Chapter4动态系统的稳定性分析
稳定性描述当系统遭受外界扰动偏离原来的平衡状态，在扰动消失后系统自身能否恢复到原来平衡状态的一种性能。一个不稳定系统是不能正常工作的，如何判别系统的稳定性以及如何改善系统的稳定性是系统分析与设计的首要问题。
所以讨论稳定性时一般只考虑u (t ) =0的自由系统。
经典控制理论：用传递函数描述线性定常系统，主要用特征函数D (s ) =0的极点分布、Routh （劳斯）判据、Hurwitz （胡尔维茨）判据、Nyquist （奈奎斯特）判据等来判别系统的稳定性。
现代控制理论：用状态空间描述MIMO 线性时变系统或非线性时变系统→根据系数矩阵A 的特征值即det(sI -A ) =p (s ) D (s ) =0系统极点的分布来判别系统的稳定性（D (s ) =0求出的是传递函数反映的“既能控又能观”的极点，p (s ) =0求出的是没有反映在传递函数中的其他三部分的极点）。此外还可利用(Liapunov -李雅普诺夫间接法) 、构造Liapunov 标量函数V (x )
(Liapunov 直接法) 等来判别。
4.1 Liapunov 稳定性的意义
(t ) =f (x (t ) ，t ) 考虑n 阶自由系统：x
状态向量：x (t ) =(x 1(t ) ... x n (t ) ) T ， 向量：f (x (t ) ，t ) =(f 1(x (t ) ，t ) ... f n (x (t ) ，t ) ) T
(t ) =f (x (t ), t ) ，若存在某一状态点x e ，使得对所有的t ，x (t ) 都不随时间变对x
=f (x e , t ) ≡0，则称x e 为系统的平衡状态（平衡点）化，即x 。
一个系统不一定存在平衡点，但有时又可以有多个平衡点。平衡点大多数在状态空间的原点x e =0。若平衡点不在原点，而是状态空间的孤立点，则可以通过坐标变换将平衡点移到原点。
定义4-2（Liapunov 稳定，临界稳定）对任意给定的“小距离” ε>0（无论多么小的），总可以根据给定的ε和初始时间t 0找到一个相应“半径”δ(ε, t 0) >0，只要系统初态x 0与平衡点x e 的距离小于“半径”δ(ε, t 0) 即x 0-x e
t >t 0时，其状态x (t ) 与平衡点x e 的距离小于给定的“小距离”ε，即x (t ) -x e
则称平衡状态是Liapunov 稳定（李氏稳定）。如果不需根据初始时刻t 0来寻找“半径” δ(ε, t 0) =δ(ε) ，则称一致Liapunov 稳定（Unif ormly Stable ）。
x -x e =
(x 1-x e 1) 2+(x 2-x e 2) 2+ +(x n -x en ) 2称Euclid 范数(多维空间距离) 。
这就是说：根据指定的小ε和系统的初始状态x 0，以平衡点x e 为圆心划定一个半径为δ(ε, t 0) 的范围S (ε, t 0) ，以后系统的状态就只能在指定的范围S (ε, t 0) 内运行，在平衡点附近振荡，称为Liapunov 临界稳定。如果我们只根据指定的小ε就能划定一个半径为δ(ε) 的范围S (ε) ，使系统只能在指定的范围S (ε) 内运行，称为一致Liapunov 稳定。
图4-1（a ）(b) 小球的稳定性P74 图4-2（a ）李氏稳定P75
定义4-3（渐近稳定，局部稳定）系统不仅Liapunov 稳定，而且系统状态趋于平
ally Stable ）衡点，即lim x (t ) =x e ，则称平衡状态x e 是渐近稳定（Asym ptotic 。如
t →∞
果不需根据初始时刻t 0来寻找“半径” δ(ε, t 0) =δ(ε) ，则称一致渐近稳定。
图4-2(b)渐进稳定（局部稳定） 图4-2（c ）全局稳定 图4-2(d)不稳定P75
物理意义：如果系统状态开始在平衡点x e 附近，则系统不会振荡，其状态轨线最终会落在平衡点x e 。
只有渐近稳定才是工程意义上的稳定。但渐近稳定仍然是某平衡点x e 附近的稳定（局部稳定），并不意味着整个系统就能运行。
定义4-4 若对任意初始状态x 0，无需要求系统初始处于平衡点x e =0附近，都有
lim x (t ) =x e ，则称平衡状态x e =0是大范围渐近稳定(全局稳定)
t →∞
ally Stable in the large ) (Asymptotic
物理意义：无论开始系统状态在何处，其状态轨线最终会落在平衡点x e =0。
定义4-5（不稳定） 对任意给定的“小距离” ε>0，无论 “半径”δ(ε, t 0) >0怎么小，系统至少有一个初态x 0，当x 0-x e t 0时候的状态x (t ) 与平衡点x e 的距离大于给定的“小距离”ε，x (t ) -x e >ε，则称平衡状态x e 是不稳定（李氏不稳定）。
几何意义是：无论系统初始状态x 0如何接近平衡点x e ，至少有一个x (t ) 状态远离平衡点x e ，不会回到原平衡点或原平衡点附近。
4.2 Liapunov 间接法
4.2.1 线性定常系统的稳定性
P 76定理4-1 状态稳定性（内部稳定性）判别定理（间接法）
讨论：（1）据上述结论，当A 是约当标准型时，x e =0是不稳定平衡点。
= 例4-1P 77：x
⎛01⎫
⎪=0，但所对应的约2⎪x ，x e =0是唯一平衡点。A 的特征值λ1，
00⎝⎭
⎛1t ⎫⎛x 10⎫⎛x 10+x 20t ⎫
⎪当块是二维的，方程解为x (t ) =e A t x 0= 显然，当t →∞， 01⎪⎪ x ⎪⎪= x ⎪，
⎝⎭⎝20⎭⎝20⎭
有x (t ) →∞，表明x e =0是不稳定平衡点。
= 例4-2P 77：x
⎛00⎫
⎪⎪x ，可以看成两个一维约当块的组合。一个约当块的特征值0-1⎝⎭
⎛10⎫
=0，另一约当块的特征值为λ2=-1。方程的解为x (t ) =e A t x 0= 0e -t ⎪⎪
⎝⎭
λ1
⎛x 10⎫⎛x 10⎫
x ⎪⎪= x e -t ⎪⎪，显然当t ⎝20⎭⎝20⎭
→∞，x 1(t ) =x 01有界，x 2(t ) →0，表明x e =0是“临界
稳定”平衡点。
（2）定义：满足Ax =λx 的λ称为A 的特征值，(λI -A ) x =0，det(λI -A ) =0。
(t ) =Ax (t ) =λx (t ) ，其解为x (t ) =e A t x 0=e λt Ix 0=e λt x 0，或者写成 对于x
⎛x 1(t ) ⎫⎛e λt
⎪ x (t ) 2⎪ ⎪= ⎪ x (t ) ⎪ ⎝n ⎭⎝
1
e λt
2
⎫⎛x 01⎫⎪ ⎪
x 1(t ) =e λt x 01；x 2(t ) =e λt x 02⎪ x 02⎪
⎪ ⎪，... x n (t ) =e λt x 0n ⎪ ⎪
λt ⎪ e ⎭⎝x 0n ⎪⎭
1
2n
n
由此不难得出：“渐近稳定”的结论（2）和“不稳定”的结论（3）。 在经典控制理论中，根据传递函数来讨论系统的稳定性，即主要关心输出稳定性。若输入u (t ) 有界，输出y (t ) 也有界，称为“有界输入有界输出稳定”—BIBO 稳定。
设n 维单输入、单输出线性定常系统S =(A , b , c ) 的传递函数为：
G (s ) =
N (s ) (s -z 1)(s -z 2)...(s -z m ) =K N (s ) 与D (s ) 不存在公约式。 D (s ) (s -p 1)(s -p 2)...(s -p n ')
2，... m 是G (s ) 的零点； N (s ) 是传递函数G (s ) 的零点多项式，z i i =1，
2，... n 'n '≤n 是G (s ) 的极点； D (s ) 是传递函数G (s ) 的极点多项式，p i i =1，
于是，系统S 是BIBO 稳定的充要条件是G (s ) 的极点多项式D (s ) =0的
，2，... n '均有负实部。 n '≤n 个极点p i i =1
c (sI -A ) b b
另一方面，G (s ) =c (sI -A ) b =，系统S =(A , B , C ) 的极点多项式
det(sI -A )
-1
A 的特征值就是系统S 的n 个极点，是det(sI -A ) =0，他决定系统的状态稳定性。
有可能det(sI -A ) =p (s ) D (s ) ，只有当n '=n 时，D (s ) =0与det(sI -A ) =0的解完全
n 次多项式
n '次多项式
相同，一般情况下，D (s ) =0的解少于det(sI -A ) =0的解，det (sI-A) =0的解包含
