第五章 齿轮机构
案例导入：通过机床、汽车、摩托车、手表等仪器设备中广泛应用的齿轮传动，引入齿轮传动的类型、特点及基本要求、齿轮传动啮合的特点。在所有众多的齿轮机构中，直齿圆柱齿轮机构是最基本、也是最常用的一种，本章以直齿圆柱齿轮为研究的重点。
第一节 齿轮机构的齿廓啮合基本规律、特点和类型
一、齿轮机构的特点和类型
齿轮传动是近代机械传动中用得最多的传动形式之一。它不仅可用于传递运动，如各种仪表机构；而且可用于传递动力，如常见的各种减速装置、机床传动系统等。
同其他传动形式比较，它具有下列优点：①能保证传动比恒定不变；②适用的载荷与速度范围很广，传递的功率可由很小到几万千瓦，圆周速度可达150m/s；③结构紧凑；④效率高，一般效率η＝0.94～0.99；⑤工作可靠且寿命长。其主要缺点是：①对制造及安装精度要求较高；②当两轴间距离较远时,采用齿轮传动较笨重。
齿轮的分类方法很多，按照两轴线的相对位置，可分为两类：平面齿轮传动和空间齿轮传动。
a) b)
c)
d) e)
图5-1 平面齿轮传动
1.平面齿轮传动
该传动的两轮轴线相互平行，常见的有直齿圆柱齿轮传动（图5-1a）,斜齿圆柱齿轮传动（图5-1d），人字齿轮传动（图5-1e）。此外，按啮合方式区分，前两种齿轮传动又可分为外啮合传动（图5-1a、d）,内啮合传动（图5-1b）和齿轮齿条传动（图5-1c）。
2.空间齿轮传动
两轴线不平行的齿轮传动称为空间齿轮传动，如直齿圆锥齿轮传动（图5-2a）、交错轴斜齿轮传动（图5-2b）和蜗杆传动(图5-2c）。
图5-2 空间齿轮传动
a) b) c)
另外，齿轮传动按照齿轮的圆周速度可分为：①低速传动 v15m/s。按齿轮的工作情况可以分为：①开式齿轮传动；②闭式齿轮传动。
二、齿轮啮合的基本规律
齿轮传动最基本的要求是其瞬时传动比必须恒定不变。否则当主动轮以等速度回转时，从动轮的角速度为变数，因而产生惯性力，影响齿轮的寿命，同时也引起振动，影响其工作精度。
要满足这一基本要求，则齿轮的齿廓曲线必须符
合一定的条件。
图5-3所示为两啮合齿轮的齿廓C1和C2在K点
接触的情况，设两轮的角速度分别为ω1和ω2，则齿
廓C1上K点的速度vK1=ω1o1k；齿廓C2上K点的速度vK2=ω2o2k。
过K点作两齿廓的公法线NN与两轮中心连线
o1o2交于C点，为保证两轮连续和平稳的运动，vk1
与vk2在公法线上得分速度应相等，否则两齿廓将互相
嵌入或分离，即
vK1cosαK1=vK2cosαK2
过o2作o2z平行于NN，与o1k的延长线交于Z
点，因∆kab∽∆ko2z，于是有
图5-3 齿廓啮合基本定律
kzkbvK1ω1o1k ===o2kkavK2ω2o2k
经整理有 kzω=1 o1kω2
kzoc=2 o1ko1c又因为NN∥O2Z ，故△O1O2Z∽△O1CK，得
故传动比可写为 i12=ω1o2c （5-1） =ω2o1c
上式表明：两轮的角速度之比与连心线被齿廓接触点的公法线分得的两线段成反比。 由此可见，要使两轮的角速度比恒定不变，则应使o2co1c恒为常数。但因两轮的轴心为定点，即o1o2为定长，故欲使齿轮传动得到定传动比，必须使C点成为连心线上的一个固定点。此固定点称为节点。因此，齿廓的形状必须符合下述条件：不论轮齿齿廓在哪个位置接触，过接触点所作齿廓公法线均须通过节点C,这就是齿廓啮合的基本定律。
理论上，符合上述条件的齿廓曲线有无穷多，但齿廓曲线的选择应考虑制造、安装和强度等要求。目前，工程上通常用的曲线为渐开线、摆线和圆弧。由于渐开线齿廓易于制造，故大多数的齿轮都是用渐开线作为齿廓曲线。本章只讨论渐开线齿轮传动。
如图5-3所示分别以o1和o2为圆心，过节点C所作的圆称为齿轮的节圆，其半径o1c和o2c称为节圆半径，分别用r1'和r2'表示。由式（5-1）有
ω1o1c=ω2o2c
即通过节点的两节圆具有相同的圆周速度，它们之间作纯滚动。
第二节 渐开线齿廓
一、渐开线的形成和性质
当一条直线L沿一圆周作纯滚动时，此直线上任一点K的轨迹即称为该圆的渐开线,如图5-4所示。该圆称为渐开线的基圆，基圆半径以rb
表示，该直线 L称为渐开线的发生线。
根据渐开线形成过程可知它具有下列特性：
(1)因发生线在基圆上作无滑动的纯滚动，故发生
线所滚过的一段长度必等于基圆上被滚过的圆弧的长
度。
(2)当发生线沿基圆作纯滚动时，N点为速度瞬
心，K点的速度垂直于NK，且与渐开线K点的切线
方向一致，所以发生线即渐开线在K点的法线。又因
NK
线切于基圆，所以渐开线上任一点的法线必与基
图5-4 渐开线的形成
圆相切。此外，N点为渐开线上K点的曲率中心，线段NK为渐开线上K点的曲率半径。显然，渐开线愈接近基圆部分，其曲率半径愈小，即曲率愈大。
(3)渐开线的形状完全决定于基圆的大小。基圆大小相同时，所形成的渐开线相同。基圆愈大渐开线愈平直，当基圆半径为无穷大时，渐开线就变成一条与发生线垂直的直线(齿条的齿廓)。
(4)基圆以内无渐开线。齿轮啮合传动时，渐开线上任一点法线压力的方向线Fn(即渐开线在该点的法线)和该点速度方向vK之间所夹锐角称为该点的压力角αK。由图可知：
r cosαK==b rK （5-2）
上式表明渐开线上各点的压力角αK的大小随K点的位置而异，K点距圆心愈远，其压力角愈大；反之，压力角愈小；基圆上的压力角为零。
二、 渐开线齿廓啮合特点
1.中心距可分性
图5-5所示两渐开线齿轮的外啮合情况，节
点为C，两齿轮的基圆半径分别为rb1和rb2，与
两基圆的内公切线N1N2构成一对相似三角形△
O1N1C和△O2N2C，由相似三角形的性质和式
（5-1）知两齿轮的传动比为
i12=ω1o2crb2 （5-3） ==ω2o1crb1
可见渐开线齿轮的传动比取决于两齿轮基圆
半径的大小，当一对渐开线齿轮制成后，两齿轮
的基圆半径就确定了，即使安装后两齿轮中心距
稍有变化，由于两齿轮基圆半径不变，所以传动比仍保持不变。渐开线齿轮这种不因中心距
变化而改变传动比的特性称为中心距可分性。这
图5-5 渐开线齿轮的啮合 一特性可补偿齿轮制造和安装方面的误差，是渐
开线齿轮传动的一个重要优点。
2.啮合线为直线
两齿轮啮合时，其接触点的轨迹称为啮合线，由渐开线特性可知，两渐开线齿廓在任何位置接触时，过接触点所作两齿廓的公法线即为两基圆的内公切线N1N2，故接触点的轨迹必然在这内公切线上。所以，其啮合线是唯一直线。过节点C作两节圆的公切线t t，它与啮合线所夹的锐角称为啮合角。通常用α'来表示。
第三节 渐开线标准齿轮各部分名称、参数和几何尺寸
一、齿轮各部分名称
图5-6
所示为一直齿圆柱齿轮的一部分，相邻两齿的空间称为齿间。齿间底部连成
的圆称为齿根圆，直径用df表示。连接齿轮各齿顶的圆称为齿顶圆，直径用da表示。 在任意直径为dK的圆周上，一个轮齿左右两侧齿廓的弧长称为该圆上的齿厚，用sk表示；而一齿间的弧长称为该圆上的齿槽宽，用ek表示；相邻两齿对应点之间的弧线长称为该圆上的齿距，用pk表示，pk = ek + sk 。
二、主要参数
设dK为任意圆的直径，z为齿数，根据齿距的定义可得
πdppK=K 或 dK=Kz ( 5-4 ) zπ
上式中含有无理数“π”，为了便于设计、制造及互换使用，在齿轮上取一基准圆，使该圆周上的pK比值等于一些较简单的数值，并使该圆上的压力角等于规定
的某一数值，该圆称为分度圆，其直径
用d表示，分度圆上的压力角以α表示
之，我国采用20为标准值。显然有分度圆直径d= p
πz，我们把比值p/π规
定为标准值，用m来表示，称为模数，
单位为mm。于是分度圆上的齿距p和
直径d分别为
p=πm(mm) (5-5) 图5-6 齿轮的几何尺寸
d=mz(mm) (5-6)
模数是齿轮尺寸计算中的一个基本参数，模数愈大，则齿距愈大，轮齿也就愈大，轮齿的抗弯能力愈强。齿轮模数已标准化，我国常用的标准模数见表5-1。
表5-1 常用的标准模数m（摘自GB/T1357-87）
注：①本表适用于渐开线圆柱齿轮。对斜齿轮是指法向模数。优先采用第一系列，括号内的数尽量不用。
