课 题：两条直线的位置关系（一）平行与垂直
课 题：两条直线的位置关系（一）平行与垂直
教学目的：
1．熟练掌握两条直线平行与垂直的充要条件，能够根据直线的方程判断两条直线的位置关系．
2．通过研究两直线平行或垂直的条件的讨论，培养学生运用已有知识解决新问题的能力以及学生的数形结合能力．
3．通过对两直线平行与垂直的位置关系的研究，培养学生的成功意识，激发学生学习的兴趣．
教学重点：两条直线平行和垂直的条件
教学难点：两直线的平行与垂直问题转化与两直线的斜率的关系问题
授课类型：新授课
课时安排：1课时
教 具：多媒体、实物投影仪
教学过程：
1．特殊情况下的两直线平行与垂直．
当两条直线中有一条直线没有斜率时：
(1)当另一条直线的斜率也不存在时，两直线的倾斜角都为90°，互相平行；
(2)当另一条直线的斜率为0时，一条直线的倾斜角为90°，另一条直线的倾斜角为0°，两直线互相垂直
2．斜率存在时两直线的平行与垂直．
设直线 和 的斜率为 和 ，它们的方程分别是：
： ； ： ．
两直线的平行与垂直是由两直线的方向来决定的，两直线的方向又是由直线的倾斜角与斜率决定的，所以我们下面要解决的问题是两平行与垂直的直线它们的斜率有什么特征
⑴两条直线平行(不重合)的情形．
如果 ，那么它们的倾斜角相等： ，∴ ．即 = ．
反过来，如果两条直线的斜率相等， = ，那么 ．由于0°≤ ＜180°， 0°≤ ＜180°，∴ ．∵两直线不重合，∴ ．
两条直线有斜率且不重合，如果它们平行，那么它们的斜率相等；反之，如果它们的斜率相等，则它们平行，即 = 且
要注意，上面的等价是在两直线不重合且斜率存在的前提下才成立的，缺少这个前提，结论并不存立．
思考1：已知直线 、 的方程为 ： ，
：
求证： ∥ 的充要条件是
⑵两条直线垂直的情形：如果两条直线的斜率分别是 和 ，则这两条直线垂直的充要条件是 ．
用倾斜角的关系推导：如果 ，这时 ，否则两直线平行 设 ，甲图的特征是 与 的交点在x轴上方；乙图的特征是 与 的交点在x轴下方；丙图的特征是 与 的交点在x轴上，无论哪种情况下都有
．因为 和 的斜率为 和 ，即 ，所以
，即 或
反过来，如果 或 ．
两条直线都有斜率，如果它们互相垂直，则它们的斜率互为负倒数；反之，如果它们的斜率互为负倒数，则它们互相垂直，即
用向量关系推导：设直线 和 的斜率分别是 和 ，则直线 有方向向量 ，直线 有方向向量 ，根据平面向量的有关知识，有
即
所以，如果两条直线的斜率分别是 和 ，则这两条直线垂直的充要条件是 ． 思考2：已知直线 和 的一般式方程为 ： ，
： ，则
三、讲解范例：
例1 两条直线 ： ， ： ．
求证： ∥
证法一：因为 ： ， ：
所以 = 且 ，∴ ．
证法二:∵ ，∴
例2 求过点 且与直线 平行的直线方程．
解一：已知直线的斜率为 ，因为所求直线与已知直线平行，因此它的斜率也是 根据点斜式，得到所求直线的方程是
即 ．
解二：设与直线 平行的直线 的方程为
，
∵ 经过点 ，∴ ，解之得
∴ 所求直线方程为 ．
注意：①解法一求直线方程的方法是通法，必须掌握；
②解法二是常常采用的解题技巧。一般地，直线 中系数 、 确定直线的斜率，因此，与直线 平行的直线方程可设为 ，其中 待定 （直线系）
例3求与直线 平行，且在两坐标轴上的截距之和为 的直线的方程．
解：设直线的方程为 ，令 ，则在 轴上的截距为 ；令 ，则在 轴上的截距为 ， 由 得 ，∴所求直线方程为 ．
例4 已知直线 与 互相垂直，求 的值．
解 ： ∵ ， ， ， 且两直线互相垂直
∴ ，解之得
注意：若用斜率来解，则需讨论
例5 求过点 ，且与直线 垂直的直线 的方程．
分析：一般地，由于与直线 垂直的直线的斜率互为负倒数，故可得其方程为 ，这是常常用到的解题技巧（直线系方程）
解：设与直线 垂足的直线方程为
∵直线 经过点 ，∴ ，解得
故所求的方程为
四、课堂练习：
1．求使直线 和 平行的实数 的取值。（答案： ）
2．当 为何实数时，两直线 和 平行？
（ 答案： ＝1）
3．求直线 和直线 平行的条件．
分析：∵ ∥ ∴ ∴平行的条件是 且
4．已知直线 ： ， ：
(ⅰ)若 ∥ ，试求 的值；(ⅱ) 若 ⊥ ，试求 的值
五、小结 ：1．本节知识重点是掌握两条直线垂直的判断条件，并能熟练地判断；难点是对斜率的讨论，即利用斜率判定两直线垂直时，要注意考虑斜率不存在时是否满足题意，以防漏解
七、板书设计（略）
八、课后记：