D (s ) =0的解，这表明系统的状态稳定性与BIBO 稳定性并不等价。有以下结论：
（1）当D (s ) =0与det(sI -A ) =0的解完全相同时，此时若系统的状态稳定，必有系统BIBO 稳定；
（2）当D (s ) =0的解少于det(sI -A ) =0的解，det(sI -A ) =0的解包含D (s ) =0的解时，这时系统BIBO 稳定，但不一定状态稳定，即
−−→BIBO 稳定，BIBO 稳定−不一定是−−−→状态稳定。 状态稳定−一定是
= P 77例4-3讨论系统x
⎛-10⎫⎛1⎫
⎪ ⎪x +u ，y =(10) x 在x e =0的状态稳定性和⎪ ⎪
⎝00⎭⎝0⎭
BIBO 稳定性。
解：①系统多项式det(sI -A ) =0的极点为s 1=0，s 2=-1，其解为
s +10⎫1/(s +1) 0⎫⎛e -t
A t -1-1-1⎛-1⎛⎪⎪e =L (sI -A ) =L =L = 0⎪ ⎪s ⎭1/s ⎭ ⎝⎝0⎝0
⎛e -t x (t ) =e x 0= 0
⎝
A t
-1
0⎫⎪ ⎪1⎭
0⎫⎛x 10⎫⎛x 10e -t ⎫
⎪，显然，当t →∞, x (t )
因此系统状态只是Liapunov 稳定是临界稳定，不是渐近稳定。故x e =0是
Liapunov 稳定（临界稳定）平衡点。
⎛s +10⎫⎛1⎫s 1⎪ ⎪==②G (s ) =c (sI -A ) -1b =(10) 0⎪ 0⎪s (s +1) s +1，只有s =-1一个极s ⎝⎭⎝⎭
点（注意分子零点s =0和分母极点s =0相消），系统是BIBO 稳定。
2=0的零点 1=-x 1+u ，x 2=0，y =x 1，我们看到，正是不能控部分x 展开x
-1
（s =0）与极点（s =0）相消，不能在传递函数中反映出来。因此，传递函数
D (s ) =0的极点包含在（并不多于）系统多项式det(sI -A ) =0的极点。
讨论：状态稳定包含了BIBO 稳定，而BIBO 稳定并不包含状态稳定。只有状态稳定的系统才是真正稳定的系统，而BIBO 稳定的系统，有可能内部并不稳定，只根据G (s ) 设计出来的系统不一定能正常工作。这是因为G (s ) 只反映系统既能控又能观部分的信息，如果不稳定的部分恰在不能控、不能观部分，则G (s ) 并不能反映出来。这又一次说明用状态空间比传递函数（阵）能更全面、更深入的描述系统。
此外，由于Routh 的方法是用Routh 数据的第一列的“正负符号”来判断方程解的符号，所以用Routh 判据来分析“系统S 的极点多项式det(sI -A ) =0”以及“传递函数G (s ) 的极点多项式D (s ) =0”仍然有效。
1⎛⎫-0⎪ ⎛1⎫ 1(t ) ⎫ S 1R 1⎛x 1⎫⎛x ⎛x 1(t ) ⎫ ⎪⎪ ⎪ ⎪y =(01) =+u 讨论水池系统 ，S x ⎪⎪的状态稳 x ⎪ 1 x (t ) ⎪ 1⎪1⎪ (t ) ⎝2⎭T ⎝2⎭⎝2⎭ 0⎪-⎝⎭ S R ⎪S 2R 2⎭21
⎝
状态方程
例4-4
定性和BIBO 稳定性，并求出x (0) =(10) T ，u =1+sin ωt 时的解。
=f =0得到x e =0是平衡点。令λ1=1，λ2=1，β=1 解：令x
S 1R 1
S 2R 2S 2R 1
①det(sI -A ) =det
⎛s +λ1
⎝-β0⎫
⎪=0的极点为s 1=-λ1
进稳定”平衡点。
⎛s +λ1
e =L (sI -A ) =L -β
⎝
A t
-1
-1
-1
0⎫⎪s +λ2⎪⎭
-1
0⎫⎛s +λ2
⎪ β⎪s +λ1⎭-1⎝=L s +λ2s +λ11⎛
s +λ1
=L -1
β⎛11⎫
⎪- λ-λ s +λs +λ⎪2⎝21⎭⎝1⎫
⎪⎛e -λt 0⎫
-λ⎪⎪ β(e t -e -λt ) = -λt ⎪e ⎪1 λ-λ⎪⎪⎝12⎭s +λ2⎪⎭0
12
1
2
0⎫⎛s +λ2 ⎪ βs +λ1⎪⎛1⎫β-1⎝⎭ ⎪G (s ) =c (sI -A ) b =(01) =⎪s +λs +λ s +λ2s +λ1 0⎝⎭21
s 1=-λ1
②解为：x (t ) =e A t x 0+⎰0e A (t -τ) Bu (τ) d τ
⎛e -λt
-λt -λt
= β(e -e ) λ-λ12⎝
12
1
1
t
0⎫⎛1⎫
⎪
-λt ⎪++ ⎪e ⎪⎪⎝0⎭⎭
2
⎰
⎛e λ(τ-t )
β(e λ(τ-t ) -e λ(τ-t ) ) 0 λ1-λ2⎝
1
t
21
0⎫⎛1⎫
⎪ ⎪λ(τ-t )
S 1⎪(1+sin ωτ) d τ ⎪e ⎪ 0⎪⎭⎝⎭
2
1λ(τ-t ) ⎛⎫e ⎪⎛⎫t e -λt
S β(e -λt -e -λt ) ⎪⎪(1+sin ωτ) ⋅d τ1
= +⎰ ⎪0 βλ(τ-t ) λ(τ-t ) ⎪ λ-λ⎪(e -e ) ⎪12⎝⎭ λ-λ12⎝⎭
1
2
1
2
1
第一项是初条件的影响，是瞬态解，第二项积分项是输入的影响，是稳态解。
λ(τ-t ) e ⋅d τ=⎰0t
1
λ
(1-e -λt ) =
1
λ
-
1
λ
e -λt
；
λ(τ-t )
⎰e sin ωτ⋅d τ=
t
1
[ωe -λt +(λsin ω⋅t -ωcos ω⋅t )] 22
(λ+ω)
ωe -λt 1-1ωϕ=t a n ， =2+sin(ω⋅t -ϕ) (λ+ω2) λλ2+ω2
1⎫⎛1⎫⎛sin(ωt -ϕ1)] ⎪ ⎪22
S λ+ω⎪11
其稳态解为：x (t ) = S 1λ1⎪+ ⎪ β11 β⎪稳态解
[sin(ωt -ϕ2) -2sin(ωt -ϕ1)]⎪ λλ⎪ 222 ⎪λ-λλ2+ω1+ω2⎝12⎭⎝1
⎭
第一项反映常数项的作用结果，第二项反映正弦项输入的结果。
4.2.2 非线性系统的稳定性
间接法稳定性判别定理只能用于线性系统，因此，对于非线性系统，必须
=f (x , t ) =先作线性化处理x
⎛∂f 1⎫
⎪⎛∂f = ⎪ ∂x T ⎪ ⎝∂x 1
∂f ⎝n ⎭
...
∂f (x e )
(x -x e ) +R (x ) ，R (x ) 是高阶导数项。 ∂x T
∂f 1⎫⎛∂f 1
... ⎪∂x ∂x ⎪1n ⎫∂f i ⎫⎛∂f ⎫⎛ ⎪ ⎪，= = ⎪ ⎪T ⎪ ∂x n ⎭ ∂f n ∂f n ⎪⎝∂x ⎭ij ⎝∂x j ⎪⎭ ∂x ... ∂x ⎪
n
⎝1⎭
∂f (x e ) ∂x T
令 =x -x e ，A ≡
=A ，则 在系统一次近似的线性化方程基础上，Liapunov 给出如下结论：#
1=x 1-x 1x 2=f 1，x 2=-x 2+x 1x 2=f 2平衡点的稳定性。 P 78例4-4分析系统x
解：系统为非线性系统，通常有多个平衡点。
1=x 1-x 1x 2=0，x 2=-x 2+x 1x 2=0，可求出系统的2个平衡点：令x
x e 1=(00) T ，x e 2=(11) T
将系统在x e 1=(00) T 处线性化：A 1=
∂f (x e 1) ⎛1-x 2
= T x ∂x ⎝2-x 1⎫⎛10⎫
⎪ =x =0 0-1⎪⎪， x 1-1⎪⎭⎭x =0⎝
12
其特征值λ1=1，λ2=-1，表明非线性系统在x e 1=(00) T 处不稳定。 将系统在x e 2=(11) T 处线性化：A 2=
∂f (x e 2) ⎛1-x 2
= x ∂x T
⎝2
-x 1⎫⎛0-1⎫
⎪ =x =1 10⎪⎪， x 1-1⎪⎭⎭x =1⎝
12
其特征值λ1, 2=±j 的实部为零，不能用A 来判断系统在x e 2=(11) T 处是否稳定。
**对于平衡点x e 2
=(11) T ，我们还可以做坐标变换：
1=-y 2-y 1y 2=f 1，y 2=y 1+y 1y 2=f 2 y 1=x 1-1，y 2=x 2-1
y 将系统在y e =(00) T 处线性化：A =其特征值λ1, 2
∂f (y e ) ⎛-y 2
= 1+y ∂y T 2⎝-1-y 1⎫⎛0-1⎫
⎪ =y =0 10⎪⎪， y 1⎪⎭⎭y =0⎝
12
=±j 的实部为零，不能用A 来判断系统在y e =(00) T 处是否稳定。
4.3 Liapunov 函数法（直接法）
4.3.1 稳定性的判别方法
>0 ≡dV
dt
0，但系统能量总是V >0 电学原理：放电(能量↓) V
>0，系统稳定；（2）若能量变化大于零V
