化的力，用这种
方法测得的某单摆摆动时悬线上拉力的大小随时间变化的曲线如图。所
示．某同学由此图象提供的信息作出的下列判断中，正确的是．
A ．t ＝0.2 s时摆球正经过最低点 B．t ＝1.1 s时摆球正经过最低点
C ．摆球摆动过程中机械能减小 D．摆球摆动的周期是T ＝1.4 s
(2)如图所示为同一地点的两单摆甲、乙的振动图象，下列说法中正确的
A ．甲、乙两单摆的摆长相等 B．甲摆的振幅比乙摆大
C ．甲摆的机械能比乙摆大 D．在t ＝0.5 s时有正向最大加速度的是乙摆
2. 一质点做简谐运动，其位移和时间关系如图所示．
－2(1)求t ＝0.25×10 s时的位移；
(2)在t ＝1.5×10 s到2×10 s的振动过程中，质点的位移、回复力、速度、动能、势能如何变化？ －2(3)在t ＝0至8.5×10 s时间内，质点的路程、位移各多大？ 3根据如图所示的振动图象： (1)算出下列时刻振子对平衡位置的位移． ①t 1＝0.5 s；②t 2＝1.5 s (2)写出位移随时间的变化规律。 4. 简谐运动的振动图线可用下述方法画出：如图(1)所示，在弹簧振子的小球上安装一枝绘图
笔P ，让一条纸带在与小球振动方向垂直的方向上匀速运动，笔P 在纸带上画出的就是小球的振动图象．取振子水平向右的方向为振子离开平衡位置的位移正方向，纸带运动的距离代表时间，得到的振动图线如图(2)所示．。
(1)为什么必须匀速拖动纸带？
(2)刚开始计时时，振子处在什么位置？t ＝17 s时振子相对平衡位置的位移是多少？
(3)若纸带运动的速度为2 cm/s，振动图线上1、3两点间的距离是多少？
(4)振子在______ s末负方向速度最大；在______ s末正方向加速度最大；2.5 s时振子正在向______方向运动．
(5)写出振子的振动方程．
答案
1解析：(1)悬线拉力在经过最低点时最大，t ＝0.2 s 时，F 有正向最大值，故A 选项正确，t ＝1.1 s时，F 有最小值，不在最低点，周期应为T ＝1.2 s，因振幅减小，故机械能减小，C 选项正确．
(2)振幅可从题图上看出甲摆大，故B 对．且两摆周期相等，则摆长相等，因质量关系不明确，无法比较机械能．t ＝0.5 s时乙摆球在负的最大位移处，故有正向最大加速度，所以正确答案为A 、B 、D.
答案：(1)AC (2) ABD
－22. 解析：(1)由图可知A ＝2 cm，T ＝2×10 s，
π2π⎛2振动方程为x ＝A sin ωt ＝－A cos ωt ＝－2cos t cm＝－2cos(10πt ) cm 2⎭2×10⎝
π－2当t ＝0.25×10 s时x ＝－2cos cm＝－
2 cm. 4－2－2
(2)由图可知在1.5×10 s～2×10 s内，质点的位移变大，回复力变大，速度变小，动能变小，势能变大．
－2(3)从t ＝0至8.5×10 s的时间内质点的路程为s ＝17A ＝34 cm，位移为2 cm.
答案：(1)2 cm (2)位移变大，回复力变大，速度变小，动能变小，势能变大 (3)34 cm 2 cm
3. 解析：(1)由图象可知A ＝10 cm，T ＝4 s
2ππ故位移：x ＝A cos ωt ＝10cos ＝10cos t cm T 2
①当t 1＝0.5 s时，x 1＝52 cm
②当t 2＝1.5 s时，x 2＝－2 cm
πππ⎛π(2)振子的位移表达式为：x ＝10cos t ＝10sin t ＋cm ，初相位为：φ＝. 2⎭22⎝2
ππ⎛π2 cm ②－52 cm (2)x ＝10sin ＋cm 2⎭2⎝2
4. 解析：(1)纸带匀速运动时，由x ＝vt 知，位移与时间成正比，因此在匀速条件下，可以用纸带通过的位移表示时间．
(2)由图(2)可知t ＝0时，振子在平衡位置左侧最大位移处；周期T ＝4 s，t ＝17 s时位移为零．
(3)由x ＝vt ，所以1、3间距x ＝2 cm/s×2 s＝4 cm.