②圆锥齿轮大端模数除了可在上表中选取外，还可选1.125、1.375等。
对于任一轮齿，其齿顶圆与分度圆间的部份称为齿顶，它沿半径方向的高度称为齿顶高，用ha表示；而齿根圆与分度圆间的部分称为齿根，它沿半径方向的高度称为齿根高，用hf表示；齿顶圆与齿根圆间沿半径方向的高度称为全齿高，用h表示，因此，
h = ha + hf （5-7）
设计中，将模数m作为齿轮各部分几何尺寸的计算基础，因此，齿顶高可表示为ha=ha*m，齿根高可表示为hf =(ha*+c*)m，其中，ha*称为齿顶高系数，c* 称为顶隙系数。它们有两种标准数值
正常齿 ha*= 1, c*= 0.25
短齿 ha*= 0.8, c*= 0.3
凡模数、压力角、齿顶高系数与顶隙系数等于标准数值，且分度圆上齿厚与齿槽宽 相等的齿轮称为标准齿轮。因此，对于标准齿轮
pπms = e == (5-8) 22
对于一对模数、压力角相等的标准齿轮，由于其分度圆上的齿厚与齿槽宽相等，因此，正确安装时分度圆与节圆重合，可看成两轮的分度圆相切作纯滚动。标准齿轮的这种安装称为标准安装，其中心距称为标准中心距。
对于单个齿轮而言，节圆、啮合角都是不存在的，只有当一对齿轮互相啮合时，节圆和啮合角才有意义。这时，节圆可能和分度圆重合，也可能不重合，须视两齿轮的安装是否正确而定。对于正确安装的一对齿轮，其啮合角α'等于分度圆上的压力角α。
三、标准直齿圆柱齿轮的几何尺寸
标准直齿圆柱齿轮的几何尺寸按表5-2进行计算。
表5-2 标准直齿圆柱齿轮各部分尺寸的几何关系
例5-1 已知一正常齿制的标准直齿圆柱齿轮，齿数z1=20，模数m = 2mm，拟将该齿轮作某外啮合传动的主动齿轮，现须配一从动齿轮，要求传动比i=3.5，试计算从动齿轮的几何尺寸及两轮的中心距。
解：根据给定的传动比i，可计算从动轮的齿数
z2 = iz1 =3.5× 20 = 70
已知齿轮的齿数z2及模数m，由表5-2所列公式可以计算从动轮各部分尺寸。 分度圆直径 d2 = mz2 = 2×70 = 140 mm
齿顶圆直径 da2 = (z2 + 2ha*) m = (70+2×1)2=144 mm
齿根圆直径 df = (z2 - 2ha*- 2c*) m = (70-2×1-2×0.25)2=135mm
全齿高 h=(2ha*+c*)m = ( 2×1 + 0.25) 2= 4.5 mm
d+d2m2中心距 a=1=(z1+z2)=(20+70)=90 mm 222
第四节 渐开线标准直齿圆柱齿轮的啮合传动
一、正确啮合条件
为保证齿轮传动时各对齿之间能平稳传递运动，在齿对交替过程中不发生冲击，必须符合正确啮合条件。
一对渐开线齿轮的正确啮合条件为：①两齿轮的模数必须相等；②两齿轮分度圆上的压力角必须相等。
这样，一对齿轮的传动比可写成
i=ω1n1d2'd2z2==== （5-9） ω2n2d1'd1z1
二、标准中心距
正确安装的渐开线齿轮，理论上应为无齿侧间隙啮合，即一轮节圆上的齿槽宽与另一轮节圆齿厚相等。标准齿轮正确安装时齿轮的分度圆与节圆重合，啮合角α'=α=20o。
一对外啮合齿轮的中心距为
a=d1'+d2'd1+d2m==(z1+z2) (5-10) 222
d2'-d1'd2-d1m==(z2-z1) (5-11) 222一对内啮合齿轮的中心距为 a=
由于渐开线齿廓具有可分性，两轮中心距略大
于正确安装中心距时仍能保持瞬时传动比恒定不
变，但齿侧出现间隙，反转时会有冲击。
三、连续传动条件
若要一对渐开线齿轮连续不断的传动，就必须
使前一对齿终止啮合之前后续的一对齿及时进入啮
合。如图5-7所示为一对互相啮合的齿轮。设齿轮
1为主动，齿轮2为从动。开始啮合时，主动齿轮1
的齿根部分与从动齿轮2的齿顶部分在K′点开始
接触。随着两齿轮继续啮合转动，啮合点的位置沿
啮合线N1N2向下移动，齿轮2齿廓上的接触点由
齿顶向齿根移动，而齿轮1齿廓上的接触点则由齿
根向齿顶移动。当两齿廓的啮合点移至K点时，则
两齿廓啮合终止。
图5-7 连续传动的条件
由此可见，线段KK为啮合点的实际轨迹，故KK称为实际啮合线段。因基圆内无渐开线，故线段N1N2为理论上可能的最大啮合线段，所以被称为理论啮合线段 。
显然，要保证一对渐开线齿轮连续不断地啮合传动，必须使前一对轮齿尚未在K点脱离啮合之前，后一对轮齿及时到达K′点进入啮合。要保证这一点必须使KK≥Pb，即实际啮合线段必须大于或等于齿轮的基圆齿距。这就是连续传动的条件，通常我们把这个条件用KK’与Pb的比值表示，称为重合度，用ε表示。即
KK'ε=≥1 （5-12） Pb
重合度愈大，表明同时参与啮合的轮齿对数愈多，每对齿分担的载荷就愈小，运动愈平稳。由于制造齿轮时齿廓必然有少量的误差，故设计齿轮时必须使实际啮合线段比
*基圆齿距大，即重合度大于1。重合度主要与齿数z、齿顶高系数ha、压力角α有关，
*当取ha=1,α=200,z=12~∞时,ε=1.699~1.982。
第五节 渐开线齿廓的根切现象
一、齿轮的加工方法
齿轮的加工方法很多，如铸造法、冲压法、热轧法、切削法等。其中最常用的还是切削加工。按切削齿廓的原理不同，可分为仿形法和范成法。
a) b)
图5-8 仿形法加工齿轮
1.仿形法
仿形法是铣床上用与齿槽形状相同的盘形铣刀（图5-8a）或指形铣刀（图5-8b）逐个切去齿槽，从而得到渐开线齿廓。
由于渐开线齿廓形状取决于基圆大小，而基圆直径db=mzcosα，即模数m、压力角α和齿数z决定齿廓形状。同一模数和压力角的齿轮，齿数不同，齿形就不同，这样加工不同齿数的齿轮就要制造许多刀具，显然这是不可能的。为了减少铣刀数量，对于同一模数和压力角的齿轮，按齿数范围分为8组，每组用一把刀具来加工，刀具形状按范围内最少齿形设计。
仿形法加工齿轮的方法简单，不需要专用的齿轮加工机床；但是，生产率低，加工
精度低，故只适合于精度要求不高，单件或小批量生产。
2.范成法
范成法是利用一对齿轮（或齿轮和齿条）互相啮合时，其共轭齿廓互为包络的原理来加工齿轮的。用范成法切齿的常用刀具有三种：齿轮插刀、齿条插刀及滚刀。
图5-9为用齿轮插刀加工齿轮的情况，具有渐开线齿形的齿轮插刀和被切齿轮都按 规定的传动比转动。根据正确啮合条件，被切齿轮的模数和压力角与插刀相同。插刀沿被切齿轮轴线方向作往复切削运动，同时模仿一对齿轮啮合传动，插刀在被切齿轮上 切出一系列渐开线外形，这些渐开线包络即为被切齿轮的渐开线齿廓。切制相同模数和压力角，不同齿数的齿轮，只需用同一把插刀即可。
a) b)
图5-9 齿轮插刀加工齿轮
图5-10为齿条插刀加工齿轮的情况。当齿轮插刀的齿数增至无穷多时，其基圆半 径变为无穷大，渐开线齿廓为直线齿廓，齿轮插刀便变为齿条插刀。其加工原理与齿轮插刀切削齿轮相同。用齿条插刀加工所得的轮齿齿廓也为刀刃在各个位置的包络线。由于齿条插刀的齿廓为直线，比齿轮插刀制造容易，精度高，但因为齿条插刀长度有限，每次移动全长后要求复位，所以生产效率低。
图5-11为齿轮滚刀加工轮齿的情况。滚刀是蜗杆形状的铣刀，它的纵剖面为具有直 线齿廓的齿条，当滚刀转动时，相当于齿条在移动，按范成法原理加工齿轮，它们的包络线形成被切齿轮的渐开线齿廓。
a) b)
图5-10 齿条插刀加工齿轮
图5-11 滚刀加工齿轮
由于滚刀加工是连续切削，而插刀加工有进刀和退刀，是间断切削。所以，滚刀加工生产率较高，是目前应用最为广泛的加工方法。但是在切削时，被切齿廓略有误差，因此，加工精度略低。
二、根切现象和最少齿数
用范成法加工齿轮时，如果齿轮的齿数太少，则切削刀具的齿顶就会切去轮齿根部的一部分，这种现象称为根切，如图5-12所示。
发生根切会使轮齿的弯曲强度降低，并使重合度减小，传动时出现冲击噪音，故应设法避免根切的发生。
加工齿轮的刀具通常都是标准刀具，为什么还会发生根切呢？图5-13所示为用齿条插刀加工标准齿轮的情况，N1点为轮坯基圆与啮合线的切点，即啮合的极限点，刀具的顶线超出了N1（图中虚线位置）。显然，当刀具完成一个行程的切削后，N1点到刀具顶线的部分齿廓会被切掉而发生根切。因此，要避免根切就必须使刀具顶线不超出N1点。经几何推导可得不发生根切的条件为