=0，系不稳定；（3）若能量变化等于零V 统“临界稳定”。Liapunov 构造一个标量函
数V (x ) 作为虚构的广义能量函数（Liapunov 函数）。图4-3 RC电路的放电过程 P79
=P 79定理4-2 设n 阶系统x
f (x , t ) ，平衡状态x e =0，如果存在一个对所有x 都
有连续的一阶偏导数的正定的标量函数V (x ) >0
n n n
dV (x ) ∂V dx i ∂V ∂V i =∑=∑=∑x ⋅f i 定义 V ≡
dt i =1∂x i dt i =1∂x i i =1∂x i
(x ) 负定（V (x )
(x ) 正定（V (x ) >0）（2）若V ，则x e 是不稳定；
(x ) 半负定（V (x ) ≤0）（3）若V ，则x e 是Liapunov 稳定（临界稳定）；进一步： (x ) 不≡0， (x ) =0不是状态方程的非零解）若V （V ，则x e 是渐近稳定（局部稳定）；
22
1=x 2-ax 1(x 12+x 2 2=-x 1-ax 2(x 12+x 2) 、x ) ，a =const P 80例4-5试确定系统x . 平衡点的
稳定性。
22
1=x 2-ax 1(x 12+x 2 2=-x 1-ax 2(x 12+x 2解：令x ) =0，x ) =0求得x e =0是唯一平衡点。
2
>0，只在x e =0处，V (x ) =0 试取 V (x ) =x 12+x 2
∂V 222 (x ) =∂V x 1+ 2=2x 1x 1+2x 2x 2=-2a (x 1+x 2) 有连续偏导数。 V x
∂x 1∂x 2
(x ) =-2a (x 2+x 2) 20，有V 12e (x ) =-2a (x 2+x 2) 2>0，x =0是不稳定平衡点； ②当a
(x ) =-2a (x 2+x 2) 2≡0，x =0是Liapunov ③当a =0，有V 稳定平衡点； 12e
2
>0可判定系统稳定性，是Liapunov 表明所选V (x ) =x 12+x 2函数。
图4-4 a >0渐进稳定 a
1=x 2，x 2=-x 1-x 2平衡点的稳定性。 P 81例4-6试确定x
1=x 2=0，求得x e =0是唯一平衡点。 解：采用Liapunov 函数法：令x
2
>0 ①第一次取V 1(x ) =2x 12+x 2
∂V 2 (x ) =∂V 1x 1+1x 2=4x 1x 2+2x 2(-x 1-x 2) =2x 1x 2-2x 2 有连续偏导数。 V 1
∂x 1∂x 2
符号不定，无法确定系统是否稳定，因此V 1(x ) 不是Liapunov 函数。 ②第二次取 V 2(x ) =x 12+x 22>0 有连续偏导数
∂V 22 (x ) =∂V 2x 2=2x 1x 2+2x 2(-x 1-x 2) =-2x 2V +x ≤0，只要在x 2=0 的“横轴”上（不21∂x 1∂x 2
(x ) =0，因此x =0是Liapunov 稳定平衡点，一定在原点x e =0），就有V 2e
2
(x ) =-2x 2≤0，但不恒等于V 2(x ) =x 12+x 2>0是Liapunov 函数。进一步，由于V 22
V （x ）→∞，因而是大范围渐近稳定。 0，因此x e =0是渐近稳定，又x →∞，2
12
③第三次取函数：V 3(x ) =[(x 1+x 2) 2+2x 12+x 2]>0
2
∂V 322 (x ) =∂V 3x =-2(x +x V +x =2(x +x )(x +x ) +4x x +2x (-x -x ) [1**********]212)
12
知x e =0是渐近稳定，所以V 3(x ) =[(x 1+x 2) 2+2x 12+x 2]是
Liapunov 函数。可见Liapunov 函数并非唯一，无论怎样取Liapunov ，只要符合
函数的条件，能判别平衡点的稳定性，他就是Liapunov 函数，结论是唯一的。
此题仍然可以用采用“间接法”来判断系统的稳定性：系数矩阵为A =
1⎫⎛0
⎪⎪， -1-1⎝⎭
det(λI -A ) =λ2+λ+1=0，根据Routh 方法，一阶和二阶系统，只要系数为正，系统就是
稳定的。实际上λ=(-1±j 3) 。
1
2
P 82例4-7设闭环系统如P 图4-5所示，试分析系统的稳定性。
解：用三种方法分析系统的稳定性 ①经典法：由图列出Y (s ) =
U (s ) +Y (s ) Y (s ) 1
→ G (s ) ==22
s U (s ) s +1
2
(t ) +y (t ) =u (t ) ，y 即(s +1) Y (s ) =U (s ) → 取u (t ) =0，并不影响讨论系统的稳定性，
s +b s i n t 这是临界稳定系统。 故其解为 y (t ) =a c o t
，于是x 1=x 2，x 2=-x 1+u 稳定性与输入无②Liapunov 函数法：设x 1=y ，x 2=y
1⎫⎛01⎫⎛x 1⎫⎛x ⎪⎪= 关，只考虑齐次方程 ⎪，x e =0是唯一平衡点。 ⎪⎪ ⎪ ⎝x 2⎭⎝-10⎭⎝x 2⎭
2
>0 而且有连续偏导数 试取 V (x ) =x 12+x 2
∂V (x ) =∂V x 1+ 2=2x 1x 1+2x 2x 2=2x 1x 2+2x 2(-x 1) ≡0 V x
∂x 1∂x 2
根据定理可知系统是Liapunov 临界稳定，Liapunov 稳定在工程意义上是不稳定的，这与经典控制理论的结论是一致的。
⎛s
③间接法：e A t =L -1(sI -A ) -1=L -1 1
⎝
⎛x 1(t ) ⎫⎛cos t A t
⎪ x (t ) = =e x =0 -sin t x (t ) ⎪2⎝⎝⎭
-1⎫⎛cos t
⎪ = -sin t s ⎪⎭⎝
-1
sin t ⎫
⎪cos t ⎪⎭
sin t ⎫⎛x 10⎫，x 1(t ) =y (t ) =x 10cos t +x 20sin t ⎪⎪⎪ ⎪cos t ⎭⎝x 20⎭
显然，系统状态是振荡的，故x e =0是Liapunov 临界稳定平衡点，结论是一致的。
2=-(1-x 1) x 2-x 1平衡点的稳定性。 1=x 2，x P 82例4-8试分析系统x
=0⇒x e =(x 1e x 2e ) T =0是唯一平解：非线性系统，不能采用“直接法求解”。令x
2
>0 衡点。试取V (x ) =x 12+x 2
∂V (x ) =∂V x 1+ 2=2x 1x 1+2x 2x 2≡-2x 22(1-x 1) ，有连续偏导数。 V x
∂x 1∂x 2
2 (x ) ≡0，=1的圆上，V 当x 1=1，在x 12+x 2故x e =0是Liapunov 临界稳定平衡点；
2 (x ) ≤0，同上讨论，对状态方程的非零解，=1的圆内，V 当x 1
(x ) 不≡0，故x e =0是渐近稳定平衡点；所选V (x ) =x 2+x 2(>0) ，可判定系统V 12
稳定性，是Liapunov 函数。其稳定域是单位圆内, 系统不是大范围渐近稳定的。
4.3.2 用克拉索夫斯基方法构造Liapunov 函数
由上面讨论可知，若找到了Liapunov 函数，用直接法分析稳定性是方便的，然而构造Liapunov 函数却成了新问题。尽管通过研究得到了一些方法，但至今还没有得到一个对任何系统都普遍适用的构造Liapunov 函数的方法。
1. . . 1⎪⎛f 1(x ) ⎫⎛x 1⎫∂x n ⎪ ⎪ ⎪ ∂x 1
∂f
数学知识：设f (x ) = ⎪，x = x 2⎪ 那么 T = ⎪
∂x ∂f n ⎪ ∂f n
f (x ) ⎪ x ⎪. . . ∂x ⎝n ⎭⎝n ⎭∂x n ⎪
⎝1⎭
⎛∂f
∂f ⎫
∂x
特例：T =I ； V (x ) =x T Px =(x 1... x n )
∂x
⎛p 11⎝p n 1... p 1n ⎫⎛x 1⎫
⎪ ⎪n
⎪ ⎪=∑x i p ij x j
x ⎪i ，j =1
... p nn ⎪⎭⎝n ⎭
下面介绍一种克拉索夫斯基方法构造Liapunov 函数。
=f (x , t ) ，平衡点为x e =0 P 82定理4-3 对系统x
取 F (x ) =
∂f
，记共轭为“*”，转置为“T ”，共轭转置为“~”。 T
∂x
*
⎛∂f 1 ∂x 1
~
若 P =F (x ) +F (x ) =
∂f n ∂x ⎝1
∂f 1⎫⎛∂f 1∂f n ⎫... ... ⎪ ⎪
∂x n ⎪ ∂x 1∂x 1⎪
⎪+ ⎪
∂f n ⎪ ∂f 1∂f n ⎪... ...