(4)3 s末负方向速度最大；加速度方向总是指向平衡位置，所以t ＝0或t ＝4 s时正方向加速度最大；t ＝2.5 s时，向－x 方向运动．
π⎫⎛π(5)x ＝10sin －⎪ cm 2⎭⎝2
答案：(1)在匀速条件下，可以用纸带通过的位移表示时间
π⎫⎛π(2)左侧最大位移 零 (3)4 cm (4)3 0或4 －x (5)x ＝10sin t －⎪ cm 2⎭⎝2
－2－2
机械振动
主审：熊涛
【知识梳理】
知识点一 机械振动
1．定义：物体(或物体的一部分) 在平衡位置附近的 运动．
2．回复力：使振动的物体返回 的力叫做回复力，回复力总指向平衡位置，是以
命名的力，它是振动物体在 方向上的合外力．
3．平衡位置：物体原来静止的位置．物体振动经过平衡位置时 处于平衡状态，
如单摆．
4．简谐运动如果物体所受回复力的大小与位移大小成 ，并且总是指向平衡位
置，则物体的运动叫简谐运动．
知识点二 描述简谐运动的物理量
1．位移：振动物体的位移是物体相对于 的位移，它总是以平衡位置为始点，方
向由 指向物体所在的位置，位移的大小等于这两个位置之间的距离．物体经
平衡位置时位移方向改变．
2．速度：简谐运动是变加速运动．物体经平衡位置时速度 ，物体在最大位移处时速度
为 ，且物体的速度在最大位移处改变方向．
3．加速度：根据牛顿第二定律，做简谐运动的物体指向平衡位置的，加速度的大小跟位移大
小成正比，其方向与位移方向总是相反．
4．回复力
(1)是振动物体所受的沿振动方向所有力的合力．
(2)效果：产生振动加速度，改变速度的大小，使物体回到平衡位置．
(3)举例：①水平弹簧振子；②单摆
(4)F ＝－kx 中“－”号表示回复力与位移x 反向．
5．振幅、周期(频率)
(1)振幅：反映振动质点振动强弱的物理量，它是标量．
(2)周期和频率：描述振动快慢的物理量，其大小由振动系统本身来决定，与振幅无关．也
叫做固有周期和固有频率．
知识点三 简谐运动的规律
1．简谐运动的表达式
(1)动力学表达式：F ＝－kx 其中“－”表示回复力与位移的方向相反．
(2)运动学表达式：x ＝A sin(ωt )
2．简谐运动的对称性(1)瞬时量的对称性(2)过程量的对称性
3．简谐运动的图象
(1)从平衡位置开始计时，函数表达式为x ＝A sin ωt ，图象如左图
(2)从最大位移处开始计时，函数表达式x ＝A cos ωt ，图象如右图
针对训练
1．有一个简谐运动，振幅为2 cm，周期都是4 s，当t ＝0时位移为2 cm，请写出它的振动
方程．
2．如图所示为一单摆及其振动图象，由图回答：
(1)若摆球从E 指向G 为正方向，α为最大摆角，则图
象中O 、A 、B 、C 点分别对应单摆中的________点. 一周期内
加速度为正且减小，并与速度同方向的时间范围是________，
势能增加且速度为正的时间范围是________．
知识点四 受迫振动和共振
1. 受迫振动：是物体在周期性外力作用下的振动，其振动频
率和固有频率无关，等于驱动力的频率．
2. 共振：驱动力的频率接近物体的固有频率时，受迫振动的振幅增大，
这种现象称为共振．
(1)产生共振的条件：驱动力频率等于物体固有频率．
(2)共振的应用：共振筛，共振测速．
(3)共振曲线
针对训练
3. 如图所示是一个单摆做受迫振动时的共振曲线，表示振幅A 与驱动
力的频率f 的关系，下列说法正确的是( )
A．摆长约为10 cm
B．摆长约为1 m
C．若增大摆长，共振曲线的“峰”将向右移动
D．若增大摆长，共振曲线的“峰”将向左移动
典型例题：
例．有一弹簧振子在水平方向上的BC 之间做简谐运动，已知BC 间的距离为20 cm ，振子在2 s内完成了10次全振动．若从某时刻振子经过平衡位置时开始计时(t ＝0) ，经
过1/4周期振子有正向最大加速度．
(1)求振子的振幅和周期；
(2)在图中作出该振子的位移—时间图象；
(3)写出振子的振动方程。
针对训练
1.
2. (1)E、G 、E 、F 1.5～2.0 s 0～0.5 s 3. BD
例题
解析：(1)振幅A ＝10 cm，T ＝0.2 s.