z≥2ha*/sin2α
即最少齿数为 zmin*2ha= (5-13) sin2α
显然，为了避免根切，则齿数z不得少于某一最少限度，用范成法加工齿轮时，对于各种标准刀具最少齿数的数值为：
当 ha*=1,α=20o时，zmin=17；当 ha*=0.8,α=20o时，zmin=14。
必须指出，最少齿数是用范成法加工标准齿轮时提出的，用仿形法加工时不受这最少齿数的限制。因此，必要时可设计齿数为12的标准齿轮，因为标准仿形刀具的最少齿数为12，但是用仿形法加工使生产效率下降。既要齿数少又要生产效率高，可采用下面介绍的变位齿轮。
图5-12齿轮的根切
图5-13 根切与变位
第六节 渐开线变位直齿圆柱齿轮传动
一、变位齿轮的概念
用齿条型刀具加工齿轮时，若刀具的分度线（又称中线）与轮坯的分度圆相切时，称为标准安装。这样加工出来的齿轮为标准齿轮。标准齿轮有许多优点，因而得到广泛
应用。但在实际应用中也暴露出如下主要缺点：①不得小于最少齿数，否则用范成法加
工时会产生根切；②两齿轮啮合只能按标准中心距安装；③小齿轮的齿根厚度小于大齿轮的，使小齿轮更容易损坏。
若加工齿轮时，不采用标准安装，而是将刀具相对于轮坯中心向外移出或向内移近一段距离，则刀具的的中线不再与轮坯的分度圆相切，如图5-13所示。刀具移动的距离xm称为变位量，其中m为模数，x为变位系数，并规定刀具相对于轮坯中心向外移出的变位系数为正，反之为负。对应于x＞0、x=0及x＜0的变位分别称为正变位、零变位和
图5-14 变位齿轮的齿廓
负变位，如图5-14所示。这种用改变刀具与轮坯相对位置来加工齿轮的方法称为变位修正法，采用变位修正法加工出来的齿轮称为变位齿轮。
二、变位齿轮的类型和特点
根据相互啮合两齿轮的总变位系数xΣ = x1+x2的不同，变位齿轮可分为以下三种类型。
1.零传动 (xΣ = 0)
(1)标准齿轮传动。标准齿轮传动可视为变位系数为零的变位齿轮，由于两齿轮的变位系数x1+x2=0，为了避免根切，两齿轮齿数均需大于zmin。
(2)高变位齿轮传动。两齿轮的变位系数为一正一负，且绝对值相等。即x1+x2=0。为了防止小齿轮根切和增加根部齿厚，小齿轮应采用正变位，而大齿轮采用负变位。为使两齿轮都不产生根切，必须使z1+z2≥2zmin。 2.正传动 (xΣ =0)
正传动变位齿轮的中心距大于标准中心距，即a＇＞a,当z1+z2＜2zmin时，必须采用正传动，其它场合为了改善传动质量也可以采用正传动。
3.负传动 (xΣ ＜0)
负传动变位齿轮的中心距小于标准中心距，即a＇
采用正传动和负传动可以实现非标准中心距传动。由于这两种变位齿轮传动的节圆与分度圆不重合，啮合角不等于压力角，即α'≠α，所以，这两种变位又称为角度变位。
变位齿轮传动与标准齿轮传动相比，有如下优点：①可以制出齿数小于zmin而无根切的小齿轮，从而可以减小齿轮机构的尺寸和重量；②合理选择两轮的变位系数，使大小齿轮的强度接近并降低两轮齿根部位的磨损，从而提高了传动的承载能力和耐磨性能；③等移距变位齿轮传动能保持标准中心距，故可取代标准齿轮传动并改善传动质量。主要缺点是：①互换性差，必须成对设计、制造和使用；②重合度略为降低。由于变位齿
轮与标准齿轮相比具有很多优点，而且并不增加设计制造难度，因此，变位齿轮在机械中得到广泛应用。
表5-3 变位齿轮计算公式
注：变位系数最小值x min＝（17 - z）/17
三、变位直齿圆柱齿轮的几何尺寸
变位直齿圆柱齿轮的几何尺寸按表5-2进行计算。
第七节 平行轴斜齿圆柱齿轮传动
一、齿廓曲面的形成及啮合特点
前面讨论直齿圆柱齿轮时，仅就垂直于轮轴的一个剖面加以研究，但实际齿轮齿廓侧面的形成如图5-15a)所示，发生面s沿母线切于齿轮的基圆柱上。当这一发生面在基圆柱上作纯滚动时，其上任一平行于母线的直线AA将展出一渐开线曲面，此曲面即为齿轮的齿侧面，它与轮轴垂直面的交线即为渐开线。当一对齿轮啮合时，两轮的齿将沿直线接触，其轨迹即为两轮的啮合面。直齿圆柱齿轮的缺点为重合度低，容易引起冲击、振动，对制造误差的影响比较敏感，不适合于高速、大功率传动的场合。因此，在高速、大功率传动以及要求传动平稳性较高的场合，常采用斜齿圆柱齿轮。
斜齿轮齿面的形成原理与直齿轮相似，不同的是形成渐开面的直线AA与母线不平行，偏斜了一个角度βb,如图5-15b)所示。发生面s在基圆柱上作纯滚动时，直线AA上的任一点的轨迹都是渐开线，这一系列的渐开线就形成了斜齿轮的齿廓曲面。显然，这个齿廓曲面与垂直于轴线的端面的交线（端面齿廓）仍然是渐开线。将偏斜了βb的直线AA在基圆柱上全面接触，形成螺旋线ZZ，ZZ在空间形成的曲面为渐开螺旋面。偏斜的角度βb称为基圆上的螺旋角。当βb= 0时成了直齿轮，可见直齿轮是斜齿轮的特例。
a) b)
图5-15 圆柱齿轮的形成
二、主要参数及几何尺寸
斜齿圆柱齿轮齿形有端面和法面之称。
法面是指垂直于轮齿螺旋线方向的平面。轮齿的法面齿形与刀具齿形相同，故国际上规定法面参数（mn ,αn）为标准参数。
端面是指垂直于轴线的平面。端面齿形与直齿轮相同，故可以采用直齿轮的几何尺寸计算公式计算斜齿轮的几何尺寸。应注意：端面参数（mt ,αt）为非标准值，为了计算斜齿轮的几何尺寸，必须掌握法面参数和端面参数间的换算关系。
图5-16为斜齿圆柱齿轮分度圆的展开图，由图可知：端面齿距pt和法面齿距pn的关系为 pt=
pn
（5-14） cosβ
mn
（5-15） cosβ
由于端面模数为mt=pt /π，法面模数为mn=pn /π，故
mt=
式中:β为分度圆柱上的螺旋角。
与模数类似，斜齿轮分度圆上的端面压力角αt与法面压力角αn间的关系为：
tgαt=
tgαn
（5-16） cosβ
图5-16 分度圆柱展开面
a) b) c) 图5-17 斜齿圆柱齿轮的旋向
分度圆柱上的螺旋角β（简称螺旋角）表示轮齿的倾斜程度。β越大则轮齿越倾斜，传动的平稳性愈好，但轴向力愈大。通常在设计时取β=8~20°。
斜齿轮按轮齿的螺旋线方向分为左旋和右旋，如图5-17所示，图a）为左旋齿轮，图b）为右旋齿轮。
表5-4 外啮合标准斜齿圆柱齿轮各部分的几何尺寸
三、 正确啮合条件
一对斜齿圆柱齿轮的正确啮合条件为
⎧mn1=mn2=mn⎪
⎨αn1=αn2=αn ⎪⎩β1=-β2
由于斜齿圆柱齿轮的齿与轮轴的方向成一螺旋角，所以使齿轮传动的啮合弧增大了e=btgβ。如与斜齿轮端面齿廓相同的直齿圆柱齿轮的重合度为εα，则斜齿圆柱齿轮的重合度轮重合度增加部分为
εγ=εα+εβ，斜齿轮比直齿
btgβbsinβzψd==tgβ （5-17） ptpnπ
式中：b为齿宽；ψd为齿宽系数，当z =17、ψd=1、
图5-18 斜齿圆柱齿轮的当量齿β= 7~20°时，εβ=0.664~1.970。
εβ=
四、当量齿数
为了选择盘形铣刀及进行强度计算，必须知道和斜齿圆柱齿轮法面齿形相当的直齿圆柱齿轮，其齿数称为当量齿数。下面研究当量齿数zv与实际齿数z及螺旋角β之间的关系。
如图5-18所示，过斜齿圆柱齿轮任一轮齿上的节点C作法向截面，则此法面与斜齿
圆柱齿轮分度圆的交线为一椭圆，其长半轴为a = d/(2cosβ)，短半轴为b= d / 2，该椭圆在C点的曲率半径为
a2d ρ==2b2cosβ
若以ρ为半径作一圆，此圆即为与斜齿圆柱齿轮相当的直齿圆柱齿轮的分度圆，此直齿圆柱齿轮称为当量齿轮。当量齿轮上的齿数称为当量齿数，其值为
πzmt2πρπdz
（5-18） ===
pnpncos2βptcos3βcos3β
斜齿圆柱齿轮不产生根切的最少齿数zmin可由直齿圆柱齿轮最少齿数zvmin来确定， 即 zmin=zvmincos3β
例5-2 为改装某设备，需配一对斜齿圆柱齿轮传动。已知传动比i = 3.5，法向模数mn = 2mm，中心距a = 92mm。试计算该对齿轮的几何尺寸。