∂x n ⎪ ∂x n ∂x n ⎪
⎭⎭⎝
则x e =0是渐近稳定的。此时，Liapunov 函数为
n
~~222
V (x ) =f (x , t ) f (x , t ) =∑f i (x , t ) f i (x , t ) =f 1+f 2+... +f n >0
i =1
→∞，则是大范围渐近稳定。无论系统是线性还是非当 x →∞，V （x ）
线性，是定常还是时变，都能用克拉索夫斯基方法构造Liapunov 函数，。
(x , t ) =∂f (x , t ) x =F (x ) f (x , t ) 证明：f T
∂x
~~~~~~~~~~~~~~~~
~~∂f (x , t ) ⎫~ (x , t ) =⎛ ()f (x , t ) =f x =F (x ) f (x , t ) =f (x , t ) F (x ) ⎪T
⎝∂x ⎭
~~~ (x , t ) =~ (x ) =~f (x , t ) F (x ) ⋅f (x , t ) +f (x , t ) ⋅F (x ) f (x , t ) V f (x , t ) f (x , t ) +f (x , t ) f
~~~~
=f (x , t )[F (x ) +F (x )]⋅f (x , t ) =f (x , t ) ⋅Pf (x , t )
~
且V (x ) =f (x , t ) f (x , t ) 是Liapunov 函数。证毕。
~~~~~~~~~~~~
=Ax =f (x ) ，若A 是非奇异的，则只有x e =0唯一一个平衡点，有 特别当x
~~∂f ⎛∂f ⎫
F (x ) =T =A ，F (x ) = T ⎪=A
∂x ⎝∂x ⎭
~
当A 是实数矩阵时，A =A T ，因此就有以下推论。
=Ax =f (x ) ，重要推论：(克拉索夫斯基方法应用于线性系统) 对线性定常系统x
*T
若A 是非奇异实数矩阵，若根据定号性确定P =A T +A
1=x 2-x 1(x 12+x 22) =f 1，x 2=-x 1-x 2(x 12+x 22) =f 2平衡点P 83例4-9 分析非线性系统x
的稳定性。
=f =0，⇒x e =(x 1e 解：令 x ⎛∂f 1
∂f ∂x
F (x ) =T = 1
∂f 2∂x
∂x ⎝1
∂f 1∂x 2∂f 2∂x 2
x 2e ) T =0是唯一平衡点。
1-2x 1x 2⎫，
⎪2⎪-x 12-3x 2⎭
⎫⎪2
-3x 12-x 2
⎪=⎛ ⎪ ⎝-1-2x 1x 2⎪⎭
⎛-x 12-3x 22-1-2x 1x 2⎫⎛3x 12+x 22~~
⎪P =F (x ) +F (x ) =-2 F (x ) = 22⎪， 1-2x x 2x x -3x 1-x 2⎭1212⎝⎝
根据P 169二次型及其定号性，P 的顺序主子式为
22
=p =-2(3x +x )
2x 1x 2⎫
⎪22⎪ x 1+3x 2⎭
p 11
p 21p 12
22
=12(x 12+x 2) >0 p 22
⎧
⎩>0
i 为奇数i 为偶数
则P
~ (x )
平衡点，且Liapunov 函数为 V (x ) =f T f =f 12+f 22=(x 12+x 22) +(x 12+x 22) 3>0
→∞，故是大范围渐近稳定。 当 x →∞，V （x ）
= P 83例4-10 分析系统x
⎛-11⎫
⎪⎪x 平衡点的稳定性。 2-3⎝⎭
解：A 是非奇异，且 x e =(x e 1
x e 2) T =0是唯一平衡点。P =A T +A =
p 11p 21
p 12p 22
=3>0
⎛-23⎫
⎪⎪ 3-6⎝⎭
=p 11=-2
⎧
P =根据P 二次型及其定号性 ，即P =A T +A
i 为偶数⎩>0
所以x e =0是渐近稳定平衡点，Liapunov 函数为
V (x ) =f T f =f 12+f 22=(x 2-x 1) 2+(2x 1-3x 2) 2>0
V (x ) →∞，故是大范围渐近稳定。 且当x →∞，
值得指出的是：通过克拉索夫斯基方法构造的Liapunov 函数是一个充分条件，并非所有系统都可以找到Liapunov 函数。若用这种方法找不到Liapunov 函数，并不能就此判别系统的稳定性，必须用其他方法寻找Liapunov 函数。
4.3.3 用求解Liapunov 方程方法构造Liapunov 函数
对线性定常系统，采用克拉索夫斯基方法构造的Liapunov 函数是一个可以给出渐近稳定的充分条件。以下给出判别线性定常系统渐近稳定的充要条件。（两
个条件结合，能否构造某一类非线性系统的充要条件呢？）
=Ax ，取正定二次型作L i a p u n o v P 为正定对称矩阵，有 设x 函数，即
V (x ) =x T Px
(x ) =x T Px +x T P x =(Ax ) T Px +x T PAx =(x T A T ) Px +x T PAx =-x T Qx V
(x )
近稳定的，于是有以下定理。
=Ax 渐近稳定的充要条件是，给定一个正定对称P 84定理4-4 线性定常系统x
矩阵Q ，若能找到（？一定能找到吗？）一个正定对称矩阵P ，满足Liapunov 方程Q =-(A T P +PA ) ？，此时Liapunov 函数可以取为 V (x ) =x T Px
矩阵Q 只要满足正定对称，并无其他要求，通常取Q =I >0。然后通过
Liapunov 方程A T P +PA =-I 求解出正定对称矩阵P ，此时，对n 阶对称矩阵P 共
有n (n +1) /2个独立元素，求解出这n (n +1) /2个独立元素，就可确定P ，计算P 的顺序主子式的符号可确定对称矩阵P 的定号性，由此可构造出Liapunov 函数
V (x ) =x T Px ，再根据Hurwitz 判断系统的稳定性。
1⎫⎛0
= 方程分析系统x P 84例4-11用求解Liapunov -1-1⎪⎪x 平衡点的稳定性。 ⎝⎭⎛p 11
解：设对称矩阵P = p
⎝12
⎛-2p 12
A T P +PA = p -p -p
1222⎝11
p 12⎫T
Liapunov ⎪A P +PA =-2I 确定P ： ，求解方程
p 22⎪⎭
2p 12=2⎧
p 11-p 12-p 22⎫⎛20⎫⎪
⎪=- 02⎪⎪→⎨p 11-p 12-p 22=0 2p 12-2p 22⎪⎭⎪2p -2p =-2⎭⎝
1222⎩
解得：P =
⎛31⎫
⎪⎪，若方程无解，说明找不到符合条件的正定对称矩阵P 。 12⎝⎭
计算P 的顺序主子式的符号（参见P 81例4-6）
=P =3>0， 偶数主子式：P 2=奇数主子式：P 111
p 11
p 12p 12
=5>0 p 22
根据Hurwitz 判据，有P >0，即P 是正定对称矩阵，再根据定理4-4可以判别系统是渐近稳定的。系统的一个Liapunov 函数为
V (x ) =x T Px =(x 1
⎛31⎫⎛x 1⎫222
⎪⎪()x 2) =3x +2x x +2x =x +x +2x 12+x 22>0 112212 12⎪ x ⎪⎝⎭⎝2⎭
稳定性判别方法小结：
1. 间接法 求解n 阶系统的特征方程det(sI -A ) =s n +a 1s n -1+... +a n -1s +a n =0，通常
⎧λi
有n 个解，s i =λi +j σi ，⎪⎨λi =0临界稳定
⎪λ>0不稳定⎩i
2，... ，n j =1，
2. 直接法 构造一个Liapunov 函数 V (x ) >0，
n n n
dx dV (x ) ∂V ∂V ∂V i ≡ i =∑=∑=∑x ⋅f i V
dt ∂x dt ∂x ∂x i =1i =1i =1i i i
(x ) 负定（V (x )
(x ) >0正定，则x 是不稳定； （2）若V e
(x ) 不≡0， (x ) ≤0半负定，则x 是Liapunov 临界稳定；进一步：若V （3）若V e
则x e 是渐近稳定（局部稳定）；
3. 克拉索夫斯基方法 P =F (x ) +F (x )
Liapunov →∞，则是大范函数为V (x ) =f 1+f 2+... +f n >0，当x →∞，V （x ）
2
2
2
~
围渐近稳定。
4. Liapunov 方法 给定正定对称Q ，若能找到一个正定对称P >0，满足
L i a p u n o v Q =-(A T P +PA ) ，系统稳定，此时Liapunov 方程函数为 V (x ) =x T Px
4.3.4 对线性系统瞬时响应速度的估计
(t ) =Ax ，x (0) =x 0有唯一的平衡点x e =0，且是渐近设n 阶线性定常系统x
稳定的。其状态响应为x (t ) =e A t x 0，这是线性定常系统的零输入响应，其运动将从任一初态x 0出发，向平衡点x e =0衰减，我们要问：衰减速度如何呢？
(x ) 是负定当系统是渐近稳定时，“能量”V (x ) 是正定的，而“能量的变化”V
(x ) V (x ) +ηV (x ) =0, V (x ) =V (x ) e -⎰ηdt 的，因此可以引入一个变量η=-，V 0
V (x )
t 0