(2)四分之一周期时具有正的最大加速度，故有负
向最大位移．如右图所示
(3)设振动方程为y ＝A sin(ωt ＋φ)
当t ＝0时，y ＝0，则sin φ＝0
得φ＝0，或φ＝π，当再过较短时间，y 为负值，
所以φ＝π
所以振动方程为y ＝10sin(10πt ＋π) cm
答案：(1)10 cm 0.2 s (2)如解析图
(3)y ＝10sin (10πt ＋π) cm
张甸中学高三物理能力训练作业
课题：课题：11.1 机械振动 主备：王昭民 审核：于正华 2012.2.5 姓名___________
1.(1)将一个电动传感器接到计算机上，就可以测量快速变化的力，用这种
方法测得的某单摆摆动时悬线上拉力的大小随时间变化的曲线如图。所
示．某同学由此图象提供的信息作出的下列判断中，正确的是．
A ．t ＝0.2 s时摆球正经过最低点 B．t ＝1.1 s时摆球正经过最低点
C ．摆球摆动过程中机械能减小 D．摆球摆动的周期是T ＝1.4 s
(2)如图所示为同一地点的两单摆甲、乙的振动图象，下列说法中正确的
A ．甲、乙两单摆的摆长相等 B．甲摆的振幅比乙摆大
C ．甲摆的机械能比乙摆大 D．在t ＝0.5 s时有正向最大加速度的是乙摆
2. 一质点做简谐运动，其位移和时间关系如图所示．
－2(1)求t ＝0.25×10 s时的位移；
(2)在t ＝1.5×10 s到2×10 s的振动过程中，质点的位移、回复力、速度、动能、势能如何变化？ －2(3)在t ＝0至8.5×10 s时间内，质点的路程、位移各多大？ 3根据如图所示的振动图象： (1)算出下列时刻振子对平衡位置的位移． ①t 1＝0.5 s；②t 2＝1.5 s (2)写出位移随时间的变化规律。 4. 简谐运动的振动图线可用下述方法画出：如图(1)所示，在弹簧振子的小球上安装一枝绘图
笔P ，让一条纸带在与小球振动方向垂直的方向上匀速运动，笔P 在纸带上画出的就是小球的振动图象．取振子水平向右的方向为振子离开平衡位置的位移正方向，纸带运动的距离代表时间，得到的振动图线如图(2)所示．。
(1)为什么必须匀速拖动纸带？
(2)刚开始计时时，振子处在什么位置？t ＝17 s时振子相对平衡位置的位移是多少？
(3)若纸带运动的速度为2 cm/s，振动图线上1、3两点间的距离是多少？
(4)振子在______ s末负方向速度最大；在______ s末正方向加速度最大；2.5 s时振子正在向______方向运动．
(5)写出振子的振动方程．
答案
1解析：(1)悬线拉力在经过最低点时最大，t ＝0.2 s 时，F 有正向最大值，故A 选项正确，t ＝1.1 s时，F 有最小值，不在最低点，周期应为T ＝1.2 s，因振幅减小，故机械能减小，C 选项正确．
(2)振幅可从题图上看出甲摆大，故B 对．且两摆周期相等，则摆长相等，因质量关系不明确，无法比较机械能．t ＝0.5 s时乙摆球在负的最大位移处，故有正向最大加速度，所以正确答案为A 、B 、D.
答案：(1)AC (2) ABD
－22. 解析：(1)由图可知A ＝2 cm，T ＝2×10 s，
π2π⎛2振动方程为x ＝A sin ωt ＝－A cos ωt ＝－2cos t cm＝－2cos(10πt ) cm 2⎭2×10⎝
π－2当t ＝0.25×10 s时x ＝－2cos cm＝－
2 cm. 4－2－2
(2)由图可知在1.5×10 s～2×10 s内，质点的位移变大，回复力变大，速度变小，动能变小，势能变大．
－2(3)从t ＝0至8.5×10 s的时间内质点的路程为s ＝17A ＝34 cm，位移为2 cm.
答案：(1)2 cm (2)位移变大，回复力变大，速度变小，动能变小，势能变大 (3)34 cm 2 cm
3. 解析：(1)由图象可知A ＝10 cm，T ＝4 s
2ππ故位移：x ＝A cos ωt ＝10cos ＝10cos t cm T 2
①当t 1＝0.5 s时，x 1＝52 cm
②当t 2＝1.5 s时，x 2＝－2 cm
πππ⎛π(2)振子的位移表达式为：x ＝10cos t ＝10sin t ＋cm ，初相位为：φ＝. 2⎭22⎝2
ππ⎛π2 cm ②－52 cm (2)x ＝10sin ＋cm 2⎭2⎝2
4. 解析：(1)纸带匀速运动时，由x ＝vt 知，位移与时间成正比，因此在匀速条件下，可以用纸带通过的位移表示时间．
(2)由图(2)可知t ＝0时，振子在平衡位置左侧最大位移处；周期T ＝4 s，t ＝17 s时位移为零．
(3)由x ＝vt ，所以1、3间距x ＝2 cm/s×2 s＝4 cm.
(4)3 s末负方向速度最大；加速度方向总是指向平衡位置，所以t ＝0或t ＝4 s时正方向加速度最大；t ＝2.5 s时，向－x 方向运动．
π⎫⎛π(5)x ＝10sin －⎪ cm 2⎭⎝2
答案：(1)在匀速条件下，可以用纸带通过的位移表示时间
π⎫⎛π(2)左侧最大位移 零 (3)4 cm (4)3 0或4 －x (5)x ＝10sin t －⎪ cm 2⎭⎝2
－2－2