解：1)先选定小齿轮的齿数z1=20，则大齿轮齿数z2=iz1=3.5⨯20=70。
2)知道齿数、法向模数及中心距，可由下式计算斜齿轮的分度圆螺旋角；
m(z+z2)a=n1
2cosm(z+z2)2⨯(20+70)
cosβ=n1==0.978260
2 a2⨯92
β=11o58'7"
3)按表5-4的公式计算其它几何尺寸
zm20⨯2 分度圆直径 d1=1n==40.89 mm o
cosβcos1158'7''
zv=
70⨯2 d2=z2mn==143.11 mm o
cosβcos1158'7''
齿顶圆直径 齿根圆直径
da1=d1+2mn=40.89+2⨯2=44.89 mm da2=d2+2mn=143.11+2⨯2=147.11 mm
df1=d1-2.5mn=40.89-2.5⨯2=35.89 mm df2=d2-2.5mn=143.11-2.5⨯2=138.11 mm
第八节 直齿圆锥齿轮传动
一、传动比和几何尺寸计算
圆锥齿轮主要用于几何轴线相交的两轴间的传动，其运动可以看成是两个圆锥形摩擦轮相切作纯滚动，该圆锥即节圆锥。与圆柱齿轮相似，圆锥齿轮也分为分度圆锥、齿顶圆锥和齿根圆锥等。但和圆柱齿轮不同的是轮齿的厚度沿锥顶方向逐渐减小。锥齿轮的轮齿也有直齿和斜齿两种，本书只讨论直齿圆锥齿轮。圆锥齿轮传动中，两轴的夹角Σ一般可以为任意角，但通常多为90°。当两轴的夹角Σ= 90°时，其传动比为
1 （5-19） i=n1=d2=z2=coδt1=
n2d1z1tgδ1
因此，传动比一定时，两锥齿轮的节锥角也一定。
图5-19 圆锥齿轮的基本尺寸
如图5-19所示，直齿圆锥齿轮的参数和几何尺寸均以大端为标准，大端应取标准模数和标准压力角，即α=20o。对标准齿形取齿高系数ha*=1、顶隙系数c*= 0.2。渐开线圆锥齿轮的几何尺寸按表5-5计算。
从理论上讲，锥齿轮的齿廓应为球面上的渐开线。但由于球面不能展开成平面，致使锥齿轮的设计制造有许多困难，故采用近似方法。由图5-20可知，自A（或B）点和C点分别作OA(或OB)和OC的垂线交于O1（或O2）点，以OO1（或OO2）为轴线的圆锥ACO1（或BCO2）称为该齿轮的背锥。将此轮的背锥展开成平面时，其形状为一扇形。此扇形的半径以rv表示，把这个扇形当作以O为中心的圆柱齿轮的节圆的一部分，以锥齿轮大端模数为模数，并取标准压力角，即可画出该锥齿轮大端的近似齿廓。
这一扇形齿轮的齿数z即为该锥齿轮的实际齿数，若将此扇形补足成为完整的圆柱齿轮，则它的齿数将增加为zv。zv称为该锥齿轮的当量齿数。该圆柱齿轮称为
锥齿轮的当量齿轮。因
mzdmz
及 rv=v rv==
2cosδ2cosδ2故 zv=即
z
cosδ
z1⎧z=⎪⎪v1cos1
(5-20) ⎨z⎪zv2=⎪cosδ2⎩
图5-20 背锥及当量齿数
锥齿轮不产生根切的最少齿数zmin可
由当量齿轮的最少齿数zvmin来确定，即
zmin = zvmincosδ （5-21）
例5-3 某车间进行机床技术改造,需要一传递两垂直相交轴运动的齿轮机构,要求传动比i=2.25。现有一标准直齿圆锥齿轮，齿数Z=20，测得大端齿顶圆直径da≈87.31mm、齿根圆直径df≈71.23mm，拟将该齿轮作为主动轮。试求两锥齿轮的主要尺寸。 解：1）依题意知 z1=20、da1= 87.31mm、df1 = 71.23mm、∑= 90°；
2）由传动比i计算从动轮齿数 z2= iz1 = 2.25×20 = 45 3）分度圆锥角 ctgδ1= i= 2.25
δ1 = arcctg2.25 = 23°57′45″
δ2 = ∑－δ1= 90°－23°57′45″=66°2′15″
4）模数 将 d1=mz1 = 20m 代入
d1=da1－2ha*mcosδ1 = 87.31－2×1×m×cos23°57′45″ 得 m= 4mm
5）分度圆直径 d1=mz1= 4×20= 80mm d2= mz2 = 4×45= 180mm
6）从动轮齿顶圆和齿根圆直径
da2=d2 + 2ha*mcosδ2 =180+ 2×1×4cos66°2′15″= 183.25 mm df2=d2－2hf cosδ2 =180－ 2×1.2×4cos66°2′15″= 176.10 mm 7）锥距 R=
m242
z1+z2=202+452=98.49mm 22
8）齿顶角 θa=arctgha=arctg4=2 19'33''
R98.49
9）顶锥角 δa1=δ1+θa=23°57′45″+2°19′33″=26°17′18″
δa2=δ2+θa= 66°2′15″+2°19′33″ = 68°21′48″
10）当量齿数 zν1= zv2
z120
==21.89
cosδ1cos2357'45''z245===110.80
'''cosδ2cos66215
习题五
5-1 齿轮传动的最基本要求是什么？齿廓的形状符合什么条件才能满足上述要求？
5-2 分度圆和节圆，压力角和啮合角有何区别？
5-3 斜齿圆柱齿轮和直齿圆锥齿轮的当量齿数的含义是什么？它们与实际齿数有何关系？
5-4 某直齿圆柱齿轮传动的小齿轮已丢失。但已知与之相配的大齿轮为标准齿轮，其齿数z2=52，齿顶圆直径da2=135mm,标准安装中心距a =112.5mm。试求丢失的小齿轮的齿数、模数、分度圆直径、齿顶圆直径、齿根圆直径。
5-5 现有一对标准直齿圆柱外齿轮。已知模数m=2.5mm，齿数z1=23，z2=57，求传动比、分度圆直径、齿顶圆直径、齿根圆直径、基圆直径、中心距，分度圆上的齿距、齿厚、齿槽宽，渐开线在分度圆处的曲率半径和齿顶圆处的压力角。
5-6 用范成法加工齿数z =12的正常齿制直齿圆柱齿轮时，为了不产生根切，其最小变位系数为多少？若选取的变位系数小于或大于此值，会对齿轮的分度圆齿厚和齿顶齿厚产生什么影响？
5-7 测得一直齿圆锥齿轮(∑=90°)传动的z1=18，z2=54，da1=58.7mm，试计算分锥角δ1、δ2，大端模数m，分度圆直径d1、d2，锥距R及顶锥角δa。
实训五 渐开线齿廓的范成实训
1.实训目的
（1）掌握范成法加工渐开线齿廓的原理。
（2）了解齿轮的根切现象及采用变位修正避免根切的方法。 （3）了解变位后对轮齿尺寸产生的影响。 2.实训内容及要求
利用齿轮范成仪在图纸上绘制出渐开线齿廓。 3.实训过程
（1）了解齿轮范成仪的构造和原理。如图5-21所示，齿轮范成仪相当于用齿条型刀具加工齿轮的机床，待加工齿轮的纸坯与刀具模型都安装在范成仪上，由范成仪来保证刀具与轮坯的相对运动。在对滚中的刀具与轮坯的各个对应位置，依次用铅笔在纸上描绘
出刀具的刀刃廓线，每次所描下的刀刃廓线相当于齿
1-图纸托盘；2-齿条刀具；3-机架；
坯在该位置被刀刃所切去的部分，这样就能清楚地观4-溜板；5-锁紧螺母；6-调节螺钉； 察到刀刃廓线逐渐包络出待加工齿轮的渐开线齿廓，7-钢丝；8-定位销；9-压板；
10-锁紧螺母；11-圆盘 形成轮齿切削加工的全过程。
（2）制作轮坯。①按照指导教师给出的齿轮参图5-21齿轮范成仪结构示意图 数，计算齿轮的几何尺寸并在绘图纸上绘出标准齿轮
的齿根圆、基圆、分度圆、齿顶圆，以及变位齿轮的齿根圆、齿顶圆（变位系数x值由指导教师给出，或按最小变位系数确定）。②用剪刀沿比齿顶圆稍大一些的圆周剪下得到轮坯。
（3）绘制标准齿轮齿廓。①将轮坯装到图纸托盘上；②调整齿条刀具的径向位置，使刀具分度线与轮坯的分度圆相切；③将齿条刀具推至左边（或右边）极限位置，用笔在轮坯上画出齿条刀具的齿廓曲线，然后向右（或左）每次移动刀具3~5mm画一次刀具齿廓曲线，直到绘出2~3个完整的齿廓为止。这些齿廓的包络线即为标准渐开线齿轮的齿廓。
（4）绘制变位齿轮齿廓。①将轮坯相对齿条刀具转动120º，重新安装轮坯。②调整刀具径向位置，使齿条刀具的分度线相对于绘制标准齿轮的位置下移xm距离（正变位）或上移xm距离（负变位）。③按绘制标准齿轮齿廓的方法，绘出2~3个完整齿的变位齿轮齿廓。
