反比例函数
易错清单
1. 利用待定系数法确定反比例函数关系式.
【例1】 (2014·广东梅州) 已知反比例函数
(1)求该函数的表达式;
(2)当2
的图象经过点M (2,1).
【误区纠错】 此题主要考查了待定系数法求反比例函数解析式, 以及反比例函数的性质, 关键是正确确定函数解析式. 注意在求不等式的解时不能出错.
2. 反比例函数系数k 的几何意义.
【例2】 (2014·湖南娄底) 如图, M 为反比例函数
足为A , △MAO 的面积为2, 则k 的值为 .
【误区纠错】 本题考查了反比例函数比例系数k 的几何意义:在反比例函数的图象的图象上的一点, MA 垂直y 轴, 垂中任取一点, 过这一个点向x 轴和y 轴分别作垂线, 与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|. 3. 利用数形结合解决反比例函数与不等式相关问题.
【例3】 (2014·四川南充) 如图, 一次函数y 1=kx+b的图象与反比例函数y 2=的图象相交于点A (2,5)和点B , 与y 轴相交于点C (0,7).
(1)求这两个函数的解析式;
(2)当x 取何值时, y 1
【误区纠错】 本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题, 解答本题的关键是联立解析式, 求出交点坐标. 本题在写取值范围时容易出错.
4. 反比例函数和几何图形相结合问题.
【例4】 (2014·四川遂宁) 已知:如图, 反比例函数y=
交于点A (1,4)、点B (-4, n ) .
(1)求一次函数和反比例函数的解析式;
(2)求△OAB 的面积; 的图象与一次函数y=x+b的图象
(3)直接写出一次函数值大于反比例函数值的自变量x 的取值范围.
【误区纠错】 本题考查了一次函数和反比例函数的交点问题, 用待定系数法求出一次函数的解析式, 三角形的面积, 一次函数的图象等知识点, 用了数形结合思想.
名师点拨
1. 掌握反比例函数的定义, 会判断反比例函数.
2. 会用待定系数法求反比例函数的解析式.
3. 会画反比例函数的图象并能说明其性质.
4. 借助函数思想解决实际问题.
提分策略
1. 反比例函数值的大小比较.
比较反比例函数值的大小, 在同一个象限内根据反比例函数的性质比较, 在不同象限内, 不能按其性质比较, 函数值的大小只能根据特征确定.
A. 负数
C. 正数
2. 与反比例函数有关的图形面积的求法.
过双曲线上任意一点引x 轴、y 轴垂线, 所得矩形面积为|k|, 是经常考查的一个知识点. 这里体现了数形结合的思想, 做此类题一定要正确理解反比例函数y=(k ≠0) 中k 的几何意义. B. 非正数 D. 不能确定
【例2】 如图, 点B 在反比例函数 (x>0) 的图象上, 横坐标为1, 过点B 分别向x 轴, y 轴作垂线, 垂足分别为A , C , 则矩形OABC 的面积为( ) .
A. 1
C. 3 B. 2 D. 4
3. 一次函数与反比例函数的综合题解法.
主要题型:利用k 值与图象的位置关系综合确定系数的符号或图象位置; 已知直线与双曲线
表达式求交点坐标; 用待定系数法确定直线与双曲线的表达式; 应用函数图象性质比较一次函数值与反比例值的大小等. 解题时, 一定要灵活运用一次函数与反比例函数的知识, 并结合图象分析、解答问题.
【例3】 如图, 一次函数y=-x+2的图象与反比例函数
轴交于D 点, 且C , D 两点关于y 轴对称.
(1)求A , B 两点的坐标;
(2)求△ABC 的面积.
的图象交于A , B 两点, 与x
4. 利用反比例函数解决实际问题.
把实际问题转化为反比例函数应用题的关键是建立反比例函数模型, 即列出符合题意的反比例函数解析式, 然后根据反比例函数的性质综合方程(组) 、不等式(组) 及图象求解.