(x ) =-x T Qx =-x T x ∵ V (x ) =x T Px ，V
(x ) V x T x
Q =I ，所以，η=- =
V (x ) x T Px
... 、λn ，且 不妨设P 的特征值为λ1、λ2、
λmax =λ1为最大的特征值，经正交变换 x =后（F F =I ）有
~
图4-6 李雅普诺夫函数收敛的几何意义 P86
x Px =() P () =(F PF ) =
n
T
T
T
T
T T T T
2
λ∑i i i =1
n
x x =(F ) (F ) =(F F ) =∑i 2
i =1
n n
x T x 12+22+ +n 2122
η=T =∑i /∑λi i ≥=
x Px i =1λmax (12+22+ +n 2) λmax i =1
t
⇒V (x ) =V (x 0) e
-ηdt
0⎰
≤V (x 0) e
-
1
λmax
t
， t ≤λm ax ln
V (x 0)
V (x )
这给出了系统过渡时间的上限值，实际上就是经典控制理论中用（负实部离虚轴最近的，响应最慢的）主导极点来估计系统的响应速度。
1⎫⎛0
⎪x 的Liapunov 函数及状态由V (x ) =150的曲线上的P 87例4-12分析x = ⎪-1-1⎝⎭
06曲线内所需的时间。 一点，衰减到V (x ) =0．
解：①解得P =
1⎛31⎫32T 2 ⎪； ②； V (x ) =x Px =x +x x +x 1122 ⎪2⎝12⎭2
691，λ2=1．809=λm ax ， ③求P 的特征值，λI -P =0 λ1=0．
因此有t ≤λm ax ln
V (x 0) 150
=1．809ln ＝1．41(s ) ，即状态由“能量”为V
(x ) =150的
V (x ) 0．06
06曲线内所需的时间不会超过1. 41 s。 曲线上的一点衰减到“能量”为V (x ) =0．
Chapter4动态系统的稳定性分析
稳定性描述当系统遭受外界扰动偏离原来的平衡状态，在扰动消失后系统自身能否恢复到原来平衡状态的一种性能。一个不稳定系统是不能正常工作的，如何判别系统的稳定性以及如何改善系统的稳定性是系统分析与设计的首要问题。
所以讨论稳定性时一般只考虑u (t ) =0的自由系统。
经典控制理论：用传递函数描述线性定常系统，主要用特征函数D (s ) =0的极点分布、Routh （劳斯）判据、Hurwitz （胡尔维茨）判据、Nyquist （奈奎斯特）判据等来判别系统的稳定性。
现代控制理论：用状态空间描述MIMO 线性时变系统或非线性时变系统→根据系数矩阵A 的特征值即det(sI -A ) =p (s ) D (s ) =0系统极点的分布来判别系统的稳定性（D (s ) =0求出的是传递函数反映的“既能控又能观”的极点，p (s ) =0求出的是没有反映在传递函数中的其他三部分的极点）。此外还可利用(Liapunov -李雅普诺夫间接法) 、构造Liapunov 标量函数V (x )
(Liapunov 直接法) 等来判别。
4.1 Liapunov 稳定性的意义
(t ) =f (x (t ) ，t ) 考虑n 阶自由系统：x
状态向量：x (t ) =(x 1(t ) ... x n (t ) ) T ， 向量：f (x (t ) ，t ) =(f 1(x (t ) ，t ) ... f n (x (t ) ，t ) ) T
(t ) =f (x (t ), t ) ，若存在某一状态点x e ，使得对所有的t ，x (t ) 都不随时间变对x
=f (x e , t ) ≡0，则称x e 为系统的平衡状态（平衡点）化，即x 。
一个系统不一定存在平衡点，但有时又可以有多个平衡点。平衡点大多数在状态空间的原点x e =0。若平衡点不在原点，而是状态空间的孤立点，则可以通过坐标变换将平衡点移到原点。
定义4-2（Liapunov 稳定，临界稳定）对任意给定的“小距离” ε>0（无论多么小的），总可以根据给定的ε和初始时间t 0找到一个相应“半径”δ(ε, t 0) >0，只要系统初态x 0与平衡点x e 的距离小于“半径”δ(ε, t 0) 即x 0-x e
t >t 0时，其状态x (t ) 与平衡点x e 的距离小于给定的“小距离”ε，即x (t ) -x e
则称平衡状态是Liapunov 稳定（李氏稳定）。如果不需根据初始时刻t 0来寻找“半径” δ(ε, t 0) =δ(ε) ，则称一致Liapunov 稳定（Unif ormly Stable ）。
x -x e =
(x 1-x e 1) 2+(x 2-x e 2) 2+ +(x n -x en ) 2称Euclid 范数(多维空间距离) 。
这就是说：根据指定的小ε和系统的初始状态x 0，以平衡点x e 为圆心划定一个半径为δ(ε, t 0) 的范围S (ε, t 0) ，以后系统的状态就只能在指定的范围S (ε, t 0) 内运行，在平衡点附近振荡，称为Liapunov 临界稳定。如果我们只根据指定的小ε就能划定一个半径为δ(ε) 的范围S (ε) ，使系统只能在指定的范围S (ε) 内运行，称为一致Liapunov 稳定。
图4-1（a ）(b) 小球的稳定性P74 图4-2（a ）李氏稳定P75
定义4-3（渐近稳定，局部稳定）系统不仅Liapunov 稳定，而且系统状态趋于平
ally Stable ）衡点，即lim x (t ) =x e ，则称平衡状态x e 是渐近稳定（Asym ptotic 。如
t →∞
果不需根据初始时刻t 0来寻找“半径” δ(ε, t 0) =δ(ε) ，则称一致渐近稳定。
图4-2(b)渐进稳定（局部稳定） 图4-2（c ）全局稳定 图4-2(d)不稳定P75
物理意义：如果系统状态开始在平衡点x e 附近，则系统不会振荡，其状态轨线最终会落在平衡点x e 。
只有渐近稳定才是工程意义上的稳定。但渐近稳定仍然是某平衡点x e 附近的稳定（局部稳定），并不意味着整个系统就能运行。
定义4-4 若对任意初始状态x 0，无需要求系统初始处于平衡点x e =0附近，都有
lim x (t ) =x e ，则称平衡状态x e =0是大范围渐近稳定(全局稳定)
t →∞
ally Stable in the large ) (Asymptotic
物理意义：无论开始系统状态在何处，其状态轨线最终会落在平衡点x e =0。
定义4-5（不稳定） 对任意给定的“小距离” ε>0，无论 “半径”δ(ε, t 0) >0怎么小，系统至少有一个初态x 0，当x 0-x e t 0时候的状态x (t ) 与平衡点x e 的距离大于给定的“小距离”ε，x (t ) -x e >ε，则称平衡状态x e 是不稳定（李氏不稳定）。
几何意义是：无论系统初始状态x 0如何接近平衡点x e ，至少有一个x (t ) 状态远离平衡点x e ，不会回到原平衡点或原平衡点附近。
4.2 Liapunov 间接法
4.2.1 线性定常系统的稳定性
P 76定理4-1 状态稳定性（内部稳定性）判别定理（间接法）
讨论：（1）据上述结论，当A 是约当标准型时，x e =0是不稳定平衡点。
= 例4-1P 77：x
⎛01⎫
⎪=0，但所对应的约2⎪x ，x e =0是唯一平衡点。A 的特征值λ1，
00⎝⎭
⎛1t ⎫⎛x 10⎫⎛x 10+x 20t ⎫
⎪当块是二维的，方程解为x (t ) =e A t x 0= 显然，当t →∞， 01⎪⎪ x ⎪⎪= x ⎪，
⎝⎭⎝20⎭⎝20⎭
有x (t ) →∞，表明x e =0是不稳定平衡点。
= 例4-2P 77：x
⎛00⎫
⎪⎪x ，可以看成两个一维约当块的组合。一个约当块的特征值0-1⎝⎭
⎛10⎫
=0，另一约当块的特征值为λ2=-1。方程的解为x (t ) =e A t x 0= 0e -t ⎪⎪
⎝⎭
λ1
⎛x 10⎫⎛x 10⎫
x ⎪⎪= x e -t ⎪⎪，显然当t ⎝20⎭⎝20⎭
→∞，x 1(t ) =x 01有界，x 2(t ) →0，表明x e =0是“临界
稳定”平衡点。
（2）定义：满足Ax =λx 的λ称为A 的特征值，(λI -A ) x =0，det(λI -A ) =0。
(t ) =Ax (t ) =λx (t ) ，其解为x (t ) =e A t x 0=e λt Ix 0=e λt x 0，或者写成 对于x
⎛x 1(t ) ⎫⎛e λt
⎪ x (t ) 2⎪ ⎪= ⎪ x (t ) ⎪ ⎝n ⎭⎝
1
e λt
2
⎫⎛x 01⎫⎪ ⎪
x 1(t ) =e λt x 01；x 2(t ) =e λt x 02⎪ x 02⎪
⎪ ⎪，... x n (t ) =e λt x 0n ⎪ ⎪
λt ⎪ e ⎭⎝x 0n ⎪⎭
1
2n
n
由此不难得出：“渐近稳定”的结论（2）和“不稳定”的结论（3）。 在经典控制理论中，根据传递函数来讨论系统的稳定性，即主要关心输出稳定性。若输入u (t ) 有界，输出y (t ) 也有界，称为“有界输入有界输出稳定”—BIBO 稳定。
设n 维单输入、单输出线性定常系统S =(A , b , c ) 的传递函数为：
G (s ) =