课 题：两条直线的位置关系（一）平行与垂直
课 题：两条直线的位置关系（一）平行与垂直
教学目的：
1．熟练掌握两条直线平行与垂直的充要条件，能够根据直线的方程判断两条直线的位置关系．
2．通过研究两直线平行或垂直的条件的讨论，培养学生运用已有知识解决新问题的能力以及学生的数形结合能力．
3．通过对两直线平行与垂直的位置关系的研究，培养学生的成功意识，激发学生学习的兴趣．
教学重点：两条直线平行和垂直的条件
教学难点：两直线的平行与垂直问题转化与两直线的斜率的关系问题
授课类型：新授课
课时安排：1课时
教 具：多媒体、实物投影仪
教学过程：
1．特殊情况下的两直线平行与垂直．
当两条直线中有一条直线没有斜率时：
(1)当另一条直线的斜率也不存在时，两直线的倾斜角都为90°，互相平行；
(2)当另一条直线的斜率为0时，一条直线的倾斜角为90°，另一条直线的倾斜角为0°，两直线互相垂直
2．斜率存在时两直线的平行与垂直．
设直线 和 的斜率为 和 ，它们的方程分别是：
： ； ： ．
两直线的平行与垂直是由两直线的方向来决定的，两直线的方向又是由直线的倾斜角与斜率决定的，所以我们下面要解决的问题是两平行与垂直的直线它们的斜率有什么特征
⑴两条直线平行(不重合)的情形．
如果 ，那么它们的倾斜角相等： ，∴ ．即 = ．
反过来，如果两条直线的斜率相等， = ，那么 ．由于0°≤ ＜180°， 0°≤ ＜180°，∴ ．∵两直线不重合，∴ ．
两条直线有斜率且不重合，如果它们平行，那么它们的斜率相等；反之，如果它们的斜率相等，则它们平行，即 = 且
要注意，上面的等价是在两直线不重合且斜率存在的前提下才成立的，缺少这个前提，结论并不存立．
思考1：已知直线 、 的方程为 ： ，
：
求证： ∥ 的充要条件是
⑵两条直线垂直的情形：如果两条直线的斜率分别是 和 ，则这两条直线垂直的充要条件是 ．
用倾斜角的关系推导：如果 ，这时 ，否则两直线平行 设 ，甲图的特征是 与 的交点在x轴上方；乙图的特征是 与 的交点在x轴下方；丙图的特征是 与 的交点在x轴上，无论哪种情况下都有
．因为 和 的斜率为 和 ，即 ，所以
，即 或
反过来，如果 或 ．
两条直线都有斜率，如果它们互相垂直，则它们的斜率互为负倒数；反之，如果它们的斜率互为负倒数，则它们互相垂直，即
用向量关系推导：设直线 和 的斜率分别是 和 ，则直线 有方向向量 ，直线 有方向向量 ，根据平面向量的有关知识，有
即
所以，如果两条直线的斜率分别是 和 ，则这两条直线垂直的充要条件是 ． 思考2：已知直线 和 的一般式方程为 ： ，
： ，则
三、讲解范例：
例1 两条直线 ： ， ： ．
求证： ∥
证法一：因为 ： ， ：
所以 = 且 ，∴ ．
证法二:∵ ，∴
例2 求过点 且与直线 平行的直线方程．
解一：已知直线的斜率为 ，因为所求直线与已知直线平行，因此它的斜率也是 根据点斜式，得到所求直线的方程是
即 ．
解二：设与直线 平行的直线 的方程为
，
∵ 经过点 ，∴ ，解之得
∴ 所求直线方程为 ．
注意：①解法一求直线方程的方法是通法，必须掌握；
②解法二是常常采用的解题技巧。一般地，直线 中系数 、 确定直线的斜率，因此，与直线 平行的直线方程可设为 ，其中 待定 （直线系）
例3求与直线 平行，且在两坐标轴上的截距之和为 的直线的方程．
解：设直线的方程为 ，令 ，则在 轴上的截距为 ；令 ，则在 轴上的截距为 ， 由 得 ，∴所求直线方程为 ．
例4 已知直线 与 互相垂直，求 的值．
解 ： ∵ ， ， ， 且两直线互相垂直
∴ ，解之得
注意：若用斜率来解，则需讨论
例5 求过点 ，且与直线 垂直的直线 的方程．
分析：一般地，由于与直线 垂直的直线的斜率互为负倒数，故可得其方程为 ，这是常常用到的解题技巧（直线系方程）
解：设与直线 垂足的直线方程为
∵直线 经过点 ，∴ ，解得
故所求的方程为
四、课堂练习：
1．求使直线 和 平行的实数 的取值。（答案： ）
2．当 为何实数时，两直线 和 平行？
（ 答案： ＝1）
3．求直线 和直线 平行的条件．
分析：∵ ∥ ∴ ∴平行的条件是 且
4．已知直线 ： ， ：
(ⅰ)若 ∥ ，试求 的值；(ⅱ) 若 ⊥ ，试求 的值
五、小结 ：1．本节知识重点是掌握两条直线垂直的判断条件，并能熟练地判断；难点是对斜率的讨论，即利用斜率判定两直线垂直时，要注意考虑斜率不存在时是否满足题意，以防漏解
七、板书设计（略）
八、课后记：