【例4】 实验数据显示, 一般成人喝半斤低度白酒后,1. 5小时内其血液中酒精含量y (毫克/百毫升) 与时间x (时) 的关系可近似地用二次函数y=-200x 2+400x 刻画;1. 5小时后(包括1. 5小时) y 与x 可近似地用反比例函数
(1)根据上述数学模型计算: (k>0) 刻画(如图所示) .
①喝酒后几时血液中的酒精含量达到最大值? 最大值为多少?
②当x=5时, y=45, 求k 的值.
(2)按国家规定, 车辆驾驶人员血液中的酒精含量大于或等于20毫克/百毫升时属于“酒后驾驶”, 不能驾车上路. 参照上述数学模型, 假设某驾驶员晚上20:00在家喝完半斤低度白酒, 第二天早上7:00能否驾车去上班? 请说明理由.
5. 利用反比例函数与几何知识相结合解题.
在近几年的中考题目中, 常常把几何知识和反比例函数相结合在一起, 综合性强, 对学生的思维能力要求高. 解决此类问题的关键是熟悉常见几何图形的特征, 将几何图形的隐含性质结合反比例函数知识挖掘出来.
【例5】 如图, 在平面直角坐标系中, 反比例函数 (x>0) 的图象和矩形ABCD 在第一象限, AD 平行于x 轴, 且AB=2, AD=4, 点A 的坐标为(2,6).
(1)直接写出B , C , D 三点的坐标;
(2)若将矩形向下平移, 矩形的两个顶点恰好同时落在反比例函数的图象上, 猜想这是哪两个点, 并求矩形的平移距离和反比例函数的解析式.
专项训练
一、 选择题
1. (2016·江苏泰州二中模拟) 如图, 已知点(m , y 1),(m-3, y 2),(m-4, y 3) 在反比例函
数
的图象上, 则y 1, y 2, y 3的大小关系是( ) .
A. y 1>y2>y3
C. y 1>y3>y2 B. y 2>y1>y3 D. y 3>y2>y1
(第1题
)
(第2题)
2. (2016·山东济南二模) 如图, 过x 轴正半轴上的任意一点P , 作y 轴的平行线, 分别与反比例函数的图象交于A , B 两点. 若点C 是y 轴上任意一点, 连接AC , BC , 则△ABC 的面积为( ) .
A. 3 B. 4 C. 5 D. 10
3. (2016·新疆石河子中考一模) 如图, 矩形ABOC 的面积为3, 反比例函数的图象过点A , 则k 的值为( ) .
(第3题)
A. 3
二、 填空题
4. (2016·安徽安庆正月21校联考) 如图, 点P 1(x 1, y 1), 点P 2(x 2, y 2), „, 点P n (x n , y n ) 在函数B. -1. 5 C. -3 D. -6
(x>0) 的图象上, △P 1OA 1, △P 2A 1A 2, △P 3A 2A 3, „, △P n A n-1A n 都是等腰直角三角形, 斜边OA 1, A 1A 2, A 2A 3, „, A n-1A n 都在x 轴上(n 是大于或等于2的正整数), 则点P 3的坐标是 ; 点P n 的坐标是 (用含n 的式子表示) .
(第4题)
5. (2016·江西高安模拟) 一个函数具有下列性质:①它的图象经过点(-1,1); ②它的图象在第二、四象限内; ③在每个象限内, 函数值y 随自变量x 的增大而增大, 则这个函数的解析式可以为 .
三、 解答题
(1)求k 的值及点E 的坐标;
(2)若点F 是边上一点, 且△FCB ∽△DBE , 求直线FB 的解析式.
(第6题)
7. (2014·江苏大丰模拟) 如图, 一次函数y=kx+b
的图象与反比例函数的图象交于A (-2,1), B (1,m ) 两点.
(1)试确定上述反比例函数和一次函数的关系式;
(2)求△AOB 的面积.
(第7题)
8. (2013·河北一模) 如图, 一次函数y=mx+5的图象与反比例函数的图象交于A (1,n ) 和B (4,1)两点, 过点A 作y 轴的垂线, 垂足为M.
(1)求一次函数和反比例函数的解析式;
(2)求△OAM 的面积S ;
(3)在y 轴上求一点P , 使PA+PB最小.