N (s ) (s -z 1)(s -z 2)...(s -z m ) =K N (s ) 与D (s ) 不存在公约式。 D (s ) (s -p 1)(s -p 2)...(s -p n ')
2，... m 是G (s ) 的零点； N (s ) 是传递函数G (s ) 的零点多项式，z i i =1，
2，... n 'n '≤n 是G (s ) 的极点； D (s ) 是传递函数G (s ) 的极点多项式，p i i =1，
于是，系统S 是BIBO 稳定的充要条件是G (s ) 的极点多项式D (s ) =0的
，2，... n '均有负实部。 n '≤n 个极点p i i =1
c (sI -A ) b b
另一方面，G (s ) =c (sI -A ) b =，系统S =(A , B , C ) 的极点多项式
det(sI -A )
-1
A 的特征值就是系统S 的n 个极点，是det(sI -A ) =0，他决定系统的状态稳定性。
有可能det(sI -A ) =p (s ) D (s ) ，只有当n '=n 时，D (s ) =0与det(sI -A ) =0的解完全
n 次多项式
n '次多项式
相同，一般情况下，D (s ) =0的解少于det(sI -A ) =0的解，det (sI-A) =0的解包含
D (s ) =0的解，这表明系统的状态稳定性与BIBO 稳定性并不等价。有以下结论：
（1）当D (s ) =0与det(sI -A ) =0的解完全相同时，此时若系统的状态稳定，必有系统BIBO 稳定；
（2）当D (s ) =0的解少于det(sI -A ) =0的解，det(sI -A ) =0的解包含D (s ) =0的解时，这时系统BIBO 稳定，但不一定状态稳定，即
−−→BIBO 稳定，BIBO 稳定−不一定是−−−→状态稳定。 状态稳定−一定是
= P 77例4-3讨论系统x
⎛-10⎫⎛1⎫
⎪ ⎪x +u ，y =(10) x 在x e =0的状态稳定性和⎪ ⎪
⎝00⎭⎝0⎭
BIBO 稳定性。
解：①系统多项式det(sI -A ) =0的极点为s 1=0，s 2=-1，其解为
s +10⎫1/(s +1) 0⎫⎛e -t
A t -1-1-1⎛-1⎛⎪⎪e =L (sI -A ) =L =L = 0⎪ ⎪s ⎭1/s ⎭ ⎝⎝0⎝0
⎛e -t x (t ) =e x 0= 0
⎝
A t
-1
0⎫⎪ ⎪1⎭
0⎫⎛x 10⎫⎛x 10e -t ⎫
⎪，显然，当t →∞, x (t )
因此系统状态只是Liapunov 稳定是临界稳定，不是渐近稳定。故x e =0是
Liapunov 稳定（临界稳定）平衡点。
⎛s +10⎫⎛1⎫s 1⎪ ⎪==②G (s ) =c (sI -A ) -1b =(10) 0⎪ 0⎪s (s +1) s +1，只有s =-1一个极s ⎝⎭⎝⎭
点（注意分子零点s =0和分母极点s =0相消），系统是BIBO 稳定。
2=0的零点 1=-x 1+u ，x 2=0，y =x 1，我们看到，正是不能控部分x 展开x
-1
（s =0）与极点（s =0）相消，不能在传递函数中反映出来。因此，传递函数
D (s ) =0的极点包含在（并不多于）系统多项式det(sI -A ) =0的极点。
讨论：状态稳定包含了BIBO 稳定，而BIBO 稳定并不包含状态稳定。只有状态稳定的系统才是真正稳定的系统，而BIBO 稳定的系统，有可能内部并不稳定，只根据G (s ) 设计出来的系统不一定能正常工作。这是因为G (s ) 只反映系统既能控又能观部分的信息，如果不稳定的部分恰在不能控、不能观部分，则G (s ) 并不能反映出来。这又一次说明用状态空间比传递函数（阵）能更全面、更深入的描述系统。
此外，由于Routh 的方法是用Routh 数据的第一列的“正负符号”来判断方程解的符号，所以用Routh 判据来分析“系统S 的极点多项式det(sI -A ) =0”以及“传递函数G (s ) 的极点多项式D (s ) =0”仍然有效。
1⎛⎫-0⎪ ⎛1⎫ 1(t ) ⎫ S 1R 1⎛x 1⎫⎛x ⎛x 1(t ) ⎫ ⎪⎪ ⎪ ⎪y =(01) =+u 讨论水池系统 ，S x ⎪⎪的状态稳 x ⎪ 1 x (t ) ⎪ 1⎪1⎪ (t ) ⎝2⎭T ⎝2⎭⎝2⎭ 0⎪-⎝⎭ S R ⎪S 2R 2⎭21
⎝
状态方程
例4-4
定性和BIBO 稳定性，并求出x (0) =(10) T ，u =1+sin ωt 时的解。
=f =0得到x e =0是平衡点。令λ1=1，λ2=1，β=1 解：令x
S 1R 1
S 2R 2S 2R 1
①det(sI -A ) =det
⎛s +λ1
⎝-β0⎫
⎪=0的极点为s 1=-λ1
进稳定”平衡点。
⎛s +λ1
e =L (sI -A ) =L -β
⎝
A t
-1
-1
-1
0⎫⎪s +λ2⎪⎭
-1
0⎫⎛s +λ2
⎪ β⎪s +λ1⎭-1⎝=L s +λ2s +λ11⎛
s +λ1
=L -1
β⎛11⎫
⎪- λ-λ s +λs +λ⎪2⎝21⎭⎝1⎫
⎪⎛e -λt 0⎫
-λ⎪⎪ β(e t -e -λt ) = -λt ⎪e ⎪1 λ-λ⎪⎪⎝12⎭s +λ2⎪⎭0
12
1
2
0⎫⎛s +λ2 ⎪ βs +λ1⎪⎛1⎫β-1⎝⎭ ⎪G (s ) =c (sI -A ) b =(01) =⎪s +λs +λ s +λ2s +λ1 0⎝⎭21
s 1=-λ1
②解为：x (t ) =e A t x 0+⎰0e A (t -τ) Bu (τ) d τ
⎛e -λt
-λt -λt
= β(e -e ) λ-λ12⎝
12
1
1
t
0⎫⎛1⎫
⎪
-λt ⎪++ ⎪e ⎪⎪⎝0⎭⎭
2
⎰
⎛e λ(τ-t )
β(e λ(τ-t ) -e λ(τ-t ) ) 0 λ1-λ2⎝
1
t
21
0⎫⎛1⎫
⎪ ⎪λ(τ-t )
S 1⎪(1+sin ωτ) d τ ⎪e ⎪ 0⎪⎭⎝⎭
2
1λ(τ-t ) ⎛⎫e ⎪⎛⎫t e -λt
S β(e -λt -e -λt ) ⎪⎪(1+sin ωτ) ⋅d τ1
= +⎰ ⎪0 βλ(τ-t ) λ(τ-t ) ⎪ λ-λ⎪(e -e ) ⎪12⎝⎭ λ-λ12⎝⎭
1
2
1
2
1
第一项是初条件的影响，是瞬态解，第二项积分项是输入的影响，是稳态解。
λ(τ-t ) e ⋅d τ=⎰0t
1
λ
(1-e -λt ) =
1
λ
-
1
λ
e -λt
；
λ(τ-t )
⎰e sin ωτ⋅d τ=
t
1
[ωe -λt +(λsin ω⋅t -ωcos ω⋅t )] 22
(λ+ω)
ωe -λt 1-1ωϕ=t a n ， =2+sin(ω⋅t -ϕ) (λ+ω2) λλ2+ω2
1⎫⎛1⎫⎛sin(ωt -ϕ1)] ⎪ ⎪22
S λ+ω⎪11
其稳态解为：x (t ) = S 1λ1⎪+ ⎪ β11 β⎪稳态解
[sin(ωt -ϕ2) -2sin(ωt -ϕ1)]⎪ λλ⎪ 222 ⎪λ-λλ2+ω1+ω2⎝12⎭⎝1
⎭
第一项反映常数项的作用结果，第二项反映正弦项输入的结果。
4.2.2 非线性系统的稳定性
间接法稳定性判别定理只能用于线性系统，因此，对于非线性系统，必须
=f (x , t ) =先作线性化处理x
⎛∂f 1⎫
⎪⎛∂f = ⎪ ∂x T ⎪ ⎝∂x 1
∂f ⎝n ⎭
...
∂f (x e )
(x -x e ) +R (x ) ，R (x ) 是高阶导数项。 ∂x T
∂f 1⎫⎛∂f 1
... ⎪∂x ∂x ⎪1n ⎫∂f i ⎫⎛∂f ⎫⎛ ⎪ ⎪，= = ⎪ ⎪T ⎪ ∂x n ⎭ ∂f n ∂f n ⎪⎝∂x ⎭ij ⎝∂x j ⎪⎭ ∂x ... ∂x ⎪
n
⎝1⎭
∂f (x e ) ∂x T
令 =x -x e ，A ≡
=A ，则 在系统一次近似的线性化方程基础上，Liapunov 给出如下结论：#
1=x 1-x 1x 2=f 1，x 2=-x 2+x 1x 2=f 2平衡点的稳定性。 P 78例4-4分析系统x
解：系统为非线性系统，通常有多个平衡点。
1=x 1-x 1x 2=0，x 2=-x 2+x 1x 2=0，可求出系统的2个平衡点：令x
x e 1=(00) T ，x e 2=(11) T
将系统在x e 1=(00) T 处线性化：A 1=
∂f (x e 1) ⎛1-x 2
= T x ∂x ⎝2-x 1⎫⎛10⎫
⎪ =x =0 0-1⎪⎪， x 1-1⎪⎭⎭x =0⎝
12
其特征值λ1=1，λ2=-1，表明非线性系统在x e 1=(00) T 处不稳定。 将系统在x e 2=(11) T 处线性化：A 2=
∂f (x e 2) ⎛1-x 2
= x ∂x T
⎝2
-x 1⎫⎛0-1⎫
⎪ =x =1 10⎪⎪， x 1-1⎪⎭⎭x =1⎝
12
其特征值λ1, 2=±j 的实部为零，不能用A 来判断系统在x e 2=(11) T 处是否稳定。
**对于平衡点x e 2
=(11) T ，我们还可以做坐标变换：
1=-y 2-y 1y 2=f 1，y 2=y 1+y 1y 2=f 2 y 1=x 1-1，y 2=x 2-1