第五章 齿轮机构
案例导入：通过机床、汽车、摩托车、手表等仪器设备中广泛应用的齿轮传动，引入齿轮传动的类型、特点及基本要求、齿轮传动啮合的特点。在所有众多的齿轮机构中，直齿圆柱齿轮机构是最基本、也是最常用的一种，本章以直齿圆柱齿轮为研究的重点。
第一节 齿轮机构的齿廓啮合基本规律、特点和类型
一、齿轮机构的特点和类型
齿轮传动是近代机械传动中用得最多的传动形式之一。它不仅可用于传递运动，如各种仪表机构；而且可用于传递动力，如常见的各种减速装置、机床传动系统等。
同其他传动形式比较，它具有下列优点：①能保证传动比恒定不变；②适用的载荷与速度范围很广，传递的功率可由很小到几万千瓦，圆周速度可达150m/s；③结构紧凑；④效率高，一般效率η＝0.94～0.99；⑤工作可靠且寿命长。其主要缺点是：①对制造及安装精度要求较高；②当两轴间距离较远时,采用齿轮传动较笨重。
齿轮的分类方法很多，按照两轴线的相对位置，可分为两类：平面齿轮传动和空间齿轮传动。
a) b)
c)
d) e)
图5-1 平面齿轮传动
1.平面齿轮传动
该传动的两轮轴线相互平行，常见的有直齿圆柱齿轮传动（图5-1a）,斜齿圆柱齿轮传动（图5-1d），人字齿轮传动（图5-1e）。此外，按啮合方式区分，前两种齿轮传动又可分为外啮合传动（图5-1a、d）,内啮合传动（图5-1b）和齿轮齿条传动（图5-1c）。
2.空间齿轮传动
两轴线不平行的齿轮传动称为空间齿轮传动，如直齿圆锥齿轮传动（图5-2a）、交错轴斜齿轮传动（图5-2b）和蜗杆传动(图5-2c）。
图5-2 空间齿轮传动
a) b) c)
另外，齿轮传动按照齿轮的圆周速度可分为：①低速传动 v15m/s。按齿轮的工作情况可以分为：①开式齿轮传动；②闭式齿轮传动。
二、齿轮啮合的基本规律
齿轮传动最基本的要求是其瞬时传动比必须恒定不变。否则当主动轮以等速度回转时，从动轮的角速度为变数，因而产生惯性力，影响齿轮的寿命，同时也引起振动，影响其工作精度。
要满足这一基本要求，则齿轮的齿廓曲线必须符
合一定的条件。
图5-3所示为两啮合齿轮的齿廓C1和C2在K点
接触的情况，设两轮的角速度分别为ω1和ω2，则齿
廓C1上K点的速度vK1=ω1o1k；齿廓C2上K点的速度vK2=ω2o2k。
过K点作两齿廓的公法线NN与两轮中心连线
o1o2交于C点，为保证两轮连续和平稳的运动，vk1
与vk2在公法线上得分速度应相等，否则两齿廓将互相
嵌入或分离，即
vK1cosαK1=vK2cosαK2
过o2作o2z平行于NN，与o1k的延长线交于Z
点，因∆kab∽∆ko2z，于是有
图5-3 齿廓啮合基本定律
kzkbvK1ω1o1k ===o2kkavK2ω2o2k
经整理有 kzω=1 o1kω2
kzoc=2 o1ko1c又因为NN∥O2Z ，故△O1O2Z∽△O1CK，得
故传动比可写为 i12=ω1o2c （5-1） =ω2o1c
上式表明：两轮的角速度之比与连心线被齿廓接触点的公法线分得的两线段成反比。 由此可见，要使两轮的角速度比恒定不变，则应使o2co1c恒为常数。但因两轮的轴心为定点，即o1o2为定长，故欲使齿轮传动得到定传动比，必须使C点成为连心线上的一个固定点。此固定点称为节点。因此，齿廓的形状必须符合下述条件：不论轮齿齿廓在哪个位置接触，过接触点所作齿廓公法线均须通过节点C,这就是齿廓啮合的基本定律。
理论上，符合上述条件的齿廓曲线有无穷多，但齿廓曲线的选择应考虑制造、安装和强度等要求。目前，工程上通常用的曲线为渐开线、摆线和圆弧。由于渐开线齿廓易于制造，故大多数的齿轮都是用渐开线作为齿廓曲线。本章只讨论渐开线齿轮传动。
如图5-3所示分别以o1和o2为圆心，过节点C所作的圆称为齿轮的节圆，其半径o1c和o2c称为节圆半径，分别用r1'和r2'表示。由式（5-1）有
ω1o1c=ω2o2c
即通过节点的两节圆具有相同的圆周速度，它们之间作纯滚动。
第二节 渐开线齿廓
一、渐开线的形成和性质
当一条直线L沿一圆周作纯滚动时，此直线上任一点K的轨迹即称为该圆的渐开线,如图5-4所示。该圆称为渐开线的基圆，基圆半径以rb
表示，该直线 L称为渐开线的发生线。
根据渐开线形成过程可知它具有下列特性：
(1)因发生线在基圆上作无滑动的纯滚动，故发生
线所滚过的一段长度必等于基圆上被滚过的圆弧的长
度。
(2)当发生线沿基圆作纯滚动时，N点为速度瞬
心，K点的速度垂直于NK，且与渐开线K点的切线
方向一致，所以发生线即渐开线在K点的法线。又因
NK
线切于基圆，所以渐开线上任一点的法线必与基
图5-4 渐开线的形成
圆相切。此外，N点为渐开线上K点的曲率中心，线段NK为渐开线上K点的曲率半径。显然，渐开线愈接近基圆部分，其曲率半径愈小，即曲率愈大。
(3)渐开线的形状完全决定于基圆的大小。基圆大小相同时，所形成的渐开线相同。基圆愈大渐开线愈平直，当基圆半径为无穷大时，渐开线就变成一条与发生线垂直的直线(齿条的齿廓)。
(4)基圆以内无渐开线。齿轮啮合传动时，渐开线上任一点法线压力的方向线Fn(即渐开线在该点的法线)和该点速度方向vK之间所夹锐角称为该点的压力角αK。由图可知：
r cosαK==b rK （5-2）
上式表明渐开线上各点的压力角αK的大小随K点的位置而异，K点距圆心愈远，其压力角愈大；反之，压力角愈小；基圆上的压力角为零。
二、 渐开线齿廓啮合特点
1.中心距可分性
图5-5所示两渐开线齿轮的外啮合情况，节
点为C，两齿轮的基圆半径分别为rb1和rb2，与
两基圆的内公切线N1N2构成一对相似三角形△
O1N1C和△O2N2C，由相似三角形的性质和式
（5-1）知两齿轮的传动比为
i12=ω1o2crb2 （5-3） ==ω2o1crb1
可见渐开线齿轮的传动比取决于两齿轮基圆
半径的大小，当一对渐开线齿轮制成后，两齿轮
的基圆半径就确定了，即使安装后两齿轮中心距
稍有变化，由于两齿轮基圆半径不变，所以传动比仍保持不变。渐开线齿轮这种不因中心距
变化而改变传动比的特性称为中心距可分性。这
图5-5 渐开线齿轮的啮合 一特性可补偿齿轮制造和安装方面的误差，是渐
开线齿轮传动的一个重要优点。
2.啮合线为直线
两齿轮啮合时，其接触点的轨迹称为啮合线，由渐开线特性可知，两渐开线齿廓在任何位置接触时，过接触点所作两齿廓的公法线即为两基圆的内公切线N1N2，故接触点的轨迹必然在这内公切线上。所以，其啮合线是唯一直线。过节点C作两节圆的公切线t t，它与啮合线所夹的锐角称为啮合角。通常用α'来表示。
第三节 渐开线标准齿轮各部分名称、参数和几何尺寸
一、齿轮各部分名称
图5-6
所示为一直齿圆柱齿轮的一部分，相邻两齿的空间称为齿间。齿间底部连成
的圆称为齿根圆，直径用df表示。连接齿轮各齿顶的圆称为齿顶圆，直径用da表示。 在任意直径为dK的圆周上，一个轮齿左右两侧齿廓的弧长称为该圆上的齿厚，用sk表示；而一齿间的弧长称为该圆上的齿槽宽，用ek表示；相邻两齿对应点之间的弧线长称为该圆上的齿距，用pk表示，pk = ek + sk 。
二、主要参数
设dK为任意圆的直径，z为齿数，根据齿距的定义可得
πdppK=K 或 dK=Kz ( 5-4 ) zπ
上式中含有无理数“π”，为了便于设计、制造及互换使用，在齿轮上取一基准圆，使该圆周上的pK比值等于一些较简单的数值，并使该圆上的压力角等于规定
的某一数值，该圆称为分度圆，其直径
用d表示，分度圆上的压力角以α表示
之，我国采用20为标准值。显然有分度圆直径d= p
πz，我们把比值p/π规
定为标准值，用m来表示，称为模数，
单位为mm。于是分度圆上的齿距p和
直径d分别为
p=πm(mm) (5-5) 图5-6 齿轮的几何尺寸
d=mz(mm) (5-6)
模数是齿轮尺寸计算中的一个基本参数，模数愈大，则齿距愈大，轮齿也就愈大，轮齿的抗弯能力愈强。齿轮模数已标准化，我国常用的标准模数见表5-1。
表5-1 常用的标准模数m（摘自GB/T1357-87）
注：①本表适用于渐开线圆柱齿轮。对斜齿轮是指法向模数。优先采用第一系列，括号内的数尽量不用。