(k ≠0) 在第一象限
反比例函数
易错清单
1. 利用待定系数法确定反比例函数关系式.
【例1】 (2014·广东梅州) 已知反比例函数
(1)求该函数的表达式;
(2)当2
的图象经过点M (2,1).
【误区纠错】 此题主要考查了待定系数法求反比例函数解析式, 以及反比例函数的性质, 关键是正确确定函数解析式. 注意在求不等式的解时不能出错.
2. 反比例函数系数k 的几何意义.
【例2】 (2014·湖南娄底) 如图, M 为反比例函数
足为A , △MAO 的面积为2, 则k 的值为 .
【误区纠错】 本题考查了反比例函数比例系数k 的几何意义:在反比例函数的图象的图象上的一点, MA 垂直y 轴, 垂中任取一点, 过这一个点向x 轴和y 轴分别作垂线, 与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|. 3. 利用数形结合解决反比例函数与不等式相关问题.
【例3】 (2014·四川南充) 如图, 一次函数y 1=kx+b的图象与反比例函数y 2=的图象相交于点A (2,5)和点B , 与y 轴相交于点C (0,7).
(1)求这两个函数的解析式;
(2)当x 取何值时, y 1
【误区纠错】 本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题, 解答本题的关键是联立解析式, 求出交点坐标. 本题在写取值范围时容易出错.
4. 反比例函数和几何图形相结合问题.
【例4】 (2014·四川遂宁) 已知:如图, 反比例函数y=
交于点A (1,4)、点B (-4, n ) .
(1)求一次函数和反比例函数的解析式;
(2)求△OAB 的面积; 的图象与一次函数y=x+b的图象
(3)直接写出一次函数值大于反比例函数值的自变量x 的取值范围.
【误区纠错】 本题考查了一次函数和反比例函数的交点问题, 用待定系数法求出一次函数的解析式, 三角形的面积, 一次函数的图象等知识点, 用了数形结合思想.
名师点拨
1. 掌握反比例函数的定义, 会判断反比例函数.
2. 会用待定系数法求反比例函数的解析式.
3. 会画反比例函数的图象并能说明其性质.
4. 借助函数思想解决实际问题.
提分策略
1. 反比例函数值的大小比较.
比较反比例函数值的大小, 在同一个象限内根据反比例函数的性质比较, 在不同象限内, 不能按其性质比较, 函数值的大小只能根据特征确定.
A. 负数
C. 正数
2. 与反比例函数有关的图形面积的求法.
过双曲线上任意一点引x 轴、y 轴垂线, 所得矩形面积为|k|, 是经常考查的一个知识点. 这里体现了数形结合的思想, 做此类题一定要正确理解反比例函数y=(k ≠0) 中k 的几何意义. B. 非正数 D. 不能确定
【例2】 如图, 点B 在反比例函数 (x>0) 的图象上, 横坐标为1, 过点B 分别向x 轴, y 轴作垂线, 垂足分别为A , C , 则矩形OABC 的面积为( ) .
A. 1
C. 3 B. 2 D. 4
3. 一次函数与反比例函数的综合题解法.
主要题型:利用k 值与图象的位置关系综合确定系数的符号或图象位置; 已知直线与双曲线
表达式求交点坐标; 用待定系数法确定直线与双曲线的表达式; 应用函数图象性质比较一次函数值与反比例值的大小等. 解题时, 一定要灵活运用一次函数与反比例函数的知识, 并结合图象分析、解答问题.
【例3】 如图, 一次函数y=-x+2的图象与反比例函数
轴交于D 点, 且C , D 两点关于y 轴对称.
(1)求A , B 两点的坐标;
(2)求△ABC 的面积.
的图象交于A , B 两点, 与x
4. 利用反比例函数解决实际问题.
把实际问题转化为反比例函数应用题的关键是建立反比例函数模型, 即列出符合题意的反比例函数解析式, 然后根据反比例函数的性质综合方程(组) 、不等式(组) 及图象求解.