y 将系统在y e =(00) T 处线性化：A =其特征值λ1, 2
∂f (y e ) ⎛-y 2
= 1+y ∂y T 2⎝-1-y 1⎫⎛0-1⎫
⎪ =y =0 10⎪⎪， y 1⎪⎭⎭y =0⎝
12
=±j 的实部为零，不能用A 来判断系统在y e =(00) T 处是否稳定。
4.3 Liapunov 函数法（直接法）
4.3.1 稳定性的判别方法
>0 ≡dV
dt
0，但系统能量总是V >0 电学原理：放电(能量↓) V
>0，系统稳定；（2）若能量变化大于零V
=0，系不稳定；（3）若能量变化等于零V 统“临界稳定”。Liapunov 构造一个标量函
数V (x ) 作为虚构的广义能量函数（Liapunov 函数）。图4-3 RC电路的放电过程 P79
=P 79定理4-2 设n 阶系统x
f (x , t ) ，平衡状态x e =0，如果存在一个对所有x 都
有连续的一阶偏导数的正定的标量函数V (x ) >0
n n n
dV (x ) ∂V dx i ∂V ∂V i =∑=∑=∑x ⋅f i 定义 V ≡
dt i =1∂x i dt i =1∂x i i =1∂x i
(x ) 负定（V (x )
(x ) 正定（V (x ) >0）（2）若V ，则x e 是不稳定；
(x ) 半负定（V (x ) ≤0）（3）若V ，则x e 是Liapunov 稳定（临界稳定）；进一步： (x ) 不≡0， (x ) =0不是状态方程的非零解）若V （V ，则x e 是渐近稳定（局部稳定）；
22
1=x 2-ax 1(x 12+x 2 2=-x 1-ax 2(x 12+x 2) 、x ) ，a =const P 80例4-5试确定系统x . 平衡点的
稳定性。
22
1=x 2-ax 1(x 12+x 2 2=-x 1-ax 2(x 12+x 2解：令x ) =0，x ) =0求得x e =0是唯一平衡点。
2
>0，只在x e =0处，V (x ) =0 试取 V (x ) =x 12+x 2
∂V 222 (x ) =∂V x 1+ 2=2x 1x 1+2x 2x 2=-2a (x 1+x 2) 有连续偏导数。 V x
∂x 1∂x 2
(x ) =-2a (x 2+x 2) 20，有V 12e (x ) =-2a (x 2+x 2) 2>0，x =0是不稳定平衡点； ②当a
(x ) =-2a (x 2+x 2) 2≡0，x =0是Liapunov ③当a =0，有V 稳定平衡点； 12e
2
>0可判定系统稳定性，是Liapunov 表明所选V (x ) =x 12+x 2函数。
图4-4 a >0渐进稳定 a
1=x 2，x 2=-x 1-x 2平衡点的稳定性。 P 81例4-6试确定x
1=x 2=0，求得x e =0是唯一平衡点。 解：采用Liapunov 函数法：令x
2
>0 ①第一次取V 1(x ) =2x 12+x 2
∂V 2 (x ) =∂V 1x 1+1x 2=4x 1x 2+2x 2(-x 1-x 2) =2x 1x 2-2x 2 有连续偏导数。 V 1
∂x 1∂x 2
符号不定，无法确定系统是否稳定，因此V 1(x ) 不是Liapunov 函数。 ②第二次取 V 2(x ) =x 12+x 22>0 有连续偏导数
∂V 22 (x ) =∂V 2x 2=2x 1x 2+2x 2(-x 1-x 2) =-2x 2V +x ≤0，只要在x 2=0 的“横轴”上（不21∂x 1∂x 2
(x ) =0，因此x =0是Liapunov 稳定平衡点，一定在原点x e =0），就有V 2e
2
(x ) =-2x 2≤0，但不恒等于V 2(x ) =x 12+x 2>0是Liapunov 函数。进一步，由于V 22
V （x ）→∞，因而是大范围渐近稳定。 0，因此x e =0是渐近稳定，又x →∞，2
12
③第三次取函数：V 3(x ) =[(x 1+x 2) 2+2x 12+x 2]>0
2
∂V 322 (x ) =∂V 3x =-2(x +x V +x =2(x +x )(x +x ) +4x x +2x (-x -x ) [1**********]212)
12
知x e =0是渐近稳定，所以V 3(x ) =[(x 1+x 2) 2+2x 12+x 2]是
Liapunov 函数。可见Liapunov 函数并非唯一，无论怎样取Liapunov ，只要符合
函数的条件，能判别平衡点的稳定性，他就是Liapunov 函数，结论是唯一的。
此题仍然可以用采用“间接法”来判断系统的稳定性：系数矩阵为A =
1⎫⎛0
⎪⎪， -1-1⎝⎭
det(λI -A ) =λ2+λ+1=0，根据Routh 方法，一阶和二阶系统，只要系数为正，系统就是
稳定的。实际上λ=(-1±j 3) 。
1
2
P 82例4-7设闭环系统如P 图4-5所示，试分析系统的稳定性。
解：用三种方法分析系统的稳定性 ①经典法：由图列出Y (s ) =
U (s ) +Y (s ) Y (s ) 1
→ G (s ) ==22
s U (s ) s +1
2
(t ) +y (t ) =u (t ) ，y 即(s +1) Y (s ) =U (s ) → 取u (t ) =0，并不影响讨论系统的稳定性，
s +b s i n t 这是临界稳定系统。 故其解为 y (t ) =a c o t
，于是x 1=x 2，x 2=-x 1+u 稳定性与输入无②Liapunov 函数法：设x 1=y ，x 2=y
1⎫⎛01⎫⎛x 1⎫⎛x ⎪⎪= 关，只考虑齐次方程 ⎪，x e =0是唯一平衡点。 ⎪⎪ ⎪ ⎝x 2⎭⎝-10⎭⎝x 2⎭
2
>0 而且有连续偏导数 试取 V (x ) =x 12+x 2
∂V (x ) =∂V x 1+ 2=2x 1x 1+2x 2x 2=2x 1x 2+2x 2(-x 1) ≡0 V x
∂x 1∂x 2
根据定理可知系统是Liapunov 临界稳定，Liapunov 稳定在工程意义上是不稳定的，这与经典控制理论的结论是一致的。
⎛s
③间接法：e A t =L -1(sI -A ) -1=L -1 1
⎝
⎛x 1(t ) ⎫⎛cos t A t
⎪ x (t ) = =e x =0 -sin t x (t ) ⎪2⎝⎝⎭
-1⎫⎛cos t
⎪ = -sin t s ⎪⎭⎝
-1
sin t ⎫
⎪cos t ⎪⎭
sin t ⎫⎛x 10⎫，x 1(t ) =y (t ) =x 10cos t +x 20sin t ⎪⎪⎪ ⎪cos t ⎭⎝x 20⎭
显然，系统状态是振荡的，故x e =0是Liapunov 临界稳定平衡点，结论是一致的。
2=-(1-x 1) x 2-x 1平衡点的稳定性。 1=x 2，x P 82例4-8试分析系统x
=0⇒x e =(x 1e x 2e ) T =0是唯一平解：非线性系统，不能采用“直接法求解”。令x
2
>0 衡点。试取V (x ) =x 12+x 2
∂V (x ) =∂V x 1+ 2=2x 1x 1+2x 2x 2≡-2x 22(1-x 1) ，有连续偏导数。 V x
∂x 1∂x 2
2 (x ) ≡0，=1的圆上，V 当x 1=1，在x 12+x 2故x e =0是Liapunov 临界稳定平衡点；
2 (x ) ≤0，同上讨论，对状态方程的非零解，=1的圆内，V 当x 1
(x ) 不≡0，故x e =0是渐近稳定平衡点；所选V (x ) =x 2+x 2(>0) ，可判定系统V 12
稳定性，是Liapunov 函数。其稳定域是单位圆内, 系统不是大范围渐近稳定的。
4.3.2 用克拉索夫斯基方法构造Liapunov 函数
由上面讨论可知，若找到了Liapunov 函数，用直接法分析稳定性是方便的，然而构造Liapunov 函数却成了新问题。尽管通过研究得到了一些方法，但至今还没有得到一个对任何系统都普遍适用的构造Liapunov 函数的方法。
1. . . 1⎪⎛f 1(x ) ⎫⎛x 1⎫∂x n ⎪ ⎪ ⎪ ∂x 1
∂f
数学知识：设f (x ) = ⎪，x = x 2⎪ 那么 T = ⎪
∂x ∂f n ⎪ ∂f n
f (x ) ⎪ x ⎪. . . ∂x ⎝n ⎭⎝n ⎭∂x n ⎪
⎝1⎭
⎛∂f
∂f ⎫
∂x
特例：T =I ； V (x ) =x T Px =(x 1... x n )
∂x
⎛p 11⎝p n 1... p 1n ⎫⎛x 1⎫
⎪ ⎪n
⎪ ⎪=∑x i p ij x j
x ⎪i ，j =1
... p nn ⎪⎭⎝n ⎭
下面介绍一种克拉索夫斯基方法构造Liapunov 函数。
=f (x , t ) ，平衡点为x e =0 P 82定理4-3 对系统x
取 F (x ) =
∂f
，记共轭为“*”，转置为“T ”，共轭转置为“~”。 T
∂x
*
⎛∂f 1 ∂x 1
~
若 P =F (x ) +F (x ) =
∂f n ∂x ⎝1
∂f 1⎫⎛∂f 1∂f n ⎫... ... ⎪ ⎪
∂x n ⎪ ∂x 1∂x 1⎪
⎪+ ⎪
∂f n ⎪ ∂f 1∂f n ⎪... ...