②圆锥齿轮大端模数除了可在上表中选取外，还可选1.125、1.375等。
对于任一轮齿，其齿顶圆与分度圆间的部份称为齿顶，它沿半径方向的高度称为齿顶高，用ha表示；而齿根圆与分度圆间的部分称为齿根，它沿半径方向的高度称为齿根高，用hf表示；齿顶圆与齿根圆间沿半径方向的高度称为全齿高，用h表示，因此，
h = ha + hf （5-7）
设计中，将模数m作为齿轮各部分几何尺寸的计算基础，因此，齿顶高可表示为ha=ha*m，齿根高可表示为hf =(ha*+c*)m，其中，ha*称为齿顶高系数，c* 称为顶隙系数。它们有两种标准数值
正常齿 ha*= 1, c*= 0.25
短齿 ha*= 0.8, c*= 0.3
凡模数、压力角、齿顶高系数与顶隙系数等于标准数值，且分度圆上齿厚与齿槽宽 相等的齿轮称为标准齿轮。因此，对于标准齿轮
pπms = e == (5-8) 22
对于一对模数、压力角相等的标准齿轮，由于其分度圆上的齿厚与齿槽宽相等，因此，正确安装时分度圆与节圆重合，可看成两轮的分度圆相切作纯滚动。标准齿轮的这种安装称为标准安装，其中心距称为标准中心距。
对于单个齿轮而言，节圆、啮合角都是不存在的，只有当一对齿轮互相啮合时，节圆和啮合角才有意义。这时，节圆可能和分度圆重合，也可能不重合，须视两齿轮的安装是否正确而定。对于正确安装的一对齿轮，其啮合角α'等于分度圆上的压力角α。
三、标准直齿圆柱齿轮的几何尺寸
标准直齿圆柱齿轮的几何尺寸按表5-2进行计算。
表5-2 标准直齿圆柱齿轮各部分尺寸的几何关系
例5-1 已知一正常齿制的标准直齿圆柱齿轮，齿数z1=20，模数m = 2mm，拟将该齿轮作某外啮合传动的主动齿轮，现须配一从动齿轮，要求传动比i=3.5，试计算从动齿轮的几何尺寸及两轮的中心距。
解：根据给定的传动比i，可计算从动轮的齿数
z2 = iz1 =3.5× 20 = 70
已知齿轮的齿数z2及模数m，由表5-2所列公式可以计算从动轮各部分尺寸。 分度圆直径 d2 = mz2 = 2×70 = 140 mm
齿顶圆直径 da2 = (z2 + 2ha*) m = (70+2×1)2=144 mm
齿根圆直径 df = (z2 - 2ha*- 2c*) m = (70-2×1-2×0.25)2=135mm
全齿高 h=(2ha*+c*)m = ( 2×1 + 0.25) 2= 4.5 mm
d+d2m2中心距 a=1=(z1+z2)=(20+70)=90 mm 222
第四节 渐开线标准直齿圆柱齿轮的啮合传动
一、正确啮合条件
为保证齿轮传动时各对齿之间能平稳传递运动，在齿对交替过程中不发生冲击，必须符合正确啮合条件。
一对渐开线齿轮的正确啮合条件为：①两齿轮的模数必须相等；②两齿轮分度圆上的压力角必须相等。
这样，一对齿轮的传动比可写成
i=ω1n1d2'd2z2==== （5-9） ω2n2d1'd1z1
二、标准中心距
正确安装的渐开线齿轮，理论上应为无齿侧间隙啮合，即一轮节圆上的齿槽宽与另一轮节圆齿厚相等。标准齿轮正确安装时齿轮的分度圆与节圆重合，啮合角α'=α=20o。
一对外啮合齿轮的中心距为
a=d1'+d2'd1+d2m==(z1+z2) (5-10) 222
d2'-d1'd2-d1m==(z2-z1) (5-11) 222一对内啮合齿轮的中心距为 a=
由于渐开线齿廓具有可分性，两轮中心距略大
于正确安装中心距时仍能保持瞬时传动比恒定不
变，但齿侧出现间隙，反转时会有冲击。
三、连续传动条件
若要一对渐开线齿轮连续不断的传动，就必须
使前一对齿终止啮合之前后续的一对齿及时进入啮
合。如图5-7所示为一对互相啮合的齿轮。设齿轮
1为主动，齿轮2为从动。开始啮合时，主动齿轮1
的齿根部分与从动齿轮2的齿顶部分在K′点开始
接触。随着两齿轮继续啮合转动，啮合点的位置沿
啮合线N1N2向下移动，齿轮2齿廓上的接触点由
齿顶向齿根移动，而齿轮1齿廓上的接触点则由齿
根向齿顶移动。当两齿廓的啮合点移至K点时，则
两齿廓啮合终止。
图5-7 连续传动的条件
由此可见，线段KK为啮合点的实际轨迹，故KK称为实际啮合线段。因基圆内无渐开线，故线段N1N2为理论上可能的最大啮合线段，所以被称为理论啮合线段 。
显然，要保证一对渐开线齿轮连续不断地啮合传动，必须使前一对轮齿尚未在K点脱离啮合之前，后一对轮齿及时到达K′点进入啮合。要保证这一点必须使KK≥Pb，即实际啮合线段必须大于或等于齿轮的基圆齿距。这就是连续传动的条件，通常我们把这个条件用KK’与Pb的比值表示，称为重合度，用ε表示。即
KK'ε=≥1 （5-12） Pb
重合度愈大，表明同时参与啮合的轮齿对数愈多，每对齿分担的载荷就愈小，运动愈平稳。由于制造齿轮时齿廓必然有少量的误差，故设计齿轮时必须使实际啮合线段比
*基圆齿距大，即重合度大于1。重合度主要与齿数z、齿顶高系数ha、压力角α有关，
*当取ha=1,α=200,z=12~∞时,ε=1.699~1.982。
第五节 渐开线齿廓的根切现象
一、齿轮的加工方法
齿轮的加工方法很多，如铸造法、冲压法、热轧法、切削法等。其中最常用的还是切削加工。按切削齿廓的原理不同，可分为仿形法和范成法。
a) b)
图5-8 仿形法加工齿轮
1.仿形法
仿形法是铣床上用与齿槽形状相同的盘形铣刀（图5-8a）或指形铣刀（图5-8b）逐个切去齿槽，从而得到渐开线齿廓。
由于渐开线齿廓形状取决于基圆大小，而基圆直径db=mzcosα，即模数m、压力角α和齿数z决定齿廓形状。同一模数和压力角的齿轮，齿数不同，齿形就不同，这样加工不同齿数的齿轮就要制造许多刀具，显然这是不可能的。为了减少铣刀数量，对于同一模数和压力角的齿轮，按齿数范围分为8组，每组用一把刀具来加工，刀具形状按范围内最少齿形设计。
仿形法加工齿轮的方法简单，不需要专用的齿轮加工机床；但是，生产率低，加工
精度低，故只适合于精度要求不高，单件或小批量生产。
2.范成法
范成法是利用一对齿轮（或齿轮和齿条）互相啮合时，其共轭齿廓互为包络的原理来加工齿轮的。用范成法切齿的常用刀具有三种：齿轮插刀、齿条插刀及滚刀。
图5-9为用齿轮插刀加工齿轮的情况，具有渐开线齿形的齿轮插刀和被切齿轮都按 规定的传动比转动。根据正确啮合条件，被切齿轮的模数和压力角与插刀相同。插刀沿被切齿轮轴线方向作往复切削运动，同时模仿一对齿轮啮合传动，插刀在被切齿轮上 切出一系列渐开线外形，这些渐开线包络即为被切齿轮的渐开线齿廓。切制相同模数和压力角，不同齿数的齿轮，只需用同一把插刀即可。
a) b)
图5-9 齿轮插刀加工齿轮
图5-10为齿条插刀加工齿轮的情况。当齿轮插刀的齿数增至无穷多时，其基圆半 径变为无穷大，渐开线齿廓为直线齿廓，齿轮插刀便变为齿条插刀。其加工原理与齿轮插刀切削齿轮相同。用齿条插刀加工所得的轮齿齿廓也为刀刃在各个位置的包络线。由于齿条插刀的齿廓为直线，比齿轮插刀制造容易，精度高，但因为齿条插刀长度有限，每次移动全长后要求复位，所以生产效率低。
图5-11为齿轮滚刀加工轮齿的情况。滚刀是蜗杆形状的铣刀，它的纵剖面为具有直 线齿廓的齿条，当滚刀转动时，相当于齿条在移动，按范成法原理加工齿轮，它们的包络线形成被切齿轮的渐开线齿廓。
a) b)
图5-10 齿条插刀加工齿轮
图5-11 滚刀加工齿轮
由于滚刀加工是连续切削，而插刀加工有进刀和退刀，是间断切削。所以，滚刀加工生产率较高，是目前应用最为广泛的加工方法。但是在切削时，被切齿廓略有误差，因此，加工精度略低。
二、根切现象和最少齿数
用范成法加工齿轮时，如果齿轮的齿数太少，则切削刀具的齿顶就会切去轮齿根部的一部分，这种现象称为根切，如图5-12所示。
发生根切会使轮齿的弯曲强度降低，并使重合度减小，传动时出现冲击噪音，故应设法避免根切的发生。
加工齿轮的刀具通常都是标准刀具，为什么还会发生根切呢？图5-13所示为用齿条插刀加工标准齿轮的情况，N1点为轮坯基圆与啮合线的切点，即啮合的极限点，刀具的顶线超出了N1（图中虚线位置）。显然，当刀具完成一个行程的切削后，N1点到刀具顶线的部分齿廓会被切掉而发生根切。因此，要避免根切就必须使刀具顶线不超出N1点。经几何推导可得不发生根切的条件为