【例4】 实验数据显示, 一般成人喝半斤低度白酒后,1. 5小时内其血液中酒精含量y (毫克/百毫升) 与时间x (时) 的关系可近似地用二次函数y=-200x 2+400x 刻画;1. 5小时后(包括1. 5小时) y 与x 可近似地用反比例函数
(1)根据上述数学模型计算: (k>0) 刻画(如图所示) .
①喝酒后几时血液中的酒精含量达到最大值? 最大值为多少?
②当x=5时, y=45, 求k 的值.
(2)按国家规定, 车辆驾驶人员血液中的酒精含量大于或等于20毫克/百毫升时属于“酒后驾驶”, 不能驾车上路. 参照上述数学模型, 假设某驾驶员晚上20:00在家喝完半斤低度白酒, 第二天早上7:00能否驾车去上班? 请说明理由.
5. 利用反比例函数与几何知识相结合解题.
在近几年的中考题目中, 常常把几何知识和反比例函数相结合在一起, 综合性强, 对学生的思维能力要求高. 解决此类问题的关键是熟悉常见几何图形的特征, 将几何图形的隐含性质结合反比例函数知识挖掘出来.
【例5】 如图, 在平面直角坐标系中, 反比例函数 (x>0) 的图象和矩形ABCD 在第一象限, AD 平行于x 轴, 且AB=2, AD=4, 点A 的坐标为(2,6).
(1)直接写出B , C , D 三点的坐标;
(2)若将矩形向下平移, 矩形的两个顶点恰好同时落在反比例函数的图象上, 猜想这是哪两个点, 并求矩形的平移距离和反比例函数的解析式.
专项训练
一、 选择题
1. (2016·江苏泰州二中模拟) 如图, 已知点(m , y 1),(m-3, y 2),(m-4, y 3) 在反比例函
数
的图象上, 则y 1, y 2, y 3的大小关系是( ) .
A. y 1>y2>y3
C. y 1>y3>y2 B. y 2>y1>y3 D. y 3>y2>y1
(第1题
)
(第2题)
2. (2016·山东济南二模) 如图, 过x 轴正半轴上的任意一点P , 作y 轴的平行线, 分别与反比例函数的图象交于A , B 两点. 若点C 是y 轴上任意一点, 连接AC , BC , 则△ABC 的面积为( ) .
A. 3 B. 4 C. 5 D. 10
3. (2016·新疆石河子中考一模) 如图, 矩形ABOC 的面积为3, 反比例函数的图象过点A , 则k 的值为( ) .
(第3题)
A. 3
二、 填空题
4. (2016·安徽安庆正月21校联考) 如图, 点P 1(x 1, y 1), 点P 2(x 2, y 2), „, 点P n (x n , y n ) 在函数B. -1. 5 C. -3 D. -6
(x>0) 的图象上, △P 1OA 1, △P 2A 1A 2, △P 3A 2A 3, „, △P n A n-1A n 都是等腰直角三角形, 斜边OA 1, A 1A 2, A 2A 3, „, A n-1A n 都在x 轴上(n 是大于或等于2的正整数), 则点P 3的坐标是 ; 点P n 的坐标是 (用含n 的式子表示) .
(第4题)
5. (2016·江西高安模拟) 一个函数具有下列性质:①它的图象经过点(-1,1); ②它的图象在第二、四象限内; ③在每个象限内, 函数值y 随自变量x 的增大而增大, 则这个函数的解析式可以为 .
三、 解答题
(1)求k 的值及点E 的坐标;
(2)若点F 是边上一点, 且△FCB ∽△DBE , 求直线FB 的解析式.
(第6题)
7. (2014·江苏大丰模拟) 如图, 一次函数y=kx+b
的图象与反比例函数的图象交于A (-2,1), B (1,m ) 两点.
(1)试确定上述反比例函数和一次函数的关系式;
(2)求△AOB 的面积.
(第7题)
8. (2013·河北一模) 如图, 一次函数y=mx+5的图象与反比例函数的图象交于A (1,n ) 和B (4,1)两点, 过点A 作y 轴的垂线, 垂足为M.
(1)求一次函数和反比例函数的解析式;
(2)求△OAM 的面积S ;
(3)在y 轴上求一点P , 使PA+PB最小.
(k ≠0) 在第一象限