∂x n ⎪ ∂x n ∂x n ⎪
⎭⎭⎝
则x e =0是渐近稳定的。此时，Liapunov 函数为
n
~~222
V (x ) =f (x , t ) f (x , t ) =∑f i (x , t ) f i (x , t ) =f 1+f 2+... +f n >0
i =1
→∞，则是大范围渐近稳定。无论系统是线性还是非当 x →∞，V （x ）
线性，是定常还是时变，都能用克拉索夫斯基方法构造Liapunov 函数，。
(x , t ) =∂f (x , t ) x =F (x ) f (x , t ) 证明：f T
∂x
~~~~~~~~~~~~~~~~
~~∂f (x , t ) ⎫~ (x , t ) =⎛ ()f (x , t ) =f x =F (x ) f (x , t ) =f (x , t ) F (x ) ⎪T
⎝∂x ⎭
~~~ (x , t ) =~ (x ) =~f (x , t ) F (x ) ⋅f (x , t ) +f (x , t ) ⋅F (x ) f (x , t ) V f (x , t ) f (x , t ) +f (x , t ) f
~~~~
=f (x , t )[F (x ) +F (x )]⋅f (x , t ) =f (x , t ) ⋅Pf (x , t )
~
且V (x ) =f (x , t ) f (x , t ) 是Liapunov 函数。证毕。
~~~~~~~~~~~~
=Ax =f (x ) ，若A 是非奇异的，则只有x e =0唯一一个平衡点，有 特别当x
~~∂f ⎛∂f ⎫
F (x ) =T =A ，F (x ) = T ⎪=A
∂x ⎝∂x ⎭
~
当A 是实数矩阵时，A =A T ，因此就有以下推论。
=Ax =f (x ) ，重要推论：(克拉索夫斯基方法应用于线性系统) 对线性定常系统x
*T
若A 是非奇异实数矩阵，若根据定号性确定P =A T +A
1=x 2-x 1(x 12+x 22) =f 1，x 2=-x 1-x 2(x 12+x 22) =f 2平衡点P 83例4-9 分析非线性系统x
的稳定性。
=f =0，⇒x e =(x 1e 解：令 x ⎛∂f 1
∂f ∂x
F (x ) =T = 1
∂f 2∂x
∂x ⎝1
∂f 1∂x 2∂f 2∂x 2
x 2e ) T =0是唯一平衡点。
1-2x 1x 2⎫，
⎪2⎪-x 12-3x 2⎭
⎫⎪2
-3x 12-x 2
⎪=⎛ ⎪ ⎝-1-2x 1x 2⎪⎭
⎛-x 12-3x 22-1-2x 1x 2⎫⎛3x 12+x 22~~
⎪P =F (x ) +F (x ) =-2 F (x ) = 22⎪， 1-2x x 2x x -3x 1-x 2⎭1212⎝⎝
根据P 169二次型及其定号性，P 的顺序主子式为
22
=p =-2(3x +x )
2x 1x 2⎫
⎪22⎪ x 1+3x 2⎭
p 11
p 21p 12
22
=12(x 12+x 2) >0 p 22
⎧
⎩>0
i 为奇数i 为偶数
则P
~ (x )
平衡点，且Liapunov 函数为 V (x ) =f T f =f 12+f 22=(x 12+x 22) +(x 12+x 22) 3>0
→∞，故是大范围渐近稳定。 当 x →∞，V （x ）
= P 83例4-10 分析系统x
⎛-11⎫
⎪⎪x 平衡点的稳定性。 2-3⎝⎭
解：A 是非奇异，且 x e =(x e 1
x e 2) T =0是唯一平衡点。P =A T +A =
p 11p 21
p 12p 22
=3>0
⎛-23⎫
⎪⎪ 3-6⎝⎭
=p 11=-2
⎧
P =根据P 二次型及其定号性 ，即P =A T +A
i 为偶数⎩>0
所以x e =0是渐近稳定平衡点，Liapunov 函数为
V (x ) =f T f =f 12+f 22=(x 2-x 1) 2+(2x 1-3x 2) 2>0
V (x ) →∞，故是大范围渐近稳定。 且当x →∞，
值得指出的是：通过克拉索夫斯基方法构造的Liapunov 函数是一个充分条件，并非所有系统都可以找到Liapunov 函数。若用这种方法找不到Liapunov 函数，并不能就此判别系统的稳定性，必须用其他方法寻找Liapunov 函数。
4.3.3 用求解Liapunov 方程方法构造Liapunov 函数
对线性定常系统，采用克拉索夫斯基方法构造的Liapunov 函数是一个可以给出渐近稳定的充分条件。以下给出判别线性定常系统渐近稳定的充要条件。（两
个条件结合，能否构造某一类非线性系统的充要条件呢？）
=Ax ，取正定二次型作L i a p u n o v P 为正定对称矩阵，有 设x 函数，即
V (x ) =x T Px
(x ) =x T Px +x T P x =(Ax ) T Px +x T PAx =(x T A T ) Px +x T PAx =-x T Qx V
(x )
近稳定的，于是有以下定理。
=Ax 渐近稳定的充要条件是，给定一个正定对称P 84定理4-4 线性定常系统x
矩阵Q ，若能找到（？一定能找到吗？）一个正定对称矩阵P ，满足Liapunov 方程Q =-(A T P +PA ) ？，此时Liapunov 函数可以取为 V (x ) =x T Px
矩阵Q 只要满足正定对称，并无其他要求，通常取Q =I >0。然后通过
Liapunov 方程A T P +PA =-I 求解出正定对称矩阵P ，此时，对n 阶对称矩阵P 共
有n (n +1) /2个独立元素，求解出这n (n +1) /2个独立元素，就可确定P ，计算P 的顺序主子式的符号可确定对称矩阵P 的定号性，由此可构造出Liapunov 函数
V (x ) =x T Px ，再根据Hurwitz 判断系统的稳定性。
1⎫⎛0
= 方程分析系统x P 84例4-11用求解Liapunov -1-1⎪⎪x 平衡点的稳定性。 ⎝⎭⎛p 11
解：设对称矩阵P = p
⎝12
⎛-2p 12
A T P +PA = p -p -p
1222⎝11
p 12⎫T
Liapunov ⎪A P +PA =-2I 确定P ： ，求解方程
p 22⎪⎭
2p 12=2⎧
p 11-p 12-p 22⎫⎛20⎫⎪
⎪=- 02⎪⎪→⎨p 11-p 12-p 22=0 2p 12-2p 22⎪⎭⎪2p -2p =-2⎭⎝
1222⎩
解得：P =
⎛31⎫
⎪⎪，若方程无解，说明找不到符合条件的正定对称矩阵P 。 12⎝⎭
计算P 的顺序主子式的符号（参见P 81例4-6）
=P =3>0， 偶数主子式：P 2=奇数主子式：P 111
p 11
p 12p 12
=5>0 p 22
根据Hurwitz 判据，有P >0，即P 是正定对称矩阵，再根据定理4-4可以判别系统是渐近稳定的。系统的一个Liapunov 函数为
V (x ) =x T Px =(x 1
⎛31⎫⎛x 1⎫222
⎪⎪()x 2) =3x +2x x +2x =x +x +2x 12+x 22>0 112212 12⎪ x ⎪⎝⎭⎝2⎭
稳定性判别方法小结：
1. 间接法 求解n 阶系统的特征方程det(sI -A ) =s n +a 1s n -1+... +a n -1s +a n =0，通常
⎧λi
有n 个解，s i =λi +j σi ，⎪⎨λi =0临界稳定
⎪λ>0不稳定⎩i
2，... ，n j =1，
2. 直接法 构造一个Liapunov 函数 V (x ) >0，
n n n
dx dV (x ) ∂V ∂V ∂V i ≡ i =∑=∑=∑x ⋅f i V
dt ∂x dt ∂x ∂x i =1i =1i =1i i i
(x ) 负定（V (x )
(x ) >0正定，则x 是不稳定； （2）若V e
(x ) 不≡0， (x ) ≤0半负定，则x 是Liapunov 临界稳定；进一步：若V （3）若V e
则x e 是渐近稳定（局部稳定）；
3. 克拉索夫斯基方法 P =F (x ) +F (x )
Liapunov →∞，则是大范函数为V (x ) =f 1+f 2+... +f n >0，当x →∞，V （x ）
2
2
2
~
围渐近稳定。
4. Liapunov 方法 给定正定对称Q ，若能找到一个正定对称P >0，满足
L i a p u n o v Q =-(A T P +PA ) ，系统稳定，此时Liapunov 方程函数为 V (x ) =x T Px
4.3.4 对线性系统瞬时响应速度的估计
(t ) =Ax ，x (0) =x 0有唯一的平衡点x e =0，且是渐近设n 阶线性定常系统x
稳定的。其状态响应为x (t ) =e A t x 0，这是线性定常系统的零输入响应，其运动将从任一初态x 0出发，向平衡点x e =0衰减，我们要问：衰减速度如何呢？
(x ) 是负定当系统是渐近稳定时，“能量”V (x ) 是正定的，而“能量的变化”V
(x ) V (x ) +ηV (x ) =0, V (x ) =V (x ) e -⎰ηdt 的，因此可以引入一个变量η=-，V 0
V (x )
t 0
(x ) =-x T Qx =-x T x ∵ V (x ) =x T Px ，V
(x ) V x T x
Q =I ，所以，η=- =
V (x ) x T Px
... 、λn ，且 不妨设P 的特征值为λ1、λ2、
λmax =λ1为最大的特征值，经正交变换 x =后（F F =I ）有
~
图4-6 李雅普诺夫函数收敛的几何意义 P86
x Px =() P () =(F PF ) =
n
T
T
T
T
T T T T
2
λ∑i i i =1
n
x x =(F ) (F ) =(F F ) =∑i 2
i =1
n n
x T x 12+22+ +n 2122
η=T =∑i /∑λi i ≥=
x Px i =1λmax (12+22+ +n 2) λmax i =1
t
⇒V (x ) =V (x 0) e
-ηdt
0⎰
≤V (x 0) e
-
1
λmax
t
， t ≤λm ax ln
V (x 0)
V (x )
这给出了系统过渡时间的上限值，实际上就是经典控制理论中用（负实部离虚轴最近的，响应最慢的）主导极点来估计系统的响应速度。
1⎫⎛0
⎪x 的Liapunov 函数及状态由V (x ) =150的曲线上的P 87例4-12分析x = ⎪-1-1⎝⎭
06曲线内所需的时间。 一点，衰减到V (x ) =0．
解：①解得P =
1⎛31⎫32T 2 ⎪； ②； V (x ) =x Px =x +x x +x 1122 ⎪2⎝12⎭2
691，λ2=1．809=λm ax ， ③求P 的特征值，λI -P =0 λ1=0．
因此有t ≤λm ax ln
V (x 0) 150
=1．809ln ＝1．41(s ) ，即状态由“能量”为V
(x ) =150的
V (x ) 0．06
06曲线内所需的时间不会超过1. 41 s。 曲线上的一点衰减到“能量”为V (x ) =0．