z≥2ha*/sin2α
即最少齿数为 zmin*2ha= (5-13) sin2α
显然，为了避免根切，则齿数z不得少于某一最少限度，用范成法加工齿轮时，对于各种标准刀具最少齿数的数值为：
当 ha*=1,α=20o时，zmin=17；当 ha*=0.8,α=20o时，zmin=14。
必须指出，最少齿数是用范成法加工标准齿轮时提出的，用仿形法加工时不受这最少齿数的限制。因此，必要时可设计齿数为12的标准齿轮，因为标准仿形刀具的最少齿数为12，但是用仿形法加工使生产效率下降。既要齿数少又要生产效率高，可采用下面介绍的变位齿轮。
图5-12齿轮的根切
图5-13 根切与变位
第六节 渐开线变位直齿圆柱齿轮传动
一、变位齿轮的概念
用齿条型刀具加工齿轮时，若刀具的分度线（又称中线）与轮坯的分度圆相切时，称为标准安装。这样加工出来的齿轮为标准齿轮。标准齿轮有许多优点，因而得到广泛
应用。但在实际应用中也暴露出如下主要缺点：①不得小于最少齿数，否则用范成法加
工时会产生根切；②两齿轮啮合只能按标准中心距安装；③小齿轮的齿根厚度小于大齿轮的，使小齿轮更容易损坏。
若加工齿轮时，不采用标准安装，而是将刀具相对于轮坯中心向外移出或向内移近一段距离，则刀具的的中线不再与轮坯的分度圆相切，如图5-13所示。刀具移动的距离xm称为变位量，其中m为模数，x为变位系数，并规定刀具相对于轮坯中心向外移出的变位系数为正，反之为负。对应于x＞0、x=0及x＜0的变位分别称为正变位、零变位和
图5-14 变位齿轮的齿廓
负变位，如图5-14所示。这种用改变刀具与轮坯相对位置来加工齿轮的方法称为变位修正法，采用变位修正法加工出来的齿轮称为变位齿轮。
二、变位齿轮的类型和特点
根据相互啮合两齿轮的总变位系数xΣ = x1+x2的不同，变位齿轮可分为以下三种类型。
1.零传动 (xΣ = 0)
(1)标准齿轮传动。标准齿轮传动可视为变位系数为零的变位齿轮，由于两齿轮的变位系数x1+x2=0，为了避免根切，两齿轮齿数均需大于zmin。
(2)高变位齿轮传动。两齿轮的变位系数为一正一负，且绝对值相等。即x1+x2=0。为了防止小齿轮根切和增加根部齿厚，小齿轮应采用正变位，而大齿轮采用负变位。为使两齿轮都不产生根切，必须使z1+z2≥2zmin。 2.正传动 (xΣ =0)
正传动变位齿轮的中心距大于标准中心距，即a＇＞a,当z1+z2＜2zmin时，必须采用正传动，其它场合为了改善传动质量也可以采用正传动。
3.负传动 (xΣ ＜0)
负传动变位齿轮的中心距小于标准中心距，即a＇
采用正传动和负传动可以实现非标准中心距传动。由于这两种变位齿轮传动的节圆与分度圆不重合，啮合角不等于压力角，即α'≠α，所以，这两种变位又称为角度变位。
变位齿轮传动与标准齿轮传动相比，有如下优点：①可以制出齿数小于zmin而无根切的小齿轮，从而可以减小齿轮机构的尺寸和重量；②合理选择两轮的变位系数，使大小齿轮的强度接近并降低两轮齿根部位的磨损，从而提高了传动的承载能力和耐磨性能；③等移距变位齿轮传动能保持标准中心距，故可取代标准齿轮传动并改善传动质量。主要缺点是：①互换性差，必须成对设计、制造和使用；②重合度略为降低。由于变位齿
轮与标准齿轮相比具有很多优点，而且并不增加设计制造难度，因此，变位齿轮在机械中得到广泛应用。
表5-3 变位齿轮计算公式
注：变位系数最小值x min＝（17 - z）/17
三、变位直齿圆柱齿轮的几何尺寸
变位直齿圆柱齿轮的几何尺寸按表5-2进行计算。
第七节 平行轴斜齿圆柱齿轮传动
一、齿廓曲面的形成及啮合特点
前面讨论直齿圆柱齿轮时，仅就垂直于轮轴的一个剖面加以研究，但实际齿轮齿廓侧面的形成如图5-15a)所示，发生面s沿母线切于齿轮的基圆柱上。当这一发生面在基圆柱上作纯滚动时，其上任一平行于母线的直线AA将展出一渐开线曲面，此曲面即为齿轮的齿侧面，它与轮轴垂直面的交线即为渐开线。当一对齿轮啮合时，两轮的齿将沿直线接触，其轨迹即为两轮的啮合面。直齿圆柱齿轮的缺点为重合度低，容易引起冲击、振动，对制造误差的影响比较敏感，不适合于高速、大功率传动的场合。因此，在高速、大功率传动以及要求传动平稳性较高的场合，常采用斜齿圆柱齿轮。
斜齿轮齿面的形成原理与直齿轮相似，不同的是形成渐开面的直线AA与母线不平行，偏斜了一个角度βb,如图5-15b)所示。发生面s在基圆柱上作纯滚动时，直线AA上的任一点的轨迹都是渐开线，这一系列的渐开线就形成了斜齿轮的齿廓曲面。显然，这个齿廓曲面与垂直于轴线的端面的交线（端面齿廓）仍然是渐开线。将偏斜了βb的直线AA在基圆柱上全面接触，形成螺旋线ZZ，ZZ在空间形成的曲面为渐开螺旋面。偏斜的角度βb称为基圆上的螺旋角。当βb= 0时成了直齿轮，可见直齿轮是斜齿轮的特例。
a) b)
图5-15 圆柱齿轮的形成
二、主要参数及几何尺寸
斜齿圆柱齿轮齿形有端面和法面之称。
法面是指垂直于轮齿螺旋线方向的平面。轮齿的法面齿形与刀具齿形相同，故国际上规定法面参数（mn ,αn）为标准参数。
端面是指垂直于轴线的平面。端面齿形与直齿轮相同，故可以采用直齿轮的几何尺寸计算公式计算斜齿轮的几何尺寸。应注意：端面参数（mt ,αt）为非标准值，为了计算斜齿轮的几何尺寸，必须掌握法面参数和端面参数间的换算关系。
图5-16为斜齿圆柱齿轮分度圆的展开图，由图可知：端面齿距pt和法面齿距pn的关系为 pt=
pn
（5-14） cosβ
mn
（5-15） cosβ
由于端面模数为mt=pt /π，法面模数为mn=pn /π，故
mt=
式中:β为分度圆柱上的螺旋角。
与模数类似，斜齿轮分度圆上的端面压力角αt与法面压力角αn间的关系为：
tgαt=
tgαn
（5-16） cosβ
图5-16 分度圆柱展开面
a) b) c) 图5-17 斜齿圆柱齿轮的旋向
分度圆柱上的螺旋角β（简称螺旋角）表示轮齿的倾斜程度。β越大则轮齿越倾斜，传动的平稳性愈好，但轴向力愈大。通常在设计时取β=8~20°。
斜齿轮按轮齿的螺旋线方向分为左旋和右旋，如图5-17所示，图a）为左旋齿轮，图b）为右旋齿轮。
表5-4 外啮合标准斜齿圆柱齿轮各部分的几何尺寸
三、 正确啮合条件
一对斜齿圆柱齿轮的正确啮合条件为
⎧mn1=mn2=mn⎪
⎨αn1=αn2=αn ⎪⎩β1=-β2
由于斜齿圆柱齿轮的齿与轮轴的方向成一螺旋角，所以使齿轮传动的啮合弧增大了e=btgβ。如与斜齿轮端面齿廓相同的直齿圆柱齿轮的重合度为εα，则斜齿圆柱齿轮的重合度轮重合度增加部分为
εγ=εα+εβ，斜齿轮比直齿
btgβbsinβzψd==tgβ （5-17） ptpnπ
式中：b为齿宽；ψd为齿宽系数，当z =17、ψd=1、
图5-18 斜齿圆柱齿轮的当量齿β= 7~20°时，εβ=0.664~1.970。
εβ=
四、当量齿数
为了选择盘形铣刀及进行强度计算，必须知道和斜齿圆柱齿轮法面齿形相当的直齿圆柱齿轮，其齿数称为当量齿数。下面研究当量齿数zv与实际齿数z及螺旋角β之间的关系。
如图5-18所示，过斜齿圆柱齿轮任一轮齿上的节点C作法向截面，则此法面与斜齿
圆柱齿轮分度圆的交线为一椭圆，其长半轴为a = d/(2cosβ)，短半轴为b= d / 2，该椭圆在C点的曲率半径为
a2d ρ==2b2cosβ
若以ρ为半径作一圆，此圆即为与斜齿圆柱齿轮相当的直齿圆柱齿轮的分度圆，此直齿圆柱齿轮称为当量齿轮。当量齿轮上的齿数称为当量齿数，其值为
πzmt2πρπdz
（5-18） ===
pnpncos2βptcos3βcos3β
斜齿圆柱齿轮不产生根切的最少齿数zmin可由直齿圆柱齿轮最少齿数zvmin来确定， 即 zmin=zvmincos3β
例5-2 为改装某设备，需配一对斜齿圆柱齿轮传动。已知传动比i = 3.5，法向模数mn = 2mm，中心距a = 92mm。试计算该对齿轮的几何尺寸。
解：1)先选定小齿轮的齿数z1=20，则大齿轮齿数z2=iz1=3.5⨯20=70。
2)知道齿数、法向模数及中心距，可由下式计算斜齿轮的分度圆螺旋角；
m(z+z2)a=n1
2cosm(z+z2)2⨯(20+70)
cosβ=n1==0.978260
2 a2⨯92
β=11o58'7"
3)按表5-4的公式计算其它几何尺寸
zm20⨯2 分度圆直径 d1=1n==40.89 mm o
cosβcos1158'7''
zv=
70⨯2 d2=z2mn==143.11 mm o
cosβcos1158'7''
齿顶圆直径 齿根圆直径
da1=d1+2mn=40.89+2⨯2=44.89 mm da2=d2+2mn=143.11+2⨯2=147.11 mm
df1=d1-2.5mn=40.89-2.5⨯2=35.89 mm df2=d2-2.5mn=143.11-2.5⨯2=138.11 mm
第八节 直齿圆锥齿轮传动
一、传动比和几何尺寸计算
圆锥齿轮主要用于几何轴线相交的两轴间的传动，其运动可以看成是两个圆锥形摩擦轮相切作纯滚动，该圆锥即节圆锥。与圆柱齿轮相似，圆锥齿轮也分为分度圆锥、齿顶圆锥和齿根圆锥等。但和圆柱齿轮不同的是轮齿的厚度沿锥顶方向逐渐减小。锥齿轮的轮齿也有直齿和斜齿两种，本书只讨论直齿圆锥齿轮。圆锥齿轮传动中，两轴的夹角Σ一般可以为任意角，但通常多为90°。当两轴的夹角Σ= 90°时，其传动比为
1 （5-19） i=n1=d2=z2=coδt1=
n2d1z1tgδ1
因此，传动比一定时，两锥齿轮的节锥角也一定。
图5-19 圆锥齿轮的基本尺寸
如图5-19所示，直齿圆锥齿轮的参数和几何尺寸均以大端为标准，大端应取标准模数和标准压力角，即α=20o。对标准齿形取齿高系数ha*=1、顶隙系数c*= 0.2。渐开线圆锥齿轮的几何尺寸按表5-5计算。
从理论上讲，锥齿轮的齿廓应为球面上的渐开线。但由于球面不能展开成平面，致使锥齿轮的设计制造有许多困难，故采用近似方法。由图5-20可知，自A（或B）点和C点分别作OA(或OB)和OC的垂线交于O1（或O2）点，以OO1（或OO2）为轴线的圆锥ACO1（或BCO2）称为该齿轮的背锥。将此轮的背锥展开成平面时，其形状为一扇形。此扇形的半径以rv表示，把这个扇形当作以O为中心的圆柱齿轮的节圆的一部分，以锥齿轮大端模数为模数，并取标准压力角，即可画出该锥齿轮大端的近似齿廓。
这一扇形齿轮的齿数z即为该锥齿轮的实际齿数，若将此扇形补足成为完整的圆柱齿轮，则它的齿数将增加为zv。zv称为该锥齿轮的当量齿数。该圆柱齿轮称为
锥齿轮的当量齿轮。因
mzdmz
及 rv=v rv==
2cosδ2cosδ2故 zv=即
z
cosδ
z1⎧z=⎪⎪v1cos1
(5-20) ⎨z⎪zv2=⎪cosδ2⎩
图5-20 背锥及当量齿数
锥齿轮不产生根切的最少齿数zmin可
由当量齿轮的最少齿数zvmin来确定，即
zmin = zvmincosδ （5-21）
例5-3 某车间进行机床技术改造,需要一传递两垂直相交轴运动的齿轮机构,要求传动比i=2.25。现有一标准直齿圆锥齿轮，齿数Z=20，测得大端齿顶圆直径da≈87.31mm、齿根圆直径df≈71.23mm，拟将该齿轮作为主动轮。试求两锥齿轮的主要尺寸。 解：1）依题意知 z1=20、da1= 87.31mm、df1 = 71.23mm、∑= 90°；
2）由传动比i计算从动轮齿数 z2= iz1 = 2.25×20 = 45 3）分度圆锥角 ctgδ1= i= 2.25
δ1 = arcctg2.25 = 23°57′45″
δ2 = ∑－δ1= 90°－23°57′45″=66°2′15″
4）模数 将 d1=mz1 = 20m 代入
d1=da1－2ha*mcosδ1 = 87.31－2×1×m×cos23°57′45″ 得 m= 4mm
5）分度圆直径 d1=mz1= 4×20= 80mm d2= mz2 = 4×45= 180mm
6）从动轮齿顶圆和齿根圆直径
da2=d2 + 2ha*mcosδ2 =180+ 2×1×4cos66°2′15″= 183.25 mm df2=d2－2hf cosδ2 =180－ 2×1.2×4cos66°2′15″= 176.10 mm 7）锥距 R=
m242
z1+z2=202+452=98.49mm 22
8）齿顶角 θa=arctgha=arctg4=2 19'33''
R98.49
9）顶锥角 δa1=δ1+θa=23°57′45″+2°19′33″=26°17′18″
δa2=δ2+θa= 66°2′15″+2°19′33″ = 68°21′48″
10）当量齿数 zν1= zv2
z120
==21.89
cosδ1cos2357'45''z245===110.80
'''cosδ2cos66215
习题五
5-1 齿轮传动的最基本要求是什么？齿廓的形状符合什么条件才能满足上述要求？
5-2 分度圆和节圆，压力角和啮合角有何区别？
5-3 斜齿圆柱齿轮和直齿圆锥齿轮的当量齿数的含义是什么？它们与实际齿数有何关系？
5-4 某直齿圆柱齿轮传动的小齿轮已丢失。但已知与之相配的大齿轮为标准齿轮，其齿数z2=52，齿顶圆直径da2=135mm,标准安装中心距a =112.5mm。试求丢失的小齿轮的齿数、模数、分度圆直径、齿顶圆直径、齿根圆直径。
5-5 现有一对标准直齿圆柱外齿轮。已知模数m=2.5mm，齿数z1=23，z2=57，求传动比、分度圆直径、齿顶圆直径、齿根圆直径、基圆直径、中心距，分度圆上的齿距、齿厚、齿槽宽，渐开线在分度圆处的曲率半径和齿顶圆处的压力角。
5-6 用范成法加工齿数z =12的正常齿制直齿圆柱齿轮时，为了不产生根切，其最小变位系数为多少？若选取的变位系数小于或大于此值，会对齿轮的分度圆齿厚和齿顶齿厚产生什么影响？
5-7 测得一直齿圆锥齿轮(∑=90°)传动的z1=18，z2=54，da1=58.7mm，试计算分锥角δ1、δ2，大端模数m，分度圆直径d1、d2，锥距R及顶锥角δa。
实训五 渐开线齿廓的范成实训
1.实训目的
（1）掌握范成法加工渐开线齿廓的原理。
（2）了解齿轮的根切现象及采用变位修正避免根切的方法。 （3）了解变位后对轮齿尺寸产生的影响。 2.实训内容及要求
利用齿轮范成仪在图纸上绘制出渐开线齿廓。 3.实训过程
（1）了解齿轮范成仪的构造和原理。如图5-21所示，齿轮范成仪相当于用齿条型刀具加工齿轮的机床，待加工齿轮的纸坯与刀具模型都安装在范成仪上，由范成仪来保证刀具与轮坯的相对运动。在对滚中的刀具与轮坯的各个对应位置，依次用铅笔在纸上描绘
出刀具的刀刃廓线，每次所描下的刀刃廓线相当于齿
1-图纸托盘；2-齿条刀具；3-机架；
坯在该位置被刀刃所切去的部分，这样就能清楚地观4-溜板；5-锁紧螺母；6-调节螺钉； 察到刀刃廓线逐渐包络出待加工齿轮的渐开线齿廓，7-钢丝；8-定位销；9-压板；
10-锁紧螺母；11-圆盘 形成轮齿切削加工的全过程。
（2）制作轮坯。①按照指导教师给出的齿轮参图5-21齿轮范成仪结构示意图 数，计算齿轮的几何尺寸并在绘图纸上绘出标准齿轮
的齿根圆、基圆、分度圆、齿顶圆，以及变位齿轮的齿根圆、齿顶圆（变位系数x值由指导教师给出，或按最小变位系数确定）。②用剪刀沿比齿顶圆稍大一些的圆周剪下得到轮坯。
（3）绘制标准齿轮齿廓。①将轮坯装到图纸托盘上；②调整齿条刀具的径向位置，使刀具分度线与轮坯的分度圆相切；③将齿条刀具推至左边（或右边）极限位置，用笔在轮坯上画出齿条刀具的齿廓曲线，然后向右（或左）每次移动刀具3~5mm画一次刀具齿廓曲线，直到绘出2~3个完整的齿廓为止。这些齿廓的包络线即为标准渐开线齿轮的齿廓。
（4）绘制变位齿轮齿廓。①将轮坯相对齿条刀具转动120º，重新安装轮坯。②调整刀具径向位置，使齿条刀具的分度线相对于绘制标准齿轮的位置下移xm距离（正变位）或上移xm距离（负变位）。③按绘制标准齿轮齿廓的方法，绘出2~3个完整齿的变位齿轮齿廓。